loi binomiale Table des matières

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "loi binomiale Table des matières"

Transcription

1 loi binomiale Table des matières 1 loi binomiale activités a retenir exercices corrigés exercices anabac travaux pratiques algorithme et loi binomiale

2 1 loi binomiale 1.1 activités activité 1 : un jeu consiste à jeter un dé bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à ceci, trois fois de suite. On considères que les lancers sont indépendants. Pour chaque lancer, on s intéresse au fait d obtenir le score maximal de. soit X le nombre de fois que l on a obtenu les score parmi les trois lancers On cherche la loi de probabilité de la variable aléatoire X (a) déterminer l ensemble des valeurs possibles pour X (b) déterminer les probabilités associées respectivement aux valeurs possibles de X et consigner les résultats dans un tableau. (on s aidera de arbre ci dessous) : X = : X = : X = : X = : X = : X = : X = : X = valeurs de X : x i Total probabilité p(x = x i ) (c) quelle est la valeur de X la plus probable? (d) que vaut la valeur moyenne de X (e) s il y a n lancers indépendants de ce dé, quelle est la probabilité de n obtenir aucun? en déduire la probabilité d obtenir au moins un (f) combien de lancers faut-il faire au minimum pour que la probabilité d obtenir au moins un dépasse 99%

3 activité 2 : Chaque jour, chaque personne d une entreprise a une probabilité d être absente égale à 10 % On choisit au hasard le nom d une personne et ceci quatre fois de suite On considères que les tirages sont indépendants. Pour chaque tirage, on s intéresse au fait que la personne soit absente ou non. soit X le nombre de fois que l on a obtenu une personne absente parmi les quatre tirages (a) déterminer l ensemble des valeurs possibles pour X (b) déterminer les probabilités associées respectivement aux valeurs possibles de X et consigner les résultats dans un tableau de loi de probabilité. (s aide de arbre ci dessous) avec pour "absent". x i Total p(x = x i ) (c) quelle est la valeur de X la plus probable et que vaut la valeur moyenne de X (d) s il y a n tirages indépendants, quelle est la probabilité de n obtenir aucun absent? en déduire la probabilité d obtenir au moins un absent (e) combien de tirages faut-il faire au minimum pour que la probabilité d obtenir au moins un absent dépasse 95%

4 1.2 a retenir définition 1 Soit une situation où : on répète n fois une même expérience aléatoire l expérience aléatoire n a que deux issues possibles les n expériences aléatoires sont indépendantes succès : de probabilité p échec : de probabilité 1 p Soit X le nombre de succès parmi les n expériences on dit alors que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p et on note : X B(n;p) avec n 1 et p [0;1] propriété 1 (loi binomiale) Si X une variable aléatoire où X suit une loi binomiale de paramètres n et p (1) l ensemble des valeurs possibles de X est : {0, 1, 2,..., n} lors : (2) p(x = k) = C k n pk (1 p) n k où C k n(n 1)(n 2)...(n k +1) n = k(k 1)(k 2) k n Remarques : (a) les différentes valeurs de Cn k sont appelés les coefficients binomiaux (b) on note aussi Cn k = ( n) k avec par exemple : C 2 3 = ( 3) = = = 3 (c) en particulier on a : Cn 0 = ( n) 0 = 1 et Cn 1 = ( n 1) = n (pour tout entier naturel n) (d) pour des valeurs de n 4 on trouve la loi de probabilité de X en utilisant un arbre sans avoir à connaître la formule p(x = k) = Cn k p k (1 p) n k ci dessus p 1 p S S p 1 p p 1 p S S S S p 1 p p 1 p p 1 p p 1 p S : X = 3 p 3 S : X = 2 S : X = 2 p 2 (1 p) p 2 (1 p) S : X = 1 p(1 p) 2 S : X = 2 p 2 (1 p) S : X = 1 p(1 p) 2 S : X = 1 p(1 p) 2 S : X = 0 (1 p) 3 valeurs de X : x i Total probabilité p(x = x i ) : (1 p) 3 3p(1 p) 2 3p 2 (1 p) p 3 1

5 propriété 2 (espérance et écart type) Si X suit une loi binomiale de paramètres n N et p [0;1] avec q = 1 p alors la valeur moyenne (espérance) de X est E(X) = np et l écart type est σ = npq exemple : soit X le nombre de fois que l on a obtenu une Reine pour 4 tirages indépendants avec remise dans un jeu de 32 cartes. Les 3 conditions ci dessus sont vérifiées : on répète 4 fois une même expérience aléatoire les répétitions sont indépendantes deux issues contraires pour chaque expérience : succès : de probabilité 4 32 échec : de proba : q = = 2 32 donc, la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès, suit une loi binomiale de paramètres (n = 4,p = 4 32 ) avec : les valeurs possibles de X sont {,2,3,4} pour k allant de 0 à 4 p(x = k) = C4 k( 4 32 )k ( 2 32 )4 k et par exemple : p(x = 3) = C 3 4 ( 4 32 )3 ( )4 3 p(x = 3) = 4 ( 4 32 ) , 006 la valeur moyenne de X est E(X) = np = = 0,5 pour une série de 4 lancers on obtient en moyenne "0,5 fois la Reine" l écart type est : σ = npq = = 0, 4375

6 1.3 exercices exercice 1 : On joue à pile ou face avec une pièce de monnaie non équilibrée 50 fois de suite et de manières indépendantes. On considère que la probabilité de faire "pile" avec cette pièce est p(pile) = 0% Soit X le nombre de lancers parmi les 50 lancers où l on a obtenu le résultat "pile" 1. justifier que X suit une loi binomiale et donner ses paramètres 2. calculer les probabilités (a) d obtenir exactement 39 piles (b) d obtenir exactement 41 piles (c) d obtenir entre 39 et 41 piles (d) d obtenir au plus, 2 piles (e) d obtenir au moins, 2 piles 3. calculer E(X) et interpréter la valeur obtenue 4. calculer σ(x) 5. déterminer le nombre minimal de lancers à faire pour que la probabilité d obtenir au moins un pile dépasse 99,99% exercice 2 : Un élève répond au hasard et avec indépendance à chacune des dix questions d un Q.C.M. Pour chaque question, il y a trois propositions dont une seule est "bonne" Soit X le nombre de bonnes réponses obtenues par l élève (chaque question est sur un point) 1. justifier que X suit une loi binomiale et donner ses paramètres 2. calculer la probabilité que l élève obtienne exactement une bonne réponse 3. compléter le tableau suivant à 10 3 près k total p(x = k) 0, ,22 0,057 0,016 0, quelle est la probabilité que l élève ait la moyenne? 5. quelle est la probabilité que l élève n ait pas la moyenne? 6. calculer E(X) et interpréter cette valeur 7. combien faudrait-il de questions pour que la probabilité que l élève obtienne au moins une bonne réponse dépasse 99%? exercice 3 : On s intéresse, dans cet exercice, à la masse des pots de confitures produits dans une usine. On considère l événement : «un pot a une masse inférieure à 490 grammes». Une étude a permis d admettre que la probabilité de cet événement est 0,2. 1. On prélève au hasard 20 pots dans la production totale. On suppose que le nombre de pots est assez important pour que l on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20 pots avec indépendance. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 20 pots, associe le nombre de pots dont la masse est inférieure à 490 grammes. (a) expliquer pourquoi X suit une loi binomiale. En préciser les paramètres. (b) calculer la probabilité de l événement «parmi les 20 pots, il y a exactement 2 pots de masse inférieure à 490 grammes». (c) calculer la probabilité qu il y ait entre 1 et 3 pots de masses inférieures à 490 grammes. (d) calculer la probabilité qu il y ait au moins un pot de masse inférieure à 490 grammes. 2. Combien de pots faudrait-il prélever pour que la probabilité qu il y ait au moins un pot dont la masse est inférieure à 490 grammes soit d au moins 99%?

