Mécanique des Solides Rigides

Transcription

1 Jean-Marie Berthelot Mécanique des Solides Rigides z z 1 O (Δ 2 ) y 2 table (2) O 2 2 y' 1 z (Δ 1 ) 2 y' 1 45 x 2 H 2 45 y 1 x 1 y 1 x 1 2 5ème axe H 1 1 y y console (1) 1 x 1 x 1 4ème axe ISMANS Institut Supérieur des Matériaux et Mécaniques Avancés Le Mans, France

2

3 Jean-Marie Berthelot Mécanique des Solides Rigides Jean-Marie Berthelot est Professeur Émérite à l Institut Supérieur des Matériaux et Mécaniques Avancés (ISMANS), Le Mans. Il exerce ses compétences dans les domaines de la Mécanique des Matériaux et des Matériaux Composites. Spécialiste reconnu au niveau international, ses travaux dans le domaine du Comportement Mécanique des Matériaux Composites font l objet de publications régulières dans des congrès et journaux scientifiques internationaux. Il est l auteur de différents ouvrages sur la Mécanique des Solides et sur le Comportement des Matériaux Composites.

4

5 Jean-Marie Berthelot Mecanique des Solides Rigides ISMANS Institut Supérieur des Matériaux et Mécaniques Avancés Le Mans, France

6

7 Avant-Propos Cet ouvrage développe les fondements de la mécanique des solides indéformables. Il s'adresse aux étudiants de premier cycle des universités (DEUG et DUT) et des classes préparatoires, ainsi qu'aux étudiants de licence et de première année d'école d'ingénieur. L'ouvrage est issu des enseignements de mécanique effectués par l auteur au fil du temps et bénéficie ainsi d'une longue expérience avec les étudiants. Le contenu et la progression ont été conçus avec deux objectifs principaux : 1. avoir une progression des difficultés de manière à faciliter l'accès aux étudiants des premiers cycles ; 2. mettre en place un formalisme qui conduise à uniformiser l'analyse des problèmes de mécanique d'un solide ou d'un ensemble de solides. L'ouvrage est divisé en six parties. La première partie, Éléments de mathématiques, traite des outils classiques du mécanicien : espace vectoriel 3, espace géométrique, dérivées vectorielles, courbes. Un chapitre est consacré aux torseurs, dont le concept constitue la clef de l'ouvrage. La notion générale de centre de mesure est introduite dans le cadre de ce chapitre. La deuxième partie, Cinématique, débute par l'étude du mouvement d'un point (la cinématique du point). Des mouvements particuliers sont ensuite étudiés, un chapitre étant réservé aux mouvements à accélération centrale. Vient ensuite l'étude de la cinématique d'un solide : paramètres de situation, torseur cinématique, étude de mouvements particuliers. Nous avons exclu volontairement de cette partie le problème de changement de repère qui conduit à introduire la notion d'entraînement. Cette notion n'est pas assimilée par les étudiants à ce niveau. Par contre, elle s'introduit tout naturellement dans le cadre du concept du torseur cinématique. Le changement de repère sera considéré en tant que tel dans le cadre de la cinétique (quatrième partie). La troisième partie, Actions mécaniques, traite d'abord des généralités sur les actions exercées sur un solide ou un ensemble de solides. Représentées par des torseurs, les actions mécaniques ont des propriétés générales qui en sont dérivées. Un chapitre est consacré aux actions de liaison, dont le concept est à la base de la conception technologique des systèmes mécaniques. L'introduction de la puissance développée simplifie grandement les restrictions imposées dans le cas de liaisons parfaites. L'étude de quelques problèmes de statique familiarisera le lecteur avec l'analyse des actions mécaniques. La quatrième partie, Cinétique des solides, introduit les outils nécessaires pour aborder les problèmes de dynamique des ensembles de solides : opérateur d'inertie, torseur cinétique, torseur dynamique et énergie cinétique. Le problème du changement de repère est ensuite analysé. À ce stade, le lecteur possède tous les éléments pour traiter les problèmes de la dynamique d'un solide ou d'un ensemble de solides, objets de la cinquième partie, Dynamique des solides. Après avoir mis en place le schéma général d'analyse d'un problème de dynamique, quelques problèmes particuliers sont traités. La démarche est toujours la même : obtention des équations de la dynamique à l'aide du

8 Avant-propos VIII principe fondamental de la dynamique, hypothèses sur les liaisons entre les solides, équations de mouvement et équations de liaisons. Le concepteur aura à s'intéresser aussi bien aux paramètres de mouvement qu'aux actions exercées au niveau des liaisons dans le cadre d'un dimensionnement des systèmes mécaniques. L'application du principe fondamental de la dynamique permet d'accéder à toutes les équations de la mécanique. Toutefois, l'utilisateur qui ne s'intéresse qu'aux équations de mouvement a besoin d'un outil systématique pour les obtenir : les équations de Lagrange, qui sont développées dans le dernier chapitre de cette partie. Les équations de mouvement d'un solide ou d'un ensemble de solides sont généralement complexes, et la plupart des équations ne peuvent être résolues par une méthode analytique. Le mécanicien a aujourd'hui à sa disposition tous les outils numériques nécessaires pour résoudre les équations de mouvement, quelle que soit leur complexité. La sixième partie, Méthodes numérique de résolution des équations de mouvement, en est une introduction. Ce traité montre ainsi que l'analyse complète d'un problème de Mécanique d'un Solide ou d'un Système de Solides Rigides s'effectue toujours suivant le même processus : 1. faire l'analyse cinématique du mouvement du solide ou des solides, 2. effectuer l'analyse cinétique, 3. caractériser les actions mécaniques exercées, 4. appliquer le principe fondamental de la dynamique. L'objet de ce traité a donc été de mettre en place progressivement les divers outils nécessaires pour effectuer l'ensemble de ce processus d'analyse. Il en résulte que l'analyse complète d'un système réel ne peut être effectuée que lorsque l'ensemble des outils est parfaitement maîtrisé. Dans le développement de l'ouvrage, il a donc été choisi d'illustrer l'utilisation des divers outils en les appliquant à des exemples très simples, à chaque étape de leur mise en place. Des exercices sont proposés à la suite de la plupart des chapitres. Ils ont été introduits à titre d'illustration et, par conséquent, le nombre en a été volontairement limité. De brefs commentaires ont été ajoutés à la fin de chaque chapitre. Ces commentaires résument les principaux éléments introduits dans les chapitres en insistant sur les notions les plus importantes à assimiler. La correction des exercices est reportée à la fin de l'ouvrage de manière à ne pas morceler la continuité de la procédure d'analyse d'un problème de Mécanique des Solides. La rédaction des corrigés a été volontairement développée et structurée de manière à améliorer la capacité de raisonnement du lecteur. À la fin de l'ouvrage et de la compréhension des concepts fondamentaux introduits, le concepteur possédera alors tous les éléments qui lui permettront de conduire une analyse mécanique complète et structurée des systèmes mécaniques qu'il aura à étudier. Juillet 2012 Jean-Marie BERTHELOT

9

10

11 Table des Matières Avant-propos V PARTIE I Éléments de Mathématiques 1 Chapitre 1 Espace vectoriel Définition de l espace vectoriel Vecteurs Loi de composition interne ou somme vectorielle Loi de composition externe ou multiplication par un nombre réel Dépendance et indépendance linéaire. Base de Combinaison linéaire Dépendance et indépendance linéaire Base de l espace vectoriel Composantes d un vecteur Produit scalaire Définition Intensité ou norme d un vecteur Expression analytique du produit scalaire dans une base quelconque Vecteurs orthogonaux Base orthonormée Expression du produit scalaire dans une base orthonormée Produit vectoriel Définition Expression analytique du produit vectoriel dans une base quelconque Base directe Expression du produit vectoriel dans une base directe Produit mixte Propriété du double produit vectoriel Bases de l espace vectoriel Base canonique Changement de base Exercices Commentaires Chapitre 2 L espace géométrique L espace géométrique considéré comme l espace affine de 3 18

12 Table des Matières viii L espace géométrique Conséquences Distance entre deux points Angle entre deux bipoints Repères Sous-espaces de l espace géométrique : droite, plan Droite Plan Droites et plans de mêmes directions Droites et plans orthogonaux Repérage d un point de l espace géométrique Axes de coordonnées Repère orthonormé direct Coordonnées cartésiennes Équations du plan et de la droite Équation cartésienne d un plan Équation cartésienne d une droite Changement de repère Cas général Repères ayant un axe confondu Repères quelconques ayant même origine Exercices Commentaires Chapitre 3 Fonction vectorielle. Dérivées Fonction vectorielle d une variable Définition Dérivée Propriétés de la dérivée vectorielle Exemples Fonction vectorielle de deux variables Définition Dérivées partielles Exemples Fonction vectorielle de n variables Définitions Exemples Commentaires Chapitre 4 Rappels sur les courbes Introduction Abscisse curviligne. Longueur d un arc de courbe Tangente. Normale. Rayon de courbure Repère de Frénet Exercice Commentaires... 54

13 Table des Matières ix Chapitre 5 Torseurs Définition et propriétés des torseurs Définitions et notations Propriétés des vecteurs-moments Espace vectoriel des torseurs Invariant scalaire d un torseur Produit de deux torseurs Moment d un torseur par rapport à un axe Axe central d un torseur Torseurs particuliers. Décomposition d un torseur quelconque Glisseur Torseur-couple Torseur quelconque Conclusions Torseurs associés à un champ de glisseurs défini sur un domaine de de l espace géométrique Torseur associé à un ensemble de points dénombrables Torseur associé à un ensemble continu Cas particulier important. Centre de mesure Exercices Commentaires PARTIE II Cinématique 73 Chapitre 6 Cinématique du point Introduction Trajectoire et vecteurs cinématiques d un point Trajectoire Vecteurs cinématiques Composantes normales et tangentielles des vecteurs cinématiques Divers types de mouvements Expressions des composantes des vecteurs cinématiques en fonction des coordonnées cartésiennes ou cylindriques Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Exercices Commentaires Chapitre 7 Étude de mouvements particuliers Mouvements à trajectoire rectiligne Généralités Mouvement rectiligne uniforme Mouvement rectiligne uniformément varié Mouvement rectiligne vibratoire simple Mouvements à trajectoire circulaire Équations générales... 87

14 x Table des Matières Mouvement circulaire uniforme Mouvement circulaire uniformément varié Mouvements à vecteur accélération constant Équations générales Étude du cas où la trajectoire est rectiligne Étude du cas où la trajectoire est parabolique Mouvement hélicoïdal Mouvement cycloïdal Exercices Commentaires Chapitre 8 Mouvements à accélération centrale Propriétés générales Définition Un mouvement à accélération centrale est un mouvement à trajectoire plane Vitesse aréolaire Loi des aires Expression des vecteurs cinématiques Équation polaire de la trajectoire T Mouvements pour lesquels a ( M, t) OM T OM 8.2 Mouvements à accélération centrale pour lesquels a ( M, t) K 104 OM Équations des trajectoires Étude des trajectoires Intensité de la vitesse en un point de la trajectoire Mouvement elliptique. Lois de Kepler Commentaires Chapitre 9 Cinématique du solide Généralités Notion de solide indéformable Repérage d un solide Relations entre les trajectoires et les vecteurs cinématiques de deux points liés à un solide Relation entre les trajectoires Relation entre les vecteurs vitesses Expression du vecteur rotation instantané Torseur cinématique Relation entre les vecteurs accélérations Généralisation de la composition des mouvements Composition des torseurs cinématiques Mouvements inverses Exemples de mouvements de solides Mouvement de rotation autour d un axe Mouvement de translation d un solide

