Calcul EF fluides et surfaces libres. Thierry Coupez

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1 Calcul EF fluides et surfaces libres Thierry Coupez

2 Plan Exemples simulations 3D dans le domaine des matériaux 2 Calcul des écoulements 3 Calcul des surfaces libres 4 Calcul de la température et couplage thermique 5 Exemples et compléments 2

3 Exemples de simulations Virtuel : modèles géométriques Visualisation, images, animation Simulation Mécanique Physique Résolution d équations --> visualisation des résultats 3

4 6LPXODWLRQGHO LQMHFWLRQG XQVLWHG DFFqV DVFXODLUHELRPpGLFDO Rem3D Injection des polymères 4

5 Fluide incompressible Grandes surfaces libres contact matière moule matière matière rhéologie thermo-dépendante auto-échauffement Rem3D 5

6 Les calculs 3D : + description des écoulements dans l épaisseur Effet fontaine et front de matière - fluide visqueux incompressible - contact collant adaptation de maillage 6

7 La simulation numérique Equations générales de la mécanique Des modèles physiques: comportement rhéologique : pseudoplasticité viscoélasticité comportement thermique thermodépendance de la viscosité conduction thermique compressibilité Des méthodes numériques générales 7

8 : T 7 W 7 F GW G J ε σ ρ ρ ρ ρ σ ργ Equations générales de la mécanique : Equilibre Conservation de la masse Conservation de l énergie,, 7 IRQFWLRQ T 7 S IRQFWLRQ ptxdwlrq ρ σ Modèles physiques : constantes matériaux

9 5HP' 5HPSOLVVDJH ' P+/P MINIélément solveur itératif résidu conjugué précondionné Stokes Surface libre domaine fluide V et P Equation de transport : Galerkin discontinue espace temps - adaptation de maillage thermique Convection diffusion : Galerkin discontinu espace temps 9

10 Calcul des écoulements VROHXU LWHVVHSUHVVLRQ Rhéologie des polymères Fluides visqueux Loi de Carreau Loi Puissance Loi de Cross Dépendance des paramètres avec la température : loi d Arrhenius

11 Modèle de base pour les écoulements de fluides fortement visqueux : Problème de Stokes inertie ργ 2ηε + τ Gρ + ρ GW η η ε, 7 + S compressibilité OXLGHVLVTXHX[ /RLGHDUUHDX /RL3XLVVDQFH /RLGHURVV ρ J viscoélasticité 'pshqgdqfhdhfodwhpspudwxuh$uuhqlxv gravité

12 Modèle de base des écoulements de polymère fondu : le problème Stokes généralisé : ε 2 η S GDQV + Conditions limites : σ Q VXU VXU F I Surface libre, interface moule métal polymère, seuil d injection 2

13 Utilité des mailleurs automatiques 3

14 Méthodes éléments finis en mécanique des fluides Maillages à base de tétraèdres Eléments finis Incompressibilité, éléments finis mixtes Fluides très visqueux : résolution implicite Convection et convection diffusion : méthodes de Galerkin discontinu 4

15 5 pwrghvghvpopphqwvilqlv équations fortes équations faibles - formulation variationnelle GDQV S 2 ε η Γ 4 T T 9 Z Z Z S Z : 2 ε η ε Espaces fonctionnelles : { } Γ, 2 3 Z 9 Z 9 / 4 + 9

16 6 Γ 4 T T 9 Z Z Z S Z : 2 ε η ε Approcher les espaces fonctionnelles par des espaces de dimensions finis Méthodes des éléments finis Résoudre le problème approché

17 Méthodes des éléments finis Construction de fonction polynomiales par morceaux en utilisant une décomposition du domaine en éléments géométriques simples donnée par le maillage Exemple : décomposition en simplexes segments, triangles, tétraèdres > représentation naturelle d une base polynomiale exacte en assurant la continuité triangulation κ Fonctions continues, polynôme de degré n sur chaque élément 6 Q { X, X 3 } Q 7

18 8 { }, 3 X X 6 Q Q { }, + E E % P G G G Q 6 4 % I E { } facef la élémentspartageant,, + E E I E Fonctions continues de degré n sur chaque élément : Fonctions bulles s annulant sur le bord de chaque élément : Fonctions bulles par face définie à partir des faces des éléments : Construction d espaces d approximation compatibles :

19 Eléments finis mixtes pour triangles et tétraèdres à pression continue à pression discontinue P+/P ordre P++/P ordre P2/P ordre 2 P2++/P ordre 2 9