7 exercice 4 : Un garagiste choisit douze pneus au hasard dans son stock. On suppose que le stock de pneus est suffisamment important pour assimiler ce choix de douze pneus à un tirage avec remise de douze pneus. On sait que la probabilité pour qu un pneu pris au hasard ait un défaut est 0,065. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de douze pneus, associe le nombre de pneus de ce prélèvement qui présentent un défaut. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 2. Calculer la probabilité qu aucun pneu de ce prélèvement n ait un défaut. rrondir à Calculer la probabilité qu au plus deux des pneus choisis présentent un défaut. rrondir à est-il vrai que s il change les 4 pneus d une voiture, alors, il y a plus d une chance sur deux pour qu au moins un des pneus ait un défaut? (justifier) exercice 5 : un jeu consiste à lancer une fléchette n fois dans la cible ci dessous il faut payer 5e pour jouer si une personne tire au hasard dans cette cible, on suppose que chacun des petits carrés a la même probabilité d être atteint et que la fléchette atteint toujours un carré de la cible, on suppose de plus que les tirs sont indépendants chaque tir dans un carré hachuré rapporte 1e (0 sinon) Soit X le nombre de fois que l on gagne un euro pour une série de n lancers au hasard 1. quelles sont les valeurs possibles pour X? 2. quelle est la loi de probabilité de X? ( justifier) 3. (a) quelle est la probabilité de recevoir 5e pour 5 lancers? (b) combien reçoit t-on en moyenne pour 5 lancers? (c) quel est le gain moyen (recette - coût) pour 5 lancers? 4. (a) combien faut-il de lancers au hasard au minimum pour que le gain moyen soit positif? (b) pour une série de 17 lancers au hasard, quelle est la probabilité que le gain soit positif strict? ( à 1% près ) 5. (a) combien faut-il faire de lancers au hasard pour être sur à 99% de recevoir au moins 1e? (b) quel est alors le gain moyen? exercice 6 : une personne ayant trop bu fait indépendamment ou bien un pas (de 50cm ) en avant ou bien un pas (de 50cm ) en arrière avec une même probabilité 1. quelle est la probabilité qu après 10 pas, il soit à sont point de départ? 2. quelle est la probabilité qu après 10 pas, il ait avancé de 5 m? 3. ou se trouvent-il en moyenne après 10 pas? exercice 7 : combien de fois faut-il lancer une pièce équilibrée de manières indépendantes pour être pratiquement certain ( à 99,9%) de faire au moins une fois pile? 1. quelle loi suit la variable aléatoire X égal au nombre de piles parmi les n lancers? 2. déterminer n pour que p(x 1) 99,9% 3. conclure

8 1.4 corrigés exercices corrigé exercice 1 : 1. on répète 50 fois une même expérience aléatoire les répétitions sont indépendantes deux issues contraires pour chaque expérience : { succès : de probabilité 0, échec : q = 1 0, = 0,2 alors, la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès, suit une loi binomiale de paramètres (n = 50,p = 0,) { les valeurs possibles de X sont {,2,...,50} avec : de probabilités respectives : p(x = k) = C 50 k 0,k 0,2 50 k 2. probabilités (a) d obtenir exactement 39 piles : p(x = 39) = C ,39 0, (b) d obtenir exactement 41 : p(x = 41) = C ,41 0, (c) d obtenir entre 39 et 41 piles : p(39 X 41) = p(x = 39)+p(X = 40)+p(X = 41) p(39 X 41) = p(x = 39)+p(X = 40)+p(X = 41) ,403 (d) d obtenir au plus, 2 piles p(x 2) = p(x = 0)+p(X = 1)+p(X = 2) (e) d obtenir au moins, 2 piles p(x 2) = p(x = 2)+p(X = 3)+...+p(X = 50) (on passe au contraire) p(x 2) = 1 p(x 1) p(x 2) = 1 (p(x = 0)+p(X = 1)) p(x 2) 1 (0+0) p(x 2) 1 3. E(X) = n p = 50 0, 40 Sur les 50 lancers, en moyenne, on obtient 40 piles 4. σ(x) = npq = 50 0, 0,2 = 4 = 2

9 5. soit n le nombre minimal de lancers à faire pour que la probabilité d obtenir au moins un pile dépasse 99,99% on cherche n pour que p(x 1) 999 or p(x 1) = 1 p(x = 0) p(x 1) = 1 C 0 n 0, 0 0,2 n p(x 1) = ,2 n p(x 1) = 1 0,2 n il suffit de résoudre l inéquation suivante : 1 0,2 n ,2 n 0,0001 0,2 n ln(0,0001) ln(0,2 n ) ln(0,0001) nln(0,2) ln(0, 0001) ln(0, 2) n 5,72 n soit au moins 6 lancers

10 corrigé exercice 2 : 1. on répète 10 fois une même expérience aléatoire les répétitions sont indépendantes deux issues contraires pour chaque expérience : succès : de probabilité 1 3 échec : q = = 2 3 alors, la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès, suit une loi binomiale de paramètres (n = 10,p = 1 3 ) 2. probabilité que l élève obtienne exactement une bonne réponse p(x = 1) = C10 1 (1 3 )1 ( 2 3 )9 0,09 3. compléter le tableau suivant à 10 3 près k total p(x = k) 0,017 0, , 260 0,22 0, 137 0,057 0,016 0, probabilité que l élève ait la moyenne? p(x 5) 337+0,057+0,016+0,003 0,21 5. probabilité que l élève n ait pas la moyenne p(x < 5) 1 0,21 0,79 6. E(X) = n p = ,33 soit 3 points en moyenne 7. combien faudrait-il de questions pour que la probabilité que l élève obtienne au moins une bonne réponse dépasse 99%? on cherche n pour que p(x 1) 9 or p(x 1) = 1 p(x = 0) p(x 1) = 1 ( 2 3 )n il suffit de résoudre l inéquation suivante : 1 ( 2 3 )n ( 2 3 )n 0,01 ( 2 3 )n ln(0, 01) ln( 2 3 ) n n 11,35 soit au moins 12 avec le tableau de valeurs de la calculatrice : n ( 2 3 )n 92 comparaison à 0, 99 < 0, 99 > 0, 99

11 corrigé exercice 3 : 1. (a) on répète 20 fois une même expérience aléatoire les répétitions sont indépendantes deux issues contraires pour chaque expérience : { succès : de probabilité 0,2 échec : q = 1 0,2 = 0, alors, la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès, suit une loi binomiale de paramètres (n = 20,p = 0,2) les valeurs possibles de X sont {,2,...,20} avec : de probabilités respectives : p(x = k) = C 20 k 0,2k 0, 20 k (b) p(x = 2) = C20 2 0,22 0, (c) p(1 X 3) = p(x = 1)+p(X = 2)+p(X = 3) 0, ,2054 0, 3999 (d) p(x 1) = 1 p(x = 0) p(x 1) = 1 C20 0 0,20 0, 20 0 = 1 0, on cherche n pour que p(x 1) 9 or p(x 1) = 1 p(x = 0) p(x 1) = 1 0, n il suffit de résoudre l inéquation suivante : 1 0, n , n 0,01 0, n ln(0, 01) ln(0,) n n 20,63 soit au moins 21 avec le tableau de valeurs de la calculatrice : n , n 91 comparaison à 0, 99 < 0, 99 > 0, 99

12 corrigé exercice 4 : 1. on répète 12 fois une même expérience aléatoire les répétitions sont indépendantes deux issues contraires pour chaque expérience : { succès : de probabilité 0,065 échec : q = 1 0,065 = 35 alors, la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès, suit une loi binomiale de paramètres (n = 12,p = 0,065) les valeurs possibles de X sont {,2,...,12} de probabilités respectives : p(x = k) = C avec : 12 k 0,065k k 2. p(x = 0) = C12 0 0, , p(x 2) = p(x = 0)+p(X = 1)+p(X = 2) 0,4464+0, , on répète 4 fois une même expérience aléatoire les répétitions sont indépendantes deux issues contraires pour chaque expérience : { succès : de probabilité 0,065 échec : q = 1 0,065 = 35 alors, la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès, suit une loi binomiale de paramètres (n = 4,p = 0,065) les valeurs possibles de X sont {,2,3,4} de probabilités respectives : p(x = k) = C avec : 4 k 0,065k 35 4 k p(x 1) = 1 C4 0 0, = , 2357 ce qui est inférieur à 0,5 la réponse est donc faux