15 Table des Matières xi Mouvement d un solide soumis à une liaison verrou Mouvement de rotation autour d un point Mouvement plan sur plan Exercices Commentaires Chapitre 10 Cinématique de solides en contact Cinématique de deux solides en contact Solides en contact ponctuel. Glissement Pivotement et roulement Conclusions Solides en contact en plusieurs points Transmission de mouvements de rotation Généralités Transmission par friction Transmission par engrenages Transmission par courroie Exercices Commentaires PARTIE III Les Actions Mécaniques 153 Chapitre 11 Généralités sur les actions mécaniques Concepts relatifs aux actions mécaniques Notion d action mécanique Représentation d une action mécanique Classification des actions mécaniques Actions mécaniques s exerçant entre les ensembles matériels Actions mécaniques extérieures s exerçant sur un ensemble matériel Divers types d actions mécaniques Natures physiques des actions mécaniques Environnement et actions efficaces Puissance et travail Définition de la puissance Changement de repères Énergie potentielle Travail Puissance et travail d une force Ensemble de solides Exercices Commentaires Chapitre 12 Gravitation. Pesanteur. Centre de masse Phénomène de gravitation Loi de la gravitation

16 Table des Matières xii Champ gravitationnel Action de gravitation créée par une sphère Action de gravitation terrestre Action de pesanteur Champ de pesanteur terrestre Action de pesanteur exercée sur un ensemble matériel Puissance développée par l action de pesanteur Détermination du centre de masse Centre de masse d un ensemble matériel Centre de masse de la réunion de deux ensembles Centre de masse d un ensemble homogène Corps homogènes présentant des symétries géométriques Exemples de détermination de centres de masse Demi-boule homogène Solide homogène à géométrie complexe Solide non homogène Exercices Commentaires Chapitre 13 Actions de contact entre solides. Liaisons Lois du contact entre solides Introduction Contact ponctuel Couples de roulement et pivotement Liaisons Introduction Classification des liaisons Action de liaison Liaison sans frottement Liaison avec frottement Commentaires Chapitre 14 Statique d un solide et d un ensemble de solides Introduction Lois de la statique Cas d un solide Cas d un ensemble de solides Actions mutuelles Statique des fils ou câbles souples Action mécanique exercée par un fil ou un câble souple Équation de la statique d un fil Fil ou câble souple soumis à l action de pesanteur Contact d un fil avec un solide Exemples d équilibres Cas d un solide Cas d un ensemble de deux solides Exercices Commentaires

17 Table des Matières XIII PARTIE IV Cinétique des Solides 225 Chapitre 15 L opérateur d inertie Introduction de l opérateur d inertie Opérateur associé à un produit vectoriel Extension du résultat précédent Opérateur d inertie Changement de repère Changement d origine Relation de Huyghens Diagonalisation de la matrice d inertie Changement de base Moments d inertie par rapport à un point, un axe, un plan Définitions Relations entre les moments d inertie Cas d un solide plan Moment d inertie par rapport à un axe quelconque Détermination des matrices d inertie Solides à symétries matérielles Solide ayant une symétrie de révolution Solide ayant une symétrie sphérique Associativité Matrices d inertie de solides homogènes Solides linéiques Solides surfaciques Solides volumiques Exercices Commentaires Chapitre 16 Torseur cinétique. Torseur dynamique. Énergie cinétique Torseur cinétique Définition Torseur cinétique associé au mouvement d un solide Torseur cinétique d un ensemble de solides Torseur dynamique Définition Torseur dynamique associé au mouvement d un solide Torseur dynamique d un ensemble de solides Relation avec le torseur cinétique Énergie cinétique Définition Énergie cinétique d un solide Énergie cinétique d un ensemble de solides Dérivée de l énergie cinétique d un solide par rapport au temps Exercices Commentaires 264

18 XIV Table des Matières Chapitre 17 Changement de repère Cinématique du changement de repère Relation entre les torseurs cinématiques Relation entre les vecteurs vitesses. Vitesse d entraînement Composition des vecteurs accélérations Torseurs dynamiques Torseur d inertie d entraînement Torseur d inertie de Coriolis Relation entre les torseurs dynamiques définis dans deux repères différents Commentaires PARTIE V Dynamique des solides 275 Chapitre 18 Le principe fondamental de la dynamique et ses conséquences Principe fondamental Énoncé du principe fondamental de la dynamique Classe des repères galiléens Équations vectorielles déduites du principe fondamental Équations scalaires déduites du principe fondamental Actions mutuelles Théorèmes des actions mutuelles Transmission d actions mécaniques Théorème de l énergie-puissance Cas d un solide Cas d un ensemble de solides Cas où les actions mécaniques admettent une énergie potentielle Application du principe fondamental à l étude du mouvement d un solide libre dans un repère galiléen Problème général Cas particuliers Application au système solaire Repère galiléen Mouvement des planètes La Terre dans le système solaire Commentaires Chapitre 19 L équation fondamentale de la dynamique dans les divers repères utilisés en mécanique Généralités Équation fondamentale de la dynamique dans un repère non galiléen Les repères utilisés en mécanique Relation fondamentale de la dynamique dans le repère géocentrique Équations générales

19 Table des Matières XV Cas d un solide situé au voisinage de la Terre Relation fondamentale de la dynamique dans un repère lié à la Terre Équations du mouvement Action de pesanteur terrestre Conclusions sur les équations de la dynamique dans un repère lié à la Terre Équations de la dynamique d un solide par rapport à un repère dont le mouvement est connu relativement à la Terre Commentaires Chapitre 20 Généralités sur la dynamique d un solide ou d un ensemble de solides Dynamique d un solide Équations générales Schéma d étude général Dynamique d un ensemble de solides Conclusions Commentaires Chapitre 21 Dynamique d un système à un degré de liberté Analyse des vibrations Équations générales Introduction Paramètres de situation Cinématique Cinétique Actions mécaniques exercées sur le solide Application du principe fondamental Vibrations en l absence de frottement Équation du mouvement Vibrations libres Vibrations forcées en régime permanent Vibrations avec frottement visqueux Équation du mouvement Vibrations libres Vibrations forcées en régime harmonique Vibrations forcées dans le cas d une force périodique imposée Vibrations dans le cas d une force imposée quelconque Vibrations forcées dans le cas d un mouvement imposé au support Vibrations avec frottement sec Équations du mouvement Vibrations libres Amortissement visqueux équivalent Introduction Travail de la force imposée et énergie dissipée dans le cas d un amortissement visqueux

20 XVI Table des Matières Amortissement structural Frottement sec Frottement fluide Conclusion Exercices Commentaires Chapitre 22 Mouvement de rotation d un solide autour d un axe fixe Équations générales Introduction Paramètres de situation Cinématique Cinétique Actions mécaniques exercées sur le solide Application du principe fondamental de la dynamique Exemples de mouvements de rotation autour d un axe Solide en rotation soumis uniquement à la pesanteur Pendule de torsion Problème de l équilibrage des rotors Équations générales d un solide non équilibré en rotation Actions mécaniques exercées sur l axe du rotor Principe de l équilibrage Exercices Commentaires Chapitre 23 Mouvement plan sur plan d un solide Introduction Mouvement d un parallélépipède se déplaçant sur un plan incliné Paramètres de situation et cinématique Cinétique du mouvement Actions mécaniques exercées sur le parallélépipède Équations déduites du principe fondamental Mouvement sans frottement Mouvement avec frottement sec Mouvement avec frottement visqueux Analyse du glissement et du basculement d un parallélépipède sur un plan incliné Introduction Paramètres de situation et cinématique Équations générales Analyse des divers mouvements Conclusions Mouvement d un cylindre sur un plan incliné Introduction Paramètres de situation et cinématique

21 Table des Matières xvii Actions mécaniques exercées sur le cylindre Équations générales Analyse des divers mouvements Conclusions Commentaires Chapitre 24 Autres exemples de mouvements de solides Solide en translation Expressions générales d un solide en translation Solide libre en translation Mouvement d un solide reposant sur un chariot Introduction Paramètres de situation Cinétique Analyse des actions mécaniques Équations de la dynamique Analyse des divers mouvements Mouvements couplés de deux solides Introduction Paramètres de situation et cinématique Cinétique Analyse des actions mécaniques exercées Équations déduites du principe fondamental de la dynamique Analyse des équations déduites du principe fondamental Exercices Commentaires Chapitre 25 Les équations de Lagrange Généralités Solide libre et solide lié Torseurs cinématiques partiels Coefficients de puissance Liaisons parfaites Équations de Lagrange relatives à un solide indéformable Introduction aux équations de Lagrange Équations de Lagrange Cas où les actions mécaniques admettent une énergie potentielle Équations de Lagrange pour un ensemble de solides Équations de Lagrange pour chaque solide Équations de Lagrange pour l ensemble (D) Cas où les paramètres de situation sont liés Applications Mouvement d un parallélépipède se déplaçant sur un plan incliné Mouvement de deux solides couplés Pendule double A.25 Annexe

22 xviii Table des Matières Exercices Commentaires PARTIE VI Méthodes Numériques de Résolution des Équations de Mouvements 435 Chapitre 26 Résolution numérique des équations différentielles du premier ordre Généralités Le problème à conditions initiales données Méthode générale de résolution La méthode d Euler Méthodes de résolution à pas séparés Généralités Méthodes de type Runge-Kutta Méthodes de Romberg Méthodes à pas liés Introduction aux méthodes à pas liés Méthodes basées sur l interpolation de Newton Généralisation des méthodes à pas liés Exemples de méthodes à pas liés Résultats Exercices Commentaires Chapitre 27 Procédures numériques de résolution des équations de mouvements Équation de mouvement d un solide à un degré de liberté Forme de l équation de mouvement à un degré de liberté Principe de la résolution numérique Application au cas du mouvement d un pendule pesant Équations de mouvements à plusieurs degrés de liberté Forme des équations de mouvements à plusieurs degrés de liberté Principe de la résolution Trajectoires et vecteurs cinématiques Mouvements de planètes et de satellites Mouvement d une planète autour du Soleil Mouvement d un satellite autour de la Terre Lancement et mouvement d une sonde lunaire Mouvement d un solide sur un plan incliné Mouvement de deux solides couplés Équations du mouvement Résolution analytique dans le cas de faibles amplitudes et en l absence de frottement Résolution numérique des équations de mouvement

23 xix Table des Matières Exercices Commentaires PARTIE VII Solutions des exercices 481 Chapitre 1 3 Espace vectoriel Chapitre 2 L espace géométrique Chapitre 4 Rappels sur les courbes Chapitre 5 Torseurs Chapitre 6 Cinématique du point Chapitre 7 Études de mouvements particuliers Chapitre 9 Cinématique du solide Chapitre 10 Cinématique de solides en contact Chapitre 11 Généralités sur les actions mécaniques Chapitre 12 Gravitation. Pesanteur. Centre de masse Chapitre 14 Statique d un solide et d un ensemble de solides Chapitre 15 L opérateur d inertie Chapitre 16 Torseur cinétique. Torseur dynamique. Énergie cinétique Chapitre 21 Dynamique d un système à un degré de liberté Analyse des vibrations Chapitre 22 Mouvement de rotation d un solide autour d un axe fixe Chapitre 24 Autres exemples de mouvements Chapitre 25 Les équations de Lagrange 596

24 Partie I Éléments de Mathématiques Cette partie introduit les principaux outils mathématiques nécessaires à la mise en place des divers concepts utilisés en Mécanique des 3 Solides Rigides. L'espace vectoriel des vecteurs en est la base. Cet espace permet ensuite de formuler l'espace physique qui nous entoure, l'espace géométrique, et d'en formaliser ses propriétés. La stratégie de développement de cet ouvrage est fondée sur le formalisme des torseurs. Une attention particulière doit donc être portée à cette notion.

