ECONOMIE DE GESTION Classe de III e D, G. Complément de Mathématiques financières

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1 vers. 2004/2005 ECONOMIE DE GESTION Classe de III e D, G Complément de Mathématiques financières Commission Nationale pour les Programmes en Sciences Economiques et Sociales

2 1. Les pourcentages 1. Les pourcentages 1.1. Définition On appelle pourcentage le rapport constant de mesure de deux grandeurs proportionnelles quand la mesure du second est de. x se lit x pour cent et s écrit encore x%. Ainsi, 5 se lit: 5 pour cent et s écrit 5%. La notion de pour cent est fort répandue. Dans le domaine économique et commercial sont ainsi exprimés en pour cent: les taux d intérêts, les taux d imposition (p. ex. la TVA), les réductions sur les prix (rabais, remise, ristourne), la marge bénéficiaire, le taux de chômage, le taux d inflation, le déficit budgétaire, etc. Nous étudions par la suite le calcul du pourcentage sur base d applications avec majoration de prix et de réduction de prix Les majorations de prix: Prix d achat + bénéfice = prix de vente Le bénéfice (B) est la différence entre le prix de vente (PV) et le prix d achat (PA) d une marchandise (B = PV - PA). Le montant du bénéfice fait majorer le prix d achat pour donner le prix de vente. Si nous supposons le PV proportionnel au PA, le bénéfice (B) peut alors être exprimé en un pourcentage sur le prix d achat (PA) ou en un pourcentage sur le prix de vente (PV) Bénéfice exprimé en un %-tage du PA Réaliser un bénéfice de x% sur le PA signifie que pour un PA de, le bénéfice est de x et le PV est de + x. 3 e D, G ECONOMIE DE GESTION 3

3 1. Les pourcentages PA + B + x PV + x Comme PV et PA sont directement proportionnels, alors: P V P A = + x P V = P A + x et P A = P V + x Le bénéfice étant de x pour un PA de, B = P A x mais le bénéfice est également de x pour un PV de + x B = P V x + x Bénéfice exprimé en un %-tage du PV Réaliser un bénéfice de x% sur le PV signifie que pour un PV de, le bénéfice réalisé est de x et le PA est de - y. PA - y B y PV 4 ECONOMIE DE GESTION 3 e D, G

4 1.2. Les majorations de prix: Prix d achat + bénéfice = prix de vente Comme PV et PA sont directement proportionnels, alors: P V P A = y P V = P A y et P A = P V y Le bénéfice étant de y pour un PV de, B = P V y mais le bénéfice est également de y pour un PA de - y B = P A y y Remarque: La principe du calcul PA + B = PV s applique à bien d autres domaines: calcul du taux de variation d une population, d une production industrielle, du chômage, etc Exercices ➊ Quel doit être le prix de vente d un article acheté au prix de 240 C si le bénéfice réalisé est de 25% du prix d achat. (2 solutions) ➋ Quel était le prix d achat d une marchandise vendue au prix de C si le bénéfice réalisé est de 30% du prix d achat. (2 solutions) 3 e D, G ECONOMIE DE GESTION 5

5 1. Les pourcentages ➌ (a) Une marchandise qui est achetée au prix de C est vendue au prix de C. Quel est le pourcentage du bénéfice sur le prix d achat. (2 solutions). (b) Si le bénéfice est exprimé en un pourcentage sur le prix de vente, quel est alors le pourcentage du bénéfice? ➍ Quel est le prix de vente d une marchandise achetée au prix de 65,45 C si on veut réaliser un bénéfice de 15% sur le prix de vente. (2 solutions) ➎ Une marchandise est vendue au prix de 214 C. Quel est le prix d achat si le bénéfice est de 20% sur le prix de vente. (2 solutions) ➏ Un produit acheté 1.173,9 C est revendu à C. (a) Quel est le bénéfice exprimé en un pourcentage du PV. (b) Si le bénéfice est exprimé en un pourcentage sur le prix d achat, quel est alors le pourcentage du bénéfice? ➐ La production industrielle d un pays est de tonnes. Elle s est accrue de 2,25%. Quelle est la production actuelle? ➑ La population d un pays s élève en 2004 à habitants. En 2003 la population a augmenté de 4%. Quelle était la population en 2003? ➒ La population active d un pays est de personnes et elle compte chômeurs. Quel est le taux de chômage? 1.3. Les réductions de prix: Prix brut - rabais, remise = prix net La réduction de prix (R = rabais, remise) est la différence entre le prix de vente brut (PB) et le prix de vente net (PN) d une marchandise (Remise = PB - PN). Le montant de la réduction fait diminuer le prix brut pour donner le prix net. Si nous supposons le PN proportionnel au PB, la réduction (R) s exprime alors en un pourcentage sur le prix brut (PB), soit sur le prix net (PN) Réduction exprimée en un %-tage du PB Accorder une réduction de x% sur le PB signifie que pour un PB de, la réduction est de x et le PN est de - x. PB - R - x PN - x Comme PB et PN sont directement proportionnels, alors: P B P N = x 6 ECONOMIE DE GESTION 3 e D, G