13 corrigé exercice 5 : un jeu consiste à lancer une fléchette n fois dans la cible ci dessous il faut payer 5e pour jouer si une personne tire au hasard dans cette cible, on suppose que chacun des petits carrés a la même probabilité d être atteint et que la fléchette atteint toujours un carré de la cible, on suppose de plus que les tirs sont indépendants chaque tir dans un carré hachuré rapporte 1e (0 sinon) Soit X le nombre de fois que l on gagne un euro pour une série de n lancers au hasard 1. valeurs possibles pour X : X {,2,...,n} on répète n fois une même expérience aléatoire les répétitions sont indépendantes 2. { deux issues contraires pour chaque expérience : succès : de probabilité = 0,3 échec : q = 1 0,3 = 0,7 alors, la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès, suit une loi binomiale de paramètres (n,p = 0,3) 3. (a) probabilité de recevoir 5e pour 5 lancers : X suit une loi B(n = 5,p = 0,3) donc p(x = 5) = C5 5 0,35 0,7 0 0, (b) combien reçoit t-on en moyenne pour 5 lancers? : E(X) = np = 5 0,3 = 1,5e (c) quel est le gain moyen (recette - coût) pour 5 lancers? G = 1,5 5 = 3,5e 4. (a) combien faut-il de lancers au hasard au minimum pour que le gain moyen soit positif? on cherche n pour que G > 0 n 0,3 5 > 0 n > 5 ( 16,66) 0,3 soit au moins 17 lancers (b) pour une série de 17 lancers au hasard, quelle est la probabilité que le gain soit positif strict? ( à 1% près ) G > 0 X > 5 p(x > 5) = 1 p(x 5) p(x > 5) = 1 [p(x = 0)+p(x = 1)+p(x = 2)+p(x = 3)+p(x = 4)+p(x = 5)] p(x > 5) 1 [0, ,0169+0, ,201] p(x > 5) 1 0,5967 0, 4033

14 5. (a) combien faut-il faire de lancers au hasard pour être sur à 99% de recevoir au moins 1e? on cherche n pour que p(x 1) 9 or p(x 1) = 1 p(x = 0) p(x 1) = 1 C 0 n 0,3 0 0,7 n il suffit de résoudre l inéquation suivante : 1 0,7 n ,7 n 0,01 0,7 n ln(0, 01) ln(0,7) n n 12,9 soit au moins 13 lancers (b) quel est alors le gain moyen? np ,3 5 np 5 1,1 le gain est d au moins 1,1e

15 corrigé exercice 6 : une personne ayant trop bu fait indépendamment ou bien un pas (de 50cm ) en avant ou bien un pas (de 50cm ) en arrière avec une même probabilité 1. quelle est la probabilité qu après 10 pas, il soit à sont point de départ? soit X le nombre de pas en avant effectués après 10 pas on répète 10 fois une même expérience aléatoire les répétitions sont indépendantes deux issues contraires pour chaque expérience : { succès : de probabilité 0,5 échec : q = 1 0,5 = 0,5 alors, la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès, suit une loi binomiale de paramètres (n = 10,p = 0,5) p(x = 5) = C10 5 0,55 0,5 5 0, quelle est la probabilité qu après 10 pas, il ait avancé de 5 m? p(x = 10) = C ,510 0,5 0 0, ou se trouvent-il en moyenne après 10 pas? E(X) = np = 10 0,5 = 5 il fait donc en moyenne 5 pas en avant, donc 5 pas en arrière, il est donc au point de départ

16 1.5 anabac

17 exercice 1 : Baccalaurat ES Liban 31 mai 2010 Pour chacune des questions, une seule des réponses, B, C ou D est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. ucune justification n est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L absence de réponse ne rapporte aucun point et n en enlève aucun. Si le total des points est négatif la note est ramenée à et B sont deux événements indépendants et on sait que p() = 0,5 et p(b) = 0,2 La probabilité de l événenement B est égale à : Réponse : Réponse B : 0,7 Réponse C : 0,6 Réponse D : on ne peut pas savoir 2. Dans un magasin, un bac contient des cahiers soldés. On sait que 50 % des cahiers ont une reliure spirale et que 75 % des cahiers sont grands carreaux. Parmi les cahiers grands carreaux, 40 % ont une reliure spirale. dèle choisit au hasard un cahier à reliure spirale. La probabilité qu il soit grands carreaux est égale à : Réponse : 0,3 Réponse B : 0,5 Réponse C : 0,6 Réponse D : 0,75 Dans les questions 3. et 4., on suppose que dans ce magasin, un autre bac contient une grande quantité de stylos-feutres en promotion. On sait que 25 % de ces stylos-feutres sont verts. lbert prélève au hasard et de manière indépendante 3 stylos-feutres. 3. La probabilité, arrondie à 10 3, qu il prenne au moins un stylo-feutre vert est égale à : Réponse : 0,250 Réponse B : 0,422 Réponse C : 0,57 Réponse D : 4 4. La probabilité, arrondie 10 3, qu il prenne exactement 2 stylos-feutres verts est égale à : Réponse : 0,047 Réponse B : 0,063 Réponse C : 41 Réponse D : 0, Quel nombre minimal de stylos doit-il prendre au hasard pour que la probabilité qu il ait au moins 1 stylo-feutre vert soit au moins égale à 95%? Réponse : 10 Réponse B : 11 Réponse C : 12 Réponse D : Un jeu consiste lancer une fois un dé cubique non pipé dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Un joueur donne 3 euros pour participer à ce jeu. Il lance le dé et on lit le numéro inscrit sur la face supérieure de ce dé : si le numéro est 1, le joueur reçoit 10 euros, si le numéro est 2 ou 4, il reçoit 1 euro, sinon, il ne reçoit rien. à ce jeu, l espérance mathématique du gain algébrique, exprimée en euros, est : Réponse : 0 Réponse B : 1 Réponse C : -1 Réponse D : -2

18 corrigé exercice 1 : Baccalaurat ES Liban 31 mai et B sont deux événements indépendants donc p( B) = p() p(b) = et comme p( B) = p()+p(b) p( B) = 0,5+0,2 = 0,6 Réponse C 2. en appelant S l événement «Le cahier est spirale» et C l événement «Le cahier est gros carreaux» on a : 0,40 S 0,75 C 0,60 S p S (C) = 0,25 p(s C) P(S) C S S = P(C) P C(S) P(S) = 0,75 0,4 0,5 = 0,6 Réponse C 3. La loi numérique correspondant au nombre X de stylos-feutres verts est une loi binomiale. Il faut faire un arbre : 0,25 V X = 3 : 0,25 3 0,25 V 0,25 0,75 V V 0,75 V X = 2 : 0,252 0,75 0,25 V X = 2 0,75 V X = 1 : 0,25 0,752 0,25 V X = 2 0,25 V 0,75 0,75 V X = 1 V 0,75 0,25 V X = 1 V 0,75 V X = 0 : 0,75 3 On cherche la probabilité de l événement contraire de «On a obtenu aucun stylo vert» donc Réponse C p(x 1) = 1 p(x = 0) = 1 0,75 3 0,57 4. Sur l arbre, il y a trois chemins de même probabilité qui donnent 2 stylos verts donc Réponse C p(x = 2) = 3 0,25 2 0, on cherche le nombre de tirages n tel que p(x 1) 0, ,75 n 5 n ln(1 5) n 11 ln(0, 75) Réponse B

19 x i total 6. la loi de probabilité de X est : p i 3 6 = 0,5 2 6 = E(X) = 3 0,5+( 2) = 1 Réponse C

20 exercice 2 : ntilles Guyane 1 juin 2010 Un bijoutier propose des perles de culture pour fabriquer des bijoux. Il dispose dans son stock de deux types de couleurs : les perles argentées et les perles noires. Chacune de ces perles a : soit une forme dite sphérique; soit une forme dite équilibrée; soit une forme dite baroque. On sait que dans son stock, 44 % des perles sont équilibrées, deux cinquièmes sont baroques et les autres sont sphériques. De plus, 60 % des perles sont argentées dont 15 % sont sphériques et la moitié sont baroques. i. Recopier le tableau des pourcentages ci-dessous et le compléter à l aide des données de l énoncé (on ne demande pas de justification). rgentée Sphérique équilibrée Baroque Total Noire Total 100 % ii. Le bijoutier choisit une perle du stock au hasard. On suppose que chaque perle a la mème probabilité d être choisie. On note : l événement : «la perle est argentée» ; N l événement : «la perle est noire» ; S l événement : «la perle est de forme sphérique» ; E l événement : «la perle est de forme équilibrée» ; B l événement : «la perle est de forme baroque». Toutes les probabilités seront données sous forme décimale exacte.. Quelle est la probabilité que le bijoutier choisisse une perle de forme baroque? B. Quelle est la probabilité que le bijoutier choisisse une perle noire de forme équilibrée? C. Déterminer la probabilité de l événement B puis interpréter ce résultat. D. Le bijoutier a choisi une perle de forme baroque. Quelle est la probabilité qu elle ne soit pas argentée? iii. Pour une création de bijou original, le bijoutier choisit dans son stock quatre perles au hasard et de manières indépendantes. On admet que le nombre de perles est suffisamment grand pour que le choix d une perle soit assimilé à un tirage avec remise.. Calculer la probabilité qu aucune des quatre perles choisies ne soit argentée. B. Calculer la probabilité qu il y ait au moins une perle sphérique parmi les quatre perles choisies (donner une valeur approchée de ce résultat à 10 3 près).

