Bloc Régularité et algèbre

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1 Bloc Régularité et algèbre 3 Exploiter des relations mathématiques pour analyser des situations diverses, faire des prédictions et prendre des décisions éclairées. Représentation graphique des équations Résolution d équations RÉSULTATS D APPRENTISSAGE SPÉCIFIQUES 3.3 Interpréter des situations qui se modélisent par des systèmes de fonctions affines dans le but de faire un choix approprié. Représentation graphique à partir de règle présentée sous la forme y = mx + b Résolution d un système de fonctions affines (graphiquement et par comparaison) Un système d équations est lorsqu il y a plus d une droite ou d une équation. Deux contraintes d égalité qu on impose simultanément à deux variables forment un système d équations à deux variables. Pour modéliser une situation à l aide d un système d équations, on doit d abord définir les variables, puis poser les équations. Résoudre un système d équations consiste à déterminer les valeurs des deux variables qui vérifient simultanément les deux équations. Si la solution est unique, ces valeurs sont les coordonnées du point de rencontre des droites et sont exprimées sous la forme d un couple-solution (x, y). Exemple : Une tirelire, remplie de pièces de 1$ et de 2$, contient 90$. Il y en a en tout 55 pièces de monnaie. Combien de pièces de 1$ et de pièces de 2$ y a-t-il dans la tirelire? 1. Définir les variables et modéliser la situation à l aide d un système d équations. x : nombre de pièces de 1$ y : nombre de pièces de 2$ x 2y 90 x y Représenter graphiquement le système d équations et déterminer les coordonnées du point de rencontre. Les coordonnées du point de rencontre sont (20, 35) 3. Valider le couple-solution dans les deux équations ou dans le contexte. x 2y x y Il y a 55 pièces en tout et un montant de 90$. 4. Retourner au contexte et interpréter la solution La tirelire contient 20 pièces de 1$ et 35 pour répondre à la question. pièces de 2$. Bloc 4 Régularité et algèbre - Page 1

2 Exemple : Joyeux anniversaires Lysanne prépare une soirée pour souligner les anniversaires de François et de Raphaëlle. Lysanne va d abord au guichet automatique pour y retirer 500$ en coupures de 20$ et de 50$. En tout, Lysanne reçoit 19 billets de banque. On s intéresse au nombre de billets de 20$ et au nombre de billets de 50$ qu elle reçoit. Quelles sont les variables? x : nombre de billets de 20$ 20x + 50y = 500 (le nb de 20$ x 20 et le nb de 50$ x 50 = 500$) y : nombre de billets de 50$ x + y = 19 (le nb de 20$ et le nb de 50$ donne 19 billets) Pour résoudre un système d équation, on peut tracer les deux droites et déterminer la coordonnée où les droites se croisent. Ou, utiliser la méthode de comparaison, qui d isoler une des variables dans chacune des équations. 20x y x 19 y 5y y y 38 2y x x y y x y 12 y 4 x 15 Elle a donc reçu 4 billets de 50$ et 15 billets de 20$. Au marché, Lysanne achète un bouquet de 20 fleurs composé de marguerites et de lys. Il y a quatre fois plus de marguerites que de lys. Soit m, le nombre de marguerites dans le bouquet et l, le nombre de lys. m l 20 Il y a 20 fleurs en tout m 4l il y a «l» lys, donc le nombre de marguerites est 4 fois ce nombre Par comparaison, m 20 l et m 4l m 20 l 20 l 4l m l m 16 l 4 Il y a donc 4 lys et 16 marguerites dans le bouquet. Bloc 4 Régularité et algèbre - Page 2