25

26 CHAPITRE 1 Espace vectoriel R DÉFINITION DE L'ESPACE VECTORIEL R Vecteurs 3 L'espace vectoriel peut être défini comme étant l'espace des triplets (C 1, C 2, C 3 ) où C 1, C 2, C 3 sont trois réels rangés dans cet ordre. Les triplets ainsi définis sont appelés vecteurs et notés V. Soit : V = C, C, C. (1.1) ( ) Les nombres réels C 1, C 2, C 3 sont les composantes du vecteur V. L'espace vectoriel 3 est ensuite muni d'une loi de composition interne et d'une loi de composition externe, définies ci-après Loi de composition interne ou somme vectorielle La somme vectorielle associe aux vecteurs V et V V + V : V, V Soit V = ( C, C, C ) loi de composition interne et V = ( C, C, C ) un vecteur somme noté V + V somme vectorielle est définie par la relation : V + V = C + C, C + C, C + C ( ) les deux vecteurs de 3. La. (1.2)

27 4 Chapitre 1 Espace vectoriel 3 L'élément neutre, noté 0, est défini par : 0= ( 0, 0, 0). (1.3) Les propriétés de la somme vectorielle sont les suivantes : 1. La somme vectorielle est commutative : V + V = V + V. (1.4) La somme vectorielle est associative : V + V + V = V + V + V ( ) ( ) (1.5) 3. L'élément neutre est tel que : V + 0 = V. (1.6) 4. À tout vecteur V, correspond un vecteur opposé, noté V, tel que : V + ( V) = 0. (1.7) Loi de composition externe ou multiplication par un nombre réel Cette loi est généralement appelée multiplication par un scalaire. Si α est un nombre réel et V un vecteur, la loi de composition externe associe à V un vecteur W noté αv : loi de composition 3 α, V 3 W = αv. externe Le vecteur W est dit colinéaire au vecteur V. Si le vecteur V est défini par ses composantes V = ( C1, C2, C3), le vecteur W est défini par : W = αc, αc, αc. (1.8) ( ) La multiplication par un scalaire vérifie les propriétés suivantes : 1. Distributivité pour l'addition des scalaires : α + α V = α V + α V. (1.9) ( ) Distributivité pour la somme vectorielle : α ( V + V ) = αv + αv. (1.10) Associativité pour la multiplication par un scalaire : α α V = α α V. (1.11) ( ) ( )

28 1.2 Dépendance et indépendance linéaire. Base de DÉPENDANCE ET INDÉPENDANCE LINÉAIRE BASE DE R Combinaison linéaire Soit V1, V2,..., Vi,..., Vp, p vecteurs de l'espace 3. Considérons p nombres réels : α1, α2,..., αi,..., α p. Les vecteurs α1v1, α2v2,..., αivi,..., α pv 3 p, sont des vecteurs de l'espace vectoriel, ainsi que leur somme qui définit le vecteur V : p V = α1v1 + α2v αpvp = αivi. (1.12) Le vecteur V ainsi défini est appelé combinaison linéaire des vecteurs V 1, V 2,..., V p. i= Dépendance, indépendance linéaire Définition Dans l'espace vectoriel 3, p vecteurs V 1, V 2,..., V p, indépendants si et seulement si l'égalité sont linéairement entraîne obligatoirement : p αiv i = α1v 1 + α2v αpv p = 0 (1.13) i= 1 α = 0, α = 0,..., α p = 0. (1.14) 1 2 Tous les α i sont nuls. Dans le cas contraire, les vecteurs sont dits linéairement dépendants Propriétés a. Sur l'indépendance 1. Un vecteur V non nul est à lui seul linéairement indépendant. 2. Dans un système de vecteurs indépendants, aucun n'est le vecteur nul. En effet, si l'on avait par exemple V k = 0, la relation (1.13) serait vérifiée avec α 0. k

29 6 Chapitre 1 Espace vectoriel 3 3. Dans un ensemble de vecteurs indépendants, tout sous-ensemble prélevé sur ces vecteurs est indépendant. b. Sur la dépendance 4. Si p vecteurs sont dépendants, au moins l'un d'entre eux est combinaison linéaire des autres. Considérons en effet p vecteurs V 1, V 2,..., Vp. Si ces vecteurs sont linéairement dépendants, la relation : p αiv i = 0 (1.15) i= 1 implique qu'au moins un des nombres réels α i n'est pas nul : α 1 par exemple. La relation précédente s'écrit : α1v1 = ( α2 V αpvp ), (1.16) et il est alors possible de diviser par α 1 (différent de zéro) et d'exprimer V 1 sous la forme : V1 =. (1.17) 1 p αivi α 1 i = 2 Nous disons alors que V 1 dépend linéairement des vecteurs V2, V3,..., V p. 5. Si V1, V2,..., Vp sont linéairement dépendants, les vecteurs V 1, V 2,..., Vp, Vp+ 1,..., Vp+ r, le sont aussi quels que soient les vecteurs Vp+ 1,..., Vp+ r. 6. Théorème Dans le sous-espace engendré par p vecteurs linéairement indépendants, tout vecteur est représentable d'une façon unique comme combinaison linéaire de ces p vecteurs. Soit V1, V2,..., V p, p vecteurs linéairement indépendants. Tout vecteur V s'écrit donc de manière unique sous la forme : p V = αivi. (1.18) i= 1 De ce théorème est déduit le résultat important suivant : Une égalité vectorielle entre p vecteurs indépendants de la forme : p α V = p i i i= 1 i= 1 α V i i (1.19)

30 1.2 Dépendance et indépendance linéaire. Base de 3 7 est équivalente à p égalités scalaires entre les nombres réels : α = α, α = α,..., αp = α p. (1.20) Cette propriété n'est plus vraie si les vecteurs sont dépendants Base de l'espace vectoriel R 3 La recherche de systèmes de vecteurs indépendants dans l'espace vectoriel se fait de la manière suivante. Nous avons noté précédemment qu'un vecteur non nul est à lui seul linéairement indépendant. Nous choisissons donc un vecteur V 3 1 non nul de. Nous recherchons ensuite un vecteur V 2 tel que V 1 et V 2 soient linéairement indépendants; puis un vecteur V 3 tel que V 1, V 2, V 3 soient linéairement indépendants; etc. Nous observons alors qu'il est possible de trouver un ensemble de 3 vecteurs linéairement indépendants (il existe une infinité de tels ensembles), et que si nous ajoutons un quatrième vecteur V 4, les quatre vecteurs V 1, V 2, V 3 et V 4 sont linéairement dépendants quel que soit le vecteur V 4. L'espace vectoriel 3 est ainsi un espace de dimension 3. Tout ensemble de 3 vecteurs linéairement indépendants est alors appelé base 3 de l'espace vectoriel. Il résulte des propriétés énoncées précédemment : 3 1. Tout vecteur de s'exprime (sous forme unique) comme une combinaison linéaire des 3 vecteurs de la base. 2. L'ensemble des combinaisons linéaires des 3 vecteurs de base engendre 3 l'espace vectoriel. 3 L'espace vectoriel est donc entièrement déterminé par la donnée d'une base Composantes d'un vecteur Soit e 1, e 2, e 3 trois vecteurs de ( b) = e, e, e constitue une base de l'espace ensemble ( ) D'après ce qui précède, tout vecteur V de 3 linéairement indépendants. Leur s'écrit de manière unique suivant : V = C e + C e + C e. (1.21) Les composantes (C 1, C 2, C 3 ) sont alors appelées les composantes du vecteur relativement à la base (b). C i est la composante suivant e i.

31 8 Chapitre 1 Espace vectoriel Définition 1.3 PRODUIT SCALAIRE On appelle produit scalaire de deux vecteurs V et W une loi de composition externe qui associe à ces deux vecteurs un nombre réel (dit scalaire) noté V W : 3 produit V, W V W, scalaire ayant les propriétés suivantes : ( V1+ V2) W = V1 W + V2 W, (1.22) ( V ) α W = α ( V W ), (1.23) V W = W V, (1.24) V V > 0 si V 0. (1.25) Les deux premières propriétés expriment la linéarité du produit scalaire par rapport au vecteur V. En particulier 0 V = 0. La troisième propriété exprime que le produit scalaire est symétrique par rapport à V et à W. Il en résulte que le produit scalaire est aussi linéaire par rapport à W. Ces propriétés peuvent être résumées en disant que le produit scalaire de deux vecteurs V, W est une forme linéaire symétrique associée aux vecteurs V et W Intensité ou norme d'un vecteur On appelle intensité ou norme du vecteur V, que nous noterons V, la racine carrée positive du produit scalaire du vecteur par lui-même. Soit : 2 V = V V = V, (1.26) en notant : 2 V V = V. (1.27) En particulier, nous avons : αv = α V, (1.28) V V V + V V + V Cette dernière inégalité est appelée inégalité triangulaire.. (1.29)

32 1.3 Produit scalaire Expression analytique du produit scalaire dans une base quelconque Soit deux vecteurs V et V. Leurs expressions dans la base ( e1, e2, e3) de 3 l'espace sont : V = C1e1+ C2e2+ C3e3, (1.30) V = C e + C e + C e. (1.31) Le produit scalaire des deux vecteurs s'écrit : V V = Ce + C e + Ce Ce + C e + Ce ( ) ( ) En utilisant les propriétés (1.22) à (1.24), l'expression précédente s'écrit :. (1.32) V V = CC e + C C e + C C e + CC + C C e e ( )( ) ( CC CC )( e e) ( CC CC )( e e) (1.33) Cette relation exprime le produit scalaire des deux vecteurs V et V dans une base quelconque. Cette expression se simplifie en considérant des bases particulières que nous introduisons ci-après Vecteurs orthogonaux On dit que deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Soit : V et W orthogonaux V W = 0. (1.34) Théorème : Si n vecteurs (n = 2 ou 3) non nuls sont deux à deux orthogonaux, ils sont linéairement indépendants. Si n = 3, les vecteurs constituent une base orthogonale de Base orthonormée Une base est orthonormée, si les vecteurs qui constituent cette base sont orthogonaux deux à deux (base orthogonale) et si leurs normes sont égales à 1 (base normée à 1). e, e, e est orthonormée, nous avons donc : Si la base ( ) 1 2 3

