Situation mathématique «les nombres trapézoïdaux»

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1 Situation mathématique «les nombres trapézoïdaux» Problème Trouver tous les nombres entiers qui sont la somme d au moins deux nombres entiers naturels 1. Analyse mathématique du problème La situation mathématique consiste à étudier quels sont les nombres qui sont sommes d entiers Eclairage historique : Elle fait partie des thèmes de recherche du grand mathématicien allemand Carl Fiedrich Gauss ( ). Ce génie des mathématiques fut un enfant prodige (ce qui n est pas le cas de tous les grands mathématiciens!). Lui-même prétendait avoir su compter avant d avoir su parler. L anecdote qui illustre sa précocité est la suivante : A l âge de 10 ans, son maître pose le problème suivant : «quelle est la somme de tous les nombres entiers de 1 à 100?» Le premier garçon ayant trouvé la solution devait poser son ardoise sur le bureau du maître. A peine celui-ci avait-il fini d exposer le problème, le jeune Gauss posa son ardoise sur le bureau. Pendant toute l heure qui suivit, les autres élèves peinaient sur cette immense addition, Gauss se tenait les bras croisés, le maître le regardant avec scepticisme. Au bout d une heure, le maître regarda l ardoise de Gauss, qui contenait le résultat exact. Il fut si impressionné qu il offrit un livre d arithmétique à Gauss. A 19 ans, il avait déjà démontré un théorème fondamental en théorie des nombres. Ses travaux portèrent non seulement sur l arithmétique, mais aussi sur la géométrie (construction des polygones réguliers à la règle et au compas), sur les nombres complexes et l analyse complexe. Il s intéressa aussi à la résolution de problèmes pratiques en astronomie, en magnétisme, en télégraphie. Il travailla aussi sur les géométries non euclidiennes. Ses travaux inspirent encore de nombreuses recherches contemporaines, ce qui prouve leur importance, et la fertilité de ses idées. Une dernière anecdote : le 10 juillet 1796, il nota dans son journal la phrase suivante : Euréka! num = + + Elle signifie «tout entier positif est somme de trois entiers triangulaires». Un entier triangulaire est un entier de la forme n, soit n(n+1)/. Un nombre trapézoïdal est donc la différence de deux nombres triangulaires. Des méthodes de résolution Nous rédigeons les méthodes de la plus élémentaire à la plus experte. Certaines ne donnent qu une solution partielle au problème posé. Pour chacune nous présentons les savoirs mathématiques utilisés, ainsi que les compétences transversales mises en œuvre. méthodes Expérimentation numérique : En essayant des sommes de deux, ou trois ou quatre entiers consécutifs, on arrive assez vite à la conjecture que tous les entiers peuvent être décomposés en somme d'entiers consécutifs, sauf les puissances de (différentes de 1). Remarque : cette méthode est très féconde pour trouver la conjecture, mais il reste à la démontrer! On peut faire des essais inorganisés, et parvenir à la conjecture de façon assez difficile. On peut par contre mener une recherche très organisée. On se prête à une savoirs mathématiques utilisés Calcul de sommes d entiers, calcul mental et réfléchi. Ou bien utilisation de la calculatrice, éventuellement pour vérifier des calculs faits mentalement. compétences transversales mises en œuvre - expérimenter sur des valeurs numériques à la main, à la calculatrice - conjecturer - rédiger une conjecture