21 corrigé exercice 2 : ntilles Guyane 1 juin 2010 i. tableau des pourcentages Sphérique équilibrée Baroque Total rgentée 9% 21% 30% 60% Noire 7% 23% 10% 40% Total 16% 44% 40% 100 % ii. Le bijoutier choisit une perle du stock au hasard. On suppose que chaque perle a la mème probabilité d être choisie. Toutes les probabilités seront données sous forme décimale exacte.. probabilité que le bijoutier choisisse une perle de forme baroque : p(b) = 0,4 B. probabilité que le bijoutier choisisse une perle noire et équilibrée : p(n E) = 0,23 C. p( B) = 0,6+0,4 0,3 = 0,7 interprétation probabilité que le bijoutier choisisse une perle argentée ou de forme équilibrée D. Le bijoutier a choisi une perle de forme baroque. probabilité qu elle ne soit pas argentée : p B () = p( B) = p(b) 0,4 = 0,25 iii. Pour une création de bijou original, le bijoutier choisit dans son stock quatre perles au hasard et de manières indépendantes. On admet que le nombre de perles est suffisamment grand pour que le choix d une perle soit assimilé à un tirage avec remise.. probabilité qu aucune des quatre perles choisies ne soit argentée. p(x = 0) = 0,4 4 0,0256 B. probabilité qu il y ait au moins une perle sphérique parmi les quatre perles choisies ( à 10 3 près). p(y 1) = 1 0,4 4 0,502

22 exercice 3 : (72 page 134) un jeu est tel qu on lance une balle sur une plaque comportant un trou en son centre. si la plaque n est pas atteinte, la balle est ramenée. si la plaque est atteinte, soit la balle est "avalée" soit elle reste sur la plaque la probabilité d atteindre la plaque est de 30% lorsque la plaque est atteinte, la probabilité que la balle soit avalée est de 20% 1. construire un arbre de probabilité associé à cette situation 2. a. calculer la probabilité que la balle soit avalée b. calculer la probabilité que la balle reste sur la plaque 3. on paie 0,5 euros pour jouer si la balle est avalée on gagne g euros si la balle reste sur la cible on est remboursé si la balle rate la cible, on perd la mise déterminer la loi de probabilité du gain G 4. a. montrer que l espérance du gain G est : E = 0, 06g 0, 3 b. pour quelle valeur de g peut-on espérer un bénéfice?

23 corrigé exercice 3 : (72 page 134) 1. arbre de probabilité associé à cette situation 0,3 C 0,2 0,0 B B 0,7 C 0 1 B B 2. a. probabilité que la balle soit avalée : p(b) = p(c B)+p(C B) = 0,3 0,2+0 = 0,06 b. probabilité que la balle reste sur la plaque : p(b) = p(c B) = 0,3 0, = 0,24 x i 0,5 0 g 0,5 total 3. loi de probabilité du gain G : p i 0,7 0,24 0, a. espérance du gain G : E = 0,5 0,7+0 0,24+0,06 (g 0,5) = 0,06g -0,3 b. valeur de g pour espérer faire un bénéfice : 0,06g 0,3 > 0 g > 0,3 0,06 soit au moins 6,34 euros

24 1.6 travaux pratiques algorithme et loi binomiale

25 lgorithme et loi binomiale Pour une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale de paramètres n N et p [0;1] On veut obtenir la valeur de la probabilité suivante : p(x = k) = C k n p k (1 p) n k quand on entre les valeurs de n,p et k 1. algorithme et programmes : (a) compléter l algorithme suivant algorithme Début //Variables n,p,k,r //Entrées demander à l utilisateur la valeur de... demander à l utilisateur la valeur de... demander à l utilisateur la valeur de... //Initialisations //Traitements affecter à... la valeur... //Sortie afficher... Fin (b) recopier un des programmes suivants dans votre calculatrice programme pour TI disp "N" input N disp "P" input P disp "K" input K NnCrK P K (1 P) (N K) R disp "p(k)" disp R programme pour CSIO "N" :? N "P" :? P "K" :? K NCK P K (1 P) (N K) R "P(K)" R 2. utiliser le programme de la calculatrice pour déterminer les réponses aux questions suivantes (a) X suit une loi binomiale B(2;0,5) i. calculer p(x = 0) =... ii. calculer p(x = 1) =... iii. calculer p(x = 2) =... iv. calculer p(x = 3) =... (b) on lance 10 fois de suite un dé équilibré à 6 faces (on suppose l indépendance des lancers) X est le nombre de fois que l on a obtenu le score 6 i. préciser la loi de probabilité suivie par X? :... ii. calculer la probabilité d obtenir 10 fois le score 6 :... iii. calculer la probabilité d obtenir 0 fois le score 6 :... iv. quel est le "nombre de fois 6" le plus probable? :... quelle est sa probabilité? :... v. combien de fois faut-il lancer le dé pour que la probabilité d obtenir 0 fois le score 6 passe en dessous de 1%? :... (c) combien de fois lancer une pièce de monnaie équilibrée pour que la probabilité d obtenir au moins une fois "pile" dépasse 99,9%? :...

Variables aléatoires réelles Loi de probabilité Espérance Variance

Variables aléatoires réelles Loi de probabilité Espérance Variance Variables aléatoires réelles Loi de probabilité Espérance Variance Table des matières 1 généralités sur les variables aléatoires 2 1.1 activités.............................................. 2 1.2 a retenir.............................................

Plus en détail

1. On désigne par A et B deux évènements indépendants d un univers muni d une loi de probabilité p.

1. On désigne par A et B deux évènements indépendants d un univers muni d une loi de probabilité p. 2011 Pondichéry ex 3 (5 pts) Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous. On suppose que les lancers sont indépendants

Plus en détail

Variables aléatoires discrètes

Variables aléatoires discrètes BTS CGO Variables aléatoires discrètes 203/204 Variables aléatoires discrètes Table des matières I Variable aléatoire 2 I. Notion de variable aléatoire discrète................................ 2 I.2 Loi

Plus en détail

Corrigés des exercices : Variables aléatoires, lois classiques

Corrigés des exercices : Variables aléatoires, lois classiques Chapitre 4 Corrigés des exercices : Variables aléatoires, lois classiques. * Soit X une v.a.r. discrète prenant les valeurs, 4, et 6. Déterminer la loi de probabilité dex sachant que: P ([X

Plus en détail

Sujets. Formulaire. mars Nouvelle-Calédonie. mai Amérique du nord. juin Antilles-Guyane. novembre Nouvelle-Calédonie

Sujets. Formulaire. mars Nouvelle-Calédonie. mai Amérique du nord. juin Antilles-Guyane. novembre Nouvelle-Calédonie PROAILITÉS Sujets mars 2012 mai 2012 juin 2012 novembre 2012 Nouvelle-Calédonie Amérique du nord Antilles-Guyane Nouvelle-Calédonie Formulaire PROAILITÉS 1 Nouvelle-Calédonie mars 2012. EXERCICE 2 On dispose

Plus en détail

Probabilités conditionnelles et variables aléatoires

Probabilités conditionnelles et variables aléatoires Probabilités conditionnelles et variables aléatoires Métropole juin 2012 Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante. Le cabinet

Plus en détail

On peut représenter la situation par un arbre : On a donc p(b 1 B 2)= p(b 1) p (B ) = 3 4 = 3.

On peut représenter la situation par un arbre : On a donc p(b 1 B 2)= p(b 1) p (B ) = 3 4 = 3. Exercice n 1 : Une urne contient au départ 0 boules blanches et 10 boules noires indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule de l urne : Si la boule est blanche, on la remet dans l urne et on

Plus en détail

Session 2012 Exercice 1 10 points A. Probabilités conditionnelles. B. Loi binomiale. C. Approximation d une loi binomiale par une loi normale.