33 10 Chapitre 1 Espace vectoriel 3 e e = 0, e e = 0, e e = 0, e = 1, e = 1, e = (1.35) (1.36) Expression du produit scalaire dans une base orthonormée Dans le cas d'une base orthonormée, l'expression (1.33) du produit scalaire se simplifie et se réduit à : V V = CC + C C + C C. (1.37) Le produit scalaire est donc égal à la somme des produits des composantes correspondantes des vecteurs. La norme d'un vecteur s'écrit : V = C + C + C. (1.38) Définition 1.4 PRODUIT VECTORIEL On appelle produit vectoriel de deux vecteurs V et W une loi de composition interne dans 3, qui associe à ces deux vecteurs un vecteur noté V W et qui est bilinéaire antisymétrique : 3 produit V, W V W 3. vectoriel De cette définition, il résulte que : 1. Le produit vectoriel est distributif à gauche et à droite pour la somme vectorielle : ( V1 + V2 ) W = V1 W + V2 W, (1.39) V ( W1 + W2 ) = V W1 + V W2. (1.40) 2. Le produit vectoriel est associatif pour la multiplication par un réel : ( αv ) W = α ( V W ), (1.41) V ( αw ) = α ( V W ). (1.42) 3. Le produit vectoriel est antisymétrique : V W = ( W V). (1.43)

34 1.4 Produit vectoriel 11 La dernière propriété, appliquée au produit vectoriel d'un vecteur par luimême, implique que : V V = ( V V). Il en résulte donc la propriété : V V = 0. (1.44) De cette propriété, nous déduisons le théorème suivant : Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est le vecteur nul. En effet : W colinéaire à V W = αv W V = ( αv) V = α( V V) = Expression analytique du produit vectoriel dans une base quelconque Reprenons les expressions (1.30) et (1.31) des deux vecteurs V et V dans la e 1, e 2, e 3. Le produit vectoriel des deux vecteurs s'écrit : V V = Ce+ C e + Ce Ce + C e + Ce. (1.45) base ( ) ( ) ( ) En appliquant les propriétés de distributivité et d'associativité du produit vectoriel, nous obtenons : V V = CC 1 1 e1 e1 + CC 1 2 e1 e2 + CC 1 3 e1 e3 + CC e e + CC e e + CC e e + C C e e + C C e e + C C e e ( ) ( ) ( ) 2 1 ( 2 1) 2 2 ( 2 2) 2 3 ( 2 3) ( ) ( ) ( ) En utilisant la propriété d'antisymétrie, cette expression s'écrit sous la forme : V V = CC C C e e + CC C C e e ( )( 1 2) ( )( 1 3) + ( CC CC )( e e) (1.46) Cette relation exprime le produit vectoriel de deux vecteurs dans une base quelconque. Nous introduisons ci-après des bases particulières permettant de simplifier cette expression Base directe On appelle base directe, une base telle que : e e = e, e e = e, e e = e La base est dite orientée dans le sens direct. (1.47)

35 12 Chapitre 1 Espace vectoriel 3 Une base directe est donc telle que le produit vectoriel des deux vecteurs donne le troisième dans l'ordre 1, 2, 3, 1, 2, etc Expression du produit vectoriel dans une base directe Dans le cas d'une base directe, l'expression (1.46) du produit vectoriel se réduit à : V V = CC CC e+ CC CC e + CC CC e. (1.48) ( ) ( ) ( ) L'expression précédente se retrouve aisément en écrivant le produit vectoriel sous la forme d'un déterminant (d'un point de vue formalisme cette écriture est toutefois incorrecte) : e1 e2 e3 V V = C1 C2 C3. C C C En développant ce déterminant suivant la 1ère ligne, nous retrouvons bien l'expression (1.48). Par ailleurs, on montre sans difficulté à partir de l'expression (1.48) que : Le vecteur produit vectoriel de V et de V est un vecteur orthogonal au vecteur V et au vecteur V Produit mixte On appelle produit mixte de trois vecteurs V1, V2, V3, pris dans cet ordre, le nombre réel défini par : V ( V V ). (1.49) Il est facile de montrer que, dans une base orthonormée directe, le produit mixte est invariant par permutation circulaire des trois vecteurs : V ( V V ) = V ( V V ) = V ( V V ). (1.50) Propriété du double produit vectoriel Le double produit vectoriel de trois vecteurs peut s'exprimer par la relation : V ( V V ) = ( V V ) V ( V V ) V. (1.51)

36 1.5 Bases de l'espace vectoriel 3 13 Cette égalité se vérifie aisément en exprimant les composantes de V1 ( V2 V3) puis celles de ( V V ) V ( V V ) V sont égales., puis en vérifiant que ces composantes , 1.5 BASES DE L'ESPACE VECTORIEL R Base canonique 3 La base de l'espace la plus utilisée est la base canonique définie comme l'ensemble des trois vecteurs : i = ( 1, 0, 0 ), j = ( 0, 1, 0 ), k = ( 0, 0, 1 ), (1.52) constitue pris dans cet ordre. i j k orthonormée directe : base orthonormée : i j = 0, j k = 0, k i = 0, 2 i = 1, 2 j = 1, 2 k = 1, base directe : i j = k, j k = i, k i = j. Nous vérifions sans difficulté que l'ensemble (,, ) une base (1.53) (1.54) (1.55) La démonstration suppose que la base est exprimée (1.52) dans une base ellemême orthonormée directe. Par la suite, nous noterons X, Y, Z les composantes d'un vecteur V relativement à la base canonique : V = X i + Y j + Z k. (1.56) Changement de base Dans ce paragraphe, nous explicitons, d'abord sur un exemple, les relations de changement de base dans l'espace 3 et dans le cas de bases orthonormées directes. Les relations obtenues seront ensuite généralisées Exemple de changement de base Nous considérons la base orthonormée directe ( b1) = ( i1, j1, k1) construisons à partir de cette base l'ensemble des trois vecteurs ( i, j, k ) et nous 2 2 2

37 14 Chapitre 1 Espace vectoriel 3 définis de la manière suivante : 1 i2 = ( 2 i1 j1+ k1), 6 1 j2 = ( i1 j1+ k1), 3 k = i j = 1 j k 2 ( ) (1.57) Nous vérifions aisément que l'ensemble (b 2 ) de ces trois vecteurs constitue une base orthonormée directe. Les relations (1.57) peuvent être écrites sous une forme pratique, dérivée de la notation matricielle, suivant : i i1 j = j , (1.58) k2 k matrice colonne de la base (2) matrice de changement de base matrice colonne de la base (1) ou sous forme contractée : en introduisant la matrice de changement de base : i2 i1 j2 = A j1, (1.59) k2 k A = (1.60) Nous trouvons aisément les propriétés suivantes de la matrice de changement de base : le déterminant de A est égal à 1 ; si nous exprimons ( i 1, j1, k 1) en fonction de ( i ) 2, j2, k 2 à partir des relations (1.57), nous obtenons :

38 1.5 Bases de l'espace vectoriel i i2 j = j. (1.61) k1 k La matrice inverse de A est égale à la matrice transposée de A : 1 t A = A. (1.62) Cherchons maintenant les relations qui existent entre les composantes d'un vecteur V exprimées dans les deux bases considérées : dans la base (b 1 ), nous avons : (1) (1) (1) V = C i + C j + C k, (1.63) dans la base (b 2 ), nous avons : (2) (2) (2) V = C i + C j + C k , (1.64) En reportant la relation (1.61) dans l'expression (1.63), nous obtenons : (1) (1) V C i2 j C = 2 i2 j2 k (1) C i2 + j2 k 2, soit : (1) (1) (1) V 2 C 1 1 C 1 2 C = + 3 i (1) 1 (1) 1 (1) 1 (1) 1 (1) C1 C2 C + 3 j 2 C2 C k En comparant ce résultat avec l'expression (1.64), nous obtenons : C 2 C 1 C 1 C C 1 C 1 C 1 C (2) 1 (1) 1 (1) C3 = C2 C (2) (1) (1) (1) 1 = (2) (1) (1) (1) 2 = ,, (1.65) En introduisant les matrices colonnes des composantes dans la base (b 2 ) et dans la base (b 1 ), l'expression (1.65) s'écrit donc :

39 16 Chapitre 1 Espace vectoriel 3 (2) (1) C1 C1 (2) (1) C2 = A C2. (1.66) (2) (1) C3 C3 De même, la relation inverse s'écrit : (1) (2) C1 C1 (1) t (2) C2 = A C2. (1.67) (1) (2) C3 C Généralisation Les résultats établis dans le paragraphe précédent sur un cas particulier se généralisent et peuvent être explicités de la manière suivante. Tout passage d'une base orthonormée directe à une autre base orthonormée directe est caractérisée par une matrice carrée, de déterminant égal à 1 et telle que la matrice inverse soit confondue avec la matrice transposée. Réciproquement toute matrice possédant ces propriétés représente un changement de bases orthonormées directes. Si ( i 1, j1, k 1) et ( i ) 2, j2, k 2 sont deux bases orthonormées directes, le changement de base s'exprime sous la forme pratique : i2 i1 i1 i2 t j2 = A j1, j1 = A j2. (1.68) k2 k1 k1 k2 Entre les composantes d'un vecteur dans les deux bases, nous avons des expressions analogues : (2) (1) (1) (2) C1 C1 C1 C1 t C 2 = C 2 C 2 = C 2 C3 C3 C3 C3 A, A. (1.69) EXERCICES 1.1 Trouver les vecteurs unitaires colinéaires à un vecteur donné. Application au cas du vecteur de composantes (2, 5, 3) dans la base canonique. 1.2 Déterminer le paramètre α, de manière que les vecteurs V 1 = ( 5, 4, 3) et V2 = ( α, 2, 1) soient orthogonaux. Les composantes des vecteurs sont données dans une base orthonormée.

40 Commentaires Trouver les vecteurs unitaires orthogonaux à deux vecteurs donnés. Application au cas des vecteurs de composantes (2, 5, 3) et ( 2, 1, 3) dans la base canonique. 1.4 Développer le produit scalaire ( V1 + V2) ( V1 V2) ( ) ( ) V + V V V ; puis le produit vectoriel 1.5 Un vecteur V a pour composantes (4, 9, 3) dans la base ( 1 ) = ( i1, j1, k1) considère la base ( 2 ) = ( i, j, k ) déduite de (1) par les relations : i = 2 i, j = 2 j, k = k On Exprimer les composantes de V dans la base (2). 1.6 Les vecteurs V 1 et V 2 étant deux vecteurs connus, déterminer les vecteurs V tels que : V1 V2 = V1 V. Application au cas où : V1 = i 4 j et V2 = 5i + 6j 2k. 3 COMMENTAIRES L'espace vectoriel est l'espace dont les vecteurs sont caractérisés par 3 leurs trois composantes qui sont des nombres réels. L'espace vectoriel est un espace mathématique de caractère abstrait qui ne peut être représenté de manière concrète. Par contre, sur cet espace sont définies diverses opérations que le lecteur devra maîtriser parfaitement : somme vectorielle, produit scalaire, produit vectoriel. Le produit scalaire conduit à la notion d'orthogonalité de deux vecteurs et le produit vectoriel à la notion de 3 colinéarité. L'espace vectoriel est généré à partir d'une base constituée de trois vecteurs linéairement indépendants. La base la plus utilisée est la base canonique qui est orthonormée directe. Toute autre base orthonormée directe est obtenue à partir de la base canonique à l'aide d'une matrice carrée, de déterminant égal à 1 et dont la matrice inverse est la matrice transposée.

