Rappel Les expériences aléatoires, les événements, les expériences aléatoires avec ou sans remise et avec ou sans ordre

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1 Les termes de la suite recherchée sont donc 7,,, 9, On remarque que cette suite est arithmétique et que sa régularité est. a règle est t n 3. Pour que tous les quartiles d une distribution correspondent à une moyenne entre deux données, le nombre de données doit être pair. On peut donc construire le tableau suivant. Nombre de données de la distribution Q correspond-il à une moyenne? Q correspond-il à une moyenne? Q 3 correspond-il à une moyenne? Oui Oui Oui 6 Non Oui Non 8 Oui Oui Oui 0 Non Oui Non Oui Oui Oui Non Oui Non 6 Oui Oui Oui 8 Non Oui Non 0 Oui Oui Oui Les termes de la suite recherchée sont donc, 8,, 6, 0, On remarque que cette suite est arithmétique et que sa régularité est. a règle est t n. Réponse : Les règles sont t n 3 et t n. CHAPITR 8 La probabilité Rappel Les expériences aléatoires, les événements, les expériences aléatoires avec ou sans remise et avec ou sans ordre Page. a) {,, 3,,, 6, 7, 8, 9, 0, valet, dame, roi} b) {rouge, bleu, vert} c) d) {,, 3,,, 6, 7, 8, 9, 0} e) {concombre, carotte, navet, brocoli} Page 3. a) ) ou 0,. ) b) L événement C a le plus de chances de se produire, car P(C) 6 3. a) Événements indépendants. b) Événements indépendants. c) Événements dépendants. d) Événements dépendants. et P(D).. a) ) ) 3 b) ) P(G, G) P(F, F) ) P(F, G) P(G, F) c) ) P(G, G) P(F, F) 0, 0, 0,6 0,6 0, ) P(F, G) P(G, F) 0,6 0, 0, 0,6 0,8 Page 3. a) b) er tirage e tirage Résultat Probabilité c) ) 9 ) V R N V R (V, V) (V, R) N (V, N) V R (R, V) (R, R) N (R, N) V R (N, V) (N, R) N (N, N) CORRIGÉ VRAC CAHIR D APPRNTIAG Chapitre 8 Reproduction autorisée

2 d) Ils sont dépendants, car la probabilité des événements intermédiaires de la e étape diffère selon la réalisation des événements intermédiaires de la re étape. e) ) A {(V, V), (R, R), (N, N)} B {(V, R), (R, V), (R, N), (N, R)} C {(V, V), (V, R), (R, V), (N, V), (V, N)} ) P(A) 6 P(B) 6 8 P(C) 8 3 ection 8. Les permutations, les arrangements et les combinaisons Page 3. a) Arrangements. b) Permutations. c) Arrangements. d) Combinaisons. Page 3. a) b) c) d) e) f) a) ) Arrangements. ) 3 60 résultats possibles. 3 b) ) Combinaisons. ) 0 résultats possibles. 3 c) ) Arrangements. ) résultats possibles. d) ) Permutations. ) 3 0 résultats possibles. Page 36. a) pas d importance. Or, l ordre est important dans ce contexte. b) ) Nombre d arrangements : Réponse : Il peut exister cadenas différents. ) Nombre d arrangements : Réponse : Il peut exister 9 80 cadenas différents.. a) Nombre de listes : Réponse : Ce lecteur peut créer listes différentes. b) Nombre de listes : Réponse : Ce lecteur peut créer 60 listes différentes. 6 3 c) Nombre de listes : Réponse : Ce lecteur peut créer 368 listes différentes. Page a) ) Le nombre d éléments dans l ensemble de départ. ) Le nombre d éléments choisis dans l ensemble de départ. b) Ordonner un ensemble de 9 éléments équivaut à choisir aléatoirement, sans répétition et en tenant compte de l ordre, 9 éléments dans un ensemble qui en contient Option : Nombre de plaques Option : Nombre de plaques Option 3 : Nombre de plaques Option : Nombre de plaques Réponse : Les options et 3 d au moins millions de numéros d immatriculation. Reproduction autorisée CORRIGÉ VRAC CAHIR D APPRNTIAG Chapitre 8

