Mathématique 306 Révision de fin d année Corrigé. 12a X 5a = 60a 2 RÉP. : 60a 2

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1 Mathématique 306 Révision de fin d année Corrigé 1. 1) Largeur du rectangle : a 2 c 2 - b 2 ( 13a ) 2 ( 12a ) 2 169a 2 144a 2 25a 2 5a 2) Aire du rectangle : longueur X largeur 12a X 5a 60a 2 RÉP. : 60a 2 2. Pour chaque prisme : V L X l X h Volume marche 1 + volume marche 2 + volume marche 3 2b x b x b + 2b x 2b x b + 2b x 3b x b 2b 3 + 4b 3 + 6b b RÉP. : 12b3 3. 1) Quantité d essence à transvider : 4 x 1,5 x ,2 x 10 8 litres 5 2) Temps requis : Quantité Débit 1,2 X 10 8 litres 6 X 10 6 litres/hre 1,2 X 10 8 litres 6 X 10 6 litres hre 1,2 X 10 8 litres X 1 hre 6 X 10 6 litres 1,2 X 10 8 litres X 1 hre 1,2 X 10 8 hre 6 X 10 6 litres 6 X heures RÉP. : 20 heures

2 4. Rayon de la sphère le rayon du cylindre a a 1) Hauteur du cylindre : rayon de la sphère + hauteur du triangle rectangle isocèle a a + a 2a a ) V cylindre π r 2 h a π x a 2 x 2a 2 π a 3 RÉP. : 2π a ) Équation du salaire de l'électricienne: Taux de variation: y 2 - y x 2 - x Ordonnée à l origine : y 42x + b X 5 + b avec le couple ( 5, 255 ) b b 45 b Règle : f(x) 42x + 45 Ordonnée à l origine le tarif de base 45 2) Équation du salaire du plombier: Taux de variation: y 2 - y x 2 - x Ordonnée à l origine : y 35x + b X 10 + b b b 40 b 35 avec le couple ( 10, 390 ) Règle : g(x) 35x + 40 Ordonnée à l origine le tarif de base 40 3) Différence des tarifs de base : Rép. : 5,00 $

3 8. π et la hauteur étant constants, ils n auront pas d influence sur le volume des différents cylindres, il n y aura que la valeur du rayon qui changera les volumes, de plus en plus rapidement, car il faut le mettre au carré ( r 2 ). On a le choix entre A et D. Le choix est A car pour un rayon de 0 unité, on aura un volume de 0 unité cube. Rép. : A 9. Équation du premier club-vidéo : y 2x + 8 Équation du deuxième club-vidéo : y 3x 4 Nombre de films y 2x + 8 y 3x y y ou 2x + 8 3x 2x 2x + 8 3x 2x x 8 Rép. : 9 films 11. 1) Hauteur de la pyramide: V c 2 h 3 2) Demi-côté: cm h 3 V 3 X cm c ) Apothème: cm 4) Aire latérale: 4 c a 4 X 18 X cm Rép.: 540 cm 2

4 12. 1) Équation du salaire d'andré (en fonction des heures supplémentaires): y 33x ) Nombre d'heures supplémentaires travaillées par André: y 33x x x André a donc travaillé 40 heures régulières + 12 heures supplémentaires soit un total de 52 heures. 3) Équation du salaire de Carole: x x 880 x 12 heures Déterminer le taux de variation : y 2 y x 2 x Déterminer l ordonnée à l origine : y 21x + b avec ( 7, 147 ) X 7 + b Équation du salaire de Carole : y 21x 4) Calculer le salaire de Carole pour 52 heures de travail : y 21x 21 X Rép.: 1092, 00 $

5 13. 1) Arête du grand cube: Aire totale 6 c c c c c 2 c 24 cm 6 6 2) Arête du petit cube: Volume c c 3 27 c c 3 cm 3) Rapport de similitude : ) Rapport des volumes : ou Volume du grand cube : c cm 3 Volume du grand cube volume du petit cube Rép.: 512 cubes 14. On ne calcule que l'aire latérale des pyramides. Aire latérale d'une pyramide: 4 c a 4 X 6 X 7 84 dm Aire d'un mobile: 84 X dm 2 Aire des 5 mobiles: 168 x dm 2 Rép.: 840 dm L'épaisseur du verre est de 0,5 cm donc le rayon intérieur vaut 4,5 cm. 1) Mesure de la hauteur du verre: (mesure de la paille) 2 (mesure du rayon) ,5 2 19,487 19,5 cm 2) Volume π r 2 h π X 4,5 2 X 19,5 1240, ,5 cm 3 3) Capacité : 1240,5 cm ,5 ml 1,24 l Rép.: 1,24 litres

