PROBABILITÉS. La variance de la variable aléatoire X est le réel positif, noté V (X), défini par :

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1 POAILITÉS I. VAIALES ALÉATOIES On note l univers associé à une expérience aléatoire (l ensemble des issues ou éventualités). On suppose que est fini, c est-à-dire qu il y a un nombre fini d issues et qu une loi de probabilité p est définie sur l univers. Définition 1 Une variable aléatoire sur est une fonction définie sur qui à tout élément de associe un réel. Une variable aléatoire est souvent notée X, Y, Z. Elle est dite discrète car elle prend un nombre fini de valeurs, l univers étant fini. Associer à chaque issue de un gain (un gain négatif correspond à une perte) est un exemple classique de variable aléatoire. Définition 2 Soit E = { x 1, x 2,, x } l ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire X. On note (X = x i ) l événement «X prend la valeur x i». On définit la loi de probabilité de la variable aléatoire X en associant à chaque valeur x i la probabilité de l événement (X = x i ), notée p i = p (X = x i ). Soit a et b deux réels. On définit la nouvelle variable aléatoire Y = a X + b associant à chaque issue, à laquelle est associée x i, le réel y i = a x i + b. La loi de probabilité associe au réel y i le réel p (X = x i ). (X = x i ) contient toutes les issues de dont l image par X est x i. C est l ensemble des antécédents de x i par X. Un même réel x i peut être associé à plusieurs issues de (x i peut avoir plusieurs antécédents). On présente souvent la loi de probabilité avec un tableau. On a bien sûr 0 p i 1 et Définition 3 L espérance de la variable aléatoire X est le réel, noté E (X), défini par : E (X) = p i x i = La variance de la variable aléatoire X est le réel positif, noté V (X), défini par : p i = 1. V (X) = p i (x i E(X)) 2 = L écart type de la variable aléatoire X est le réel positif, noté (X), défini par : (X) =. C est valeurs sont obtenues grâce au registre statistique de la calculatrice. Dans le cas d une variable aléatoire qui à chaque issue de associe un gain, l espérance est le gain moyen que le joueur peut espérer à chaque partie, s il joue un très grand nombre de fois. Si E (X) < 0, le jeu est défavorable au joueur (E (X) est la perte moyenne qu il peut espérer) ; si E (X) > 0 le jeu est favorable au joueur (et défavorable à l organisateur) et si E (X) = 0 le jeu est dit équitable. Propriété 1 V (X) = E (X ²) (E (X)) ² = p i x i 2 E(X) 2 = [p 1 x 1 ² + p 2 x 2 ² + + p x ² ] (E (X)) ² Chapitre 5 Probabilités Page 1 sur 6

2 Propriété 2 Soit X une variable aléatoire. Pour tous réels a et b : E (a X + b) = a E (X) + b, V (a X) = a ² V (X) et (a X) =. Voir exercice 1. II. ÉPÉTITIO D ÉPEUVES IDETIQUES ET IDÉPEDATES Définition 4 Soit une expérience aléatoire qui consiste à répéter, dans les mêmes conditions initiales, plusieurs fois une même expérience appelée épreuve. On dit que ces épreuves sont indépendantes lorsque le déroulement de l une quelconque d entre elles n a aucune influence (de manière intuitive) sur le déroulement des autres. Les lancers successifs d une pièce, d un dé, la répétition de tirages, avec remise entre chaque tirage, sont des expériences répétées indépendantes. Propriété 3 (principe multiplicatif) Lors de la répétition d épreuves indépendantes, la probabilité d une liste ordonnée de résultats est égale au produit des probabilités de chacun de ces résultats. Exemple 1 : Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher : deux bleues, deux rouges, et une noire. Une expérience aléatoire consiste à répéter deux fois l épreuve «tirer au hasard une boule dans l urne et noter sa couleur», en remettant la première boule tirée dans l urne après avoir noté sa couleur. Ces deux épreuves sont indépendantes car on a un tirage avec remise. Ce n est pas le cas lors d un tirage sans remise (la composition de l urne est alors modifiée lors du 2 e tirage). L expérience comporte issues ou listes de résultats :,... On a : p () = ; p () = et p () = L expérience aléatoire peut être illustrée par un arbre pondéré. 1 re boule 2 e boule Issues Probabilités Commentaires 2/5 2/5 = 4/25 Une branche est représentée par un segment ; chacune porte une probabilité (son «poids»). Un nœud est la jonction de plusieurs branches. On associe à chaque chemin, constitué de plusieurs branches, la liste des résultats lus en le parcourant. Ainsi le chemin en gras représente l issue codée (tirage d une bleue puis d une rouge). ègles d utilisation d un arbre pondéré ègle 1 (loi des nœuds) La somme des probabilités portées sur les branches issues d un même nœud est égale à 1. Ainsi pour le 1 er nœud du haut on a : ègle 2 (loi des chemins) La probabilité d une issue représentée par un chemin est le produit des probabilités portées sur les branches de ce chemin. ègle 3 La probabilité d un événement A est la somme des probabilités des issues associées aux chemins qui conduisent à la réalisation de A. Chapitre 5 Probabilités Page 2 sur 6