2 expérimentation numérique avec des sommes de deux entiers (0+1=1; 1+=3; +3=5; ), de trois entiers (0+1+=3; 1++3=6; +3+4=9; ) puis de quatre entiers consécutifs (0+1++3=6; =10; =14; ), etc. On remarque qu'en considérant une somme de deux entiers consécutifs, on trouve tous les entiers solutions en allant de deux en deux à partir du premier entier trouvé, c'est-à-dire 1. De même si on considère une somme de trois (respectivement quatre) entiers consécutifs, on trouve tous les entiers solutions en allant de trois en trois (respectivement quatre en quatre) à partir de 3 (respectivement 6). Ceci permet de trouver, de proche en proche, toutes les solutions et, à l'aide d'un crible, d'arriver à la conjecture que seuls 0 et les puissances de différentes de 1 ne conviennent pas: organiser des calculs et présenter les résultats sous forme de tableau Résolution algébrique «à la recherche d une formule explicite pour les entiers cherchés»: on appelle n le plus petit de ces nombres entiers. On réduit l expression de la somme de deux entiers consécutifs, de trois entiers consécutifs, de 4,. Ceci donne lieu à la résolution de sous problèmes intéressants : «tous les entiers impairs conviennent». La démonstration utilise le calcul algébrique : Soit n un nombre entier naturel. n+ (n+1) = n +1, ce qui démontre que tout entier impair est la somme de deux entiers «Peut-on trouver une méthode par récurrence pour décrire les entiers cherchés?» n+ (n+1) = n +1 «les impairs» n+ (n+1) +(n+) = 3n +3 «les multiples de 3» n+ (n+1) +(n+)+(n+3) = 4n +6 n+ (n+1) +(n+)+(n+3)+(n+4)= 5n On trouve alors expérimentalement une façon de déterminer les coefficients «rouges» et les coefficients «bleus» : les rouges augmentent de 1 à chaque ligne ; les bleus sont égaux à la somme des deux coefficients (le rouge+ le bleu) de la ligne précédente. Ceci permet, en y mettant le prix, de trouver tous les entiers solutions. En raisonnant de manière plus astucieuse dans le cas de sommes "impaires" d'entiers consécutifs, on démontre que tous les multiples d'un nombre impair conviennent. En effet: Si au lieu d'écrire n + (n+1) + (n+), on pose N = n+1, la somme de trois entiers consécutifs s'écrit (N-1) + N + (N+1) ce qui est égal à 3N. Les - utilisation de la lettre pour désigner un nombre - nombres entiers naturels - entiers pairs, impairs (caractérisation «algébrique») - arithmétique : divisibilité (par, ici) - nombres entiers naturels - entiers pairs, impairs (caractérisation «algébrique») - dégager des sous problèmes, que l on s attache à démontrer - se poser le problème de la démonstration, de la preuve - observer des invariants et/ou des relations de récurrence

3 multiples de 3 s'écrivent donc comme la somme de trois entiers Exemple: 7 = 3 x 9 = (9-1) (9+1) = De la même façon, si au lieu d'écrire n + (n+1) + (n+) + (n+3) + (n+4), on pose N = n+, la somme de cinq entiers consécutifs devient (N-) + (N-1) + N + (N+1) + (N+) ce qui est égal à 5N. Les multiples de 5 s'écrivent donc comme la somme de cinq entiers Exemple: 35 = 5 x 7 = (7-) + (7-1) (7+1) + (7+) =