6 18. Réponse : A 19. Réponse : D 23. Une rotation correspond à l'aire latérale du rouleau soit 471 cm 2. La longueur du rouleau égale la hauteur du cylindre. A latérale : πd h donc h A latérale , cm π d 6 π Rép.: 25 cm 24. 1) Longueur de la corde reliant l arête du cube sur le dessus à l arête du cube inférieur : ,18 11,2 cm 5 cm 2) Longueur de la corde faisant le tour des boîtes ( sans la boucle ) : , , ,4 cm 3) Longueur de la corde avec la boucle : 72, ,4 cm Rép. : 87,4 cm 25. Aire de la surface : Aire de la demi-sphère + aire latérale du cylindre + aire latérale du cône Aire de la demi-sphère : 4 π r X π X ,5 m 2 Aire latérale du cylindre : π d h π X 6 X ,5 m 2 Aire latérale du cône : π d a π X 6 X 7 66 m Aire totale : 56, , m 2 Rép. : 311 m 2

7 26. 1) Dimensions du triangle : base : ( 3 + 2x + 3 ) ( 2x + 6 ) hauteur : ( 2x + 2x ) 4x 2) Aire du triangle : B X H ( 2x + 6 ) X 4x 8x x x x 4x x 2 2 3) Aire du carré : C X C 2x X 2x 4x 2 4) Aire à repeindre : 4x x 4x 2 12x Rép. : 12x 27. 1) Périmètre de la piste d Olivier : P 2 ( L + l ) 2 ( 4x 5 + 2x + 12 ) 2 ( 6x + 7 ) 12x ) Périmètre de la piste de Rose : P 2 ( L + l ) 2 ( 4x ) 2 ( 4x + 11 ) 8x ) Olivier complète 855 m de plus que Rose en 15 tours donc en un tour il parcourt 57 m de plus que Rose. 12x x x x x x x 8x x 8x 8x 8x x 65 4x x 16,25 m 4) Longueur de la piste d entraînement de Rose : 8x + 22 pour x 16,25 ; 8 X 16, m Rép. : 152 mètres

8 28. Les 2 cathètes du triangle rectangle isocèle sont égales entre elles et valent la mesure du côté du petit carré soit 3 m. 1) Déterminer la mesure du côté du grand carré. c a 2 + b ,2 m 2) Faire la somme des côtés extérieurs des carrés. 3 m b a c Le périmètre est : ,2 + 4,2 + 4,2 30,6 m 3) Coût : 30,6 m X 6,00 $/m 183,60 $ Rép. : 183,60 $ 29. La tuque est composée de deux solides : un cylindre et un cône. 1) Il faut chercher l aire latérale du cône et du cylindre. A lat du cône : circonférence X apothème 80 X cm A lat du cylindre : circonférence X hauteur : 80 X cm 2 2) Tissu à acheter : cm 2 3) Convertir les cm 2 en m 2 : 2 800cm 2 0,28 m 2 0,3 m 2 Rép. : 0,3 m 2

9 31. 1) Déterminer l aire du triangle c 10 cm a c 2 - b ,66 cm a b 5 cm A b x h 2 8,66 X ,3 cm 2 2) Calculer l aire du cercle : πr 2 π X 2, ,24 cm 2 3) Aire de la partie grise : aire du triangle aire du cercle 4) Probabilité : Aire partie foncée Aire du triangle 32. Liste ordonnée en ordre croisant : 43,3 cm 2-26,24 cm 2 17,06 cm 2 17,06 cm 2 43,3 cm 2 0,394 39,4 % Même mode: 50 Même médiane: 50 Même moyenne donc: x x x x x x Une tige: 41 cm car l'étendue est de 59 et la longueur maximale d'une tige est de 100 cm. Une tige: 72 cm car le mode est 72 et la liste contient déjà 3 longueurs de 65 cm et 3 longueurs de 72 cm. Rép.: 50, 50, 68. Une tige: 62 cm car la donnée manquante pour avoir une moyenne de 73 est: x x x x x 62 cm Rép.: 41 cm, 62 cm, 72 cm