Session 2012 Exercice 1 10 points A. Probabilités conditionnelles. B. Loi binomiale. C. Approximation d une loi binomiale par une loi normale. Session 0 Exercice 0 points Un garagiste a acheté 70 % de son stock de pneus à un premier fournisseur et 30 % à un deuxième fournisseur. Il observe que : 5 % des pneus provenant du premier fournisseur

Plus en détail

Chapitre V : Probabilité : conditionnement et indépendance

Chapitre V : Probabilité : conditionnement et indépendance Chapitre V : Probabilité : conditionnement et indépendance A- Variables aléatoires et lois de probabilités I Loi d une variable aléatoire 1) Définition d une variable aléatoire Exemple : Un jeu de hasard

Plus en détail

Chapitre 7 : Variables aléatoires discrètes

Chapitre 7 : Variables aléatoires discrètes STS Variables aléatoires discrètes 2009/200 Chapitre 7 : Variables aléatoires discrètes Table des matières I Variable aléatoire I. Notion de variable aléatoire discrète................................

Plus en détail

T ale S Exercices type bac de Probabilités. Mars 12. Exercice n 1 : Exercice n 2 : p (B ).

T ale S Exercices type bac de Probabilités. Mars 12. Exercice n 1 : Exercice n 2 : p (B ). Exercice n 1 : Une urne contient au départ 30 boules blanches et 10 boules noires indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule de l urne : Si la boule est blanche, on la remet dans l urne et

Plus en détail

de la variable aléatoire X est l'événement noté ( X = x i ).

de la variable aléatoire X est l'événement noté ( X = x i ). I. Variable aléatoire : Loi de probabilité et espérance 1. Variable aléatoire discrète On considère l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire. Définir une variable aléatoire X sur cet ensemble,

Plus en détail

Chapitre 12 : Exercices BAC Terminale S, 2014, Lycée Lapérouse

Chapitre 12 : Exercices BAC Terminale S, 2014, Lycée Lapérouse Chapitre 12 : Exercices BAC Terminale S, 2014, Lycée Lapérouse Exercice 1. Calédonie 2011 Une grande entreprise dispose d un vaste réseau informatique. On observe le temps de fonctionnement normal séparant

Plus en détail

Baccalauréat STMG Antilles Guyane 12 septembre 2014 Correction

Baccalauréat STMG Antilles Guyane 12 septembre 2014 Correction urée : 3 heures Baccalauréat STMG Antilles Guyane 12 septembre 2014 Correction EXERCICE 1 5 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, quatre réponses sont

Plus en détail

Loi normale. Pondichéry, 16 avril 2013

Loi normale. Pondichéry, 16 avril 2013 Loi normale Pondichéry, 16 avril 213 Dans une entreprise, on s intéresse à la probabilité qu un salarié soit absent durant une période d épidémie de grippe. Un salarié malade est absent La première semaine

Plus en détail

Sujet C p315 livre Centres étrangers juin Nouvelle Calédonie Novembre points annales 50p190

Sujet C p315 livre Centres étrangers juin Nouvelle Calédonie Novembre points annales 50p190 Antilles septembre 20 Les parties A et B sont indépendantes Un site internet propose des jeux en ligne. Partie A Pour un premier jeu : * si l internaute gagne une partie, la probabilité qu il gagne la

Plus en détail

Baccalauréat ES Liban 31 mai 2010

Baccalauréat ES Liban 31 mai 2010 Baccalauréat ES Liban 31 mai 2010 Exercice 1 4 points Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B, C ou D est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant

Plus en détail

Correction du bac blanc N 1

Correction du bac blanc N 1 Exercice I : QCM. ( 4 points ) Correction du bac blanc N 1 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre

Plus en détail

Correction Bac Blanc de juin : Liban 31 mai 2010 TES

Correction Bac Blanc de juin : Liban 31 mai 2010 TES Correction Bac Blanc de juin : Liban 31 mai 2010 Modalités : Durée de l épreuve : 3 heures ; Calculatrice autorisée ; Répondre sur votre copies) et non sur le présent sujet, sauf l annexe à remettre ;

Plus en détail

TS Loi normale : annales Enoncés

TS Loi normale : annales Enoncés Année 2014/2015 TS Loi normale : annales Enoncés Exercice 1 (Pondichéry - Avril 2013) Dans une entreprise, on s intéresse à la probabilité qu un salarié soit absent durant une période d épidémie de grippe.

Plus en détail

Loi Binomiale. 1 dénombrement et coefficients binomiaux 2 1.1 activité... 2 1.2 a retenir... 3 1.3 exercices... 4 1.4 corrigés exercices...

Loi Binomiale. 1 dénombrement et coefficients binomiaux 2 1.1 activité... 2 1.2 a retenir... 3 1.3 exercices... 4 1.4 corrigés exercices... Loi Binomiale Table des matières 1 dénombrement et coefficients binomiaux 2 1.1 activité............................................... 2 1.2 a retenir............................................. 3 1.3

Plus en détail

1 Probabilités-Rappel

1 Probabilités-Rappel Chapitre Probabilités sur un ensemble fini-variable aléatoire 1 Probabilités-Rappel On lance un dé non truqué à six faces numérotées de 1 à 6 et on note le nombre figurant sur la face supérieure du dé.

Plus en détail

Chapitre III : Probabilités discrètes

Chapitre III : Probabilités discrètes Chapitre III : Probabilités discrètes Extrait du programme : I. Rappels a. Définitions Prop 1 : Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Prop 2 Si A est l événement certain, p(a) = 1. Si A est

Plus en détail

DEVOIR SURVEILLE de MATHEMATIQUES 3 heures

DEVOIR SURVEILLE de MATHEMATIQUES 3 heures Terminale ES13 Février 014 EVOIR SURVEILLE de MATHEMATIQUES 3 heures Eercice 1 : 5 points Le parc informatique d un lycée est composé de 00 ordinateurs dont : 30 sont considérés comme neufs ; 90 sont considérés

Plus en détail

Sujet + Corrigé. Correction Réalisée SUJET 3 ANTILLES - GUYANE BAC ES ANNALES MATHÉMATIQUES BAC ES PROBABILITÉS alainpiller.

Sujet + Corrigé. Correction Réalisée SUJET 3 ANTILLES - GUYANE BAC ES ANNALES MATHÉMATIQUES BAC ES PROBABILITÉS alainpiller. Sujet + Corrigé ANNALES MATHÉMATIQUES BAC ES PROBABILITÉS - 2014 SUJET 3 ANTILLES - GUYANE BAC ES - 2014 Correction Réalisée Par Alain PILLER alainpiller.fr Sujets Bac Maths 2014 Annales Mathématiques

Plus en détail

Probabilités. Exemple d application 1 : On effectue un lancé de dé à six faces, numérotées de 1 à 6. On définie les quatre événements suivants :

Probabilités. Exemple d application 1 : On effectue un lancé de dé à six faces, numérotées de 1 à 6. On définie les quatre événements suivants : I- Définitions et propriétés Probabilités Exemple d application 1 : On effectue un lancé de dé à six faces, numérotées de 1 à 6. On définie les quatre événements suivants : E 1 : Avoir un chiffre pair

Plus en détail

Ch 07 Probabilités. Exemple Reprendre l exemple précédent et définir la loi de probabilité de X.

Ch 07 Probabilités. Exemple Reprendre l exemple précédent et définir la loi de probabilité de X. Ch 07 Probabilités I VARIABLE ALEATOIRE ET LOI DE PROBABILITE I.1 - d une variable aléatoire On appelle variable aléatoire discrète toute application X de Ω dans IR. L ensemble des valeurs prises par X,

Plus en détail

TES/TL spé maths Eléments de correction du Bac Blanc n 1 Jeudi 18 décembre 2014

TES/TL spé maths Eléments de correction du Bac Blanc n 1 Jeudi 18 décembre 2014 TES/TL spé maths Eléments de correction du Bac Blanc n Jeudi 8 décembre 4 Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. Exercice. (5 points) Le barème est noté sur points. Partie : Fonctions

Plus en détail

Probabilité, variable aléatoire. Loi binomiale

Probabilité, variable aléatoire. Loi binomiale DERNIÈRE IMPRESSION LE 9 juin 05 à 9:0 Probabilité, variable aléatoire. Loi binomiale Table des matières Loi de probabilité. Conditions préalables............................ Définitions..................................

