Physique année Corrigé du DS commun de physique n 5 - Ondes mécaniques. v z (x, z, t) = (z + h) v x x

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1 Classes de PC, PC*1 et PC*2 1 Janson de Sailly Corrigé du DS commun de physique n 5 - Ondes mécaniques 1 Ondes dans l océan 1.1 Ondes de gravité en eaux peu profondes 1. Les ondes étudiées sont décrites par les fonctions v x x, t et z = Zx, t ; ce sont des fonctions des variables x et t, donc elles se propagent selon la direction de l axe Ox, dans le sens de Ox ou dans le sens opposé. 2. L incompressibilité du fluide se traduit par div v M, t = 0 v x indépendant de z, ce qui donne, en intégrant par rapport à z : + v z = 0, donc v z = v x est v z x, z, t = z + h v x compte-tenu de la condition aux limites au fond rigide, imperméable et fixe : x, t, v z x, h, t = À partir de l expression précédente, on constate que, en ordres de grandeur v z h v x λ v x, puisque h λ ondes de surface. 4. On suit une particule de fluide de la surface dans son mouvement, entre les instants t et t + dt. Sa position à l instant t est x p t = x, z p t = Zx, t et sa position à l instant t + dt est : x p t + dt = x + v x x, tdt, z p t + dt = Zx + v x x, t, t + dt. Par définition du champ de vitesse en surface : v z x, 0, t = z pt + dt z p t dt = Zx + v xx, t, t + dt Zx, t dt = Z + v xx, t Z Z v zx, 0, t dans l approximation des ondes de petite amplitude, puisque v x x, t Z est du 2e ordre. 5. On applique en z = 0 la relation trouvée à la question 2, en remplaçant v z x, 0, t par Z : Z = h v x Équation 1 dans l approxima- 6. On écrit l équation d Euler : v dt + v grad v = gradp g e z v tion des ondes de petite amplitude, puisque v grad v est du 2 e ordre. 7. Puisque v z x, z, t est du 2 e ordre, la projection verticale de l équation d Euler donne : p = g px, z, t = g z Zx, t + p 0 compte-tenu de la condition aux limites à la surface : x, t, px, Zt, t = p On utilise le champ de pression qui vient d être déterminé : v x = p Z = g v x = g Z Équation 2 9. On élimine v x entre les deux équations : 2 Z 2 = h vx = h vx = h g Z = hg 2 Z 2 2 Z Z hg 2 = 0. C est une équation de D Alembert ; la célérité est c = hg ; la solution générale est : Zx, t = f x ct + gx + ct, f et g étant des fonctions quelconques.

2 Classes de PC, PC*1 et PC*2 2 Janson de Sailly c a la dimension d une vitesse, c est la vitesse de déplacement des plans d ondes pour une onde progressive. 10. Zx, t = Z 0 cosωt kx + φ, Z 0 étant l amplitude de l onde, ω la pulsation, k = k e x le vecteur d onde, T = 2π ω la période, λ = 2π k la longueur d onde, et φ un déphasage qui dépend du choix de l origine des temps. On injecte cette solution dans l équation de propagation pour trouver la relation de dispersion : k 2 Z + ω2 c 2 Z = 0 k2 = ω2 c 2 relation de dispersion. Pour une onde se propageant dans le sens des x croissants, k = ω c et la vitesse de phase est : v φ = ω k = c = v φ. La vitesse de phase étant indépendante de la fréquence, il n y a pas dispersion. Toute onde plane progressive se propage alors à la vitesse c sans se déformer ; ce résultat est déjà contenu dans la forme générale de l équation de D Alembert. 1.2 Ondes de gravité en eaux profondes 11. On calcule le rotationnel de l équation d Euler linéarisée : rot v = 1 rot gradp rotg e z = 0, donc rot v est indépendant du temps ; comme il s agit d une solution ondulatoire moyenne temporelle nulle, c est donc que rot v = L eau étant incompressible, div v = 0 = div gradφ = Φ = 2 Φ Φ = 0 Équation Comme gradφ = grad Φ, l équation d Euler peut s écrire : Φ grad x, z, t + 1 px, z, t + gz = 0, ce qui signifie que l expression Φ x, z, t + 1 px, z, t + gz = ϵt ne dépend que du temps. Comme Φx, z, t est définie à une fonction du temps près une fonction du temps ajoutée à Φ n a aucune incidence sur le champ des vitesses, on peut choisir cette fonction du temps de sorte que ϵt = 0. On suppose donc par la suite que : x, z dans le fluide, t, Φ x, z, t + 1 px, z, t + gz = Comme le fond est rigide, imperméable et fixe, v z x, h, t = 0 = Φ x, h, t, x, t. 15. On applique la relation de la question 13 à la surface, puis on la dérive par rapport au temps : Φ x, 0, t + p 0 + gzx, t = 0 2 Φ 2 x, 0, t + p 0 + g Z x, t = 0. Comme Z x, t v zx, 0, t = Φ x, 0, t, 2 Φ Φ x, 0, t + g x, 0, t = 0, x, t Équation On injecte Φx, z, t = Fz cosωt kx dans l équation 3, d où : F z k 2 Fz = 0.

