Relation binaire. 2. Relations, fonctions et ordres. Exemples. Représentation d une relation binaire. Un couple est une paire ordonnée d éléments.

Transcription

1 Relation binaire Un couple est une paire ordonnée d éléments. ex: les points (x,y) du plan de IN 2 ou de IR 2, les nom et prix d un produit, les instances d un objet en Java (à 2 attributs). 2. Relations, fonctions et ordres Le produit cartésien de E par F est un ensemble de couples. E F = { (e,f) / e Œ E et f Œ F } Une relation (binaire) R de E dans F est une partie de E F. R Õ E F Si E = F, on parle de relation sur E. Pour tout couple (e,f) de R, e est dit en relation avec f. (e,f) Œ R s abrège en e R f La relation binaire «vide» correspond au sous-ensemble de E F. 1 2 la droite y=2x+1 {(0,1),, (1/2,2),, (1,3),,(2,5),,(3,7),,(4,9), } la relation «est parent de» dans une famille {(Alice, Bob), (Alice, Chloé), (Dan, Elsa), (Dan, Bob), (Dan, Chloé), (Jules, Alice)} ordre strict ou non sur les entiers (0,1) est noté 0 < 1 ou (0,1) est noté 0 1 ordre alphabétique strict (a,z) est noté a < alph z fonction successeur sur les entiers (7,8) est noté succ(7)=8 relation d égalité (1,1) est noté 1 = 1 relation de divisibilité (12,132) est noté relation d inclusion sur les ensembles (, {a}) est noté Õ {a} ({a},{a,b,c}) est noté {a} Õ {a,b,c} Représentation d une relation binaire matrice binaire (aussi dite tableau à deux entrées, à 2 dimensions) f 1 f 2 f 3 f 4 e e e diagramme sagittal f 1 e 1 f 2 e 2 f 3 e 3 f 4 diagramme cartésien graphe orienté - seulement dans le cas où la relation a même ensemble de départ et d arrivée (à dessiner pour la relation «est parent de»). - on utilise des graphes non orientés si la relation est symétrique

2 Propriétés réflexivité pour tout x, x R x irréflexivité pour tout x, x R x symétrie x R y fi y R x antisymétrie ( x R y et y R x ) fi x = y transitivité ( x R y et y R z ) fi x R z Remarque Une relation irréflexive et transitive est forcément antisymétrique, comme par exemple l ordre strict <. Relation d équivalence Une relation d équivalence est une relation sur un ensemble E réflexive symétrique transitive Une relation d équivalence R induit une partition de cet ensemble en classes d équivalence. L ensemble des classes est dit ensemble quotient et noté E/R. Deux éléments en relation sont dans la même classe. l égalité : que sont donc les classes??? les «cohortes» utilisées en démographie : la population française est partagée en classes d individus tous nés la même année les congruences : la congruence modulo 3 par exemple 5 6 Fonction Une fonction f d un ensemble E dans un ensemble F est une relation R qui vérifie la propriété (x R y et x R z) fi y = z On note habituellement f(x) = y le fait que x R y La propriété précédente devient ( f(x) = y et f(x) = z ) fi y = z Représentations d une fonction les diagrammes (cas fini) 0 a 1 b 2 c 3 d 4 le graphe d une fonction (cas infini) Pour les fonctions sur les entiers, les réels, les complexes y Autrement dit, à l élément x on associe au plus une image. Les termes application, transformation sont synonymes de fonction, à ceci près que tout élément de l ensemble de départ doit avoir une image. les matrices (pour les applications f linéaires) Par exemple, le point (x,y,z) n a bien sûr qu une image x = 2y ; y = y + 3z ; z = 2x+4z x