3 Page Nombre de mains : Réponse : Il existe mains différentes. 9. Nombre de façons : Réponse : Il est possible de peindre le personnage de 680 façons différentes a) Nombre d équipes : Réponse : On peut former 00 équipes différentes. b) Nombre d équipes : Page 39 Réponse : On peut former équipes différentes.. Possibilités pour les pains : 3 Possibilités pour les viandes : Possibilités pour les garnitures : 0 3 Nombre de sous-marins : Réponse : Il est possible de confectionner 80 sous-marins.. Nombre de résultats Nombre de billes disponibles pour la e case Nombre de billes disponibles pour la re case 3 60 Nombre de billes disponibles pour la 3 e case Nombre Nombre de cases Nombre de cases Nombre de cases de résultats disponibles pour la re bille disponibles pour la e bille disponibles pour la 3 e bille 3 60 Réponse : Les deux expériences ont un nombre identique de résultats possibles. Page 3. a) Nombre de façons : Réponse : Les membres peuvent s asseoir de 0 façons différentes b) Nombre de façons : 00 8 Réponse : Les membres peuvent s asseoir de 00 façons différentes a) Nombre d équipes : Réponse : Il est possible de former 8 équipes. 3 b) Nombre d ensembles de 3 garçons qu il est possible de former : 3 0 possibilités. Réponse : ection 8. La probabilité théorique, la probabilité fréquentielle et la probabilité d un ou de plusieurs événements Page 3. a) Il y a 36 résultats possibles. b) ) ) 8 3) c) ) 36 ) ) 36. a) Non, les mots qu il est possible de former avec les lettres tirées sont les mêmes, quel que soit l ordre dans lequel elles ont été tirées. 6 3 b) Nombre de résultats possibles : 90 3 Réponse : Il y a 90 résultats possibles. 6 CORRIGÉ VRAC CAHIR D APPRNTIAG Chapitre 8 Reproduction autorisée

4 c) Il y a combinaisons qui permettent de former l un des mots donnés, c est-à-dire résultats favorables. nombre de résultats favorables d) P(A) nombre de résultats possibles Page a) ) 73 0 ) b) ) 9 ) c) ) 0 ) 88 6 d) Il s agit de probabilités fréquentielles, car elles ont été déterminées à l aide des résultats associés aux 70 derniers lancers. e) C est en c) ), soit, car cette probabilité a été obtenue à l aide du plus grand nombre de répétitions 0 de l expérience. f) n additionnant les fréquences de chaque tableau, on trouve P(obtenir un nombre pair) 3. Cette probabilité 870 est encore plus proche de la probabilité théorique, car elle a été obtenue à la suite de 70 répétitions de l expérience. Page 3. a) P(3 fois le même résultat) P(P, P, P) P(F, F, F) b) Il s agit d une probabilité théorique, car elle a été déterminée à l aide d un raisonnement mathématique qui ne nécessite pas de faire l expérience.. a) i R représente un lancer réussi et M, un lancer manqué, on a : Page 3 P(R, R) P(R) P(R) Réponse : La probabilité est d environ 7,6 %. b) P(R, M) P(M, R) P(R) P(M) Réponse : La probabilité est d environ 36,7 % c) P(M, M) P(R) P(R) Réponse : La probabilité est d environ,8 %. 6. a) b) 80 6 d) c) e) a) ) ,9 % ) ,8889 % b) Il s agit de la pièce. n effet, la probabilité fréquentielle d obtenir pile s éloigne plus de la probabilité théorique pour cette pièce qu avec la pièce. Page a) Nombre de combinaisons de trois couleurs : 0 3 Nombre de combinaisons favorables : 0. b) Nombre d arrangements de trois couleurs : 3 60 Nombre d arrangements favorables :, soit (rouge, jaune, vert) et (rose, jaune, vert). Réponse : La probabilité que les bâtonnets glacés vert, rose et bleu soient choisis est de a) Nombre de combinaisons possibles des cartes : Nombre de combinaisons possibles de cartes de la même couleur : 87 3 Puisqu il y a couleurs, il y a en tout 87 8 différentes couleurs. 8 Réponse : La probabilité d avoir une couleur est de Reproduction autorisée CORRIGÉ VRAC CAHIR D APPRNTIAG Chapitre 8 7

