Chapitre n 7 : calcul littéral, développement, factorisation

Transcription

1 Chapitre n 7 : calcul littéral, développement, factorisation I. Calcul littéral 1/ Rappels Nombres relatifs et opération A= 8 6 A= 2 B= 5 3 B= 8 C = C = 4 D= 6 11 D= 17 A'= 9 5 A'= 4 B '= 6 7 B '= 13 C '= 12 9 C '= 3 D '= 7 15 D '= 22 E= 3 7 E= 21 F = 5 8 F = 40 G= 12 3 G= 36 H= 1,5 10 H= 15 Quelques remarques Il y a des règles différentes pour additionner et pour multiplier. La règle des signes est valable que pour la multiplication et la division. Autres exemples Calcule : I= 7 5 I= 35 J = 8 12 J = 4 K = 5 8 K = 13 L= 5 7 L= 35 M= 7 18 M= 25 N =5 9 N = 45 O= 7 8 O= 56 P = 7 8 P = 1

2 2/ Réduire une somme A=7 x 2 x J'ai 7 fois x plus 2 fois x. En tout, j'ai 9 fois x. A=9 x E=9 x 5 y On a deux lettres différentes, on ne peut pas calculer! B=9 x 5 x B=4 x C = 5 x 8 x On calcule 5 8= 3 puis on donne le résultat : C = 3 x F = 8 x 2 3 x 2 G=2 x 5 x 2 F = 11 x 2 x et x 2 sont deux «choses» différentes, on ne peut pas calculer. D= 3 y 7 y D= 4 y H= x 2 5 x 2 H = 1 x 2 5 x 2 H= 4 x 2 Rappels 8 t peut s'écrire 8 t 1 x=1 x=x ou encore 1 x= x Réduire des sommes plus complexes A= 2 x 2 7 x 5 x 2 3 x 8 Il y a cinq termes : 2 x 2, 7 x, 5 x 2, 3 x et 8. On peut calculer 2 x 2 avec 5 x 2 et 7 x avec 3 x. A= 2 x 2 5 x 2 7 x 3 x 8 A= 7 x 2 4 x 8 (stop!) B= 5 8 x 12 9 x 2 12 x x 2 B= 9 x 2 1 x 2 8 x 12 x 5 12 B= 10 x 2 20 x 7 Autres exemples A' = 5 x 2 8 x 2 9 x 12 A' = 5 x 2 x x A' = 5 x 2 1 x x A' = 4 x x B ' =x 9 x 9 18 x 15 B ' = 9 x 18 x 1 x 9 15 B ' = 8 x 24 Vocabulaire On parle de termes de même nature pour des termes que l'on peut calculer. Par exemple, dans l'expression A', 5 x 2 et x 2 sont de même nature.

3 3/ Réduire un produit A=2 x 7 x A=2 x 7 x A= 2 7 x x A=14 x 2 A=14 x 2 B= 7 x 3 x B= 21 x 2 C = 5 8 x C = 40 x D=9 x 11 x D= 99 x 2 Méthode On applique la règle des signes pour multiplier les nombres. x x=x 2!!!! On regroupe les nombres que l'on multiplie, on regroupe les lettres que l'on multiplie aussi. II. Développement 1/ Développement simple Activité Que signifie «développer»? Prenons un exemple avec des nombres = = = =5643 On développe lorsqu'on passe de à ,5= ,5=100 5,5 1 5,5=550 5,5=555,5 On développe lorsqu'on passe de ,5 à 100 5,5 1 5,5. On observe que pour développer, on passe d'un produit à une somme... Formule de développement simple (à connaître par cœur) k, a et b représentent trois nombres. k a b =k a k b ou k a b =k a k b a b k=k a k a ou Développe : A=2 x 8 A=2 x 2 8 A=2 x 16

