Les systèmes d unités du champ électromagnétique

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1 Les systèmes d unités du champ électromagnétique C. LONGUEMARE - séminaire d analyse 13 novembre Version 13/02/2008 Abstract Ces notes accompagnent un travail sur l électromagnétisme de Maxwell et les monopoles, elles ont été rédigées au département de mathématiques de l U-Caen à la demande de Jean Parizet. UNIVERSITE DE CAEN année

2 SOMMAIRE 2 Sommaire 1 Les équations classiques dans tout sytsème d unités Les charges électriques Les équations du champ électromagnétique induit par les charges Les interactions des charges et du champ L énergie associée au champ électromagnétique Les potentiels et la propagation des potentiels Le langrangien du champ électromagnétique Les solutions statiques : Les choix possibles Le système international Le système de Gauss Le système de Gauss des hautes énergies Les monopoles magnétiques Les équations avec des monopoles Le lagrangien avec des monopoles

3 1 LES ÉQUATIONS CLASSIQUES DANS TOUT SYTSÈME D UNITÉS 3 1 Les équations classiques dans tout sytsème d unités 1.1 Les charges électriques Le courant de charge qui est la source du champ est noté : j µ = (ρ, j) avec j = ρ v et µ = 0, 1, 2, Les équations du champ électromagnétique induit par les charges avec div(d) = ρ rot(h) = K 1 ( j + D )} 1 B rot(e) = K D = ϵ 0 E + P B = µ 0 { H + I} Avec dans la matière on tient compte de la polarisation P et de l aimantation I car la matière contient des charges électriques atomiques. Polarisation et aimantation ont des actions de "déformation" du champ électromagnétique par exemple l aimantation induit le champ magnétique au voisinage d un aimant. Dans le vide classique, ces vecteurs sont nuls et l on a : P = 0 I = Les interactions des charges et du champ La force de Lorentz s écrit La densité de force : F Lorentz F Lorentz = q E + K 1 q v B = ρ E + K 1 j B 1.4 L énergie associée au champ électromagnétique La Densité d énergie et le vecteur de Poynting ou courant d énergie électromagnétique (propagation des ondes...) : ω = 1 2 ( D. E + H. B) P = K( E H)

4 1 LES ÉQUATIONS CLASSIQUES DANS TOUT SYTSÈME D UNITÉS Les potentiels et la propagation des potentiels Définition des potentiels La condition de Lorentz Les potentiels retardés de Liénard. E = grad(v ) K 1 A div( A) + ϵ 0µ 0 K V = 0 B = rot( A) La vitesse de propagation V ϵ 0µ 0 K 2 A ϵ 0µ 0 K 2 2 V 2 = ρ ϵ 0 2 A 2 = µ 0 j K c 2 = K2 ϵ 0 µ Le langrangien du champ électromagnétique La densité hamiltonienne H La densité lagrangienne L 1.7 Les solutions statiques : H = 1 2µ 0 ( K2 c 2 E 2 + B 2 ) L = 1 2µ 0 ( K2 c 2 E 2 B 2 ) V 0 A 0 ρ 4πϵ 0 r d3 x µ 0 j 4πKr d3 x La constante de structure fine α sans dimension s écrit : α = où e est la charge élémentaire de l électron. e 2 4πϵ 0 ħc 1 137, 0

5 2 LES CHOIX POSSIBLES 5 2 Les choix possibles En résumé voir la table ci dessous. SI Gauss HE physics µ0 4π π 1 K 1 c 1 ϵ 1 0 4π c π 1 c 299, m/s 299, cm/s 1 ħ J.s erg.s 1 Energie Joule erg MeV 2.1 Le système international Le système international des unités qui conduit à l unité de charge appelée coulomb impose les valeurs de µ 0, K et c : µ 0 = 4π 10 7 et K = 1 c = 299, m/s L ampère est le coulomb par seconde, de plus exact c 2 = ϵ 0 µ 0 {4π ϵ 0 } 1 = c = 9, En conséquence la force qui s exerce entre deux charges de 1 coulomb à 1 m de distance est de 9,..9, 10 9 newtons (9,81 newtons est le poids d un kg). Dans le vide les équations de Maxwell s écrivent ( P = I = 0) 2.2 Le système de Gauss div(e) = ρ ϵ 0 E rot(b) = µ 0 j + ϵ 0 µ 0 rot(e) = B Le système de Gauss impose les valeurs de µ 0, K et c : µ 0 = 4π et K = c c = 299, m/s ϵ 0 µ 0 = 1 ϵ 1 0 = 4π L énergie électrostatique s écrit : U = qq r

6 2 LES CHOIX POSSIBLES 6 La force qui agit entre deux charges unité du système de Gauss situées à 1m l une de l autre est de 1 newton. Donc dans ce système l unité de charge vaut c coulombs. Dans le vide les équations de Maxwell s écrivent avec x 0 = ct : div(e) = 4πρ rot(b) = 4π c j + E x 0 rot(e) = B x Le système de Gauss des hautes énergies Le système utilisé par les physiciens des particules impose deux conditions supplémentaires ce qui permet d exprimer toute grandeur physique dans une seule unité d énergie dérivée de l électronvolt. On peut encore simplifier c est le système de la microphysique en particulier celui utilisé en physique des hautes énergies. Les grandeurs physiques s expriment comme des puissances de l énergie, éventuellement la puissance 0 : ħ = 1. c = 1. K = 1. µ 0 = 1 ϵ 0 = 1. Le potentiel coulombien statique entre deux charges e et e s écrit : U = enfin les charges, les vitesses sont sans dimension et les champs E et B sont des forces. les vitesses sont des fractions de la vitesse de la lumière et la charge élémentaire e vaut ee 4πr e = 4πα avec α = 1 137, 0... Dans ce système, longueurs, temps et masses s expriment en termes d énergie comme l indique le tableau ci-dessous m sec 1 kg MeV 1 6, MeV MeV Dans le vide les équations de Maxwell s écrivent : div(e) = ρ rot(b) = j + E rot(e) = B

7 3 LES MONOPOLES MAGNÉTIQUES 7 3 Les monopoles magnétiques 3.1 Les équations avec des monopoles... Quand le vide comporte aussi des monopoles magnétiques en mouvement, les équations de Maxwell deviennent j µ m = (ρ m, j m ) avec j m = ρ m v et µ = 0, 1, 2, 3 div(d) = ρ rot(h) = K 1 (j + D ) div(b) = ρ m rot(e) = K 1 (j m + B ) La force de Lorentz par unité de volume s écrit (à voir) : f = ρ E + K 1 j B + ρ m B K 1 j m D Le passage de l électrique au magnétique se fait de la manière suivante : avec ϵ 0 = µ 0 = 1 E B ρ ρ m E B ρ ρ m = Dans cette transformation, l électrique et le magnétique s échangent B E ρ m ρ f e f m 3.2 Le lagrangien avec des monopoles... à voir