3 Dans l exemple 1, on considère l événement A «On obtient un tirage unicolore». Il est réalisé par les issues et P (A) = Exemple 2 : Sur le trajet d un automobiliste se trouvent quatre feux tricolores. Ces feux n ont pas été synchronisés (ils fonctionnent de manière indépendante). Le cycle de chacun d eux est réglé ainsi : 35 s au vert, 5 s à l orange et 20 s au rouge. Ici on répète... fois une épreuve dont la loi de probabilité est donnée par le tableau ci-dessous : Soit les événements : A : «Il rencontre trois feux verts puis un feu rouge» ; : «Il rencontre un feu rouge puis trois feux verts» ; C : «Il rencontre un feu rouge et trois feux verts» ; D : «Il rencontre exactement trois feux verts» ; E: «Il ne rencontre pas de feu rouge» ; F: «Il rencontre au moins un feu rouge». P (A) = p (VVV) = P () = emarque : P () = P (C) = P (D) = P (D) = P (E) = On en déduit P (F) = III. LOI DE EOULLI Définition 5 Une épreuve de ernoulli de paramètre p est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues : l une appelée «succès», notée S, de probabilité p ; l autre appelée «échec», notée E ou S, de probabilité Soit Y la variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d échec, dont la loi de probabilité est donnée ci-contre. Cette loi est appelée la loi de ernoulli de paramètre p. On dit que Y suit la loi de ernoulli de paramètre p. y i 0 1 P (Y = y i ) 1 p p Dans l exemple 2, le passage à un feu est une épreuve de ernoulli de paramètre, en appelant succès «encontrer un feu rouge». L échec est l événement Issues 0 1 Probabilités Chapitre 5 Probabilités Page 3 sur 6

4 Propriété 4 Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de ernoulli de paramètre p. L espérance de X est E (X) = p et sa variance est V (X) = p ( 1 p ). Calcul de V (X) : IV. LOI IOMIALE Définition 6 Un schéma de ernoulli est une répétition d épreuves de ernoulli identiques et indépendantes. Un schéma de ernoulli a deux paramètres : n le nombre de répétitions de l épreuve de ernoulli et p le paramètre de cette épreuve (la probabilité d un «succès»). Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès obtenus dans un schéma de ernoulli de n épreuves de paramètre p. La loi de probabilité de X est appelée la loi binomiale de paramètres n et p, notée b (n ; p). On dit aussi que X suit la loi binomiale de paramètres n et p. On peut écrire X b (n ; p). On peut représenter un schéma de ernoulli de paramètres n et p par un arbre pondéré comportant chemins. Une issue représentée par un chemin peut être codée sous la forme d une liste ordonnée dont les n termes sont S pour «succès» ou E pour «échec». La probabilité d une issue représentée par un chemin comportant succès est Pour obtenir la probabilité d avoir succès il suffit de multiplier cette probabilité par (règle ) Voir exercice 2. Définition 7 On considère un schéma de ernoulli de paramètres n et p représenté par un arbre. Pour tout entier, 0 n, on note ( ) (lire «parmi n») le nombre de chemins de l arbre correspondant à succès. Ces nombres entiers sont appelés coefficients binomiaux. Par convention, on pose ( ) =1. Exercice 3 Compléter le tableau avec les arbres fournis en annexe ou avec la calculatrice. Calcul de ( ) avec CASIO : OPT F3 (PO) 5 ncr 2 EXE ; Calcul de ( ) avec TEXAS : 5 MATH (P) 3 (3 : ncr) 2 ETE n ( ) Propriétés des coefficients binomiaux Pour tout entier naturel n, ( ) = ; ( ) = et ( ) = Pour tout entier naturel n et tels que 0 n, ( ) = ( ). Pour tout entier naturel n et p tels que 1 n 1, ( ) = ( ) + ( ). Cette égalité est appelée «la formule de Pascal». Chapitre 5 Probabilités Page 4 sur 6

