Chap.4 Diffraction des ondes lumineuses

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1 Chap.4 Diffraction des ondes lumineuses 1. Observations expérimentales. Principe de Huygens-Fresnel.1. Enoncé.. Transparence d un objet diffractant.3. Expression de l onde sur l écran 3. Diffraction à l infini (Fraunhofer) 3.1. Conditions de Fraunhofer 3.. Exemple de montage expérimental 3.3. Formule de la diffraction de Fraunhofer 4. Figures de diffraction pour différentes pupilles 4.1. Fente rectangulaire 4.. Etude de la fonction 4.3. Fente fine 4.4. Diffraction par deux fentes d Young 4.5. Pupille circulaire 5. Formation des images : limitation due à la diffraction 5.1. Diffraction par le collecteur de lumière 5.. Critère de Rayleigh 1. Observations expérimentales Un laser éclaire une fente fine, et l on observe la lumière sur un écran placé derrière la fente. Lorsque l on diminue l épaisseur de la fente horizontalement, on observe un étalement de la lumière sur l écran selon la direction horizontale : c est une manifestation du phénomène de diffraction. Il y a diffraction lorsque la lumière ne se propage pas selon les lois de l optique géométrique. On avait supposé l existence de ce phénomène lors de l étude des interférences par les fentes d Young : les RL semblaient «rebondir» sur les fentes, au lieu de les traverser rectilignement comme prévu par l optique géométrique. Tout objet limitant la section transversale d un faisceau lumineux provoque la diffraction de la lumière. Soit la taille caractéristique de l objet diffractant : le phénomène de diffraction est d autant moins négligeable que le rapport est grand. La diffraction existe toujours, mais peut souvent être négligée : c est l approximation de l optique géométrique. 1

2 . Principe de Huygens-Fresnel.1. Enoncé Soit une surface diffractante atteinte par une onde monochromatique. i) Chaque élément d de autour d un point P de cette surface se comporte comme une source ponctuelle secondaire émettant une ondelette sphérique dont l amplitude est proportionnelle à d et à l amplitude de l onde incidente en P. ii) Les sources secondaires sont cohérentes entre elles : les vibrations qu elles émettent interfèrent. L amplitude en un point M d observation est la somme des amplitudes complexes émises par toutes les sources secondaires. S M P Compréhension qualitative du principe sur un dessin : Soit une onde plane arrivant sous incidence normale sur le plan du diaphragme. En traçant les ondes sphériques réémises par les points du diaphragme, expliquer qualitativement qu avec un diaphragme infiniment large il n y a pas de diffraction : l onde émergente du diaphragme est plane. En effectuant le même tracé, mais avec un diaphragme de taille finie, expliquer qualitativement pourquoi le faisceau émergent est divergent. Il n existe pas de «vraies» sources secondaires au niveau de la pupille diffractante. Ce principe revient à décomposer un front d onde en une somme d ondes sphériques. Expression mathématique de l onde émise par la surface autour de Donner l expression en complexe de l onde primaire émise par la source monochromatique Donner l expression de l onde primaire reçue au niveau du point, en fonction de Grâce au principe de HF, donner l expression de l onde secondaire réémise par le point.. Transparence d un objet diffractant Certaines pupilles diffractantes peuvent être constituées par un milieu d indice ou d épaisseur non homogène. On les caractérise par un facteur de transparence qui dépend a priori de la position du point de la pupille. Exemples : - un simple trou dans un écran : si au niveau du trou, sinon - un diaphragme en partie absorbant (ou réfléchissant) : si au niveau du trou, sinon - un complexe : son argument représente un déphasage de l onde en Comment faudrait-il modifier l expression de l onde secondaire transparence? en incluant le facteur de Par la suite, on se place dans l air, avec un diaphragme de transparence égale à 0 ou 1.

3 .3. Expression de l onde sur l écran Donner l expression de l amplitude de l onde en un point de l écran, sachant qu une onde sphérique s écrit comme une onde plane, mais avec une amplitude en, où est la distance entre le point d émission et le point d arrivée. 3. Diffraction à l infini (Fraunhofer) 3.1. Conditions de Fraunhofer Conditions de la diffraction de Fraunhofer On est dans les conditions de Fraunhofer lorsque la source et l écran d observation sont situés à l infini (par rapport à la pupille diffractante). L onde incidente sur la pupille est donc plane. La partie de l onde qui atteindra un point donné aussi plane. à l infini est 3.. Exemple de montage expérimental Donner le montage expérimental permettant de «placer la source à l infini» et d observer la figure de diffraction à l infini. Dans ce montage, la position de la pupille a-t-elle une importance? Soit et les vecteurs directeurs associés respectivement aux RL incidents sur le diaphragme, et aux RL repartant vers un point de l écran. Ces rayons sont supposés très peu inclinés par rapport à l axe optique. Exprimer les coordonnées et de ces deux vecteurs en fonction des coordonnées de et. On pourra pour cela assimiler à et à ( et centres des lentilles) 3.3. Formule de la diffraction de Fraunhofer En se plaçant dans le plan contenant le centre de la pupille et les vecteurs et, on considère la différence de marche entre les RL passant par P (quelconque) et ceux passant par O :. Exprimer cette différence de marche en fonction de En déduire la formule de diffraction de Fraunhofer ci-dessous. Formule de diffraction de Fraunhofer Remarques importantes : A RETENIR PAR COEUR Le terme d amplitude regroupe plusieurs termes précédents et n a pas à être connu Il faut pouvoir exprimer les vecteurs d onde en fonction de la longueur d onde et de et 3