20 Les méthodes d approximation et l algèbre linéaire Méthodes d approximation : méthodes spectrales Résolution de grands système linéaires : Ax b Volumes Finis, éléments finis différences finis conduisent à des matrices dites creuses 2

21 2 Γ 4 T T 9 Z Z Z S Z : 2 ε ε ε η Γ O 9 L 3 9 M M M O L L N N N L M M M,,,, : 2 ψ ϕ ψ ψ ϕ ψ ε ψ ε η * * * * * N N N M M M M M M 3 S 9 9 ϕ ψ ε ε ψ * * 3 9 % % $ 9 7 Eléments finis > un nombre fini de fonctions de base Expression de la forme variationnelle à l aide des fonctions de base Système algébrique

22 22 Cas non linéaire : méthode de Newton E [ [ + [ \ [ [ $ \ [ $ \ [ + E [ [ $ N N + + Système non linéaire Hessien Résolution itérative : une suite de systèmes linéaires

23 23 Forme algébrique symétrique indéfinie : I S % % $ 7 Forme mixte stable ou stabilisation : Cas de l ajout d une bulle E X +

24 24 J I S E X ES S 7 ES EE 7 S I S S 7 S Bulle : + Condensation de la bulle formulation stabilisée -C matrice semi définie négative à diagonale non nulle

25 Méthodes de résolution des systèmes linéaires: directe : Cholesky Crout Itérative : - Bi gradient conjugué BCG - GMRES - Résidu minimal : PCR, MINRES pour le problème de Stokes stabilisé WS,94 Complexités asymptotiques des méthodes directe et itérative avec préconditionnement diagonal bloc diagonal BDS: ' ' 'LUHFW 4 N² 32 N %'6 44 N ON,75 ON, N ON 5 ON 5 25

26 /H'WUqVIDRUDEOHDX[PpWRGHVLWpUDWLHV /H'SOXVGLIILFLOH Amélioration du préconditionnement : factorisation incomplète incomplet ILU nombre d itérations théorique en 2D en 2D mais, 625 mesuré Comparaison des préconditionnements en 2D : 'RI ],/8 %' s 235 6s s s s s s s s s 26

27 Résolution de système linéaire dans les cas instationnaires 2 7HPSVV Préconditionneur Cholesky Incomplet Préconditionneur bloc diagonal Préconditionneur diagonal vitesse et pression 3UpFRQGLWLRQQHXUV 27

28 Comparaison de «toutes» les méthodes itératives PETSc Cemef - cr richardson gmres bicg bcgs cgs cr 7HPSVV

29 Parallélisation Codes de calcul implicite en mise en forme : 8% du temps de calcul dans la résolution des systèmes linéaire Résolution des système linéaire : - méthodes itératives - partition Parallélisation complète d un code de calcul : - un paradigme : SPMD - partitionnement de maillage 29

30 3 S L L 3 L 3 L L L L E [ $ E $[ Efficacité parallèle : volume de calcul >> volume de communication > volume des sous domaines >> frontière des sous domaines, + 3 M L 3 M 3 L R 3 L 3 L M L M L L L L L L U U U U [ $ E $[ E U

31 Préconditionnement parallèle: 'LDJRQDO: séquentiel parallèle 3 3 L 7 L L OHQRPEUHG LWpUDWLRQVQHGpSHQGSDVGXQRPEUHGHVRXVGRPDLQHV,/8: séquentiel parallèle L QRPEUHG LWpUDWLRQVGpSHQGGXQRPEUHGHVRXVGRPDLQHV! PpWRGHGHGpFRPSRVLWLRQGHGRPDLQH 3

32 Cas réel à 5 nœuds 25 éléments en 3D, préconditionnement bloc diagonal, machine IBM SP2 publié en 997 3URFHVVHXUV WHPSV DFFpOpUDWLRQ IILFDFLWp% , Cas 2D complet : parallèle + ILU PCR + Non linéaire + instationnaire 3URFHVVHXUV WHPSV DFFpOpUDWLRQ E LWpUDWLRQV PR\HQ GLUHFW 9h28-8h 8 5h24, h3 3,8 5 h22 5,

33 Calculs de surfaces libres Avancée du front de matière Surface libre en mouvement interaction : contact polymère moule, polymère polymère effet fontaine etc IOXLGH f LGH f 33

34 Domaine déformable dépendant du temps IOXLGH IOXLGH W IOXLGH Surface libre LGH Prolongement : La cavité le domaine fluide + le domaine vide LGH W W IOXLGH Domaine fixe : 34