41 CHAPITRE 2 L'Espace Géométrique 2.1 L'ESPACE GÉOMÉTRIQUE CONSIDÉRÉ COMME ESPACE AFFINE DE L'ESPACE VECTORIEL R L'espace géométrique L'espace géométrique permet de caractériser l'espace physique qui nous entoure. Cet espace est constitué de points, appelés points géométriques. L'affinité permet de "formuler" l'espace physique (figure 2.1), en ramenant les opérations sur l'espace géométrique à des opérations sur l'espace vectoriel 3, déjà introduites dans le chapitre précédent. Ainsi, l'espace géométrique est l'espace affine associé à l'espace vectoriel 3. Il est alors noté ( 3 A ) et est lié à l'espace 3 de la manière qui suit. 1. On définit une application f qui à tout couple ordonné (A, B) de points 3 A fait correspondre un vecteur V de 3 et un seul : géométriques de ( ) A B Nous avons donc : ( 3 A ) ( 3 A ) (A, B) V = f ( A, B) V 3.. (2.1) C'est-à-dire que V est le résultat de l'application f sur le couple de points (A, B). Le couple ordonné (A, B) est appelé bipoint d'origine A et d'extrémité B. Enfin, il y a une contraction des notations, puisqu'il est de coutume d'écrire : V = AB au lieu de V = f ( A, B). (2.2) Il ne faut toutefois pas perdre de vue que la notation V = AB signifie que V est f

42 2.1 L'espace géométrique considéré comme espace affine de l'espace vectoriel 3 19 Espace géométrique Espace vectoriel 3 formulation V1 V2 V3.... point géométrique vecteur FIGURE 2.1. Formulation de l'espace physique. l'image dans l'espace 3 du bipoint (A, B) de l'espace géométrique. Le bipoint (A, B) est représenté conventionnellement suivant le schéma de la figure 2.2 distinguant l'origine A et l'extrémité B du bipoint. 2. L'application f est telle que pour tous les points A, B, C de l'espace géométrique, nous avons la relation : f ( A, B) + f ( B, C) = f ( A, C), (2.3) ou en notation contractée : AB+ BC = AC, (2.4) Cette relation est connue sous le nom de relation de Chasles Conséquences 1. Si les points A et B sont confondus, l'expression (2.4) entraîne que : AB = Si les points A et B sont distincts, AB Si les points A et C sont confondus, l'expression (2.4) entraîne que : AB + BA = 0 soit BA= AB. (2.5) B A AB = V FIGURE 2.2. Bipoint d'origine A et d'extrémité B.

43 20 Chapitre 2 L'espace géométrique 4. Il en résulte que la relation de Chasles s'écrit sous les formes équivalentes : BC = AC AB, (2.6) AB + BC + CA = 0. (2.7) 5. Milieu d'un bipoint. Le point I est milieu du bipoint (A, B) ou du segment AB si et seulement si : AI = IB. (2.8) Il en résulte que si O est un point de l'espace géométrique, nous avons : 1 OI = ( OA + OB). (2.9) 2 6. Bipoints équipollents. Deux bipoints sont équipollents si et seulement si, ils ont la même image dans l'espace 3. (A, B) équipollent à (C, D) AB = CD. (2.10) Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme Distance entre deux points On appelle distance entre deux points A et B ou longueur du segment AB, la norme du vecteur AB. La distance entre les points A et B est notée d(a, B) et nous avons : 2 d( A, B) = AB = AB = AB. (2.11) Les propriétés de la distance résultent de celles du produit scalaire et de la norme de deux vecteurs de 3 : d( A, B ) = 0 A et B sont confondus, d( A, B) = d( B, A), d( A, B) d( A, C) + d( C, B), l'égalité n'étant vérifiée que si le point C appartient au segment AB Angle entre deux bipoints La notion d'angle associée à celle de distance permet de repérer tous les points 3 A. géométriques de l'espace géométrique ( ) L'angle γ (figure 2.3) entre les deux bipoints (A, B) et (A, C) de même origine et pris dans cet ordre, appelé aussi angle entre les vecteurs AB et AC est noté : ( AB, AC) γ =. (2.12)

44 2.1 L'espace géométrique considéré comme espace affine de l'espace vectoriel 3 21 C γ B A FIGURE 2.3. Angle entre deux bipoints. Cet angle orienté est défini par son cosinus et son sinus qui interviennent dans les expressions du produit scalaire et du produit vectoriel des vecteurs AB et AC de la manière suivante : produit scalaire : AB AC = AB AC cosγ = AB AC cosγ, (2.13) produit vectoriel : AB AC = u AB AC sinγ = u AB ACsinγ, (2.14) où u est le vecteur unitaire associé (figure 2.4) au bipoint unitaire (A, U) (ou à un bipoint équipollent) orthogonal au plan (ABC) et tel qu'un observateur, placé les pieds en A et la tête à l'extrémité U, doit tourner de sa droite vers sa gauche pour diriger son regard de l'extrémité B du premier bipoint vers l'extrémité C du second. L'expression du produit vectoriel oriente l'espace géométrique Repères Le problème à résoudre est celui du repérage de la position d'un point M quelconque de l'espace géométrique. Nous choisissons un point O particulier de l'espace géométrique comme point de référence (figure 2.5). À chaque point M de l'espace géométrique correspond alors de façon biunivoque un vecteur OM de 3 image du bipoint (O, M). Le vecteur OM permet donc de caractériser de façon unique la position du point M. U C A γ B FIGURE 2.4. Orientation.

45 22 Chapitre 2 L'espace géométrique M (point quelconque) O (point de référence) espace géométrique FIGURE 2.5. Repérage d'un point. Ce vecteur est appelé vecteur position du point M. Ce vecteur est ensuite caractérisé par ses composantes dans une base (b). La donnée du point O et de la base (b) permet donc de caractériser la position de tout point M de l'espace géométrique par la suite ordonnée des composantes du vecteur OM dans la base (b). L'ensemble constitué par un point O de l'espace géométrique et par une base (b) de l'espace vectoriel 3 s'appelle repère de l'espace géométrique. Nous le noterons (O/b). Le point O est appelé origine du repère. Les composantes du vecteur position OM dans la base (b) sont appelées les coordonnées du point M dans le repère (O/b). 2.2 SOUS-ESPACES DE L'ESPACE GÉOMÉTRIQUE DROITE, PLAN Droite Une droite (D), notée ( A, V 1) est l'ensemble (D) des points M de l'espace géométrique, tels que le vecteur AM soit colinéaire au vecteur V 1 (figure 2.6). M ( D) AM = αv1, α. (2.15) La droite (D) passe par le point A. Le vecteur V 1 est appelé vecteur directeur de la droite (D). On dit que (D) est la droite passant par le point A et de direction V 1. Une droite (D) est définie par les seules données d'un point de la droite et d'un vecteur directeur. On appelle axe, une droite sur laquelle on a choisi un repère (à une dimension) : un point O pour origine et un vecteur directeur V.

46 2.2 Sous-espaces de l'espace géométrique droite, plan 23 A M (D) AM = αv 1 FIGURE 2.6. Droite. Nous noterons un tel axe Ox = ( O, V). La représentation conventionnelle d'un axe (figure 2.7) figurera l'origine O et le bipoint ayant pour image le vecteur V et pour origine le point O. Le nombre réel α définissant la position du point M sur l'axe : OM = αv (2.16) est appelé l'abscisse du point M sur l'axe Ox. La longueur du segment OM est égale à α. Le bipoint (O, M) est dirigé dans le sens positif si α > 0, dans le sens négatif si α < Plan Un plan (P), noté( A, V1, V2) est l'ensemble (P) des points M de l'espace géométrique, tels que le vecteur AM soit combinaison linéaire des vecteurs V 1 et V 2. M ( P) AM = α1v1+ α2v2, α1, α2. (2.17) V, V. On dit que (P) est le plan passant par le point A et de direction ( ) 1 2 Il résulte des diverses notions introduites antérieurement que : 1. α 1 et α 2 sont les composantes du vecteur AM dans la base ( V1, V2) à deux dimensions. Ce sont aussi les coordonnées du point M du plan (P) dans le repère ( O/ V1, V2) ; 2. α1v 1 et α2v 2 sont respectivement les projections du vecteur AM sur les directions définies par V 1 et V 2 ; x (D) O V M FIGURE 2.7. Axe.

47 24 Chapitre 2 L'espace géométrique M (P) A V 1 N V 2 FIGURE 2.8. Décomposition d'un bipoint. 3. si l'on introduit le point N tel que : AN = α V, NM = α V, (2.18) la relation (2.16) s'écrit : AM = AN + NM. (2.19) D'où la construction du point N sur la figure 2.8. Le bipoint (A, N) est la projection du bipoint (A, M) sur l'axe ( AV, 1), le bipoint (N, M) est la projection sur l'axe ( N, V 2). Généralement (figure 2.9), on introduit dans la construction la projection (A, P) du bipoint (A, M) sur l'axe ( A, V 2), bipoint d'origine A et équipollent à (N, M). Dans le cas où les vecteurs V 1 et V 2 sont orthogonaux, les projections considérées sont des projections orthogonales Droites et plans de mêmes directions Droites de même direction Deux droites ( AV, 1) et ( B, V 2) ont même direction (ou sont parallèles), si et seulement si les vecteurs V 1 et V 2 sont colinéaires. P M V 2 (P) A V 1 N FIGURE 2.9. Projection sur les axes.

48 2.2 Sous-espaces de l'espace géométrique droite, plan 25 Les deux droites ( AV, ) et (, ) 1 B V 2 ont donc même direction si et seulement si : V = λ V ou V1 V2 = 0. (2.20) 1 2 Si les points A et B sont distincts, les droites n'ont aucun point commun. Si les points A et B sont confondus, les deux droites sont confondues Plans de même direction et ( ) ont même direction (ou sont paral- et Deux plans ( AV, 1, V2) B, V 1, V 2 lèles), si et seulement si les espaces vectoriels ayant pour bases ( V, V ) ( ) V V 2, 1 2 1, V2 sont confondus. Les deux plans ont donc même direction si et seulement si, les vecteurs V 1 par exemple, sont linéairement dépendants des vecteurs V 1 et V 2 : V = λv + λ V V = µ V + µ V , et (2.21) Si les points A et B sont distincts, les plans n'ont aucun point commun. Si les points A et B sont confondus, les deux plans sont confondus Droite parallèle à un plan La droite ( A, V ) et le plan ( B, V1, V2) sont parallèles si et seulement si V est linéairement dépendant de V 1 et V 2, soit si et seulement si : V= λ V + µ V. (2.22) Droites et plans orthogonaux Droites orthogonales Deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. La droite ( A, V ) est orthogonale à la droite ( B, V ) V1 V2 = 0. (2.23) Droites et plans orthogonaux La droite ( AV, ) est orthogonale au plan ( B, V, V ) 1 2 vecteur V est orthogonal au vecteur V 1 et au vecteur V 2. Soit : V V = 0, V V = si et seulement si le (2.24)

49 26 Chapitre 2 L'espace géométrique Plans perpendiculaires Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si une droite d'un des plans est orthogonale à l'autre plan. 2.3 REPÉRAGE D'UN POINT DE L'ESPACE GÉOMÉTRIQUE Axes de coordonnées Nous avons vu (paragraphe 2.1.5) que chaque point M de l'espace géométrique pouvait être caractérisé par rapport à un repère (O/b). La base (b) est constituée de trois vecteurs V 1, V 2, V 3 de l'espace 3, linéairement indépendants. La position du point M est alors caractérisée par le vecteur position OM de l'espace 3 associé au bipoint (O, M). Ce vecteur s'écrit : OM = α1v1+ α2v2 + α3v3. (2.25) Les paramètres α 1, α 2, α 3 sont les composantes du vecteur position OM dans la base ( V1, V2, V3) ou les coordonnées du point M dans le repère ( O/ V1, V2, V3). Les considérations des paragraphes précédents conduisent aux constructions suivantes (figure 2.10). Le repère ( O/ V1, V2, V3) est représenté par les trois axes ( O/ V 1 ), ( O/ V 2 ) et ( O/ V 3 ). Sur chaque axe, nous portons les points N, P, Q d'abscisses respectives α 1, α 2, α 3 ; donc tels que : ON = α V, OP = α V, OQ = α V. (2.26) Nous construisons ensuite l'extrémité R du bipoint (N, R) équipollent au bipoint (O, P). Il en résulte que : OR = ON + NR = ON + OP = α V + α V. (2.27) Le point M est alors l'extrémité du bipoint (R, M) équipollent au bipoint (O, Q). Nous avons bien : OM = OR + RM = OR + OQ = α1v1+ α2v2 + α3v3. (2.28) Le bipoint (O, R) est la projection du bipoint (O, M) sur le plan ( O/ V1, V2). Les bipoints (O, N), (O, P) et (O, Q) sont les projections respectivement sur les axes ( O/ V 1 ), ( O/ V 2 ) et ( O/ V 3 ). Dans le cas où les vecteurs V 1, V 2 et V 3 sont orthogonaux, les projections sont des projections orthogonales.