4 Recherche d une preuve de la conjecture en utilisant des exemples que l on va «faire parler» 1 = = = (5 fois 8) 40 = Si l on essaye de généraliser cette idée issue de l expérimentation sur des exemples, on obtient : Si un nombre N s écrit (k+1)n, avec k et n entiers naturels, alors : N = (k+1)n N =n+ n+ +n+ +n+n (k+1) termes égaux à n N = (n-k)+(n-k+1)+ (n-1)+n+(n+1)+ +(n+k 1)+(n+k) Les termes se regroupent deux à deux, avec pour somme n : (n-k)+(n+k) = n (n-k+1)+(n+k 1)= n, etc. On obtient donc k fois n, auquel il faut ajouter n, le terme central, donc on retrouve bien N = (k+1)n La condition pour que les termes de la somme soient tous entiers naturels est : n k. Il semble donc, à cette étape, que cette démonstration ne marche pas dans tous les cas, par exemple : 10 = 5 = correct, car ici n k 14 = 7 = ne convient pas car il y a un nombre entier négatif! ici n < k Ce qui est très fort, c est que de la dernière égalité on peut tirer une autre égalité qui va convenir à notre problème, à savoir, comme = 0, on obtient : 14 = Mais là, il n est pas facile de rédiger une démonstration «générale». On comprend pourtant aisément que ce calcul va pouvoir être possible dans tous les cas où n < k. On peut parler d un exemple générique, qui à lui seul convainc. - nombres entiers naturels - distinguer conjecture et propriété démontrée - se poser le problème de la démonstration, de la preuve - revenir à des exemples pour en déduire une preuve (des exemples «génériques», qui ne donnent pas une démonstration) - expérimenter sur des valeurs numériques à la main, à la calculatrice, au tableur - observer des invariants - critiquer une démonstration, en percevoir les limites ; - analyser les conditions de validité d un calcul Démonstration de la conjecture : Elle utilise le résultat suivant : Si n est un entier naturel, n =. On peut noter S n cette somme. (Cette démonstration permet de revoir ou d introduire ce résultat, comme outil de résolution de problème) N étant un entier naturel, on cherche s il existe deux entiers naturels a et p tels que N = a+(a+1) +(a+)+ +(a+n-1) N = S a+n-1 S a-1 N = (a+n 1)(a+n) (a 1)a Soit: N = (a+n) a n a +a N = n (a +n 1) ou N = n(a+n 1) On peut alors raisonner sur la parité de l entier n. Si n est pair : a+n-1 est impair Si n est impair : a+n-1 est pair - nombres entiers naturels - entiers pairs, impairs (caractérisation «algébrique») - somme des n premiers entiers naturels ( ou suite arithmétique) et à ce propos, anecdote sur Gauss - fonction de deux variables et tableau de valeurs de cette fonction sur un tableur - raisonnement par analyse-synthèse : partie «analyse» - raisonnement «par

5 Par conséquent, des deux entiers n et a+n-1, l un est pair et l autre impair : leur produit étant égal à N, cela entraîne que N possède un facteur premier impair : N n est pas une puissance de. Autre raisonnement, par l absurde : si N = m alors on cherche a et n tels que m+1 = n (a +n 1), ceci est impossible car l un des deux facteurs du second membre est impair. Il reste encore à démontrer que tout nombre N qui n est pas une puissance de peut s écrire comme somme d entiers N est donc le produit d un nombre impair i par un nombre pair p. N = i p et N = n (a + n 1) si i < p alors il suffit de poser n = i et p = a+n 1, soit a = p n+1 si i > p alors il suffit de poser n = p et i = a+n 1, soit a = i n+1 La conjecture est ainsi complètement démontrée, et cette démonstration donne un procédé pratique pour déterminer a et n entiers naturels tels que N = a+(a+1) +(a+)+ +(a+n-1). - utiliser le tableur (adresses absolues et relatives) - arithmétique : divisibilité (par, ici) le pair, et l impair» : raisonnement par exhaustion - raisonnement par l absurde - raisonnement par analyse-synthèse : partie «synthèse» Exemple : N = = Or 1>16 donc on aura : n =16 et a = i n+1 = = = Par la méthode numérique donnée sur des exemples génériques, on obtient : 168 = 1 8 = = (8-10) +(8-9) +( 8-8)+(8-7)+.+(8+7)+(8+8)+(8+9)+(8+10). 168 = = On peut aussi remarquer que 168 est un multiple de 3, et 168 = 3 56, donc 168 = En utilisant la méthode «par récurrence» : 168 est multiple de 7 ; or la somme a+a+1+a++.+a+6 = 7a + 1 7a+1 = 168 équivaut à a = 1, ce qui donne : 168 = Remarque : La décomposition en somme d entiers consécutifs n est pas unique. Il semble que des méthodes différentes donnent des résultats différents, sauf la méthode «exemples génériques» et la démonstration par le pair et l impair, qui donnent la même décomposition en somme d entiers Expérimentation sur tableur, visant à obtenir toutes les décompositions pour un nombre entier donné (qui n est pas une puissance de ) On peut aussi envisager, dès lors que l on dispose de la formule N= n(a+n 1) envisager de construire une feuille de calcul sur tableur, pour y faire figurer les nombres entiers solutions, en fonction des entiers a (premier terme) et n (nombre de termes). - utiliser le tableur (adresses absolues et relatives) - penser à utiliser un tableur pour construire le tableau de valeurs d une fonction de deux variables entières