6 1.3. Les réductions de prix: Prix brut - rabais, remise = prix net P B = P N x et P N = P B x La réduction étant de x pour un PB de, R = P B x mais la réduction est également de x pour un PN de - x R = P N x x Réduction exprimée en un %-tage du PN Accorder une réduction de y% sur le Prix net signifie que pour un Prix net de, la réduction accordée est de y et le Prix brut est de + y. PB + y - R - y PN Comme PB et PN sont directement proportionnels, alors: P B P N = + y P B = P N + y 3 e D, G ECONOMIE DE GESTION 7

7 2. Les intérêts simples et P N = P B + y La réduction étant de y pour un PN de, R = P N y mais la réduction est également de y pour un PB de + y R = P B y + y 1.4. Exercices ➊ Après déduction d une remise de 20% sur le prix brut d une marchandise, le prix net s élève à 120 C. Trouvez le prix brut et le montant de la remise. ➋ Même question si la remise est calculée sur le prix net. ➌ Du prix brut d une marchandise on déduit un rabais de 20% et une remise de 10% et on obtient un prix net de 540 C. Quel est le prix brut? 2. Les intérêts simples 2.1. Définition L intérêt est le revenu d un capital prêté ou placé. Le taux est l intérêt produit par un capital de C placés pendant une année. s exprime en un pourcentage (x%). Il Exemple: Un taux de 8,5% l an signifie qu un capital de C produit un intérêt de 8,5 C après une année de placement. 8 ECONOMIE DE GESTION 3 e D, G

8 2.2. Formule fondamentale 2.2. Formule fondamentale Soit: I = l intérêt C = Capital prêté ou placé t = taux d intérêt n = nombre de jours de placement. Comme l intérêt est directement proportionnel au capital au taux à la durée on peut établir la relation suivante: C placés pendant 360 jours (= année commerciale) donnent un intérêt de t C 1 C placé pendant 360 jours donne un intérêt de t C C C placés pendant 360 jours donnent un intérêt de C t C C C placés pendant 1 jour donnent un intérêt de C C placés pendant n jours donnent un intérêt de Formule fondamentale: C t 360 C C t n 360 C I = C t n Transformation de la formule fondamentale Recherche de C, t, n à partir de I = C t n C = I t n t = I C n n = I C t 3 e D, G ECONOMIE DE GESTION 9

9 2. Les intérêts simples Durée de placement en mois, en années Si la durée de placement est exprimée en mois (m), alors: I = C t m 1200 Si la durée de placement est exprimée en années (a), alors: I = C t a 2.3. Valeur acquise ou définitive d un capital (A) La valeur acquise ou définitive d un capital pendant n jours est le montant obtenu en augmentant le capital des intérêts qu il a produit pendant la durée de placement. A = C + C t n Exercices ➊ Quel est l intérêt produit par un capital de C placé pendant 180 jours au taux de 7,5% l an. (Faire les calculs en considérant successivement pour les 180 jours n, m et a.) ➋ Quel est le capital qui placé pendant 40 jours au taux de 4,5% l an a produit un intérêt de 220 C. ➌ A quel taux faut-il placer C pour obtenir 410,80 C après 156 jours de placement? ➍ Pendant combien de temps faut-il placer un capital de C pour toucher 88,48 C d intérêts au taux de 8% l an? ➎ Calculer la valeur acquise par un capital de C après 120 jours de placement au taux de 9% l an? ➏ Quelle est la somme qui placée à 6% l an devient C après 3 ans de placement? ➐ A quel taux faut-il placer C pour qu ils deviennent C après 8 mois de placement? 10 ECONOMIE DE GESTION 3 e D, G