50 2.3 Repérage d'un point de l'espace géométrique 27 M Q P R V 3 O V 1 V 2 N FIGURE Projections d'un point Repère orthonormé direct Le repère ( O/ V1, V2, V3) est un repère orthonormé direct si et seulement si les vecteurs V1, V2, V3 constituent une base orthonormée directe. Nous avons alors : V1 = 1, V2 = 1, V3 = 1. Les vecteurs sont des vecteurs unitaires. 2. V1 V2 = 0, V2 V3 = 0, V3 V1 = 0. Les axes ( O/ V 1 ), ( O/ V 2 ) et ( O/ V 3 ) sont orthogonaux deux à deux. On dit que l'ensemble des 3 axes est un trièdre trirectangle. 3. V1 V2 = V3, V2 V3 = V1, V3 V1 = V2. Le trièdre est orienté dans le sens direct : un observateur ayant les pieds au point O et la tête à l'extrémité de l'axe O 3 doit tourner de sa droite vers sa gauche pour diriger son regard de l'extrémité 1 vers l'extrémité 2 (figure 2.11). L'orientation du trièdre est inchangée dans une permutation circulaire des indices Coordonnées cartésiennes Les repères utilisés sont généralement des repères orthonormés directs dont la base est la base canonique de l'espace 3, soit : V = i, V = j, V = k. (2.29) Par la suite, les axes seront notés : Ox = O, i, Oy = O, j, Oz = O, k, ( ) ( ) ( ) (2.30)

51 28 Chapitre 2 L'espace géométrique 3 2 gauche 1 droite V 3 V V 2 O FIGURE Trièdre orthonormé direct. et le repère : ( Oxyz) = ( O / i, j, k ). (2.31) Les points N, P, Q (figure 2.12) du paragraphe ont des abscisses respectives sur les axes, notées x, y, z et appelées coordonnées cartésiennes du point M. Le vecteur image du bipoint (O, M) s'écrit : OM = xi + yj+ zk. (2.32) Les coordonnées cartésiennes du point M sont les composantes dans la base canonique de 3, du vecteur OM. Q z M O i k j P y x N R FIGURE Trièdre cartésien.

52 2.4 Équations du plan et de la droite ÉQUATIONS DU PLAN ET DE LA DROITE Équation cartésienne d'un plan Nous cherchons l'équation cartésienne du plan ( AV, 1, V2) : passant par le point A de coordonnées cartésiennes x A, y A, z A dans le repère O/ i, j, k ; de direction définie par les vecteurs V 1 et V 2 de composantes respectives i, j, k. Nous avons donc : OA = xai + ya j + zak, V1 = X1i + Y1j + Z1k, (2.33) V2 = X2 i + Y2 j + Z2 k. Le plan ( AV, 1, V2) est l'ensemble des points M tels que : AM = α V + α V, α, α. (2.34) cartésien ( ) (X 1, Y 1, Z 1 ) et (X 2, Y 2, Z 2 ) dans la base canonique ( ) L'équation cartésienne du plan est la relation qui permet d'exprimer les coordonnées cartésiennes (x, y, z) du point M : OM = xi + yj+ zk. (2.35) En explicitant le vecteur AM, nous avons : AM = OM OA = x x i + y y j + z z k. (2.36) ( ) ( ) ( ) A A A Puis en reportant cette expression dans (2.34), et en égalant les composantes respectives en i, j et k, nous obtenons : x xa = α1x1+ α2x2, y ya = α11 Y + α2y2, z z = α Z + α Z. A Ces équations sont les équations paramétriques du plan. L'équation cartésienne s'obtient en éliminant les paramètres α 1 et α 2. Soit : ( ZY YZ )( x x ) ( X Z Z X )( y y ) ( YX XY )( z z ) (2.37) A A A = 0. (2.38) L'équation cartésienne d'un plan est donc de la forme : ax + by + cz + d = 0, avec (2.39) a = Z1Y2 Y1Z2, b = X1Z2 Z1X2, c = Y X X Y, d = ax by cz A A A

53 30 Chapitre 2 L'espace géométrique Plan passant par trois points non alignés Pour trouver l'équation du plan passant par les trois points A, B, C de coordonnées respectives (x A, y A, z A ), (x B, y B, z B ), (x C, y C, z C ), on se ramène au cas précédent, en exprimant que le plan cherché est le plan passant par le point A et de direction définie, par exemple, par les vecteurs AC et AB : V1 AC = ( xc xa) i + ( yc ya) j + ( zc za) k, (2.40) V2 AB = ( xb xa) i + ( yb ya) j + ( zb za) k. En reportant les composantes de ces vecteurs dans l'équation (2.38), nous obtenons l'équation du plan. Plans particuliers Plan ( Oxy) = ( O, i, j) : les vecteurs V 1 et V 2 sont les vecteurs i et j. L'équation vectorielle du plan s'écrit : xi + yj+ zk = α i + α j, α, α, (2.41) et les équations paramétriques sont : x = α, y = α, z = 0, α, α. (2.42) On trouve des équations analogues pour les plans (Oyz) et (Oxz) Équations cartésiennes d'une droite Nous cherchons l'équation de la droite ( AV, 1) passant par le point A et de direction V 1. Avec des notations déjà utilisées, l'équation vectorielle (2.15) conduit aux trois équations paramétriques : x x = α X A 1 1 y y = α Y, A z z = α Z. A 1, (2.43) Si X1, Y1 et Z 1 sont différents de zéro, ces équations conduisent à l'un des couples d'équations : Y Z X y y = x x, z z = y y, x x = z z, ( ) ( ) ( ) A A A A A A X1 Y1 Z1 Z X X z z = x x, x x = y y, y y = z z, ( ) ( ) ( ) A A A A A A X1 Y1 Z1 équations que l'on peut mettre sous la forme : (2.44) x xa y ya z za = =. (2.45) X Y Z Une droite est donc définie par deux équations cartésiennes.

54 2.5 Changement de repère 31 Cas particuliers Si X 1 = 0, les équations de la droite sont : x xa = 0, Y y ya = z z Z 1 1 ( ) A. (2.46) C'est l'équation d'une droite contenue dans le plan x = xa. Nous obtenons des équations analogues dans le cas de droites contenues dans les plans y = ya ( Y1 = 0) ou z = za ( Z1 = 0). 2.5 CHANGEMENT DE REPÈRE Nous ne considérons dans ce paragraphe que le cas de repères orthonormés directs Cas général Nous considérons deux repères (figure 2.13) : ( T1) = ( O1x1y1z1) = ( O1/ i1, j1, k1), ( T2) = ( O2x2y2z2) = ( O2/ i2, j2, k2). Le problème à résoudre est : Connaissant les coordonnées dans le repère (T 2 ) d'un point M quelconque de l'espace géométrique, trouver les coordonnées de M exprimées dans le repère (T 1 ). z 1 z 2 M k 2 j 2 y 2 k 1 j i 1 O 1 1 i 2 O 2 y 1 x 2 x 1 FIGURE 2.13 Changement de repère.

55 32 Chapitre 2 L'espace géométrique (1) (1) (1) Les coordonnées de M dans le repère (T 1 ) : x ( M), y ( M), z ( M ), sont i 1, j1, k 1 du vecteur position OM 1, soit : (1) ( ) (1) ( ) (1) OM = x M i + y M j + z ( M) k. (2.47) les composantes dans la base ( ) (2) (2) (2) Les coordonnées de M dans le repère (T 2 ) : x ( M), y ( M), z ( M ), sont les composantes dans la base ( i 2, j2, k 2) du vecteur position OM 2, soit : (2) ( ) (2) ( ) (2) OM 2 = x M i2 + y M j2 + z ( M) k2. (2.48) Entre les vecteurs OM 1 et OM 2, nous avons la relation : OM = OO + O M. (2.49) En introduisant les coordonnées dans le repère (T 1 ) du point O 2 origine du repère (1) (1) (1) (T 2 ) : x ( O2), y ( O2), z ( O 2), le vecteur OO 1 2 s'écrit : (1) (1) (1) OO 1 2 = x ( O2) i1+ y ( O2) j1+ z ( O2) k1. (2.50) En reportant les expressions des vecteurs OM 1, OM 2 et OO 1 2 dans la relation (2.49), nous observons que, pour exploiter cette relation, il est nécessaire d'appliquer l'expression de changement de base (1.67) aux composantes du vecteur OM 2. Les composantes sont alors toutes exprimées dans la base ( i 1, j1, k 1). La relation (2.49) conduit alors à la relation de changement de coordonnées : (1)( ) (1) (2) x M x ( O2 ) x ( M) (1)( ) (1) t (2) y M = y ( O2 ) + A y ( M), (2.51) (1) ( ) (1) (2) z M z ( O2 ) z ( M) coordonnées du coordonnées du matrice coordonnées du point M point O 2 transposée de point M exprimées dans (T 1 ) exprimées dans (T 1 ) changement de base exprimées dans (T 2 ) où A est la matrice de changement de base définie par l'expression (1.62). Si les repères (T 1 ) et (T 2 ) ont même origine, les point O 1 et O 2 sont confondus et la relation précédente est confondue avec l'expression (1.63). Nous sommes ramenés à chercher la matrice de changement de base dans le cas de repères ayant même origine Repères ayant un axe confondu Soit le repère ( T ) = ( O/ i, j, k ) Nous faisons subir (figure 2.14) à ce repère