4 Vocabulaire La formule k a b =k a k b s'appelle aussi la formule de distributivité. On distribue k sur a et b, c'est à dire qu'on multiplie k par a puis k par b. Donc distribuer, c'est multiplier. Méthode/Exemple A= 2 x 5 x 3 On identifie : k= 2 x ; a=5 x et b= 3 A= 2 x 5 x 2 x 3 A= 10 x 2 6 x B=7 x 6 x 8 On identifie : k=7 x ; a= 6 x et b= 8 B=7 x 6 x 7 x 8 B= 42 x 2 56 x 2/ Application : signe moins ou plus devant une parenthèse Activité/ A=7 x 5 x 3 On se rappelle des simplifications d'écriture. On sait que 9 5 peut s'écrire 9 5 sans les parenthèses. De même : A=7 x 5 x 3 A=2 x 3 B= 5 x 3 x 9 On se rappelle : 9 2 peut s'écrire 9 2. De même : = Donc : B= 5 x 3 x 9 B= 8 x 9 A'= 8 x 7 12 x A'= 8 x 7 12 x A'= 20 x 7 B '= 8 x 5 9 x B '= 8 x 5 9 x B '= 1 x 5 Méthode Lorsqu'il y a un signe devant une paire de parenthèses, on peut supprimer ce et ces parenthèses sans rien modifier. Par contre, lorsqu'il y a un, on change le signe de chaque terme entre parenthèses (c'est à dire, on prend les opposés) Autres exemples I= 7 x x 9 ; J =9 5 x 9 ; K = 5 x 7 8 x 9 ; L= 8 x 9 5 x 3

5 3/ Double développement Remarque Comme son nom l'indique, on va faire deux fois un développement simple! Un exemple simple X = 2 x 8 3 x 9 X =2 x 3 x 2 x x 8 9 X =6 x 2 18 x 24 x 72 X =6 x 2 6 x 72 Méthode On a distribué 2 x sur la deuxième paire de parenthèses : 2 x 3 x 2 x 9. Ensuite, on a distribué 8 : 8 3 x 8 9 Un autre exemple Y = 3 x x Y = 3 x 7 3 x 5 x x Y = 21 x 15 x x Y = 15 x 2 46 x 35 4/ de développement «plus complexe» Dans un même calcul, on peut mettre : un développement double avec un développement simple ou bien avec un signe devant une parenthèse. Exemple type 1 A= 2 x x 8 2 x 1 7 x 5 Dans ce calcul, il y a : un développement simple : 2 x x 8 ; un développement double : 2 x 1 7 x 5 A= 2 x x 2 x 8 2 x 7 x 2 x x 1 5 A= 2 x 2 16 x 14 x 2 10 x 7 x 5 A= 16 x 2 13 x 5 Exemple type 2 B= 5 x 1 6 x 7 x 12 Il faut voir deux parties : 5 x 1 6 x qui est un développement simple, 7 x 12 : règle du signe devant une parenthèse. B=6 x 5 x 6 x 1 7 x 12 B= 30 x 2 6 x 7 x 12 B= 30 x 2 13 x 12

6 Autre exemple C =7 x 5 8 x 3 x 1 2 x 4 C =7 x 5 8 x 5 3 x 2 x x x 1 4 C =7 x 40 x 15 2 x 2 4 x 2 x 4 C = 2 x 2 31 x 19 III. Factorisation Qu'est-ce c'est? Factorisation vient de facteurs... qui dit facteurs, dit multiplication et donc produit. L'objectif, lorsqu'on veut factoriser, c'est arriver à un produit. Activité Si on regarde la formule du développement simple : k a b =k a k b ; on passe d'un produit à une somme. Si on échange les deux membres, la formule permettra de factoriser : k a k b=k a b Essayons de factoriser : A=7 x 2 3 x «Entre 7 x 2 et 3 x, il y a x en commun : c'est le k» A=x «On met sous la forme k a b» A=x 7 x 3 «Car x 7 x=7 x 2 et x 3=3 x» Factorise les expressions suivantes : I=8 x 2 5 x J =14 7 x I=x x J =7 2 7 x I=x 8 x 5 J =7 2 x K = 3 y y 2 K = y y K = y 3 y Point méthode A=7 x 2 14 x «On décompose chaque terme pour faire apparaître un facteur commun» A=7 x x 7 x 2 «On a k=7 x, a= x et b= 2» A=7 x x 2 «On factorise avec k a k b=k a b»

7 S'exprimer k est appelé le facteur commun. k a b se dit «k facteur de a b» Un exemple plus complexe Factorise : A=7 x x 1 5 x 1 A=7 x x 1 5 x 1 C'est x 1 le facteur commun. A= x 1 7 x x 1 5 A= x 1 7 x 5 De même : A'= 2 x 7 5 x 3 2 x 7 A'= 2 x 7 5 x 2 x 7 3 A'= 2 x 7 5 x 3 IV. Remplacer par une valeur numérique Exemple 1 On considère l'expression A= 7 x 2 8 x 4. Calcule A lorsque x= 1. A= A= A= A= A= 19 Exemple 2 Même question avec B= 7 x 5 3 x 7 et x= 2 B= B= B=19 13 B= 227 Pour lundi 21 mars Contrôle d'une heure : calcul littéral