10 34. Liste ordonnée: Moyenne: 68,3125 étendue: 22 La médiane est supérieure au triple de l'étendue: 3 x Rép.: D 35. Classe modale : [ 2 000, [ $ ; Médiane : $ Moyenne : $ ; Étendue : $ A) 2a 2 a 2 3 a a 6 a 6 3b b 3 3 b 3 b 3 X b3 3 3 b 3 a B) ( x 4 y -1 ) 6 ( x 4 y -1 ) 6/2 ( x 4 y -1 ) 3 x 4 X 3 y -1 X 3 x 12 y -3 x 12 y 3

11 42. Ce problème est une résolution de système 1) Déterminer les règles des fonctions. Compagnie A : Calculer le taux de variation pour vérifier si la table représente une fonction linéaire. y 2 y 1 x 2 x 31,20-28, ,18 C est bien une fonction linéaire. 33,00-31, ,18 Déterminer la règle : f(x) 0,18x + b avec ( 50, 33 ) 33 0,18 X 50 + b Compagnie A : f(x) 0,18x + 24 Compagnie B : 33,00 28, b b b 24 Selon le graphique, on a les couples ( 50, 36 ) et ( 150, 48 ) 0,18 Taux de variation : y 2 y 1 x 2 x ,12 Déterminer la règle : g(x) 0,12x + b avec ( 50, 36 ) 36 0,12 X 50 + b b b b 30 Compagnie B : g(x) 0,12x ) Résoudre le système. 0,18x ,12x ,18x ,12x ,18x 0,12x + 6 0,18x 0,12x 0,12x 0,12x + 6 0,06x 6 0,06x 16 0,06 0,06 x 100 km

12 42. ( suite ) 3) Analyser la situation avec un graphique. Coût de location d un scooter Compagnie B Compagnie A 100 Distance parcourue (km) Réponse Si Loïc prévoit faire plus de 100 km, il a fait le bon choix. S il pense faire moins de 100 km, il aurait dû choisir la compagnie A ) Construire le diagramme de quartiles. Déterminer le minimum, les quartiles et le maximum. Écrire la liste des données : 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 9, 9. min. Q 1 4 Q 1 5 Nombre de villes d Égypte connus par les touristes à leur arrivé Q 3 6 max Nombre de villes Je vous présente les résultats du sondage que j ai effectué auprès de la population de touristes que j ai guidés. Ces résultats sont représentés sous la forme d un diagramme de quartiles.

13 44. 1) Déterminer la règle de consommation d essence de la famille Gagnon. Règle de consommation d essence de la famille Faucher : f(x) - 0,1x + 60 Ce taux de variation est exprimé en litre par kilomètre. L ordonnée à l origine ( 60 litres ) représente le réservoir plein d essence. L automobile de la famille Gagnon consomme 4 litres de plus que celle de la famille Faucher pour 100 km; donc 4 litre 100 km 0,04 litre par kilomètre. Taux de variation : 0,04 litre de plus donc 0,14 litre par kilomètre Ordonnée à l origine : le réservoir contient 10 litres de plus que le réservoir de l automobile de la famille Faucher donc 70 litres. Règle : g(x) - 0,14x + 70 Il faut tracer le graphique pour le domaine [ 0, 600 ] km. Pour tracer la courbe d une fonction linéaire, on a besoin de deux points seulement. On connaît les ordonnées à l origine de chaque fonction; il faut donc calculer un autre couple pour chaque fonction. Famille Faucher : f(x) - 0,1x + 60 pour x 600; f(600) - 0,1 X donc ( 600, 0 ). Famille Gagnon : g(x) - 0,14x + 70 pour x 400; g(400) - 0,14 X donc ( 400, 14 ). Consommation d essence des voitures des familles Faucher et Gagnon Quantité d essence (L) g(x) f(x) Distance parcourue (km)

14 45. Le bain de Cléopâtre peut être décomposé en un prisme droit à base rectangulaire et un quart de cylindre. 1) Volume du prisme : Déterminer les dimensions représentées par le volume du lait. Longueur : 120 cm; largeur 65 cm; hauteur : 45 cm 15 cm 30 cm Volume prisme : L X l X h 120 cm X 65 cm X 30 cm cm 3 2) Volume du quart de cylindre : Déterminer les dimensions représentées par le volume du lait. Hauteur de cylindre : 65 cm; rayon du cylindre : 45 cm 15 cm 30 cm Volume cylindre : π r 2 h π X 30 2 X ,17 cm 3 Volume du quart du cylindre : ,17 cm ,79 cm 3 3) Volume total : cm ,79 cm ,79 cm 3 4) Convertir en litres : ,79 cm 3 279,945 litres pour un bain. 5) Quantité de lait pour un an : 4 bains par mois X 12 mois 48 bains 6) Quantité de lait pour un an : 48 X 279,945 litres ,36 litres 7) Calculer le nombre de chèvres : 1 chèvre produit 572 litres donc ,36 litres ,49 chèvres Réponse : Le troupeau de Cléopâtre devait comporter au moins 24 chèvres.