Plus en détail

Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2013 Corrigé

Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2013 Corrigé Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2013 Corrigé A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. Comme il y a équiprobabilité, pour la première roue, la probabilité que le repère

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. Session 2016 MATHÉMATIQUES. - Série ES - ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ. Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 7

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. Session 2016 MATHÉMATIQUES. - Série ES - ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ. Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 7 Le corrigé sur www.math93.com BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 2016 MATHÉMATIQUES - Série ES - ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 7 Les calculatrices électroniques de poche

Plus en détail

Exercices type bac. Exercice 1: Partie A. On considère la fonction f définie sur [0 ; 8] par :

Exercices type bac. Exercice 1: Partie A. On considère la fonction f définie sur [0 ; 8] par : Exercice 1: Partie A Exercices type bac On considère la fonction f définie sur [0 ; 8] par : f(x) = ( 4x +5 ) e x +3 On note (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal. On

Plus en détail

Baccalauréat ES Antilles Guyane 19 juin 2014

Baccalauréat ES Antilles Guyane 19 juin 2014 Durée : 3 heures Baccalauréat ES Antilles Guyane 19 juin 2014 EXERCICE 1 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses

Plus en détail

Chapitre 16. Le schéma de Bernoulli

Chapitre 16. Le schéma de Bernoulli Chapitre 16. Le schéma de Bernoulli On rappelle ici les différents résultats établies en première concernant le schéma de Bernoulli et le loi binomiale. Description d une épreuve de Bernoulli. Une épreuve

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. Session 2015 MATHÉMATIQUES. - Série ES - ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ. Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 7

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. Session 2015 MATHÉMATIQUES. - Série ES - ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ. Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 7 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 2015 MATHÉMATIQUES - Série ES - ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 7 Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément

Plus en détail

Problèmes. Une fabrique de desserts glacés dispose d une chaîne automatisée pour remplir et emballer des cônes de glaces.

Problèmes. Une fabrique de desserts glacés dispose d une chaîne automatisée pour remplir et emballer des cônes de glaces. Problèmes Une fabrique de desserts glacés dispose d une chaîne automatisée pour remplir et emballer des cônes de glaces. Exercice 1 Partie A Chaque cône est rempli avec de la glace à la vanille. On désigne

Plus en détail

Exercices sur la loi binomiale

Exercices sur la loi binomiale Exercices sur la loi binomiale Christian CYRILLE 1 août 201 "Si le monde était vraiment gouverné par le hasard, il n y aurait pas autant d injustices. Car le hasard est juste." Ferdinando Galiani 1 Exercice

Plus en détail

Bac Blanc n 2 de Mathématiques du Lundi 8 Avril 2013 Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé.

Bac Blanc n 2 de Mathématiques du Lundi 8 Avril 2013 Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. TES/spé TL Nom : Bac Blanc n 2 de Mathématiques du Lundi 8 Avril 2013 Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. Vous apporterez un grand soin à la présentation et à la rédaction de votre

Plus en détail

T STI SIN Loi normale 05/04/2013 Lycée Don Bosco

T STI SIN Loi normale 05/04/2013 Lycée Don Bosco A. Un peu d intuition, un peu de simulation Trois personnes choisissent chacune au hasard et indépendamment l une de l autre un nombre réel compris entre 0 et 1. On appelle I 1, I 2 et I 3 les nombres

Plus en détail

Exercices supplémentaires : Probabilités

Exercices supplémentaires : Probabilités Exercices supplémentaires : Probabilités Partie A : Probabilités simples et variables aléatoires On lance trois dés : un rouge, un bleu et un vert. On écrit un nombre de trois chiffres : le chiffre des

Plus en détail

BACCALAUREAT BLANC MATHEMATIQUES. Série S ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7

BACCALAUREAT BLANC MATHEMATIQUES. Série S ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 BACCALAUREAT BLANC MATHEMATIQUES Série S ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 Ce sujet comporte 5 pages numérotées de à 5 Les calculatrices sont autorisées conformément

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat ES/L Liban 31 mai 2016

Corrigé du baccalauréat ES/L Liban 31 mai 2016 Corrigé du baccalauréat ES/L Liban 31 mai 2016 A. P. M. E. P. Exercice 1 Commun à tous les candidats 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Une réponse exacte rapporte un point.

Plus en détail

I. Variable aléatoire discrète

I. Variable aléatoire discrète I. Variable aléatoire discrète a. Epreuve de Bernoulli Définition : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : pile ou face, oui ou non, gagner ou perdre, etc. On notera S le

Plus en détail

Chiffre Probabilité

Chiffre Probabilité Exercice - Révisions () PREMIÈRE S - EXERCICES CHAP. 6 : PROBABILITÉS () FICHE Exercice - Révisions () On fait tourner une roue de loterie. La flèche indique le chiffre sur lequel elle s arrête au hasard.

Plus en détail

PROBABILITES ET COMBINAISONS EXERCICES

PROBABILITES ET COMBINAISONS EXERCICES S EXERIES On considère un jeu de cartes. On tire simultanément huit certes du jeu. Quelle est la probabilité des évènements suivants : A «obtenir exactement un valet» B «obtenir exactement trois cœurs»

Plus en détail

,5. 3. En déduire une valeur approchée au dixième de la valeur moyenne de la fonction g sur l intervalle [ 85 ; 110 ].

,5. 3. En déduire une valeur approchée au dixième de la valeur moyenne de la fonction g sur l intervalle [ 85 ; 110 ]. Exercice 1 (12 points) L'objectif de cet exercice est d utiliser une modélisation du pourcentage de bacheliers en France entre 1951 et 19 puis d en bâtir une deuxième sur la période allant de 19 à 2010.

Plus en détail

Exercice III : Partie A

Exercice III : Partie A TES. Exercices de probabilités données en 2007. Exercice I : mateur de sudoku (jeu consistant à compléter une grille de nombres), Pierre s entraîne sur un site internet. 0 % des grilles de sudoku qui y

Plus en détail

Corrigé entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2016 Samedi 20 février 2016 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h.

Corrigé entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2016 Samedi 20 février 2016 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h. Corrigé entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIERSITAIRE 206 Samedi 20 février 206 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h A. P. M. E. P. Les calculatrices sont autorisées. Problème La partie A est

Plus en détail

Dans un lycée qui ne reçoit pas d interne, la répartition de 895 élèves se fait de la manière suivante :

Dans un lycée qui ne reçoit pas d interne, la répartition de 895 élèves se fait de la manière suivante : TES Correction des exercices Probabilités (5). Dans cette série d exercices on a parfois noté P(A B) la probabilité conditionnelle de A sachant B. La notation P B (A) est donc parfois remplacée par la

Plus en détail

variables aléatoires

variables aléatoires variables aléatoires Table des matières 1 q.c.m préliminaire 3 1.1 énoncé............................................... 3 1.2 réponses............................................. 5 2 généralités sur

Plus en détail

Chapitre 3 wicky-math.fr.nf Variable Aléatoire

Chapitre 3 wicky-math.fr.nf Variable Aléatoire EXERCICES : VARIABLE ALÉATOIRE I. Activité de cours Exercice 1. L éducation coûte trop cher. Afin de réaliser des économies, le gouvernement syldave a décidé de se passer à la fois de correcteurs et d

Plus en détail

Propriétés : Si X suit la loi binomiale B(n,p) alors E(X) = np, V(X) = np(1-p)

Propriétés : Si X suit la loi binomiale B(n,p) alors E(X) = np, V(X) = np(1-p) Loi binomiale : RAPPEL DE COURS Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues possibles : «Succès» et «Echec». Si on note p la probabilité d un succès, alors la probabilité d un échec

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Liban 27 mai 2015

Baccalauréat ES/L Liban 27 mai 2015 Durée : 3 heures Baccalauréat ES/L Liban 27 mai 2015 A. P. M. E. P. Exercice 1 Commun à tous les candidats 4 points Pour chacune des situations suivantes, déterminer si elle est vraie ou faussent justifier

Plus en détail

Devoir en temps libre

Devoir en temps libre Exercice :Contrôles à la chaîne Devoir en temps libre Un fabricant d écrans teste une première fois ses appareils à la sortie de la chaîne de fabrication. Si le test est positif, il expédie l écran chez

Plus en détail

Brevet de technicien supérieur Opticien lunetier 12 mai 2016

Brevet de technicien supérieur Opticien lunetier 12 mai 2016 Brevet de technicien supérieur Opticien lunetier 12 mai 2016 A. P. M. E. P. Exercice 1 10 points Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante A. Étude d une série statistique

Plus en détail

Un peu de probabilités et de statistiques

Un peu de probabilités et de statistiques Un peu de probabilités et de statistiques Sandrine Caruso 29 mars 2009 1 Les coefficients binomiaux Exercice 1. Une urne contient 6 boules numérotées de 1 à 6. On en tire 2 au hasard. Combien y a-t-il

Plus en détail

3. Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On tire simultanément k boules (k n) dans cette urne. Le nombre de tirages possibles est.

3. Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On tire simultanément k boules (k n) dans cette urne. Le nombre de tirages possibles est. Université des Sciences Sociales et de Gestion de Bamao (USSGB) Faculté des Sciences Economiques et Gestion (FSEG) Statistiques mathématiques Travaux dirigés fiche N 0 1 Exercice 1 Il ya au moins une réponse

Plus en détail

Variables aléatoires discrètes

Variables aléatoires discrètes Marino Alexandre Feuille d exercices 20 Massena ECS Variables aléatoires discrètes Les exercices à regarder sont mentionnés par une *. Loi de probabilité et fonction de répartition (*)Exercice : Une urne

Plus en détail

BACCALAUREAT GENERAL MATHEMATIQUES ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

BACCALAUREAT GENERAL MATHEMATIQUES ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE BACCALAUREAT GENERAL Avril 2011 MATHEMATIQUES - Série ES - ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément

Plus en détail

C C Total. Total 100. Solution: 8% des articles ne sont pas conformes aux normes donc p(c) = 0, 08 On a donc : C C Total

C C Total. Total 100. Solution: 8% des articles ne sont pas conformes aux normes donc p(c) = 0, 08 On a donc : C C Total S DS n o Durée :60mn Exercice ( 8 points ) Une entreprise fabrique un article qui doit répondre à des normes précises. On considère que 8 % des articles produits ne sont pas conformes aux normes. Un test

Plus en détail

TES BAC BLANC 2013 durée 3h. f(x) = 100xe x + 1

TES BAC BLANC 2013 durée 3h. f(x) = 100xe x + 1 TES BAC BLANC 2013 durée 3h Exercice 1 ( 4,5 points ) Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des trois questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.

Plus en détail

BAC BLANC Terminales ES 123 CORRIGÉ

BAC BLANC Terminales ES 123 CORRIGÉ BAC BLAC Terminales ES 23 Epreuve de mathématiques CORRIGÉ Exercice VRAI FAUX points Soit la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; + [ par ère affirmation : ( ) ( ( )) D où L affirmation est VRAIE Mars

Plus en détail

Objectifs et pré-requis

Objectifs et pré-requis 8. Loi binomiale et échantillonnage Objectifs et pré-requis On introduit dans ce chapitre la répétition d épreuves identiques et indépendantes. Le cas particulier des expériences à deux issues permet d

Plus en détail

Baccalauréat STMG Antilles Guyane 15 juin 2016

Baccalauréat STMG Antilles Guyane 15 juin 2016 Durée : 3 heures Baccalauréat STMG Antilles Guyane 15 juin 2016 EXERCICE 1 5 points On observe, depuis quelques années, un modification des canaux de distribution du tourisme en faveur du tourisme en ligne.

Plus en détail

BACCALAURÉAT BLANC GÉNÉRAL SÉRIE ES SESSION Février ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - SPÉCIALITÉ Durée de l épreuve : 3 heures

BACCALAURÉAT BLANC GÉNÉRAL SÉRIE ES SESSION Février ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - SPÉCIALITÉ Durée de l épreuve : 3 heures BACCALAURÉAT BLANC GÉNÉRAL SÉRIE ES SESSION Février 2014 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES - SPÉCIALITÉ Durée de l épreuve : 3 heures Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la

Plus en détail

Sujet Spécialité MATHÉMATIQUES ANTILLES - GUYANE BAC S

Sujet Spécialité MATHÉMATIQUES ANTILLES - GUYANE BAC S Sujet Spécialité MATHÉMATIQUES ANTILLES - GUYANE BAC S - 2016 Sujets Bac Maths 2016 Annales Mathématiques Bac 2016 Sujets + Corrigés - Alain Piller Antilles - Guyane Annales Bac Maths 2016 BACCALAURÉAT

Plus en détail

Terminale S Bac Blanc Février 2013 Corrigé

Terminale S Bac Blanc Février 2013 Corrigé Terminale S Bac Blanc Février 2013 Corrigé Métropole Juin 2006 (6 points) 1) Soit la fonction définie sur par. On désigne par sa courbe représentative dans un repère orthonormé d unité graphique 2cm. a)

Plus en détail

TS 2016 Cours Complété Ch8. Probabilité Conditionnelle

TS 2016 Cours Complété Ch8. Probabilité Conditionnelle 1. Un exemple de construction d arbre pondéré : On étudie une certaine allergie et son lien éventuel avec un antécédent familial (parent ou grand parent souffrant de la même allergie). On prélève au hasard

Plus en détail

dérivable surrainsi que les tangentes à la courbe C f aux points A( 3;0), B 1; 3 ) et C(4;0). C f

dérivable surrainsi que les tangentes à la courbe C f aux points A( 3;0), B 1; 3 ) et C(4;0). C f Lycée JANSON DE SAILLY EXERCICE 1 ( 4,5 points ) Commun à tous les élèves Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses proposées

Plus en détail

Sujet + Corrigé. Correction Réalisée SUJET 5 LIBAN BAC ES ANNALES MATHÉMATIQUES BAC ES PRIMITIVES, INTÉGRALES alainpiller.

Sujet + Corrigé. Correction Réalisée SUJET 5 LIBAN BAC ES ANNALES MATHÉMATIQUES BAC ES PRIMITIVES, INTÉGRALES alainpiller. Sujet + Corrigé ANNALES MATHÉMATIQUES BAC ES PRIMITIVES, INTÉGRALES - 2016 SUJET 5 LIBAN BAC ES - 2016 Correction Réalisée Par Alain PILLER alainpiller.fr Sujets Bac Maths 2016 Annales Mathématiques Bac

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Corrigé Exercice 3 Sujets Bac Maths 2016 Annales Mathématiques Bac 2016 Sujets + Corrigés - Alain Piller Centres étrangers BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 2016 Annales Bac Maths 2016 MATHÉMATIQUES -Série

Plus en détail

Variables aléatoires discrètes. Soit une expérience aléatoire à laquelle est associé l ensemble des issues Ω.

Variables aléatoires discrètes. Soit une expérience aléatoire à laquelle est associé l ensemble des issues Ω. Variables aléatoires discrètes I. Définitions 1. Définition d une variable aléatoire : Soit une expérience aléatoire à laquelle est associé l ensemble des issues Ω. On appelle variable aléatoire et on

Plus en détail

Baccalauréat ES Antilles Guyane septembre 2010

Baccalauréat ES Antilles Guyane septembre 2010 Durée : 3 heures Baccalauréat ES Antilles Guyane septembre 2010 EXERCICE 1 5 points Le tableau suivant donne l évolution du chiffre d affaires du commerce équitable en France, exprimé en millions d euros.

Plus en détail

Les probabilités Le cours

Les probabilités Le cours Chapitre Les probabilités Le cours Avant-propos a) Le mot hasard vient de l arabe az-zahr «le dé». Le mot aléa signifie en latin «jeu de dés, hasard». b) Dans son Essai philosophique sur les probabilités

Plus en détail

Correction du bac blanc spécialtité N 1

Correction du bac blanc spécialtité N 1 Correction du bac blanc spécialtité N 1 Exercice I : QCM. ( 4 points ) Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Pour chacune des questions posées, une

Plus en détail

BACCALAURÉAT BLANC LYCÉE DESSAIGNES - BLOIS 8 FÉVRIER 2017

BACCALAURÉAT BLANC LYCÉE DESSAIGNES - BLOIS 8 FÉVRIER 2017 BACCALAURÉAT BLANC LYCÉE DESSAIGNES - BLOIS 8 FÉVRIER 2017 Filière : E.S. Obligatoire - L Spécialité Mathématiques Durée de l épreuve : 3 heures - Coefficient : 5 Avant de composer, le candidat s assurera

Plus en détail

Chapitre 8 : Probabilités Terminale ES 1, , Y. Angeli

Chapitre 8 : Probabilités Terminale ES 1, , Y. Angeli Chapitre 8 : Probabilités -0-03-- Terminale ES, 200-20, Y. Angeli. Vocabulaire Définition. Une expérience aléatoire est processus dont l issue est incertaine. L univers d une expérience aléatoire est l

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES. Série S ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES. Série S ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 2010 MATHÉMATIQUES Série S ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 9 Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à

Plus en détail

SESSION 2016 ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ. Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 7

SESSION 2016 ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ. Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 7 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2016 MATHÉMATIQUES - Série ES ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 7 Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément

Plus en détail

Correction Baccalauréat ES Liban 31 mai 2010

Correction Baccalauréat ES Liban 31 mai 2010 Correction Baccalauréat ES Liban 31 mai 21 Exercice 1 4 points 1. A et B sont deux évènements indépendants donc p(a B)=p(A) p(b)=,1 et comme p(a B)= p(a)+ p(b) p(a B =,6 2. En appelant S l évènement «Le

Plus en détail

Livret de vacances. Thème 1 : Pourcentages. Exercice 1 : Taux d évolution et coefficient multiplicateur. Compléter le tableau suivant.

