Ondes (Phys202r) Partiel n 1

Transcription

1 DEUG S3 PMCP 6 octobre 6 Ondes Physr) Partiel n 1 durée: 1 heure sans documents, calculatrices autorisées L énoncé comporte 3 pages. Les questions 1 à 4 du B peuvent être résolues indépendamment les unes des autres. Barème indicatif: A=5 et B=15. A. Représentation complexe On considère les deux ondes progressives sinusoïdales s 1 x, t) = a cosωt kx) et s x, t) = b cosωt kx + φ) 1) avec a = 1cm, b = 5cm, ω et k sont des nombres positifs donnés et φ est un nombre réel. 1) Écrire la représentation complexe ŝ 1 et ŝ de ces ondes. En déduire que la superposition des deux ondes est également une onde progressive sinusoïdale de la forme sx, t) = s 1 x, t) + s x, t) = A cosωt kx + ψ) avec A et π < ψ π. ) Exprimer A en fonction de a, b et φ. On demande une expression qui ne contient pas de fonctions trigonométriques inverses. ) Application numérique: calculer A et ψ pour φ = π. 3) Les amplitudes a = 1 cm, b = 5 cm étant fixes, comment doit-on choisir la phase φ pour que A soit le plus grand possible? Que vaut alors A? 4) Les amplitudes a = 1 cm, b = 5 cm étant fixes, comment doit-on choisir la phase φ pour que A soit le plus petit possible? Que vaut alors A? 1

2 B. Réflexion d une onde Une corde homogène très longue infinie), de masse linéique µ = 1gm 1, fixée en O, est tendue le long du demi-axe Ox. La corde au repos est confondue avec la demi-droite Ox. La vitesse de propagation des ondes le long de la corde est c = 7 ms 1. Aux temps t, une perturbation onde progressive) se propage vers les x décroissants le long de la corde. Cette perturbation atteint le point O à l instant t =. À l instant t =, l allure de la corde cf. figure 1) est donnée par le déplacement du point x x ), sx, t) t= = fx), 3) où on a posé avec a = 1cm et A =,7. fu) = { si u Aue u/a si u 4) 1 s cm) O 5 1 x cm) Fig. 1 La corde à l instant t =. 1) Avant la réflexion Représenter la forme de la corde à l instant t =,1s. ) Expressions mathématiques a) Justifier que pour t le déplacement sx, t) des points de la corde est donné par sx, t) = s g x, t) = fct + x) t, x ) 5) où la fonction f est donnée par l équation 4). b) Déterminer l expression du déplacement sx, t) de l onde valable à tout instant t et pour tout x. On répondra en utilisant la fonction f donnée par l équation 4). Vérifier que l expression obtenue est solution de l équation de d Alembert; satisfait les conditions aux limites en x = ; est égale à s g x, t) pour t et x. 3) Après la réflexion Représenter la forme de la corde à l instant t =,1s.

3 4) Énergie de l onde L énergie mécanique E de l onde est donnée par l intégrale [ ) 1 s E = µ + 1 ) ] s t µc dx. 6) x a) Quelle est l interprétation physique des termes 1 s µ t Vérifier que l équation 6) est homogène. ) et 1 µc ) s? x b) Pour l onde donnée par l équation 5) calculer les dérivées partielles s t l instant t =. Répondre en fonction de A, c, a et x. et s x à c) En déduire l énergie mécanique E en fonction de µ, A, c et a. On pourra utiliser I k = u k e u du = k! pour k =, 1,,... 7) d) Calculer la valeur numérique de l énergie mécanique E. 3

4 DEUG S3 PMCP 6 octobre 6 A. Représentation complexe Ondes Physr) Corrigé du partiel n 1 1) On a en représentation complexe On en déduit ŝ 1 x, t) = ae iωt kx) et ŝ x, t) = be iωt kx+φ). 8) ŝx, t) = ŝ 1 x, t) + ŝ x, t) = a + be iφ )e iωt kx) = Ae iψ e iωt kx) 9) en posant Ae iψ = a + be iφ avec A et π < ψ π. En revenant en représentation réelle, on obtient que la superposition s des deux ondes est l onde progressive sinusoïdale sx, t) = s 1 x, t) + s x, t) = A cosωt kx + ψ) 1) La norme du nombre complexe Ae iψ = a + be iφ est A = a + be iφ )a + be iφ ) = a + ab cosφ + b. 11) ) Application numérique On a A = a + b = 13cm et ψ = arctan5/1) =,395rad =,6. 3) L amplitude est maximale quand les ondes sont en phase φ = ). On a alors A = a + b = 17cm. 4) L amplitude est minimale quand les ondes sont en opposition de phase φ = π). On a alors A = a b = 7cm. B. Réflexion d une onde 1) Au temps t =,1s, l onde était décalée de ct = 7cm vers la droite. 1 s cm) O 5 1 x cm) Fig. La corde à l instant t =,1s. 4

5 .a) Le déplacement est s g x, t) = fx + ct). 1) En effet, cette expression représente une onde progressive se propageant vers la gauche, qui atteint le point O à l instant t = et telle que sx, t) t= = fx)..b) Le déplacement est sx, t) = fx + ct) fct x). 13) On vérifie en effet: c est une solution de l équation de d Alembert d après le théorème de d Alembert; elle satisfait les conditions aux limites en x = puisque pour x =, on a bien sx =, t) = fct) fct) = pour tout t; on a sx, t) = fx+ct) = s g x, t) pour t et x puisque ct x implique fct x) =. Le terme fct x) représente l onde réfléchie sur le point fixe O. 3) Au temps t =,1 s, l onde incidente est devenue négligeable: fx + ct) fct) <,7mm pour x. L onde s est réfléchie avec changement de signe et s est propagée de ct = 7cm vers la droite. O s cm) 5 1 x cm) 1 4.a) La grandeur 1 ) s µ dx = t dx et v = s t Le terme K = 1 s µ t Fig. 3 La corde à l instant t =,1 s. dm v, avec dm = µ dx masse de l élément de corde sa vitesse, est l énergie cinétique de l élément de corde. ) est donc la densité linéique d énergie cinétique. Vérifions sa dimension [s] = L, [v] = LT 1, [µ] = ML 1 et [K] = MLT qui a bien la dimension d une énergie divisée par une longueur. Le terme U = 1 ) s µc est la densité linéique d énergie potentielle de la corde. Ce x [ terme a la même dimension que K puisque c ] [ ] =. x t L équation 6) est donc homogène. 5

6 4.b) On calcule et s t = cf x) = Ac t= s x = f x) = A t= 1 x ) e x/a 14) a 1 x ) e x/a 15) a 4.c) On calcule E = µc [f x)] dx = µc A Faisons le changement de variable u = x/a: On a donc E = µc A a 1 u ) e u du = µc A a 1 x a) e x/a dx. I I 1 + I ). 4 E = µc A a. 16) 4 4.d) La valeur numérique de l énergie mécanique est E =,19J. 6