5 b) Il y a 0 combinaisons possibles de cartes consécutives d une même couleur. Ces combinaisons sont (as,, 3,, ), (, 3,,, 6),, (0, valet, dame, roi, as). Puisqu il y a couleurs, il y a en tout 0 0 différentes quintes couleur. Page 37 0 P(quinte couleur) Réponse : La probabilité d avoir une quinte couleur est de a) Il y a numéros possibles. Un seul permet de gagner $. Réponse : La probabilité de gagner $ est de b) Il y a numéros contenant les 6 nombres du numéro gagnant. Un de ces numéros permet de gagner $. Il y a donc 79 numéros qui permettent de gagner $. 79 Réponse : La probabilité de gagner $ est de c) Nombre de billets dont les premiers nombres sont les bons et dans le bon ordre. 3 3 billets qui respectent ce critère. Nombre de billets dont les derniers nombres sont les bons et dans le bon ordre. 3 3 billets qui respectent ce critère. 86 Réponse : La probabilité de gagner $ est de d) Il y a 86 numéros contenant les premiers nombres du numéro gagnant dans le bon ordre. Pour chacun de ces numéros, il existe permutations possibles. Il y a en tout numéros qui contiennent les premiers nombres du numéro gagnant, dont 86 permettent de gagner $. On en déduit que 6 83 numéros permettent de gagner $ Réponse : La probabilité de gagner $ est de Page a) Nombre de combinaisons possibles des nombres tirés : 3 Parmi ces combinaisons, une seule permet de recouvrir la re ligne après tirages. P(recouvrir la re ligne après tirages) b) Il y a combinaisons qui permettent de gagner, soit les combinaisons associées à chacune des lignes, des colonnes et des diagonales. P(gagner après tirages) Réponse : La probabilité que ce joueur gagne après tirages est de. a) ,9 38 Réponse : nviron 30 ampoules devraient être défectueuses b) n 0 38 n ,67 Réponse : On devrait tester environ 87 ampoules. ection 8.3 Page 33 Les variables aléatoires discrètes, les variables aléatoires continues et la probabilité géométrique. a) Continue. b) Discrète. c) Continue. d) Continue. e) Discrète.. L âge de Charles n est pas une valeur associée à un résultat possible d une expérience aléatoire. 3. a) d) 6, 0,3 b) 7 0,36 c) 0, 9 8 0,8 e) 7,7 3,7 0, f) 3,6 0, 8,6 8 CORRIGÉ VRAC CAHIR D APPRNTIAG Chapitre 8 Reproduction autorisée

6 Page a) 3 0,3 b) 3 3 0, c) 63 0, d) 0,83 e) 0,86 f) 0,3. a) 3 0,33 b) 8 0, c) 0,06,6 Page a) Rapport des rayons A grand disque cm aire du petit disque P(A) aire du grand disque A petit disque cm Réponse : P(A) est différente du rapport des rayons. La conjecture est réfutée. b) Carré du rapport des rayons aire du petit disque P(A) aire du grand disque Réponse : P(A) égale le carré du rapport des rayons. La conjecture est démontrée. aire du petit disque c), P(A) aire du grand disque aire du petit disque, P(A) aire du grand disque Réponse : P 7. P(point sur la partie jaune) aire de la partie jaune aire du grand disque 0, 3 0, 0, 3 0,39 Réponse : La probabilité est d environ,39 %. Page a) Voici les événements intermédiaires possibles concernés : aire de la région rouge P() aire de la cible P(A) P(,, ) aire de la région rouge aire de la région jaune c) P() P(C) P(,, ) aire de la cible b) P(B) P(,, ) P(,, ) P(,, ) Reproduction autorisée CORRIGÉ VRAC CAHIR D APPRNTIAG Chapitre 8 9

7 Page a) Longueur de la piste :, 0,3 0,3 0, 6,7 km Longueur de la partie bleue : 0,3 0,9 km P(radar bleu) 0,9 6,7 Réponse : La probabilité est d environ,0 %. b) Longueur de la partie verte : 0, 0,3 0, km P(partie verte) 0, 6,7 Réponse : La probabilité est d environ 7,98 %. c) On peut associer cette situation à une expérience aléatoire à trois étapes dont les événements intermédiaires sont : O : La vitesse de la voiture est captée par le radar. N : La vitesse de la voiture n est pas captée par le radar. P(au moins radars) P(O, O, O) P(O, O, N) P(N, O, O) P(O, N, O) 7,98 %,0 % 0,3 % 7,98 %,0 % 89,7 % 9,0 %,0 % 0,3 % Page 336 7,98 % 8,96 % 0,3 % Réponse : La probabilité est d environ 3,8 %. P( re série) Vcône ) Le résultat obtenu en ) permet V bassin de déduire que le volume 3 m3 du bassin correspond à 3 V bassin 7 7 fois le volume du cône m 3 P( e V série) cône 7 V bassin V cône a) ) V cône 0, 8 3 b) 7 n 7 n n 6. Réponse : Après séries d ultrasons, le dauphin a chance sur de repérer le poisson. 3) P(n e série) V cône V bassin n V cône 7 n Réponse : La probabilité est de 7 n. Méli-mélo Page 337. Nombre d arrangements de 3 éléments parmi éléments : 3 60 Réponse : On peut y placer les 3 crayons de 60 façons.. Nombre de combinaisons de 3 éléments parmi 0 éléments : Réponse : Il peut y avoir 0 boîtes à surprises différentes Nombre de permutations de 7 éléments : Réponse : 3. Nombre de combinaisons de éléments parmi éléments : Réponse : Il est possible de former 8 99 comités différents.. a) Nombre d indicatifs : b) Nombre d indicatifs : Réponse : Il existe 900 indicatifs régionaux. Réponse : Il existe 68 indicatifs régionaux. 0 CORRIGÉ VRAC CAHIR D APPRNTIAG Chapitre 8 Reproduction autorisée

