2 - Groupe et paquet d ondes

Transcription

1 - Groupe et paquet d ondes Objectifs : Une onde monochromatique n a pas de sens physique puisqu elle est définie t et x. Une onde réelle est nécessairement limitée dans le temps et dans l espace. Pour arriver à ce résultat, il faut ajouter plusieurs ondes monochromatiques. a) Superposition de ondes, de longueurs d onde légèrement différentes λ et λ < λ. k > k, ω > ω et on peut écrire l onde résultante : ψ (x, t) = acos(kx ωt) + acos(k x ω t) = a cos[ (k k ) x (ω ω ) t]cos[ (k + k ) x (ω + ω ) t] La figure représente chaque onde séparément (a) et (b) et leur somme (c) pour t = 0. L onde résultante a le vecteur d onde moyen k + k, mais l amplitude est modulée pour former des paquets d ondes. (on dit également : trains d ondes). Le deuxième cosinus donne la vitesse de phase des ondes : v = ω + ω k + k ω k et le premier la vitesse de groupe : Dans le vide, la vitesse de phase v = c est une constante et v = u. Dans un milieu transparent, v augmente avec la longueur d onde. L indice de réfraction n = c v diminue (n R < n V ) : c est la dispersion. u < v. u = ω ω k k dω dk = v + k dv dk = v λ dv dλ. b) Superposition d un paquet d ondes créneau ψ (x, t) = a(k)e i(kx ωt) dk a(k) = densité spectrale d amplitude ω(k) = ω 0 + u(k k 0 ) en posant ω 0 = ω(k 0 ) et u = ( dω dk ) k 0 sin[(ut x) δk ψ (x, t) = a ] [(ut x) δk e i(k0x ω0t) = ψ 0(x, t)e i(k0x ω0t) ] Paquet d ondes localisé sur une largeur δx autour de ut. δx.δk = π L onde résultante a le vecteur d onde moyen k 0 et une amplitude modulée pour former un paquet d ondes qui se déplace à la vitesse de groupe u. 10

2 c) Paquet d ondes Gaussien De (a) à (b), le paquet d ondes est mieux localisé, mais il reste une amplitude modulée pour x > π/ δk. Ces oscillations sont liées aux discontinuités du créneau a(k). La localisation est meilleure si a(k) décroît plus régulièrement. En prenant : a(k) = a δk exp[ π (δk) (k k 0) ] a(k)dk = a et a(k 0 ± δk ) = a(k 0).exp( π 4 ) 1 a(k 0) On vérifiera en exercice, en écrivant à nouveau ω = ω 0 + u(k k 0 ) ψ (x, t) = avec x = x ut. a(k)e i(kx ωt) dk = ae i(k 0x ω 0 t) exp[ x (δk) ] = ψ 0(x, t)e i(k 0x ω 0 t) 4π Soit la forme suivante pour t = 0. A nouveau δx.δk = π. d)largeur de raie d une source qui émet durant un temps fini On suppose que la source émet une onde monochromatique pendant une durée finie τ. Soit en x = 0 sur la source : ψ (0, t) = ae iω 0t si t τ et 0 si non. On cherche à décrire ce signal comme une superposition d ondes monochromatiques d amplitude a(ω)dω, c est-à-dire comme un groupe d ondes. a(ω) est la densité spectrale d amplitude : ψ (0, t) = a(ω)e iωt dω. On dit que a(ω) est la transformée de Fourier de ψ (0, t) et on démontrera au chapitre 3 que la solution existe : a(ω) = 1 ψ (0, t)e +iωt dt π (ω ω 0 )τ Pour l onde choisie : a(ω) = aτ sin π. (ω ω 0 )τ Une onde de durée finie τ a donc une largeur spectrale δω = π τ soit τ.δν = 1. τ est appelé temps de cohérence. 11