6 premier terme : a sur la ligne 1 nombre de termes de la somme : n dans la colonne A Ce extrait de tableur permet de conjecturer quels sont les entiers solutions du problème et aussi de déterminer, pour un nombre donné N du tableau, quels sont les sommes d entiers qui lui sont égales. Il peut permettre de travailler expérimentalement sur le problème suivant : pour un entier N qui n est pas une puissance de, trouver toutes les décompositions de N en sommes d entiers - conjecturer - se poser un nouveau problème On «voit» en augmentant à droite la taille de ce tableau que 135 = = = = = = = Et c est tout! sept sommes possibles pour N = Éléments didactiques pour la mise en œuvre en classe Énoncés Trouver tous les nombres entiers qui sont la somme d au moins deux nombres entiers naturels Ou Quels sont les nombres entiers naturels qui sont somme d au moins deux nombres entiers naturels consécutifs? Les séances en collège et lycée durent deux heures : une heure pour la recherche, une heure pour la mise en commun. Il faut prévoir des calculatrices et aussi la possibilité d accès à un tableur (sur ordinateur, ou sur calculatrice) 3. Exemples de mises en œuvre Au collège :

7 Durée de la séance : une heure de recherche. Lecture de l énoncé par le professeur. Demander s il y a des termes qui posent problème. Le terme «nombres entiers consécutifs» doit souvent être précisé (donner un exemple, et un contreexemple). Travail individuel : 10 minutes Travail en petits groupes : 45 minutes 10 minutes avant la fin, distribution d un transparent pour les conclusions dans chaque groupe. Séance suivante : résumé des comptes-rendus, correction des erreurs et quelques pistes de solutions partielles. La démonstration de la conjecture ne peut être abordée. Celles de sous problèmes peuvent l être : tous les entiers impairs sont solutions du problème, tous les multiples de 3 aussi. Voici des conjectures émises au collège : - N = n +1 = 3n +3 = 4n +6 = 5n +10 = 6n+15 - Tous les multiples d un nombre premier impair conviennent - Tous les nombres, sauf ceux qui sont seulement multiples de 4 - Tous les entiers, sauf les x, x = 1,,3, - Tous les entiers, sauf 0 et les n, n 0. - Les entiers impossibles sont 0 et tous les entiers pairs, multiples à la fois uniquement de et de 4 - Tous les entiers, sauf les puissances de et le nombre Des écritures algébriques, suivies d une vérification sur un ou des exemples numériques Un sous problème souvent énoncé au collège : Le sous problème suivant est en général émis par de nombreux groupes : «tous les entiers impairs conviennent». sa démonstration utilise le calcul algébrique : Soit n un entier naturel. n+ (n+1) = n +1, ce qui démontre que tout entier impair est la somme de deux entiers Au lycée : Il faut deux séances d une heure. Durée de la séance : une heure de recherche. Lecture de l énoncé par le professeur. Demander s il y a des termes qui posent problème. Le terme «entiers consécutifs» doit parfois être précisé (donner un exemple, et un contre-exemple). Le matériel dont peuvent disposer les élèves est : la calculatrice, et le tableur. Il est à disposition, mais ne doit pas être imposé aux élèves. Travail individuel : 10 minutes Travail en petits groupes : 45 minutes 10 minutes avant la fin, distribution d un transparent pour les conclusions dans chaque groupe. Pour relancer la recherche dans les groupes qui ont trouvé la conjecture, mais n arrivent pas (ou ne cherchent pas à ) la démontrer, on peut poser la question : «d après votre conjecture, 40 et 5