10 2.4. Exercices ➑ Après combien de temps des capitaux de C et de C placés respectivement au taux de 8% et de 6% ont-ils même valeur acquise. Calculer cette valeur acquise. ➒ Une personne place une somme de C à 7%. 9 mois plus tard elle place C à 9%. Après combien de mois les intérêts produits par les 2 capitaux ont-ils la même valeur? Vérifiez. ➓ On veut répartir un capital de C en 3 parties. La première doit être le double de la deuxième et la deuxième placée à 5% pendant 6 mois doit rapporter autant que la troisième placée à 6% pendant 9 mois. Quel est le montant de chacune des parts? 3 e D, G ECONOMIE DE GESTION 11

11 3. Les intérêts composés 3. Les intérêts composés 3.1. Introduction ➊ Placement à intérêts simples Le capital placé reste invariable et produit des intérêts égaux pour chaque période de placement. ➋ Placement à intérêts composés Les intérêts sont considérés comme un nouveau placement et sont ajoutés au capital à la fin de chaque période pour produire des intérêts à leur tour Détermination de la valeur acquise (A) Valeur acquise (ou valeur définitive) = Capital + Intérêts composés Notation C = capital prêté ou placé i = taux pour 1 par période n = nombre de périodes de placement A = valeur acquise ou définitive Formule La valeur acquise d un capital placé à intérêts composés est dégagée à partir de la table 1, (page 13) et permet d établir la formule: A = C(1 + i) n Applications ➊ Calculer la valeur acquise par un capital de C placé à intérêts composés au taux de 8% par an pendant 5 ans. ➋ Quelle est la valeur acquise par un capital de C placé au taux de capitalisation semestriel de 2,5% pendant 5 ans et 6 mois. ➌ Calculer la valeur acquise par un capital de C placé pendant 5 ans et 3 mois au taux de capitalisation annuel de 7%. ➍ Déterminer la valeur acquise par un capital de C après 3 ans et 10 mois de placement à un taux de capitalisation trimestriel de 3,5%. 12 ECONOMIE DE GESTION 3 e D, G

12 3.3. Détermination de la valeur actuelle (C) Table 1: Dégagement de la valeur acquised un capital placé à intérêts composés Période Capital début Intérêts Valeur acquise (A) 1 C C i = C + C i = C(1 + i) 2 C(1 + i) [C(1 + i)] i = C(1 + i) + [C(1 + i)]i = C(1 + i) (1 + i) = C(1 + i) 2 3 C(1 + i) 2 [C(1 + i) 2 ] i = C(1 + i) 2 + [C(1 + i) 2 ]i = C(1 + i) 2 (1 + i) = C(1 + i) 3. n C(1 + i) n 1 [C(1 + i) n 1 ] i = C(1 + i) n 1 + [C(1 + i) n 1 ]i = C(1 + i) n 1 (1 + i) = C(1 + i) n 3.3. Détermination de la valeur actuelle (C) Formule En partant de la formule générale divisons par (1 + i) n. Alors: A = C(1 + i) n A (1 + i) n = C C = A 1 (1 + i) n C = A(1 + i) n 3 e D, G ECONOMIE DE GESTION 13

13 3. Les intérêts composés Applications ➊ Quel capital faut-il placer aujourd hui pour obtenir après 6 ans de placement une somme de C, si le placement se fait au taux de capitalisation annuel de 6,5%? ➋ Une personne a une dette de C qui vient à échéance dans 5 ans et 8 mois. Quelle somme doit-elle débourser aujourd hui si elle désire se libérer immédiatement? Taux annuel à intérêts composés: 5% Recherche du taux de placement (i) Formule A = C(1 + i) n (1 + i) n = A C (1 + i) = n A C i = n A C 1 ou bien, au cas où la calculatrice n admet pas n x: (1 + i) = ( A C ) 1 n i = ( A C ) 1 n Applications ➊ A quel taux une somme de C est-elle placée si après 6 ans elle devient ,94 C? ➋ A quel taux faut-il placer à intérêts composés un capital de C pour qu il devienne C après 10 ans de placement? 14 ECONOMIE DE GESTION 3 e D, G