3 Au point x à l instant t on observe la propagation du paquet d ondes correspondant au groupe d ondes émis par la source : ψ (x, t) = a(ω)e i(kx ωt) dω C est un paquet d ondes de longueur l c = cτ. l c est la longueur de cohérence de l onde émise par la source. Sur la longueur l c on a un nombre p de longueurs d onde λ 0 : p = l c λ 0 = cτ λ 0 = ν 0 δν p est appelé ordre d interférence limite. e)valeurs numériques Sources classiques : Les raies fines sont dûes à des atomes lourds à basse température (basse pression) - raies jaunes du Sodium à 500 K λ = 5890 et 5896 A δλ = 0, 0 A p = l c = 18 cm - raie verte du mercure à 100 C λ = 5461 A δλ = 0, 007 A p = l c = 4 cm - raie verte du Krypton à l air liquide λ = 5570 A δλ = 0, 006 A p = l c = 53 cm Lasers : He Ne λ = 638 A non stabilisé raie stabilisée δν = 1, 5 GHz l c = 3,16 cm δν = 1 M Hz l c = 31 m raie stabilisée δν = 1 khz avec étalon l c = 31 km 1

4 f)ondes lumineuses émises par une source Les ondes lumineuses sont émises par trains d ondes provenant des différents atomes d une source. Un même atome émet au cours du temps une succession de trains d ondes. Chaque train comporte p longueurs d onde, a une longueur l c et met le temps τ pour passer en un point donné. Comme nous le verrons (chapitre 6 e), ce temps correspond à la désexcitation de l atome. Pour émettre, l atome doit d abord être excité, par exemple par une décharge électrique pour les atomes d un gaz ou par chauffage pour les atomes d un solide (un morceau de fer chauffé devient rouge vers 500 C, jaune vers 1000 C et blanc vers 100 C). Au cours d un temps d observation usuel, de l ordre de la seconde, l atome est excité et se désexcite un nombre énorme de fois, de l ordre de 1 τ = 10+8 pour une source ordinaire ; il émet donc pendant ce temps une succesion d environ 10 8 trains d ondes. Les processus d excitation et de désexcitation se produisent au hasard au cours du temps : il n y a aucune relation entre le temps qui marque la fin d un train d onde et le temps qui marque le début du train d onde suivant. Autrement dit au niveau de l atome source, la vibration peut être représentée par une fonction harmonique : ψ (0, t) = a cos[ωt + ϕ(t)] dont la phase ϕ(t) est constante sur un train d ondes donné (pendant 10 8 s), mais varie aléatoirement d un train d onde à l autre. Sur un temps usuel d observation (1s), ϕ(t) prendra toutes les valeurs possibles entre 0 et π. D autre part, même si on suppose que la vibration transversale (le champ électrique de l onde électromagnétique) reste rectiligne, parallèle à elle-même, pendant la durée d un train d ondes, cette direction de vibration change de manière aléatoire d un train d ondes à l autre. Sur un plan P perpendiculaire au rayon lumineux, ces vibrations se projettent suivant les directions 0A 1, 0A, 0A 3, etc. Pour le récepteur, l oeil par exemple, qui ne peut percevoir qu une moyenne des effets produits par les trains d ondes successifs, tout se passe comme si un rayon lumineux possédait une symétrie complète par rapport à lui-même, c est-à-dire la symétrie de révolution. On dit que la source émet de la lumière naturelle, c est le cas de la lumiére émise par les étoiles et les sources thermiques. Il existe des appareils qui sélectionnent une direction de vibration dans un faisceau de lumière naturelle. Ces appareils sont appelés polariseurs. La lumière qui traverse un tel appareil est polarisée rectilignement. A la sortie du polariseur, tous les trains d ondes vibrent dans la même direction sélectionnée. 13

5 Ce qui vient d être dit pour l onde émise par un atome est également vrai pour les ondes émises par deux atomes différents, aussi proches soient-ils dans la source. L émission de chaque atome peut se décrire par les phases ϕ 1 (t) et ϕ (t) dont la différence est quelconque et varie aléatoirement un grand nombre de fois (10 8 ) sur un temps usuel d observation. On dit que les ondes émises par deux atomes différents sont incohérentes. On peut décomposer une lumière naturelle, en deux vibrations rectilignes orthogonales de même intensité, mais sans relation de phase déterminée entre elles. Ces deux vibrations sont incohérentes. 14