3 Classes de PC, PC*1 et PC*2 3 Janson de Sailly 17. La solution générale de l équation précédente est Fz = Ae kz + Be kz, d où F z = k Ae kz Be kz. Comme F h = 0, Ae kh Be kh = 0, donc : Fz = Ae kh e kz+h + e kz+h = α coshkz + h = Fz, où α est une constante réelle. Φx, z, t = α coshkz + h cosωt kx, donc : Z = Φ αk x, 0, t = αk sinhkh cosωt kx Zx, t = sinhkh sinωt kx. ω 18. On injecte l expression de Φx, z, t dans l équation 4 : ω 2 α coshkh cosωt kx + gαk sinhkh cosωt kx = 0 ω 2 = gk tanhkh relation de dispersion. g tanhkh 19. La vitesse de phase est v φ = ω k = k la fréquence ; le système est donc dispersif. = v φ ; elle dépend de la longueur d onde, donc de 20. On se place dans le cas où h λ, alors tanhkh 1. a La relation de dispersion devient ω = gk, la vitesse de phase est v φ = ω k = g gλ k = 2π = g ω = v φ et la vitesse de groupe v g = dω dk = 1 g gλ 2 k = 8π = g 2ω = 1 2 v φ = v g. b On reprend la résolution de la question 17 dans le cas limite h + : Fz = Ae kz car B 0, donc Φx, z, t = Ae kz cosωt kx. c Le champ des vitesses est donc : v x = Φ = kaekz sinωt kx et v z = Φ = kaekz cosωt kx, d où, pour une particule de fluide en mouvement au voisinage de x 0, z 0 : ẋ = kae kz 0 sinωt kx 0 xt = k ω Aekz 0 cosωt kx 0 + x 0 ż = kae kz 0 cosωt kx 0 zt = k ω Aekz 0 sinωt kx 0 + z 0 d Les particules de fluide décrivent donc des cercles centrés sur la position de repos, parcourus dans le sens horaire, dont le rayon R = k ω Aekz 0 décroît exponentiellement lorsque la profondeur z 0 croît. 21. Si h λ, la relation de dispersion devient ω 2 = gk 2 h, d où la vitesse de phase v φ = gh indépendante de la fréquence ; le système est donc bien non dispersif, comme trouvé en section Application aux mouvements de l océan Cas d une houle 22. Comme λ h, la houle au large correspond à la situation en eaux très profondes, donc Application numérique : T = 8 s. ω 2 = gk = g 2π λ = 2π2 2πλ T 2 T = g 23. Sauf pour les plus grandes houles, a λ, donc l approximation linéaire est justifiée. 24. v φ = ω k = g k = gλ 2π = v φ. Application numérique : v φ = 13 m.s 1 50 km/h.