5 Démonstrations : ( ) = car il y a un seul chemin réalisant 0 succès : celui qui ne comporte que des échecs. ( ) = car il y a un seul chemin réalisant n succès : celui qui ne comporte que des succès. ( ) = car il y a un n chemins correspondant à 1 succès. Le succès peut être obtenu en 1 er, 2 e, 3 e ( ) = ( ) car lorsqu il y a n succès, il y a échecs. Compter les chemins réalisant n succès revient à compter les chemins réalisant échecs. Parmi les chemins comportant + 1 succès après n + 1 répétitions on en distinguer deux types : ceux qui commencent par un succès, au nombre de ceux qui commencent par un échec, au nombre de Le triangle de Pascal : Le triangle de Pascal, représenté ci-contre, permet de calculer, de proche en proche, les coefficients binomiaux en utilisant la formule de Pascal. L entier ( ) est à l intersection de la ligne n et de la colonne On commence par supprimer (en les grisant par exemple) les cases pour lesquelles le calcul n a pas de sens ( On place les valeurs évidentes ( ) =, ( ) = et ( ) = On utilise, de proche en proche, la formule de Pascal. n Propriété 6 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale b (n ; p). Pour tout entier tel que 0 n : P (X = ) = ( ) p (1 p) n. Son espérance est E (X) = n p et sa variance est V (X) = n p (1 p). On peut obtenir la loi de probabilité de X avec une calculatrice. Dans l exemple ci-dessous X b (10 ; 0,4). CASIO Dans le menu STAT, saisir dans List 1 : 0, 1,, 10. F5 (DIST), F5 (IM), F1 (pd) enseigner l écran : F1 (CALC) EXIT EXIT TEXAS On efface préalablement les données qui figurent éventuellement dans les listes L1 et L2. STAT 4 (ClrList) ETE (Edit) 2nd L 1, L 2 ETE STAT ETE pour saisir dans L1 : 0, 1, 2,, 10. Positionner le curseur sur L2. 2nd VAS (DIST) 0 (binompdf) ETE 1 0, 0. 4 ) ETE Voir exercice 4. Chapitre 5 Probabilités Page 5 sur 6

6 Exercice 1 Un joueur mise 15 puis lance successivement trois pièces de monnaie parfaitement équilibrées. Il gagne 18 s il obtient trois fois Face, 17 s il obtient deux fois Face exactement ; 16 s il obtient une fois Face exactement. On désigne par X la variable aléatoire qui donne la somme gagnée ou perdue à l issue du jeu. 1. Déterminer les valeurs prises par X et définir par une phrase l événement (X = 15). 2.a. Établir, à l aide d un arbre, la loi de probabilité de la variable aléatoire X en complétant les deux premières lignes du tableau ci-dessous. x i TOTAL Commentaire p i = p (X = x i ) p i x i p i x i 2 b) Calculer l espérance E, la variance V et l écart type de X. etrouver ces résultats avec la calculatrice. 3) Le jeu est dit équitable lorsque l espérance de X est nulle. Quel devrait être le gain g du joueur, lorsqu il n obtient que des face, pour que le jeu soit équitable? Exercice 2 Dans la situation décrite dans l exemple 2 on appelle X la variable aléatoire dénombrant le nombre de feux rouges rencontrés par l automobiliste sur son trajet. 1. Justifier X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. 2. Déterminer, à l aide d un arbre pondéré, la loi de probabilité de X. 3. Calculer l espérance de X. Interpréter ce résultat. Exercice 4 Un élève répond au hasard aux 5 questions d un QCM. Pour chaque question, 3 réponses sont proposées, dont une seule est exacte. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses. 1. Justifier que X suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres. 2. Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer son espérance et son écart type. 3. Calculer la probabilité d avoir au moins 1 bonne réponse, au moins 4 bonnes réponses. 4. Le QCM comporte n questions. Soit A l événement «l élève obtient au moins une bonne réponse». Déterminer la plus petite valeur de n à partir de laquelle la probabilité de A est supérieure à 0,99. Chapitre 5 Probabilités Page 6 sur 6