4 4. Figures de diffraction pour différentes pupilles 4.1. Fente rectangulaire On considère le montage précédent, à deux lentilles, avec la source sur l axe optique. f f S P O M y x z Le diaphragme est une fente rectangulaire de largeur a et de hauteur b, décrite par la transparence : t(x, y) = 1 si - a/ x a/ et -b/ y b/ ; t(x, y) = 0 ailleurs. Montrer que l éclairement peut s écrire : a b E( M) E 0.sin c ( ).sin c ( ) E 0 est l éclairement maximum, obtenu pour = = 0 ; le maximum de lumière est obtenu dans la direction de l image géométrique de la source

5 4.. Etude de la fonction On considère la fonction f(x) = sinc²(x). a) Quelle est sa limite en x = 0? b) Quel est le domaine de définition de cette fonction? c) Tracer à l aide d une calculatrice l allure de cette fonction. d) Pour quelles valeurs de x s annule-t-elle? e) Montrer que l équation donnant les extrema est, pour x k avec k Z : tan(x) = x. f) Cette équation n admet pas de solution analytique : tracer à la calculatrice les courbes y = x et y = tan(x) et donner les valeurs approximatives de x rendant f(x) maximale. g) Calculer la valeur approximative des deux premiers «maximas secondaires» f(x) présente un maximum absolu pour x = 0 ; f(x) présente des maximas secondaires, pour x ( n +1/ ) avec n entier, n 0, -1. f(x) s annule pour x = n, n entier non nul. - 0 Quelle est la largeur angulaire de la tâche centrale de diffraction : selon l axe des, selon l axe des? Quelle est la largeur de la tâche sur l écran? (focale de pour la lentille de projection) Comment évoluent les dimensions de la tâche centrale lorsque l on diminue ou augmente les dimensions de la fente? 4.3. Fente fine On fait tendre la dimension verticale vers l infini. Que devient la figure de diffraction? Il est possible de refaire tout le calcul en supposant dès le début que la fente est très étendue selon la verticale. Il suffit de remplacer par, ce qui revient à intégrer selon la direction verticale. Refaire le calcul avec ce nouveau point de départ Diffraction par deux fentes d Young Nous avons dans le cours sur les fentes d Young implicitement supposé que les fentes étaient suffisamment fines pour que la figure de diffraction donnée par une fente (l autre étant occultée) soit quasiment uniforme sur l écran (tâche centrale très grande devant la taille de l écran). Supposons que les deux fentes fines, espacées d une distance a, ont une largeur e. On montre qu alors, en incidence normale : E(M) = maxe e a E(M).sin c 1cos 5

6 On retrouve des franges rectilignes, d interfrange inversement proportionnel à la distance entre fentes. L enveloppe est due à la diffraction, la tâche centrale est inversement proportionnelle à la largeur des fentes Pupille circulaire C est un cas important pour les instruments d optique, dont la monture est généralement circulaire. Le calcul, faisant intervenir les fonctions de Bessel, conduit au résultats suivants : les franges de diffraction sont des anneaux centrés sur l image géométrique de la source. la tache centrale, appelée tache d Airy, est beaucoup plus brillante que les autres ; son rayon angulaire est sin 1 = 1, / R. 6

7 5. Formation des images : limitation due à la diffraction 5.1. Diffraction par le collecteur de lumière Tout instrument d optique possède une surface de collection de la lumière, qui nécessairement limite la dimension transverse du faisceau lumineux incident. Exemple : miroir sphérique concave d un grand télescope, ou lentille CV d une lunette astronomique En astronomie notamment, le diamètre de cette surface de collection est un paramètre essentiel qui détermine le pouvoir de résolution maximal que peut atteindre l instrument (miroirs de 8, m au Very Large Telescope). Au VLT, la tâche d Airy sur le plan focal de détection, correspond à une tâche de l ordre de 30m sur la Lune. Visite en vidéo du VLT : Critère de Rayleigh Exercice : On considère l observation de deux étoiles par une lunette astronomique. Les étoiles sont considérées à l infini et pour simplifier on modélise la lunette par une simple lentille convergente de focale f et de diamètre R. Les images des étoiles sont observées sur un écran placé sur le plan focal image de la lentille. 1. La première étoile est située sur l axe optique de la lentille. La position de la seconde forme un angle avec l axe optique. Dans le cadre de l optique géométrique, quelle est la distance entre les images des deux étoiles sur l écran?. En tenant compte de la diffraction, représenter l allure de l éclairement sur l écran. Quel est le diamètre minimal de la lentille pour que l on puisse voir les deux étoiles distinctement? Au fait, quel est l objet diffractant dans ce cas? 7

8 Notions clefs Savoirs : Enoncé principe Huygens-Fresnel : mots + formule math Conditions Fraunhofer + montage expérimental Formule de diffraction de Fraunhofer (avec un schéma pour définir les différents vecteurs) Ordre de grandeur de la tâche centrale Interférences fentes Young : taille enveloppe due à diffraction, interfrange fixé par distance entre fentes Savoirs faire : Calcul éclairement fente rectangulaire Calcul éclairement fente fine, en simplifiant le calcul dès le départ Démonstration formule diffraction de Fraunhofer 8