8 Page a) Nombre de combinaisons de éléments parmi 6 éléments : Il y a une seule combinaison favorable b) i l on a choisi les lettres du mot «MANG», il existe 3 0 permutations possibles dont une seule correspond au mot «MANG». Probabilité : a) Nombre de combinaisons de 3 éléments parmi 7 éléments : 3 3 Réponse : Le logiciel peut créer 3 accords différents. b) Il y a accords différents qui contiennent les notes do et mi c) Nombre de combinaisons de 3 éléments parmi éléments : 0 3 Réponse : Le nombre d accords possibles a augmenté de 0 accords. Page Nombre de permutations de éléments : 3 0 Il y a une seule permutation favorable a) 0,6 b) 0,9 c) d) e) 3 7 0,3 f) 0,0 Page a) Puisque chaque couleur contient 3 cartes, il existe 3 carrés différents. Pour chaque carré, il y a 8 possibilités pour la e carte. Le nombre de mains qui permettent d avoir un carré est donc Réponse : 6 mains différentes permettent d avoir un carré b) ) Nombre total de mains : De ce nombre de mains, 8 permettent d avoir un carré d as. 8 Réponse : La probabilité d avoir un carré d as est de ) mains permettent d avoir ce carré de cartes. Réponse : La probabilité d avoir ce carré de cartes est de a) Nombre d arrangements de éléments parmi 0 éléments : ,9 0 De ce nombre, un seul correspond à la situation décrite. Réponse : La probabilité est d environ,9 0. b) Nombre de combinaisons de éléments parmi 0 éléments : Réponse : La probabilité est d environ, , 0 Reproduction autorisée CORRIGÉ VRAC CAHIR D APPRNTIAG Chapitre 8

9 Page 3. a) ) La probabilité 7 est de 60. ) Les événements intermédiaires associés à cette situation sont : D : Le client choisit un appareil défectueux. O : Le client choisit un appareil opérationnel. 3) P(D, D, D) P(D, D, O) P(O, D, D) P(D, O, D) 7 P(D, D) Réponse : La probabilité est de b) Ce sont des probabilités fréquentielles, car elles ont été calculées à partir des résultats d une série de répétitions de l expérience «essai d un appareil» a) ou. b) Huit résultats permettent d obtenir une somme d au plus, soit (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (3, ), (, 3), (3, ), (, 3) et (, ). La probabilité est donc de ou 8. Page 3. a) Position Total Nombre de punaises b) ) P(toutes sur la tête) ,6 0,6 6 % 6 % 0 % Réponse : Puisque la probabilité est d environ 6 %, elle est inférieure à 0 %. ) Il y a 3 façons équiprobables que punaises sur 3 tombent sur la tête. P(deux sur la tête) , 0, % % 0 % Réponse : Puisque la probabilité est d environ %, elle est supérieure à 0 %.. a) P(G, G) b) P(G, F) P(F, G) Page a) Cette situation correspond à une expérience aléatoire à étapes, soit une étape pour chaque poisson, et dont les événements intermédiaires sont : P(O) 3 () ,0 et P(X) P(O) 0,96 Il y a façons différentes et équiprobables d attraper un seul poisson. Pour chacune de ces façons, la probabilité est d environ 0,0 0,96 0,96 0,96 0,03. Réponse : La probabilité est d environ 0,03 0,. b) Nombre de façons d attraper poissons parmi : 3 6 Pour chacune de ces façons, la probabilité est d environ 0,0 0,0 0,96 0,96 0,00. Réponse : La probabilité est d environ 6 0,00 0,0088. CORRIGÉ VRAC CAHIR D APPRNTIAG Chapitre 8 Reproduction autorisée