3 Au moment où Lysanne revient à la maison, François et Raphaëlle jouent à un jeu vidéo. À la fin de la partie, lorsque Lysanne demande le score, François répond que le triple de ses points égale le double des points de Raphaëlle. Raphaëlle dit qu il aurait fallu que François marque 980 points de plus pour la rejoindre. f = le nombre de points de François r = le nombre de points de Raphaëlle 3f 2r et f 980 r 2r r 980 3f 2r 3 f r 980 2r 3r r r 2940 f 3 r 2940 François a 1960 points et Raphaëlle a 2940 points. f f 1960 Le gâteau d anniversaire est décoré de 60 chandelles. Le nombre de chandelles représente la somme des âges de Raphaëlle et de François. Il y a exactement deux ans, l âge de François était le triple de celui de Raphaëlle. R = âge de Raphaëlle F = âge de François F R 60 F 2 3 R 2 F 60 R F 3R 6 2 F 3R 4 François a 44 ans et Raphaëlle a 16 ans. 60 R 3R 4 4R 64 R 16 F F 44 Exercice 1. Dans les équations suivantes, isole la variable y. a) 9x 3y = 6 b) 3x = 4y 8 c) 3(x +y) = 21 3y 6 9x 3y 6 9x 3 3 y 2 3x 3x 8 4y 3x 8 4y x 2 y 4 3 x y x y 7 y 7 x Bloc 4 Régularité et algèbre - Page 3

4 2. Résous chacune des équations suivantes. a) 2a 1 3a 12 b) b a 3a 12 1 b 4 3 a 13 b 7 a 13 d 1 c) 5 3c 8 34c 1 d) 2d c 8 12c 3 3c 12c c 0 c 0 3d 2d 1 d 1 3. Détermine l ordonnée à l origine et l abscisse à l origine de la droite associée à chacune des équations suivantes : a) 2x y 16 0 b) 3x 5y 21 0 c) y 3x 6 abscisse(x, 0) Ordonnée (0, y) abscisse(x, 0) ordonnée (0, y) abscisse(x, 0) ordonnée (0, y) 2x x 16 x 8 8, y 16 y 16 y 16 3x x 21 x y 21 5y 21 y x 6 6 3x 2 x Trouve la solution de chacun des systèmes d équations représentés ci-dessous. a) c) y y 6 Bloc 4 Régularité et algèbre - Page 4

5 b) y 2x 6 y 5x 3 2x 6 5 x 3 3x 9 x 3 y y 15 3 y 12 3, 12 d) y 10x 100 y x 10x x 450 y 10x 100 y 10 36x x 12,5 12, 5 12, 5, y y Modélise chacune des situations suivantes par un système d équations. Définis d abord les variables. a) Ensemble, Joëlle et Pierre-Antoine ont 120$. Joëlle a 12$ de moins que Pierre-Antoine. On s intéresse aux avoirs de Joëlle et de Pierre-Antoine. x : le mon tan t de Joëlle x y 120 y : le mon tan t de Pierre Antoine y x 12 b) Un rectangle a un périmètre de 48 cm. Sa longueur a 2 cm de moins que le triple de sa largeur. On s intéresse aux dimensions du rectangle. x : la longueur 2x 2y 48 y : la l arg eur x 3y 2 7. Quelles est la solution de chacun des systèmes d équations représentés ci-dessous? a) b) (6, 4) (0, 40) Bloc 4 Régularité et algèbre - Page 5

6 8. Représente graphiquement chacun des systèmes d équations suivants et trouve sa solution. a) b) (7, 8) (8,5; 1,5) 9. Quelle expression algébrique représente la valeur de x pièces de 10 et de y pièces de 25. a) En cents? b) en dollars? 10x + 25y 0,10x + 0,25y 10. Pour chacune des situations suivantes : a) Définis les variables; b) Traduis la situation par un système d équations du premier degré à deux variables. x : nombre de billets adultes x y 256 y : nombre de billets enfants 5 x 2y 767 x : prix d ' une che mi se 2x 4y 98 y : prix d ' un chandail x 3y 69 Bloc 4 Régularité et algèbre - Page 6

7 x : nombre de pièces de 25cents x y 68 y : nombre de pièces de 1$ 0, 25x y 28, Pour lequel des systèmes d équations suivants le point (-1, 1) est-il une solution? a) b) c) non oui non a) 12. Voici la représentation graphique de systèmes d équation du premier degré à deux variables. Détermine leur solution. b) (0,5) (40, 20) c) d) (6,4) (-2; 3,4) Bloc 4 Régularité et algèbre - Page 7

8 13. Résous par comparaison chacun des systèmes d équations suivantes. Vérifie ta solution en remplaçant les variables par les valeurs que tu as trouvées. a) b) (3, -1) (-1, 6) c) d) (4, -1) Aucune solution Bloc 4 Régularité et algèbre - Page 8