15 46. La terre cuite est pour construire l épaisseur de la coupe donc : la demi-sphère extérieure la demi-sphère intérieur 1) Volume de la demi-sphère extérieure : Volume de la sphère extérieure : 4πr3 3 4 X π X 7,5 3 3 diamètre : 15 cm ; rayon 7,5 cm 1 767, 15 cm 3 Volume de la demi-sphère extérieure : 1 767, 15 cm ,58 cm 3 2) Volume de la demi-sphère intérieure : 883,58 cm cm 3 713,58 cm 3 3) Déterminer le rayon de la demi-sphère intérieure : Il faut doubler le volume car il ne représente que la moitié du volume de la sphère qui nous intéresse pour trouver le rayon. 713,58 cm 3 X ,16 cm 3 Isoler le rayon : V 4πr ,16 cm 3 4 X π X r ,48 cm X π X r ,48 cm 3 4 X π X r ,48 cm 3 4π 4 X π X r 3 4π 340,71 r 3 340,71 r 3 r 6,98 cm 4) Épaisseur de la coupe : rayon de la demi-sphère extérieure le rayon de la demisphère intérieure. 7,5 cm 6,98 cm 0,52 cm Réponse : l épaisseur de la coupe est 0,52 cm

16 47. 1) Déterminer la règle à partir du graphique. Le graphique montre une fonction inversement proportionnelle. En multipliant ensemble l abscisse et l ordonnée de chaque couple, on peut le constater. ( 12, 60 ), ( 18, 40 ), ( 20, 36 ) 12 X ; 18 X ; 20 X La règle est donc x X f(x) 720 ou f(x) 720 x dans laquelle x : le diamètre de la poulie en cm. f(x) : la vitesse de rotation de la poulie, en tours par minute. 2) Déterminer le diamètre de la poulie tournant à 90 tours/minute. f(x) 720 x x x 1 90x x x 8 cm Réponse : 8 cm

17 49. A P B 1) Déterminer la mesure des segments AS et SD ainsi que DR et RC m AS m SD cm cm S Q m DR m RC cm Tous les segments composant le rectangle auront les mêmes mesures respectives. 2) Déterminer m SR : 72 D 30 R cm Le triangle SDR est rectangle car le sommet D est aussi le sommet du rectangle donc un angle de C m SR ( m SD ) 2 + ( m DR ) cm Les segments SP, PQ et QR auront la même mesure; PQRS est donc un losange. 3) Déterminer la longueur du ruban d étain nécessaire en calculant le périmètre du losange PQRS. Périmètre losange 4C 4 X 78 cm 312 cm. 4) Convertir en mètres car le rouleau se vend au mètre : 312 cm 3,12 m. 5) Calculer le nombre de rouleaux : 3,12 2 1,56 rouleaux donc 2 rouleaux. 6) Calculer le prix d achat : 2 X 23 46,00 $ Réponse : 46,00 $

18 50. 1) Déterminer la probabilité d atteindre un carré noir dans la cible A. nombre de carrés noirs nombre total de carrés 4 9 2) Déterminer l aire de la zone noire de la cible B. car les carrés sont isométriques ( ils sont tous de même mesure ). Dimensions du carré noir : c 30 cm; aire c cm 2 Dimensions du carré blanc : c 18 cm; aire c cm 2 Zone noire aire du carré noir aire du carré intérieur blanc 900 cm cm cm 2 3) Déterminer l aire du grand carré blanc de la cible B. En utilisant la probabilité obtenue avec la cible A, poser la même proportion. aire de la zone noire aire du grand carré blanc cm 2 x X 576 cm 2 4x cm 2 4x 4 4 x cm 2 4) Déterminer la mesure du côté du grand carré blanc. A c c c 2 c 36 cm Réponse : 36 cm