14 3.5. Recherche du temps de placement (n) 3.5. Recherche du temps de placement (n) Formule La recherche du taux de placement se fait normalement à l aide de tables financières ou par logarithmes. Au cas où le taux est un taux indiqué dans des tables financières et le nombre de périodes n un entier, le temps de placement se recherche facilement dans des tables financières: A = C(1 + i) n (1 + i) n = A C Au cas où n n est pas un entier et n est de ce fait pas renseigné dans des tables financières, le temps de placement se calcule par interpolation linéaire. Si ni taux, ni temps sont renseignés dans les tables, le seul moyen de trouver une solution est de recourir au calcul par logarithmes. Cette solution est évidemment applicable pour toute recherche de n, renseigné ou non dans des tables financières. Calcul par logarithmes sur base de (1 + i) n = A C n log(1 + i) = log A C n = log A C log(1 + i) Applications ➊ Après combien de temps un capital de C placé à intérêts composés au taux de 6,5% devient-il ,45 C? ➋ Une personne place un capital de C sur un compte en banque à un taux annuel de 8%. Après combien de temps peut-elle retirer tout son avoir qui se chiffre à ,40 C? 3 e D, G ECONOMIE DE GESTION 15

15 3. Les intérêts composés 3.6. Taux proportionnels, taux équivalents Taux proportionnel Définition: Deux taux, appliqués à des périodes de durée différente,sont dits proportionnels, lorsque le rapport de taux est égal au rapport des périodes de capitalisation. Ainsi, 12% l an est proportionnel à 6% par semestre, à 3% par trimestre et à 1% par mois Taux équivalent Définition: Deux taux, appliqués à des périodes de temps différentes,sont dits équivalents, s ils permettent d acquérir à un même capital des valeurs définitives égales après une même durée de placement. Exemple: 1 C placé au taux annuel i a devient après 1 an: 1+i a 1 C placé au taux semestriel i s devient après 1 an (2 semestres): (1 + i s ) 2 Comme i a et i s sont des taux équivalents, les deux valeurs acquises sont égales: 1 + i a = (1 + i s ) 2 A partir de cette équation on peut calculer i a respectivement i s si le taux équivalent correspondant est connu. La procédure sera analogue pour le calcul de taux équivalents trimestriels, semestriels, mensuels, etc Applications ➊ Calculer le taux annuel équivalent à un taux mensuel de 0,5%. ➋ Calculer le taux trimestriel a) équivalent à un taux annuel de 9%; b) proportionnel à un taux annuel de 9% Exercices ➊ Une personne a emprunté une somme de C à intérêts composés au taux annuel de 11%. Quelle est le montant à rembourser après 3 ans et 3 mois. 16 ECONOMIE DE GESTION 3 e D, G

16 3.7. Exercices ➋ Au bout de combien de temps une somme placée à intérêts composés, au taux de 5,5% par semestre, double-t-elle de valeur? ➌ Une personne place C et prélève ,80 C après 10 ans et 6 mois. Quel a été le taux de placement? ➍ Une personne emprunte C à rembourser dans 5 ans. A l échéance prévue la personne rembourse avec l accord du prêteur C et s acquitte du montant restant dû 5 ans plus tard par un versement de ,40 C. Quel est le taux unique de l emprunt? ➎ Un capital de C est resté placé à intérêts composés au taux annuel de 6% l an pendant 2 ans. Pendant combien de temps ce capital aurait-il dû être placé au même taux à intérêts simples pour donner les mêmes intérêts? ➏ Une personne place C, à un certain taux, sur un compte en banque. Après trois ans de placement, elle retire C et encore trois ans plus tard 3.852,28 C. Sachant qu elle dispose alors de C sur son compte en banque, calculez le taux annuel de placement. 3 e D, G ECONOMIE DE GESTION 17

17 Table des matières Table des matières 1. Les pourcentages Définition Les majorations de prix: Prix d achat + bénéfice = prix de vente Bénéfice exprimé en un %-tage du PA Bénéfice exprimé en un %-tage du PV Exercices Les réductions de prix: Prix brut - rabais, remise = prix net Réduction exprimée en un %-tage du PB Réduction exprimée en un %-tage du PN Exercices Les intérêts simples Définition Formule fondamentale Transformation de la formule fondamentale Durée de placement en mois, en années Valeur acquise ou définitive d un capital (A) Exercices Les intérêts composés Introduction Détermination de la valeur acquise (A) Notation Formule Applications Détermination de la valeur actuelle (C) Formule Applications Recherche du taux de placement (i) Formule Applications Recherche du temps de placement (n) Formule Applications Taux proportionnels, taux équivalents Taux proportionnel Taux équivalent Applications Exercices ECONOMIE DE GESTION 3 e D, G