Chapitre n 9 : «Nombres relatifs : addition et soustraction»

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1 Chapitre n 9 : «Nombres relatifs : addition et soustraction» I. Addition de nombres relatifs 1/ Rappels L'ensemble des nombres relatifs est constitué des nombres positifs et des nombres négatifs. Comparer deux nombres, c'est chercher à savoir lequel est le plus grand, lequel est le plus petit, ou bien montrer qu'ils sont égaux. Par exemple : 7,01 7,1. Ranger par ordre croissant, c'est classer des nombres du plus petit au plus grand ; par ordre décroissant, c'est du plus grand au plus petit. On rappelle qu'un nombre négatif est toujours inférieur à un nombre positif, et que l'ordre est «inversé» lorsqu'on a deux nombres négatifs : si 5 7 alors 5 7. Quelques exemples de comparaison On rappelle qu'un nombre positif est toujours supérieur à un nombre négatif. 7 5 car l'ordre est inversé dans les négatifs. 8 9 ; 5,1 5,01 ; 1 0 ; 18,012 18,012 2/ Activité Activité 1 page 98 Partie A 1/ Les gains sont exprimés par des nombres positifs, les pertes par des nombres négatifs. Roulette Machines à sous / a/ Il a gagné 92 euros (le premier jour) : = 92 b/ Il a perdu 120 euros : = 120 c/ Il n'a ni gagné, ni perdu ; il lui reste 0 euro : =0 d/ Le 4 ème jour, il gagne plus qu'il ne perd, on obtient donc un résultat positif : = 25 Le 5 ème jour, il perd plus qu'il ne gagne, on obtient donc un résultat négatif :

2 13 81 = 68 3/ Pas faite.. Partie B 5 8 = 13 3,5 9,5 = = = 150 3/ Méthodes de calculs Lorsque les deux nombres sont du même signe = 28 On a ajouté 17 avec 11, cela donne 28 ; le résultat est du même signe que 17 et 11. 4,5 7,5 = 12 On a ajouté 4,5 avec 7,5, cela donne 12 ; le résultat est du même signe que 4,5 et 7,5. Lorsque les deux nombres sont de signes contraires 3,5 9,5 = 6 Le résultat est positif car 9,5 est le «plus fort» des deux nombres ; puis on effectue une différence pour calculer le résultat. 9 5 = 4 Le résultat est négatif car 9 est le «plus fort» ; on effectue ensuite une différence. Avec des décimaux (exemples) A= 2,1 0,8 = 2,9 B= 1,51 0,14 = 1,65 C= 0,3 1 = 0,7 D= 1,17 1,17 =0 E 1,1 0,4 = 1,5 F = 2,15 1,37 = 0,78 G= 2,3 0,5 = 1,8 H = 18,54 36,76 = 18,22 I = 2,8 2,8 =0 J = 34,2 15,7 = 18,5 K = 5,7 34,2 = 28,5

3 4/ Lorsqu'il y a plus de deux termes A= Il y a deux méthodes : 1 ère méthode : «on calcule de gauche à droite progressivement» A= A= A= A= 1 11 A= 10 2 ème méthode : «on calcule les positifs entre eux et les négatifs entre eux» A= A= (étape qui n'est pas obligatoire) A= 8 18 A= 10 Autres exemples Calcule : B= B= B= 115 C= 1,2 5,5 3,6 7,7 C= 4,8 13,2 C= 8,4 5/ Distance à zéro ; nombres opposés Définition (explication) La distance à zéro de 4 correspond à la longueur BO où B 4 et O est l'origine de l'axe : c'est 4. Définition (explication) 4 et 4 sont deux nombres opposés : ils correspondent aux abscisses des points A et B qui sont symétriques par rapport à l'origine.

4 II. Soustraction de nombres relatifs 1/ Activité L'ascenseur... Je pars du 4 ème sous-sol, je monte jusqu'au 6 ème étage ; je suis donc monté de 10 étages. Cela se traduit par l'égalité suivante : 6 4 = 10 De même pour les soustractions suivantes : 3 5 = = = 2 On remarque que cela revient à faire des additions de nombres relatifs. En effet : 3 5 = 3 5 = = 2 4 = 6 2/ Méthodes de calcul Lorsqu'on soustrait deux nombres relatifs, on remarque que cela revient à faire une addition. Par exemple : faire 5 7 revient à additionner 5 et 7 ; on prend l'opposé du deuxième terme. Donc : 5 7 = 5 7 = 2. On peut toujours vérifier ce résultat grâce à la méthode de «l'ascenseur» : je pars du 7 ème étage, je descends au 5 ème étage ; je suis descendu de deux étages, cela correspond à 2. Propriété Pour soustraire deux nombres relatifs, il suffit d'ajouter le premier à l'opposé du deuxième. On dit aussi que «soustraire par un nombre revient à ajouter son opposé». Exemples 8 13 = 8 13 = = 11 8 = = 5 8 = = 5 11 = = 9 3 = 12 3/ Avec plus de deux termes Un exemple A= A= A= 10 8 A= 2

5 Méthode sur un exemple X = «On repère les soustractions» X = «Je transforme les soustractions en additions mais je prends l'opposé du terme qui suit» X = 12 9 «Je calcule les termes de même signe» X = 3 «Je calcule le résultat final». Autres exemples B= 4,5 11,2 3 B= 4,5 11,2 3 B= 7,5 11,2 B= 3,7 C= ,87 C= ,87 C= 380, C= 220,87 III. Simplifications d'écritures Exemples A= A= On a supprimé les parenthèses et les signes d'addition. De même : B= ,5 88 B= ,5 88 Inversement, il faut comprendre que l'expression C= est une succession d'additions ; les nombres additionnés sont 5, 8, 4, 7 et 9. Calculons : C= C= (on regroupe les nombres négatifs) C= C= 9 Règles de simplifications Dans une somme de nombres relatifs, on peut supprimer les parenthèses et les signes d'addition : 8 5 = 8 5= 3 Un signe en début de ligne peut être supprimé : 8 5=8 5=3

6 D'autres exemples D= ,5 On doit comprendre D= ,5 D= 6,5 18 D= 11,5 E=3,5 8 7,5 2 4,5 1 E=13 13,5 E= 0,5 IV. Remplacer dans une expression littérale On considère l'expression littérale suivante : A=x y z où x, y et z représentent trois nombres. Calcule A pour x= 5,2 ; y= 6 et z= 4,1 Il faut penser A ainsi : x y z En remplaçant, on obtient donc : A= 5,2 6 4,1 A= 5,2 6 4,1 A= 15,3 Calcule A pour x= 2,8 ; y= 3,2 et z= 5 A= 2,8 3,2 5 A= 2,8 3,2 5 A= 6 5 A= 1