35 Problème de Stokes dans le domaine fluide Forme forte 2ηε S I GDQV IOXLGH W Forme faible IOXLG IOXLG W W 2η ε : ε Z T S Z Z T 35

36 Formulation faible pondérée: IOXLG IOXLG W W 2η ε : ε Z T S Z Z + T / 2 3 La fonction caractéristique du domaine fluide: W IOXLG [,, [ [ IOXLG IOXLG W W I f 36

37 Représentation du domaine fluide Approche Lagrangienne Maillage du domaine fluide : la surface du maillage est la frontière du domaine fluide Approche Eulérienne : La surface libre traverse les éléments Représentation du domaine fluide Une fonction de presence Méthode VOF Méthode LevelSet IOXLGH LGH f f f 37

38 $SSUR[LPDWLRQpOpPHQWV ILQLVG XQH IRQFWLRQ FDUDFWpULVWLTXH Approximation de bas degré P ~ VOF Approximation de haut degré > P ~ la fonction distance : levelset Interpolation discontinue P : [ I τ [ Fraction volumique IOXLG 38

39 RXHPHQW GHODVXUIDFHOLEUH W Conservation de la masse : G GW I + [, IOXLGH IOXLGH W,5 + Résolution: Schéma numérique pour la convection en éléments finis : interpolation continue : stabilisation : SUPG, least square, Caractéristiques Interpolation discontinue : Galerkin discontinu Lesaint Raviart, explicite implicit *DOHUNLQ GLVFRQWLQX HVSDFHWHPSV' 39

40 4 + I Q I β β α β α α ] [ Méthode de Galerkin discontinu : Approximation discontinue d un élément à l autre Prise en compte du «saut» des variables dans les formulations variationnelles: Saut différence à l interface

41 Problème instationnaire de convection pure Gα GW α + α W Le problème instationaire 3D est identique au problème stationnaire en 4D ~ HW ~ W Dans un espace 4D : ~ α ~ 4

42 42 > < Q ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ] [ ~ ~ ~, ~ φ α φ α φ α pwrgh GH*DOHUNLQ GLVFRQWLQX HQ' Saut amont + N S Q Q Q S Q, S W W, W W W [ Q, ~ [, ] ~, α α Maillage structuré en temps non structuré en espace hyperprisme Élément prismatique : P n en temps P k en espace

43 Capture d interfaces par adaptation de maillage Déplacement des nœuds du maillage : r-adaptation v vitesse du fluide 8 vitesse du maillage Réduire la diffusion à l interface fluide vide dérivée matérielle : Gα α + α GW W 8 43

44 Schéma d adaptation Soit un maillage de On souhaite obtenir par déformations locales un maillage de 44

45 Schéma d adaptation Maillage initial On souhaite réduire le volume des éléments traversés par la frontière Maillage visé 45

46 Schéma d adaptation Fonction caractéristique de Projection de sur Erreur d interpolation : 46

47 Schéma d adaptation Méthode de barycentrage pondéré : Équivaut à résoudre le problème d optimisation : Avec : Résolution itérative type Gauss-Seidel 47

48 Schéma d adaptation Pour chaque nœud, on cherche la position optimale LD une homothétie centrée par rapport aux barycentres des éléments auxquels il est connecté : Avec : l ensemble des éléments connectés au nœud Le problème d optimisation peut donc se réécrire : Il convient de déterminer le vecteur : 48

49 Les calculs 3D : + description des écoulements dans l épaisseur Effet fontaine et front de matière - fluide visqueux incompressible - contact collant adaptation de maillage 49

50 5HP'' : $9,56726 Effets d inertie et surfaces libres Termes deviennent importants ργ 2ηε + S ρ J Polymères fondus : η/ρ ~ 2 Élastomère, résine thermodurcissable : η/ρ ~ -2 3 Métal fondu : η/ρ ~ -6 5

51 Rem3D _ Navier Stokes Écroulement d une colonne de liquide 5

52 Adaptation de maillage 52

53 'GDPEUHDNLQJLQDUHFWDQJXODUER[ 53

54 Instabilités de surface libre : inertie+gravite contre viscosité «Miel» liquide 54

55 lentille ophthalmologique ESSILOR Défaut de bulle : la rhéologie Front de matière + Champ de pression 55

56 ,QMHFWLRQFODVVLTXHUHPSOLVVDJHG XQHOHQWLOOH66,/25 Formation d une bulle en fin de remplissage Expérience Simulation REM3D 56

57 DUWHU36$ 57