Livret de vacances. Thème 1 : Pourcentages. Exercice 1 : Taux d évolution et coefficient multiplicateur. Compléter le tableau suivant. Livret de vacances A faire par vos soins et non par vos parents, frères et sœurs ou autres Ce livret est un moyen de garder vos automatismes et vos acquis de première pour ainsi attaquer de façon sereine

Plus en détail

Chapitre X : Schéma de Bernoulli Loi Binomiale

Chapitre X : Schéma de Bernoulli Loi Binomiale Chapitre X : Schéma de Bernoulli Loi Binomiale Extrait du programme : I. Schéma de Bernoulli 1. Epreuve et loi de Bernoulli Définition : On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p toute expérience

Plus en détail

Baccalauréat Blanc de Mathématiques - Terminales S - 27 janvier La calculatrice est autorisée. 3.5 POINTS

Baccalauréat Blanc de Mathématiques - Terminales S - 27 janvier La calculatrice est autorisée. 3.5 POINTS Baccalauréat Blanc de athématiques - Terminales S - 27 janvier 207 La calculatrice est autorisée. EXERCICE 3.5 POINTS Partie A Une certaine maladie V est présente dans la population française avec la fréquence

Plus en détail

Chapitre 08 Loi de probabilité. Table des matières. Chapitre 08 Loi de probabilité TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 08 Loi de probabilité. Table des matières. Chapitre 08 Loi de probabilité TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 08 Loi de probabilité TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 08 Loi de probabilité Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1 2................................................

Plus en détail

PROBABILITÉS. La variance de la variable aléatoire X est le réel positif, noté V (X), défini par :

PROBABILITÉS. La variance de la variable aléatoire X est le réel positif, noté V (X), défini par : POAILITÉS I. VAIALES ALÉATOIES On note l univers associé à une expérience aléatoire (l ensemble des issues ou éventualités). On suppose que est fini, c est-à-dire qu il y a un nombre fini d issues et qu

Plus en détail

Le principe multiplicatif (notion 2)

Le principe multiplicatif (notion 2) L indépendance (notion 1) (source : académie d Aix-Marseille) Le programme est très clair à ce sujet : «La notion de probabilité conditionnelle est hors programme» Mais pour aborder la loi binomiale, il

Plus en détail

Remarque : Dans la suite, on ne traitera que des expériences dont les univers sont finis.

Remarque : Dans la suite, on ne traitera que des expériences dont les univers sont finis. Chapitre 5 Probabilités 5.1 Rappels 5.1.1 Vocabulaire Expérience aléatoire Définition 5.1 Une expérience dont on connaît les issues (les résultats) est appelée expérience aléatoire si on ne peut pas prévoir

Plus en détail

lycée Franco Australien de Canberra Narrabundah College Baccalauréat blanc n 1 MATHEMATIQUES Terminale S (obligatoire + spécialité)

lycée Franco Australien de Canberra Narrabundah College Baccalauréat blanc n 1 MATHEMATIQUES Terminale S (obligatoire + spécialité) Décembre 2015 lycée Franco Australien de Canberra Narrabundah College Baccalauréat blanc n 1 MATHEMATIQUES Terminale S obligatoire + spécialité) * * * * * * * DUREE DE L EPREUVE = 4 h 00 * * * * * * *

Plus en détail

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE MATHÉMATIQUES. Spécialité : BIOTECHNOLOGIES

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE MATHÉMATIQUES. Spécialité : BIOTECHNOLOGIES BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE Session 2017 Vendredi 16 juin 2017 MATHÉMATIQUES Série : SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LABORATOIRE Spécialité : BIOTECHNOLOGIES Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 4 Calculatrice

Plus en détail

F 3 Reproduire cet arbre et placer les probabilités F 2 sur les branches.

F 3 Reproduire cet arbre et placer les probabilités F 2 sur les branches. Sujet Centres Étrangers 203 EXERCICE. [6 pts] Lois continues Un industriel fabrique des vannes électroniques destinées à des circuits hydrauliques. Les quatre parties A, B, C, D sont indépendantes. Partie

Plus en détail

DS 5 23 MARS Rappel : tous les résultats seront à justifier sauf avis contraire

DS 5 23 MARS Rappel : tous les résultats seront à justifier sauf avis contraire DS 5 23 MARS 2017 Durée : 2h Avec Calculatrice NOM : Prénom : La notation tiendra compte de la présentation, ainsi que de la précision de la rédaction et de l argumentation. Aucun prêt n est autorisé entre

Plus en détail

c. Démontrer que la probabilité de l événement G est d. Calculer la probabilité qu une personne qui a gagné soit un tricheur.

c. Démontrer que la probabilité de l événement G est d. Calculer la probabilité qu une personne qui a gagné soit un tricheur. Exercice 1 : Dans un village de montagne deux familles A et B disposent de cinq circuits balisés de promenades c 1, c 2, c 3, c 4 et c 5 A Chaque matin, chacune des familles tire au hasard, indépendamment

Plus en détail

Chapitre : PROBABILITES

Chapitre : PROBABILITES Exercice 1 Un jeu consiste à lancer simultanément un dé parfait et une pièce équilibrée de 1 e. A pile on associe le nombre 1 et à face le nombre 2. Un résultat est la somme du numéro obtenu sur le dé

Plus en détail

Baccalauréat ES Métropole 23 juin 2010

Baccalauréat ES Métropole 23 juin 2010 Baccalauréat ES Métropole 23 juin 2010 EXERCICE 1 Commun tous les candidats 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour

Plus en détail

Mathématiques. préparation à la Terminale ES

Mathématiques. préparation à la Terminale ES Mathématiques préparation à la Terminale ES Le programme de Terminale ES est chargé et est la continuité de celui de 1 ère ère ES. Les nouvelles notions sont nombreuses et le rythme de progression est

Plus en détail

Chapitre 3 Probabilités. Table des matières. Chapitre 3 Probabilités TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 3 Probabilités. Table des matières. Chapitre 3 Probabilités TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 3 Probabilités TALE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 3 Probabilités Table des matières I Exercices I-1 1 I-1 2 I-2 3 I-2 4 I-2 5 I-2 6 I-2 7 I-3 8 I-4 9 I-4 10 I-4 11 I-5 12 I-5 13 I-5 14 I-5 15

Plus en détail

Terminale ES - Travailler en autonomie - Pondichéry Avril 2016

Terminale ES - Travailler en autonomie - Pondichéry Avril 2016 Terminale ES - Travailler en autonomie - Pondichéry Avril 216 Exercice 1 4 points Commun à tous les candidats Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des quatre questions

Plus en détail

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE. MATHÉMATIQUES Séries STI2D et STL spécialité SPCL

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE. MATHÉMATIQUES Séries STI2D et STL spécialité SPCL BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE SESSION 2017 MATHÉMATIQUES Séries STI2D et STL spécialité SPCL Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 4 ÉPREUVE DU VENDREDI 16 JUIN 2017 Ce sujet comporte 6 pages numérotées

Plus en détail

( 5 0) =1. 2) a) P( X =0)=0,4 5 (probabilité d'obtenir 5 échecs) ou P( X =0)=( 5 0) 0,60 0,4 5 avec

( 5 0) =1. 2) a) P( X =0)=0,4 5 (probabilité d'obtenir 5 échecs) ou P( X =0)=( 5 0) 0,60 0,4 5 avec Terminale ES Exercices et problèmes sur probabilités conditionnelles, arbres de probabilités, variable aléatoire, indépendance et loi binomiale. Corrigés. Exercice 1: 1) On effectue 5 fois un tirage dans

Plus en détail