56 2.5 Changement de repère 33 z 1 γ i 1 k 1 O i 2 j 2 j 1 γ y 2 y 1 x 1 γ x 2 FIGURE Repères ayant un axe confondu. (T 1 ) une rotation d'angle γ dans le sens direct autour de la direction k 1. Nous T2 = O/ i2, j2, k2. Nous noterons : O/ i, j, k R ( k1, γ ) O/ i, j, k. obtenons le trièdre ( ) ( ) ( ) ( ) Entre les vecteurs de base, nous avons des relations linéaires du type : i2 = a11i1+ a12 j1+ a13k1, j2 = a21i1+ a22 j1+ a23k1, k = k. 2 1 (2.52) Nous cherchons les expressions des coefficients a ij, en considérant que les bases ( i 1, j1, k 1) et ( i ) 2, j2, k 1 sont orthonormées directes. Soit : i1 i2 = cos γ, j1 j2 = cos γ, (2.53) i1 i2 = k1sin γ, j1 j2 = k1sin γ. Le calcul de i 1 i 2, en tenant compte de (2.52) conduit à : i i = i a i + a j + a k = a. Soit en comparant à (2.53): Nous obtenons de même : ( ) j j a11 = cosγ. (2.54) 1 2 = a22 = cos γ. (2.55)

57 34 Chapitre 2 L'espace géométrique i i = a k a j = k sin γ, soit j j = a k + a j = k sin γ, soit Les relations (2.52) s'écrivent donc : i2 = i1cosγ + j1sin γ, j2 = i1sin γ + j1cos γ, k = k. 2 1 a a a a = sin γ, (2.56) = 0. = sin γ, = 0. (2.57) (2.58) La matrice de changement de base est : cosγ sin γ 0 A = sinγ cosγ 0. (2.59) La relation inverse de changement de base s'écrit en transposant l'expression (2.58) : i1 = i2cosγ j2sin γ, j1 = i2sin γ + j2cos γ, (2.60) k = k Repères quelconques ayant même origine Nous allons montrer qu'il est toujours possible de passer d'un repère ( Ox1y 1z 1) à un repère ( 2 2 2) Ox y z de même origine mais quelconque par rapport au premier, en effectuant trois rotations successives (figure 2.15). 1. La première rotation, d'angle ψ autour de la direction k 1, transforme le repère initial ( O/ i 1, j1, k 1) pour aboutir au repère ( O/ i ) 3, j3, k 1 : ( O/ i 1, j1, k R 1) ( k1, ψ ) ( O/ i ) 3, j3, k 1. Le changement de base s'écrit : i3 = i1cosψ + j1sin ψ, j3 = i1sinψ + j1cos ψ, (2.61) k1, ou i3 i1 j3 = Aψ j1, (2.62) k1 k1

58 2.5 Changement de repère 35 en introduisant la matrice de changement de base : cosψ sinψ 0 A ψ = sinψ cosψ 0. (2.63) La deuxième rotation, d'angle θ autour de la direction i 3, conduit ensuite au O/ i 3, j4, k 2 : O/ i, j, k R ( i3, θ ) O/ i, j, k. repère ( ) ( ) ( ) Le changement de base s'écrit : i3, j4 = j3cosθ + k1sin θ, (2.64) k2 = j3sinθ + k1cos θ, ou i3 i3 j = A j, (2.65) 4 θ 3 k2 k1 z 1 ψ y 2 z 2 φ y 4 k 1 k 2 O i 1 ψ i 3 j 2 j 4 j 3 i 2 θ j 1 φ θ x 2 y 3 y 1 x 1 x 3 FIGURE 2.15 Angles d'euler.

59 36 Chapitre 2 L'espace géométrique en introduisant la matrice de changement de base : A θ = 0 cosθ sinθ. (2.66) 0 sinθ cosθ Le trièdre ( 3 4 2) Ox 3 est contenu dans le plan ( 1 1) Ox y z n'est pas quelconque par rapport au premier, puisque l'axe Ox y du premier trièdre. Il est nécessaire d'effectuer une troisième rotation pour le rendre quelconque. 3. La troisième rotation, d'angle ϕ autour de la direction k 2, conduit au second repère ( ), Ox y z quelconque par rapport au premier : O/ i, j, k R ( k2, ϕ) O/ i, j, k. ( ) ( ) Le changement de base s'écrit : i2 = i3cosϕ + j4sin ϕ, j2 = i3sinϕ + j4cos ϕ, (2.67) k2, ou i2 i3 j2 = Aϕ j4, (2.68) k2 k2 en introduisant la matrice de changement de base : cosϕ sinϕ 0 A ϕ = sinϕ cosϕ 0. (2.69) Les trois angles de rotation ainsi introduits sont appelés les angles d'euler : ψ est l'angle de précession, θ est l'angle de nutation, ϕ est l'angle de rotation propre. Le changement de base exprimant ( i 2, j2, k 2) en fonction de ( i ) 1, j1, k 1 introduit la matrice A de changement de base : i2 i1 j2 = A j1. (2.70) k2 k1 Cette relation peut être obtenue en combinant les relations (2.61), (2.64) et (2.67). Elle peut être déduite des relations matricielles (2.62), (2.65) et (2.68). En effet nous pouvons écrire à partir de ces relations : i2 i3 i3 i1 j2 = Aϕ j4 = Aϕ( Aθ j3 ) = Aϕ( Aθ( Aψ j1 )), k2 k2 k1 k1

60 Exercices 37 ou en tenant compte de l'associativité du produit matriciel : i2 i1 j2 = ( AϕAθAψ ) j1. (2.71) k2 k1 La comparaison des relations (2.70) et (2.71) conduit à : A = A A A. (2.72) ϕ θ ψ La matrice de changement de base est égale au produit des trois matrices dans l'ordre : 3ème rotation, 2ème rotation, 1ère rotation. Le calcul conduit à : cosψ cosϕ sinψ cosθ sinϕ sinψ cosϕ + cosψ cosθ sinϕ sinθ sinϕ A = cosψ sinϕ sinψ cosθ cosϕ sinψ sinϕ + cosψ cosθ cosϕ sinθ cosϕ. sinψ sinθ cosψ sinθ cosθ (2.73) EXERCICES 2.1 Trouver les coordonnées de la projection H orthogonale d'un point M sur la droite (D) (figure 2.16). Les coordonnées x, y, z du point M sont connues et la droite (D) passe par le point O origine et a pour vecteur directeur V. Application au cas où le vecteur directeur V a pour composantes (1, 2, 3) dans la base canonique. 2.2 Trouver l'équation de la droite passant par le point A ( 1, 2, 1) et orthogonale au plan passant par les trois points A, B (2, 3, 1), C ( 3, 4, 2). 2.3 Montrer que le triangle ayant pour sommets les points de coordonnées cartésiennes : A ( 2, 0, 2 ), B ( 1, 2, 1 ), C ( 1, 2, 1 ), est un triangle isocèle rectangle en A. (D) O V H M (x, y, z) FIGURE Projection d'un point sur une droite.

61 38 Chapitre 2 L'espace géométrique D C A B FIGURE Parallélépipède quelconque. 2.4 Calculer la surface du triangle ABC, dont les sommets ont pour coordonnées cartésiennes : A ( 1, 2, 1), B (2, 2, 1), C (3, 2, 1). 2.5 Calculer le volume d'un parallélépipède quelconque figure (2.17), construit sur les bipoints (A, B), (A, C) et (A, D). Application au cas des points de coordonnées cartésiennes : A (0, 0, 0), B (3, 2, 1), C (1, 1, 2), D ( 1, 1, 2). 2.6 Calculer la distance d'un point D au plan passant (figure 2.18) par trois points A, B et C. Application au cas des points de coordonnées cartésiennes : A (0, 0, 0), B (1, 2, 3), C (2, 1, 1), D ( 2, 1, 3). 2.7 Trouver la condition nécessaire et suffisante pour que les quatre points A, B, C et D soient coplanaires. 2.8 Soit un trièdre orthonormé direct ( T1) = ( O/ i1, j1, k1). On fait subir à ce trièdre une rotation de 30 autour de l'axe ( O, i 1) : on obtient le trièdre ( O/ i 1, j3, k 2). On fait ensuite subir à ce nouveau trièdre une rotation de 45 autour de l'axe D C A H B FIGURE Distance d'un point à un plan.

62 Commentaires 39 ( O, k 2) : on obtient le trièdre ( T2) = ( O/ i2, j2, k2). 1. Trouver les relations qui expriment les vecteurs de base ( i2, j2, k 2) du T en fonction des vecteurs de base ( i, j, k ) du repère( T ). repère ( ) Un point M a pour coordonnées cartésiennes ( 1, 2, 4) dans le trièdre Ox y z. Trouver ses coordonnées cartésiennes dans le trièdre ( Ox2y2z 2). 3. Un point N a pour coordonnées cartésiennes (3, 4, 8) dans le trièdre Ox y z. Trouver les coordonnées dans le trièdre( Ox y z ). ( ) ( ) COMMENTAIRES La notion d'espace géométrique permet de caractériser l'espace physique qui nous entoure. Cet espace est donc un espace concret constitué de points géométriques, et sa formulation est obtenue en se ramenant à des opérations sur l'espace vectoriel 3, opérations introduites dans le chapitre précédent. Un objet quelconque de l'espace géométrique est défini par l'ensemble de ses points dont les positions sont déterminées par leurs coordonnées. Les coordonnées les plus utilisées sont les coordonnées cartésiennes définies par rapport à un trièdre cartésien constitué d'une origine O et de trois axes trirectangles Ox, Oy et Oz, de vecteurs directeurs unitaires respectifs i, j et k, les vecteurs de la base canonique. Une fois obtenu l'ensemble des coordonnées de l'objet, toutes les informations sur l'objet sont connues et la figure peut être effacée. Toutes les propriétés ou transformations de l'objet sont ensuite obtenues à partir d'opérations dans l'espace vectoriel 3, effectuées sur les vecteurs images des bipoints de l'objet.

63 CHAPITRE 3 Fonction Vectorielle Dérivées d'une Fonction Vectorielle 3.1 FONCTION VECTORIELLE D'UNE VARIABLE Définition Si à chaque valeur d'une variable réelle q, on fait correspondre un vecteur V, on a alors défini une fonction vectorielle relative à la variable q. Nous désignerons une telle fonction par Vq ( ) : 3 q Vq ( ). (3.1) Si le vecteur Vq ( ) est défini par ses composantes relativement à une base, ces composantes sont des fonctions réelles de la variable q. La fonction vectorielle sera donc déterminée par la donnée de ses trois composantes : X(q), Y(q), Z(q), par exemple dans la base ( b) = ( e 1, e 2, e 3) : Vq ( ) = Xq ( ) e+ Yq ( ) e + Zq ( ) e. (3.2) Dérivée La dérivée de la fonction vectorielle Vq ( ) la base ( b) = ( e, e, e ), que nous noterons : est définie par : ( b) d V dq ou par rapport à la variable q et dans ( ) d b V, (3.3) dq

64 3.1 Fonction vectorielle d'une variable 41 ( b) d dx dy dz V = e1+ e2 + e3. (3.4) dq dq dq dq Dans les problèmes où n'intervient qu'une seule base, le vecteur obtenu est simplement appelé le vecteur dérivée de Vq ( ) par rapport à q et il sera noté d V. dq Il est alors sous-entendu qu'il s'agit du vecteur dérivée dans la base considérée. Dans le cas où plusieurs bases sont considérées (cas de la mécanique des solides), il est nécessaire de préciser la base dans laquelle on dérive. Par exemple, si le vecteur Vq ( ) est défini : dans la base ( 1 ) = ( i1, j1, k1) par : (1) (1) (1) Vq ( ) = ix 1 ( q) + jy 1 ( q) + kz 1 ( q), (3.5) dans la base ( 2 ) = ( i2, j2, k2) par : (2) (2) (2) Vq ( ) = i X ( q) + jy ( q) + k Z ( q), (3.6) nous distinguerons : (1) le vecteur d dq V, dérivée de V dans la base (1) : d d d d dq dq dq dq (1) (1) (1) (1) V = X i Y Z 1+ j1+ k1 (2) et le vecteur d dq V, dérivée de V dans la base (2) : d d d d dq dq dq dq (2) (2) (2) (2) V = X i Y Z 2 + j2 + k2 Ces deux vecteurs sont généralement distincts., (3.7). (3.8) Propriétés de la dérivée vectorielle Si les vecteurs V1( q), V2( q) et V3( q) sont des fonctions vectorielles de la même variable q, nous avons dans une base donnée : 1. d ( V ) dv1 dv2 1 + V2 = +. (3.9) dq dq dq Cette relation s'étend au cas d'un nombre quelconque de vecteurs. 2. d ( ) d V V 1 dv2 1 V2 = V2 + V1, (3.10) dq dq dq