9 e) f) g) h) (6, 0) ( 2 / 3, 1 / 3) infinité de solution (10, -25) Bloc 4 Régularité et algèbre - Page 9

10 14. Le périmètre d un terrain règlementaire de volley-ball de plage est de 48 m. le terrain est deux fois plus long que large. Voici deux façons de modéliser les relations entre les dimensions d un terrain de volley-ball de plage. Quelles sont les dimensions d un terrain réglementaire de volley-ball de plage? Remplace les valeurs que tu as trouvées dans le contexte afin de valider ta réponse. 1e 2x 2 2x 48 2x 2y 48 2y 2x 48 y x 24 2e 2x 4x 48 divise par 2 y 2x y 2x y 2x x 2x 24 x 24 2x 24 2x x 3x 24 x 8 y 28 y 16 Le terrain devrait mesurer 8m par 16 m. 15. Lors de la finale féminine des championnats canadiens de volley-ball de plage, 48 points ont été manqués au cours de la première manche. La différence entre les pointages de deux équipes qui s affrontaient n était que de deux points. Détermine le pointage final de la première manche à l aide de la méthode de substitution. x:nombre de points d'une équipe y:nombre de points de l'autre équipe x y 48 x y 2 48 y 2 y x 48 y x y 46 x 2 y x 25 y 23 Le pointage final est de 25 à 23. Bloc 4 Régularité et algèbre - Page 10

11 16. Un filet de volley-ball est 9,5 fois plus long que large. La différence entre sa longueur et sa largeur est de 8,5 m. Détermine les dimensions du filet. x : longueur du filet x 9, 5y y : l arg eur du filet x y 8, 5 9, 5y 8, 5 y x 9, 5y x 9, 5 1 8, 5y 8, 5 x 8, 5 y x 9, 5 y 1 Le filet mesure 9,5m par 1m. 17. Résous les systèmes d équations suivants à l aide de la méthode de comparaison. a) 1 y 2y 20 1 x y 3 x x y 3 y 6y 60 x 4 x 2y x 2y y 60 y 12 4, 12 b) 40x 10y 20 x y y y x 10y 20 x y 4 2 x y 2 4y 8 x y 2 x 0 x y 2 5y 10 y 2 0, 2 c) x y 5 2x 3y y y 25 x 5 y x 5 y 2 x y 3y 50 2x 3y 50 x y 25 x y 40 y 8 13, 8 Bloc 4 Régularité et algèbre - Page 11

12 d) 2x 3y 20 5x y 20 2x 3y y x y 20 y , 3 e) 2x y 15 x y x x 12 y 15 2x y x 27 x 12 y y 3 x 9 9, 3 f) 40x 10y 80 40x 20y 50 4x 8 2x 2, 5 10y 40x 80 y 4x 8 6x 2, 5 8 y 4 1, y 40x 50 y 2x 2, 5 6x 10, 5 y 1 1,75;1 x 1, Pour entrer au cinéma Bobine, un adulte et un enfant doivent débourser 14,50$. Une famille composée de deux adultes et de trois enfants doit débourser 34$. Quel est le prix d un billet pour un adulte et le prix d un billet pour un enfant au cinéma Bobine? x : prix d ' un billet adulte x y 14, 50 y : prix d ' un billet enfant 2x 3y 34 y 14, 50 1, 5y 17 x y 14, 50 x y 14, 50 x 5 14, 50 0, 5y 2, 50 2x 3y 34 x 1, 5 y 17 x 9, 50 y 5 9, 50;5 Le prix d un billet pour adulte est de 9,50$ et le prix d un billet pour enfant est de 5$. Bloc 4 Régularité et algèbre - Page 12

13 19. La somme de deux nombres est 752 et leur différence est 174. Détermine ces nombres. x : est un nombre x y 752 y : est un deuxième nombre x y 174 x 752 y x 174 y 752 y 174 y 578 2y 289 y x x 463 Les deux nombres sont 463 et Détermine les valeurs de x et de y dans les mesures d angles suivantes. a) b) y 2x 58 2x y 58 2x 58 y 3x 3x 2y y 3x 122 y x 2x x 116 3x 122 y x 238 y 10 x 34 4x y 75 4x y x y y 4x 75 y x 105 y 9 x 21 Bloc 4 Régularité et algèbre - Page 13