3 Propriétés des fonctions Une fonction de E dans F peut être injective 2 éléments de E qui ont la même image sont égaux surjective tout élément de F a un antécédent bijective fonction à la fois injective et surjective Si E = F alors ces 3 propriétés sont équivalentes totale tout élément de E a une image (En anglais, on dit «one-to-one» pour injectif et «a function onto» pour surjectif) Currification Soit f: E 1 E 2 ÆF une fonction à 2 variables. On appelle currification de f la fonction f c : E 1 Æ [E 2 Æ F] telle que pour tout x 1 Œ E 1 et tout x 2 Œ E 2 on a [f c (x 1 )] (x 2 ) = f(x 1,x 2 ) Explication Pour x 1 fixé, on note f x1 : E 2 Æ F x 2 Æ f(x 1,x 2 ) On a alors f c : E 1 Æ [E 2 Æ F] x 1 Æ f x1 On dit qu une fonction est «d ordre supérieur» quand ses valeurs sont des fonctions. En programmation fonctionnelle (Lisp, Scheme ), pour éviter les fonctions à plusieurs variables, on utilise cette technique Relations d ordre Un ordre (non strict) * est une relation binaire sur E réflexive antisymétique transitive Par défaut, on note un ordre (non strict). Un ordre est total ssi pour 2 éléments donnés on a x y ou y x i.e. il n admet pas d éléments 2 à 2 incomparables Un ordre non total est dit partiel. Ordres partiels stricts la relation «est l aïeul de» dans une famille Ordres partiels relation de divisibilité inclusion sur les ensembles Ordres totaux stricts ordre < sur les nombres ordre alphabétique Une relation est un ordre strict (quasi-ordre) si elle est irréflexive et transitive (donc antisymétrique). * En anglais (et même en français ), on dit poset (partially ordered set). Ordres totaux ordre sur les nombres ordre lexicographique sur les mots

4 Représentation d un ordre Liste une liste est une suite ordonnée d éléments. Graphe orienté ou non on peut choisir de faire figurer ou non les relations de réflexivité. on aura des graphes «avec boucles» ou «sans boucle». Diagramme de Hasse on ne fait pas figurer les relations de réflexivité ni de transitivité on ne fait pas figurer le sens de la relation par des flèches par contre on oriente le diagramme dans son entier (les éléments les «plus petits» en bas ou à gauche) {a,b} {a} {b} ( P({a,b}), Õ ) (IN, ) Linéarisation d un ordre Tout ordre partiel peut être étendu à un ordre total. Algorithme du tri topologique On l applique au graphe sans boucle d un ordre partiel. 1. on initialise une liste vide 2. on associe à chaque sommet son degré entrant 3. - on choisit un sommet de degré entrant 0 - on l ajoute à la liste - on le marque - on diminue de 1 le degré entrant de tous ses successeurs 4. on recommence en 3. jusqu à épuisement des sommets non-marqués La liste obtenue est une linéarisation de l ordre initial. C est un ordre total compatible avec l ordre partiel de départ. L opération de linéarisation ne donne pas forcément une liste unique... l algorithme si Relation de relations n-aires Considérons n ensembles (E i ) 1 i n Les relations n-aires avec n>2 correspondent à des tableaux à plusieurs entrées, que l on représente sur plusieurs colonnes. Une relation R est un sous-ensemble de E 1 E 2 E n. C est donc un ensemble de n-uplets (e 1, e 2,...e n ). n est l arité de la relation. un ensemble de points (x,y,z) de IN 3 un plan ax+by+cz+d=0 de IR 3 les instances d un objet en Java ; chaque composante des n-uplets est repérée par un nom pas seulement par son n. les bases de données : + le quadruplet (cf l exemple de base de données ci-après) (En avant, Les Alizés, danse, ) indique un lien logique entre les 4 informations qu il renferme

5 Système de relations Application Spectacle En avant De l art Compagnie Les Alizés Cie ABC Type danse théâtre Lieu En informatique, une base de données relationnelle implante un ensemble de relations. Ciao Alice H. musique Les éléments sont des informations diverses et variées. Fou rire Encre De passage Vis Comica Les Alizés B.T.J. théâtre danse musique Dates En avant De l art Ciao oct nov déc La base doit être organisée pour que l on ait un accès rapide à chaque information. Une fois la base constituée, on lui adresse des requêtes Fou rire (SGBD en langage SQL par exemple) Encre De passage Là encore, l exécution des opérations nécessaires au traitement d une requête doit être rapide tions Voici celles appliquées temporairement aux relations d une base, suite à une requête : somme, union, intersection, produit cartésien, complément sélection s projection p Ex : quels sont les représentations de danse? (2 lignes-réponses) s sélectionne les lignes dont le type est danse. Ex : quels sont les noms et les compagnies des spectacles joués à l? s sélectionne les spectacles ayant lieu à l (3 lignes-réponses). p ne garde que les nom et compagnie des réponses à s (2 couples de cases-réponses) jointure (produit) Ex : quels sont les compagnies qui se produisent en novembre? fusionne en une relation deux relations existantes, avec des attributs en commun. p ne garde que les compagnies (2 cases-réponses). 19 5