4 Classes de PC, PC*1 et PC*2 4 Janson de Sailly 25. Lorsque l onde s approche des côtes, la condition d eaux très profondes n est plus vérifiée et tanhkh < 1 ; le résultat de la question 19 permet de prévoir l évolution de la vitesse de phase : v φ = g tanhkh k < g k, ce qui montre que la vitesse diminue lorsque h diminue. Lorsque la profondeur devient très inférieure à la longueur d onde, la vitesse est fixée par la profondeur résultat de la question Pour h = 1 m, h λ, donc v φ = gh et λ = T gh. Application numérique : v φ = 3 m/s 10 km/h et λ = 25 m Cas d un tsunami Dans le cas d un tsunami, l amplitude a des vagues en haute mer est de l ordre du mètre et la longueur d onde de l ordre de 500 km. 27. Dans le cas du tsunami, λ h, donc l onde obéit à une équation de D Alembert, avec c = gh, donc λ = T gh et T = λ gh. Application numérique : T = 2500 s 40 min. 28. Comme a λ, l approximation linéaire est justifiée. 29. c = gh = 200 m/s 700 km/h. 30. C est la grande longueur d onde et la grande période qui rendent difficile le repérage d un tsunami, même pour une hauteur de vague de l ordre de a = 1 m. La surface étant décrite par Zx, t = a cosωt kx, sinωt kx, d amplitude de l ordre de 10 m/m, ce qui n est pratiquement pas déce- Z = 2πa λ lable, Z = 2πa T sinωt kx, d amplitude de l ordre de 2, 5 mm/s qui est très difficile aussi à déceler en pleine mer. Le tsunami n est donc pas facile à déceler avant son arrivée près des côtes, qu il atteint à grande vitesse. 31. La puissance P transportée par l onde peut être estimée pour un front de largeur L en ne tenant compte que de l énergie cinétique et en utilisant le fait que v x ne dépend pas de z dans l approximation des eaux peu profondes : D où : Zx, t = a cosωt kx Z = aω sinωt kx v x = 1 Z h = a h ω sinωt kx v x = a ω cosωt kx h k P chl < v 2 x >= 1 a2 ω 2 chl 2 h 2 k 2 = 1 a 2 ghhl 2 h 2 gh = β ha 2 P, où β est une constante ne dépendant pas de h. En négligeant les pertes d énergie, on trouve que a 2 h se conserve au cours de la propagation, donc l amplitude a à la profondeur h et reliée à l amplitude en pleine mer par : a = a h h 1/4. Avec h = 10 m, on trouve a = Analyse documentaire : les tuyaux d orgue 32. r 12 = 2 r = 2 1/12 = 1, Mi2 est 17 demi-tons en dessous de La3, donc f Mi2 = f La3 2 17/12 = 165 Hz, Do3 est 9 demi-tons en dessous de La3, donc f Do3 = f La 2 9/12 = 262 Hz, Do4 est 3 demi-tons au dessus de La3, donc f Do4 = f La3 2 3/12 = 523 Hz, Mi4 est 7 demi-tons au dessus de La3, donc f Mi4 = f La3 2 7/12 = 659 Hz, et La4 est une octave au dessus de La3, donc f La4 = 2 f La3 = 880 Hz.

5 Classes de PC, PC*1 et PC*2 5 Janson de Sailly 2.1 Étude des tuyaux de Bourdon et de Montre 34. À l extrémité bouchée, la vitesse est nulle; la grandeur représentée sur le schéma est donc la vitesse ou le déplacement. À l extrémité côté biseau est représenté un ventre de vitesse, ce qui correspond à une extrémité ouverte, donc à un noeud de surpression. La longueur du tuyau correspond donc au quart de longueur d onde dans le mode fondamental, c est-à-dire un demi-fuseau, qui est improprement appelé "demi-onde" dans la légende de la figure. 35. Dans ces conditions, les modes propres ont une longueur d onde λ 2p+1 qui vérifie L = 2p + 1 λ 2p+1 donc λ 2p+1 = 2p + 1 = c f 2p+1, d où f 2p+1 = 2p + 1 c 4,. La fréquence du son produit par un tel tuyau est celle du fondamental f 1 = c. Son spectre en fréquence n a que des composantes dont la fréquence est un multiple impair du fondamental. 36. Pour qu un tuyau de type Bourdon produise un Mi2, on doit choisir L tel que f Mi2 = c, donc L = c. Application numérique : L = 0, 52 m = 1, 69 pied. C est bien dans l intervalle de valeurs 4 f Mi2 de longueurs de tuyaux donné dans le texte. 37. Dans le cas du tuyau à résonateur ouvert de type Montre, les conditions aux limites aux extrémités du tuyau sont : surpression nulle aux deux extrémités. Les deux extrémités correspondent alors à des ventres de vitesse. La longueur du tuyau correspond donc à une demi-longueur d onde dans le mode fondamental, c est-à-dire un fuseau, qui est improprement appelé "onde entière" dans la légende de la figure. 38. Dans ces conditions, les modes propres ont une longueur d onde λ n qui vérifie L = n λ n 2, donc λ n = 2L n = f c n, d où f n = n c. La fréquence du son produit par un tel tuyau est celle du fondamental 2L f 1 = c cette fréquence est le double de celle d un tuyau de type Bourdon de même longueur. Son 2L spectre en fréquence contient a priori tous les multiples du fondamental ; il est donc plus riche que celui du Bourdon, ce qui se traduit par un timbre différent Pour L 1 = 1,3 5 pieds, f 1 = c 2L 1 = 2, 1 khz = f 1. Pour L 2 = 32 pieds, f 2 = 17 Hz, qui est à la limite de l audible.