Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes

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1 Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes L2 Eco-Gestion, option AEM (L2 Eco-Gestion, option AEM) Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes 1 / 20

2 Plan 1 Notion de variable aléatoire Exemples 2 Loi de probabilité (ou distribution) d une variable aléatoire Fonction de répartition Espérance Variance et écart-type 3 Variable aléatoire centrée réduite Inégalité de Bienaymé-Tchebycheff 4 Compléments Fonction génératrice des moments Indépendance et somme de v.a. (indépendantes) (L2 Eco-Gestion, option AEM) Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes 2 / 20

3 Plan 1 Notion de variable aléatoire Exemples 2 Loi de probabilité (ou distribution) d une variable aléatoire Fonction de répartition Espérance Variance et écart-type 3 Variable aléatoire centrée réduite Inégalité de Bienaymé-Tchebycheff 4 Compléments Fonction génératrice des moments Indépendance et somme de v.a. (indépendantes) (L2 Eco-Gestion, option AEM) Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes 3 / 20

4 Notion de variable aléatoire Souvent, lors d une expérience aléatoire, on ne s intéresse pas à l issue ω de cette épreuve, mais à une fonction de cette réalisation (notée X (ω)) de cette issue, donnant une valeur numérique... (L2 Eco-Gestion, option AEM) Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes 4 / 20

5 Notion de variable aléatoire Exemples Exemples 1 On jette deux fois un dé ; on s intéresse à la somme des numéros obtenus. On s intéresse au nombre de lancers d une pièces pour obtenir "pile". On choisit deux réels au hasard dans [0,1] ; on s intéresse à leur somme. Exemple 2 Une urne contient une boule rouge R, une boule verte V et une boule bleue B. On effectue deux tirages avec remise. On considère la règle du jeu suivante : 1 pour chaque boule rouge tirée, on gagne 3 euros ; 2 pour chaque boule verte tirée, on gagne 1 euro ; 3 pour chaque boule bleue tirée, on perd 4 euros. On s intéresse au montant des gains ou des pertes. (L2 Eco-Gestion, option AEM) Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes 5 / 20

6 Notion de variable aléatoire Soit un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P) associé à une expérience aléatoire. On appelle variable aléatoire discrète, une application X, de Ω dans X (Ω) = {x 1,x 2,...x n,...}, ensemble fini ou dénombrable : X : Ω X (Ω) = {x 1,x 2,...x n,...} ω X (ω) X (Ω) est appelé ensemble des observables. Retour sur les exemples Parmi les exemples, quelles sont les v.a. discrètes? Définir alors Ω. (L2 Eco-Gestion, option AEM) Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes 6 / 20

7 Plan 1 Notion de variable aléatoire Exemples 2 Loi de probabilité (ou distribution) d une variable aléatoire Fonction de répartition Espérance Variance et écart-type 3 Variable aléatoire centrée réduite Inégalité de Bienaymé-Tchebycheff 4 Compléments Fonction génératrice des moments Indépendance et somme de v.a. (indépendantes) (L2 Eco-Gestion, option AEM) Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes 7 / 20

8 Loi de probabilité (ou distribution) d une variable aléatoire La loi de probabilité (ou distribution) de la v.a. discrète X est la fonction : X (Ω) = {x 1,x 2,...x n,...} [0,1] x i P(X = x i ) définie par P(X = x i ) = P(ω telles que X (ω) = x i ). On note généralement P(X = x i ) = p i. Retour sur les exemples Déterminer la loi de probabilité des exemples de v.a. discrètes. (L2 Eco-Gestion, option AEM) Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes 8 / 20

9 Loi de probabilité (ou distribution) d une variable aléatoire Fonction de répartition On appelle fonction de répartition de X, la fonction F : R [0, 1] x F (x) = P(X x) Autrement dit, F (x) = x i X (Ω),x i x P(X = X i ). Propriétés pour tout x réel, on a 0 F (x) 1. La fonction de répartition d une v.a. est croissante et est continue à droite. X est une variable aléatoire discrète si et seulement si sa fonction de répartition est une fonction en escalier. (L2 Eco-Gestion, option AEM) Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes 9 / 20

10 Loi de probabilité (ou distribution) d une variable aléatoire Fonction de répartition Retour sur l exemple R,V,B Calculer et tracer la fonction de répartition de X. Propriété Soient X une v.a. discrète, X (Ω) = {x 1,x 2,...x n,...} l ensemble des observables, et F sa fonction de répartition. On a : P(X = x 1 ) = F (x 1 ) pour i 2 P(X = x i ) = F (x i ) F (x i 1 ) Conséquence La connaissance de la loi de probabilité de X permet de calculer la fonction de répartition, et inversement. (L2 Eco-Gestion, option AEM) Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes 10 / 20

11 Loi de probabilité (ou distribution) d une variable aléatoire Fonction quantile Propriété Soient X une v.a. discrète, X (Ω) = {x 1,x 2,...,x n,...} l ensemble des observables, et F sa fonction de répartition. Le quantile d ordre α [0,1], noté q(α) = FX 1 (α) est la plus petite réalisation appartenant à X (Ω) associée à une probabilité supérieure ou égale à α Retour sur l exemple R,V,B F (q(α)) = F (F 1 (α)) = P(X q(α)) α. Calculer la médiane et le troisième quartile, c-a-d les quantiles d ordre 0.5 et (L2 Eco-Gestion, option AEM) Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes 11 / 20