8 sont décomposables en sommes d entiers consécutifs : quelles sont les sommes d entiers consécutifs égales à 40? à 136?» Puis une autre relance : «en s inspirant des deux exemples précédents, trouver une méthode pour décomposer un entier convenable en sommes d entiers consécutifs» Remarque : 40 = 3 5 et 5 = 13 Séance suivante : résumé des comptes-rendus, correction des erreurs et quelques pistes de solutions partielles. - La démonstration de la conjecture ne peut être abordée qu en Première S ou terminale S. - Celles de sous problèmes peuvent l être : tous les entiers impairs sont solutions du problème, tous les multiples de 3 aussi. Forme algorithmique des entiers solutions : n+ (n+1) = n +1 «les impairs» n+ (n+1) +(n+) = 3n +3 «les multiples de 3» n+ (n+1) +(n+)+(n+3) = 4n +6 n+ (n+1) +(n+)+(n+3)+(n+4)= 5n et mise en place de deux suites donnant les coefficients a et b de an+b. Lors des séances suivantes, on peut aborder la démonstration de la conjecture, de sous problèmes, l aspect tableur, le prolongement sur le nombre de décompositions possibles pour un entier donné. La gestion peut se faire soit par des recherches en groupes en classe, soit en devoir à la maison individuel, en groupe, sur un temps long, avec des bilans intermédiaires. La démonstration experte peut être abordée par des élèves de Première ou de Terminale scientifique, mais pas en seconde. Si la formule N = n(a+n 1) est trouvée, on peut, au lycée, envisager de construire une feuille de calcul sur tableur, pour y faire figurer les nombres entiers solutions, en fonction des entiers a (premier terme) et n (nombre de termes). Dans la mise en commun, dans les bilans intermédiaires, un gros travail sur le raisonnement peut être fait : La réfutation de certaines conjectures erronées nécessite l utilisation de contre-exemples La reconnaissance de conjectures équivalentes nécessite d utiliser un raisonnement par analyse-synthèse, (ou double inclusion). Un travail algébrique est aussi conduit : - Reconnaissance d expressions algébriques différentes pour un même résultat. - Reconnaissance des différences et des rapports entre deux expressions : utilisation des lettres et leurs sens dans la situation Avec des étudiants qui préparent le concours de professeurs d école (PE1) L organisation de la classe et les consignes sont les mêmes qu au lycée. Les procédures dépendent souvent de la culture mathématique de l étudiant, suivant qu il a une licence de mathématiques ou qu il n a pas fait de mathématiques depuis la terminale. Voici les conjectures émises couramment dans les sections de PE1 : - les entiers cherchés s écrivent X = a+(a+1)+(a+)+ +(a+n) avec n entier naturel - N = n +1 = 3n + 3 = 4n + 6 = 5n +10 = 6n Tous les multiples d un nombre premier impair conviennent

9 - Tous les nombres, sauf ceux qui sont seulement multiples de 4 - Tous les entiers, sauf les x, x = 1,,3, - Tous les entiers, sauf 0 et les n, n 0. - Les entiers impossibles sont 0 et tous les entiers pairs, multiples à la fois uniquement de et de 4 - Tous les entiers, sauf les puissances de et le nombre Des écritures algébriques non réduites, comme par exemple a n + (a-1)a/ ou (n+1)a + n(n+1)/ - Des écritures algébriques, suivies d une vérification sur un ou des exemples numériques - Avec des stagiaires PLC de mathématiques Ce problème peut être utilisé (comme tous les autres!) dans la formation initiale, pour mettre les stagiaires en situation de recherche au début d un module de formation consacré aux problèmes. Voici des conjectures émises en PCL : - Tous les entiers, sauf 0 et les n, n 0. - N = n + 1 = 3n + 3 = 4n + 6 = 5n +10 = 6n Des écritures algébriques non réduites, comme par exemple a n + (a-1)a/ ou (n+1)a + n(n+1)/ - Beaucoup d utilisations du symbole Σ, sans qu il apporte rien à la caractérisation - Des écritures algébriques réduites, comme par exemple n x (a +(n-1)/ ) - Tous les impairs, tous les multiples de 3, sauf 0. - Essai de preuve utilisant la parité du nombre de termes de la somme - S il existe p entier premier qui divise N, alors il existe p entiers consécutifs de somme N.