10 3 c) Nombre de façons d attraper 3 poissons parmi : 3 Pour chacune de ces façons, la probabilité est d environ 0,0 0,0 0,0 0,96 0, Réponse : La probabilité est d environ 0, ,000. d) P(aucun poisson) (0,96) P(au moins poisson) P(aucun poisson) Page 3 0,8 0,8 Réponse : La probabilité est d environ 0,. 0, 7. a) Les disques représentent les zones de couverture des émetteurs-récepteurs. On en déduit que Xavier et Yolande peuvent communiquer seulement si Yolande se trouve dans la région délimitée par le cercle en pointillé, soit un disque de 00 m de rayon. P(communiquer) aire de la région favorable aire du quartier (00) Réponse : La probabilité est d environ,3 %. b) Xavier et Yolande peuvent communiquer seulement si Yolande se trouve dans un disque de 00 m de rayon. P(communiquer) aire de la région favorable aire du quartier (00) Réponse : La probabilité est d environ 39,7 %. P 8. La cerise Pages 3-36 Démarche et calculs Volume du contenant de jus : V A b h 9,8 6 6,88 cm 3 9,8, 9, Capacité du verre A : 90 % V 0,9 A b h Capacité du verre B : V 0 0 A h b 0,9 3, , 6 3,07 0,9 cm 3 3, cm 3 Capacité du verre C : 0,9 V 0,9 (volume du grand cône volume du petit cône) 0,9,, ,03 cm 3 Il est plus probable que la cerise soit contenue dans le verre B, et la probabilité est de : Aire latérale du verre B : A L P b h 3, 6, % 6,88 Aire totale du verre B : A A L A b 3, 6 98, 3, 6 3,07 98, cm 3,89 cm Note : Pour calculer l aire d un verre, on n utilise qu une seule base. 98, 90, % 3,89 Réponse : B. La probabilité que la cerise soit contenue dans ce verre est d environ Reproduction autorisée CORRIGÉ VRAC CAHIR D APPRNTIAG Chapitre 8 3

11 P 9. Mastermind Pages Démarche et calculs Cette situation correspond à une expérience aléatoire à étapes, soit une étape par essai, dont les événements intermédiaires sont : «l arrangement donné est exact» et «l arrangement donné est inexact». Variante est le suivant. er essai e essai 3 e essai e essai e essai Résultat () (, ) (,, ) (,,, ) (,,,, ) P(réussir après au plus essais) P() P(, ) P(,, ) P(,,, ) P(,,,, ) , ,3 % Variante le er essai : le e essai : le 3 e essai : le e essai : le e essai : est le suivant. er essai e essai 3 e essai e essai e essai Résultat () (, ) (,, ) (,,, ) (,,,, ) P(réussir après au plus essais) P() P(, ) P(,, ) P(,,, ) P(,,,, ) ,09 9,99 % Réponse : La variante offre une plus forte probabilité de l emporter après au plus essais. CORRIGÉ VRAC CAHIR D APPRNTIAG Chapitre 8 Reproduction autorisée

12 R 0. ur la cible Pages Démarche et calculs ) Analyse de la situation On peut considérer cette situation comme une expérience aléatoire à étapes dont les événements intermédiaires possibles sont : P(ne pas gagner) P(,,, ) On en déduit que : P(gagner) P(ne pas gagner) P(,,, ) ) Puisqu on ne connaît pas la probabilité de chacun des événements intermédiaires, on peut leur attribuer une variable. Ainsi : P() x et P() x, car et sont des événements complémentaires. P(gagner) P(,,, ) x x x x x Pour que la probabilité de gagner soit d au moins 0 %, on a : P(gagner) 0, x 0, x 0,8 3) Rayon du disque rouge P() 0,6 aire du disque rouge 0,6 aire du disque vert r 0,6 R r 0,6R r 0,R Réponse : Le rayon du disque rouge doit effectivement mesurer au moins 0 % du rayon du disque vert. RÉINVTIMNT Page 3. Louis Gérald Vitesse moyenne 0,8, 0 o/s Vitesse moyenne 0,8 3, 0 o/s 3,36 0 o/s,97 0 o/s,3 Go,3 0 9 o 0 Mo 0, Go, 0 8 o,3 09 3,36 0,0, 0 03,97 0 3,7 0 s Réponse : Gérald aura terminé en premier. Reproduction autorisée CORRIGÉ VRAC CAHIR D APPRNTIAG Réinvestissement