12 Loi de probabilité (ou distribution) d une variable aléatoire Espérance L espérance d une v.a. discrète X est le nombre réel, s il existe, défini par E(X ) = i Retour sur l exemple R,V,B Calculer E(X ). Propriétés de l espérance x i P(X = x i ) = x i p i i Soit f une fonction de X (Ω) dans R. On a : E[f (X )] = i p i f (x i ) Propriété de linéarité : soient a,b R, on a E[aX + b] = ae(x ) + b Retour sur l exemple R,V,B Soit Y = 2X + b, quelle est la valeur de b pour que E(Y ) = 0? (L2 Eco-Gestion, option AEM) Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes 12 / 20

13 Loi de probabilité (ou distribution) d une variable aléatoire Variance et écart-type La variance d une v.a. X est, si elle existe, l espérance de la variable aléatoire (X E(X )) 2. On la note Var(X ) : Var(X ) = E[(X E(X )) 2 ] = E(X 2 ) E(X ) 2 0 Ainsi, dans le cas discret : Var(X ) = i p i x 2 i E(X ) 2 Intérêt La variance permet de quantifier la dispersion des valeurs de la variable aléatoire autour de l espérance. Retour sur l exemple R,V,B Calculer Var(X ). (L2 Eco-Gestion, option AEM) Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes 13 / 20

14 Loi de probabilité (ou distribution) d une variable aléatoire Variance et écart-type Propriété de la variance Var(X ) = 0 si et seulement si X est une v.a. constante. Soient a,b R : Var(aX + b) = a 2 Var(X ). On appelle écart-type de la v.a. X, la racine carrée de sa variance. On le note σ(x ). Intérêt Indice de dispersion possédant la même unité que les observables. (L2 Eco-Gestion, option AEM) Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes 14 / 20

15 Plan 1 Notion de variable aléatoire Exemples 2 Loi de probabilité (ou distribution) d une variable aléatoire Fonction de répartition Espérance Variance et écart-type 3 Variable aléatoire centrée réduite Inégalité de Bienaymé-Tchebycheff 4 Compléments Fonction génératrice des moments Indépendance et somme de v.a. (indépendantes) (L2 Eco-Gestion, option AEM) Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes 15 / 20

16 Variable aléatoire centrée réduite La v. a. centrée réduite définie à partir de la variable aléatoire X (supposée non constante et admettant un écart type fini) est la variable Y = X E(X ) σ(x ). Propriétés de la variable centrée réduite Montrer que E(Y ) = 0 et que Var(Y ) = σ(y ) = 1. Intérêt facilite la comparaison de variables aléatoires. La connaissance de la loi centrée réduite permet d obtenir la loi d autres variables. (L2 Eco-Gestion, option AEM) Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes 16 / 20

17 Variable aléatoire centrée réduite Inégalité de Bienaymé-Tchebycheff Inégalité de Bienaymé-Tchebycheff Soit X une variable aléatoire réelle. Pour tout réel ε > 0, on a : X E(X ) P( ε) 1 σ(x ) ε 2 (L2 Eco-Gestion, option AEM) Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes 17 / 20

18 Plan 1 Notion de variable aléatoire Exemples 2 Loi de probabilité (ou distribution) d une variable aléatoire Fonction de répartition Espérance Variance et écart-type 3 Variable aléatoire centrée réduite Inégalité de Bienaymé-Tchebycheff 4 Compléments Fonction génératrice des moments Indépendance et somme de v.a. (indépendantes) (L2 Eco-Gestion, option AEM) Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes 18 / 20

19 Compléments : Fonction génératrice des moments Fonction génératrice des moments La fonction génératrice d une v.a. discrète X définie sur X (Ω) = {x 1,...,x n,...}, est la fonction M X définie sur R et à valeurs dans R + par Propriété M X (t) = E(exp(tX )) = x i X (Ω) exp(tx i )P(X = x i ). La fonction génératrice d une v.a. discrète X (lorsqu elle existe) détermine tous les moments. En effet, pour tout k 1, on a E(X k ) = M (k) X (t) t=0, ainsi E(X ) = M X (0),E(X 2 ) = M X (0). Retour sur l exemple R,V,B Retrouver le fait que E(X ) = 0 et E(X 2 ) = 52/3 en utilisant le fait que M X (t) = (exp( 8t) + 2exp( 3t) + 2exp( t) + exp(2t) + 2exp(4t) + exp(6t))/9 (L2 Eco-Gestion, option AEM) Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes 19 / 20

20 Compléments Indépendance et somme de v.a. (indépendantes) Soient X et Y deux v.a. discrètes définies sur {x i,i I } et {y j,j J } où I et J sont deux ensembles dénombrables. On a les définitions et propriétés suivantes : X et Y sont dites indépendantes ssi pour tous i I et j J, P([X = x i ] [Y = y j ]) = P(X = x i )P(Y = y j ). Z = X + Y est une v.a. discrète définie sur {x i + y j,i I,j J }, et on a toujours E(Z) = E(X ) + E(Y ). Si en outre, X et Y sont indépendantes, Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y ). Somme de dés Soient X 1 et X 2 les faces supérieures correspondantes à deux lancers indépendants de dé et soit Z la moyenne de ces deux v.a. Calculer E(Z) et Var(Z) (même question avec n dés). (L2 Eco-Gestion, option AEM) Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes 20 / 20