65 42 Chapitre 3 Fonction vectorielle. Dérivées d'une fonction vectorielle avec en particulier : d 2 V = 2 V dv. (3.11) dq dq 3. d ( ) d V V 1 dv2 1 V2 = V2 + V1. (3.12) dq dq dq 4. d ( ) dv 1 ( ) dv 2 dv3 V1 V2 V3 = V2 V3 + V1 V3 + V1 V2 dq dq dq dq. (3.13) 5. Si f(q) est une fonction réelle de la variable q : d d ( ) f fv = V + f dv. (3.14) dq dq dq En particulier si f ( q) = k indépendant de q : d ( kv ) = k dv. (3.15) dq dq 6. Si q est une fonction de la variable p : q(p) dv d dq = V. (3.16) dp dq dp 7. La variation de la fonction vectorielle V s'écrit : d d dq dv= V dq = V dp. (3.17) dq dq dp Comme la dérivée, la variation dépend de la base choisie Exemples Premier exemple Soit dans la base ( 1 ) = ( i, j, k), le vecteur : u( α) = i cosα + jsinα. (3.18) La dérivée par rapport à α dans la base (1) est : (1) d u( ) i sin jcos i cos ( π α = α + α = α + ) + jsin ( α + π ). dα 2 2 D'où la relation importante : (1) d u( α) = u( α + π ). (3.19) dα 2

66 3.1 Fonction vectorielle d'une variable 43 De même, on trouve que : (1) d u( π α + ) = u( α + π) = u( α). (3.20) dα 2 Dériver par rapport à α, revient à ajouter π /2 à l'angle α. Par ailleurs nous trouvons sans difficulté que les vecteurs : u( ), u( π α α + ), k, (3.21) 2 forment une base orthonormée directe, que nous noterons (2) dans l'exemple suivant Deuxième exemple Soit la fonction V = a[ u( α) + ksinα]. Calculer les dérivées de V par rapport à α dans les bases (1) et (2). 1. Dans la base (2) u( α), u( α π = + ), k. 2 Nous dérivons directement l'expression précédente de V : (2) d V cos dα = ak α. 1 = i, j, k. 2. Dans la base ( ) ( ) 1ère méthode Nous exprimons le vecteur V dans la base (1) : V = a( i cosα + jsinα + ksinα), puis nous dérivons : (1) d V a ( i sinα jcosα k cosα) dα = + +. Soit : (1) d V a u( π = α + ) + k cosα. dα 2 2ème méthode Nous gardons V sous sa première écriture dans la base (2) et dérivons dans la base (1): (1) (1) (1) d V d [ ( ) sin ] d = a u α + k α = a u( α) + k cosα dα dα dα. Soit, compte tenu des résultats du premier exemple : (1) d V a u( π = α + ) + k cosα. dα 2

67 44 Chapitre 3 Fonction vectorielle. Dérivées d'une fonction vectorielle Troisième exemple 2 Calculer la dérivée de V = ai cos α + bj sin 2α + ck par rapport à α dans la i, j, k, où a, b et c sont des réels indépendants de α. base ( ) Le calcul de la dérivée ne présente aucune difficulté. Nous obtenons : dv 2aicosαsinα 2bjcos2α dα = FONCTION VECTORIELLE DE DEUX VARIABLES Définition Si à tout couple de valeurs de deux variables réelles indépendantes q 1 et q 2, on fait correspondre un vecteur V, on définit alors une fonction vectorielle des variables q 1 et q 2. Nous désignons une telle fonction par Vq ( 1, q2). Les composantes de ce vecteur sont des fonctions de q 1 et q 2, et dans la base ( b) = ( e 1, e 2, e 3), nous avons : V( q, q ) = X( q, q ) e + Y( q, q ) e + Z( q, q ) e. (3.22) Dérivées partielles Les dérivées partielles de la fonction Vq ( 1, q2) dans la base (b) sont définies comme suit : dérivée par rapport à q 1 : ( b ) V X e Y Z 1 e = e3, (3.23) q q q q dérivée par rapport à q 2 : ( b ) V X e Y Z 1 e = e3. (3.24) q q q q Lorsqu'il n'intervient qu'une seule base, les dérivées partielles sont simplement notées V et V. q1 q2 La variation de la fonction vectorielle Vq ( 1, q2) est définie par : ( ) ( ) ( ) d b b b V = V dq V 1+ dq2. (3.25) q q 1 2

68 3.2 Fonction vectorielle de n variables 45 Si q 1 et q 2 sont des fonctions d'une même variable p, la dérivée de V par rapport à p est donnée par : ( b) ( b) d ( b) d V V q1 V dq2 = +. (3.26) dp q dp q dp Exemples i j k Calculer les dérivées partielles et la variation dans la base (,, ) fonction : 2 2 V( q1, q2) = a q1 i + q1q2 j + ( 2q1+ q2 ) k. Nous obtenons facilement : V a( 2q1i q2j 2 k), V = + + = a( q1j + 2 q2k), q1 q2 dv = a ( 2q1i + q2j + 2k) dq1+ ( q1j + 2q2k) d q2. de la 3.3 FONCTION VECTORIELLE DE n VARIABLES Définitions Les considérations précédentes se généralisent au cas d'un nombre quelconque de variables. Une fonction vectorielle des variables q 1, q 2,..., q n, associe à tout ensemble de valeurs de ces n variables un vecteur noté Vq ( 1, q2,..., q n ). Les composantes du vecteur Vq ( 1, q2,..., q n ) sont des fonctions réelles de n variables, et dans la base ( b) = ( e 1, e 2, e 3), nous avons : V( q1, q2,..., qn) = X( q1, q2,..., qn) e1+ Y( q1, q2,..., qn) e2 + Z( q1, q2,..., qn) e3. (3.27) La dérivée partielle de la fonction V par rapport à la variable q i ( i = 1, 2,..., n) dans la base (b) est définie par : ( b) V X e Y Z 1 e = e3, (3.28) q q q q i i i i et la variation de V dans la base (b) s'écrit : n ( b) ( b) d V = V dqi. (3.29) q i= 1 i

69 46 Chapitre 3 Fonction vectorielle. Dérivées d'une fonction vectorielle Si 1 2 q, q,..., q n sont des fonctions de la même variable p, la dérivée de V par rapport à p dans la base (b) est : ( ) n b ( b) d V V dqi = dp. (3.30) q dp i= 1 i Exemples Exemple 1. Coordonnées cylindriques Soit un point M de l'espace géométrique repéré par ses coordonnées cartésiennes (x, y, z). Le vecteur position s'écrit : OM = xi + yj+ zk. (3.31) La position du point M peut aussi être caractérisée (figure 3.1) par les paramètres : r = OH, α = ( i, OH), z = cote de M, (3.32) où H est la projection orthogonale du point M dans le plan (Oxy). Les paramètres de position (r, α, z) sont appelés les coordonnées cylindro-polaires ou coordonnées cylindriques du point M. Le vecteur position (3.31) s'écrit : OM = r cosα i + r sinα j + z k, ou OM = r u( α) + z k. (3.33) C'est l'expression du vecteur position, lorsque M est repéré par ses coordonnées cylindriques. z z M k O i α x x u( α + π ) 2 j u( α) r y y H FIGURE 3.1. Coordonnées cylindriques

70 3.2 Fonction vectorielle de n variables 47 Le vecteur u( α) (3.18) est le vecteur directeur unitaire de la droite OH. De même, le vecteur u( α + π ) est le vecteur directeur unitaire de la droite 2 orthogonale à OH (figure 3.1). Le repère ( O/ u( ), u( π α α + ), k 2 ) est un repère orthonormé direct. Cherchons les dérivées partielles du vecteur position OM par rapport à r, α, z, dans la base ( i, j, k ). Nous avons : OM u( α), OM ru( α π ), OM = = + = k, r α 2 k et la variation du vecteur position s'écrit : d OM u( )d r r u( π = α + α + )dα + k dz. (3.34) 2 Si par exemple r, α, et z sont des fonctions du temps t, la dérivée par rapport à t et dans la base ( i, j, k ) est le vecteur vitesse du point M dans le repère (T) = (Oxyz) et s'écrit d'après (3.30): ( T ) ( T ) (, ) d OM dr M t u( ) r dα u( π ) dz v = = α + α + + k. (3.35) dt dt dt 2 dt Les composantes du vecteur vitesse dans la base u( α), u( α π + ), k sont donc : 2 dr d d (, r α d d, z t t dt). (3.36) Exemple 2. Changement de base Soit deux bases ( i 1, j1, k 1) et ( i ) 2, j2, k 2 dont le passage de l'une à l'autre se fait en utilisant les angles d'euler (ψ, θ, ϕ). Nous voulons exprimer les dérivées partielles dans la base (1) et par rapport à ψ, θ et ϕ des vecteurs i 2, j 2, k 2. Pour cela, nous reprenons les trois rotations introduites au paragraphe ère rotation ( O/ i 1, j1, k R ( k 1) 1, ψ ) ( O/ i ) 3, j3, k 1. Nous avons : i3 = u( ψ) = i1cosψ + j1sin ψ, j3 = u( ψ + π ) = i1sinψ + j1cos ψ. 2 D'où (1) (1) i 3 j 3 = j3, = i3. (3.37) ψ ψ

71 48 Chapitre 3 Fonction vectorielle. Dérivées d'une fonction vectorielle 2ème rotation Nous avons : Nous en déduisons : ( O/ i, j, k R ( i ) 3, θ ) ( O/ i, j, k ) j4 = u( θ) = j3cosθ + k1sin θ, k2 u( θ π = + ) = j3sinθ + k1cos θ. 2 ψ ψ 3ème rotation O/ i, j, k cos,, θ sin,. θ (1) (1) j4 j4 = i3 θ = k2 (1) (1) k2 k = i 2 3 θ = j4 ( ) R ( k2, ϕ) ( O/ i, j, k ) Nous avons : i2 = u( ϕ) = i3cosϕ + j4sin ϕ, j2 u( ϕ π = + ) = i3sinϕ + j4cos ϕ. 2 D'où les résultats cherchés : (1) (1) (1) i 2 i 2 i 2 = j3cosϕ i3cosθsin ϕ, = k2sin ϕ, = j2, ψ θ ϕ (1) (1) (1) j 2 j 2 j 2 = j3sinϕ i3cosθcos ϕ, = k2cos ϕ, = i2, ψ θ ϕ (1) (1) (1) k 2 k 2 k 2 = i3sin θ, = j4, = 0. ψ θ ϕ (3.38) (3.39) Il en résulte que la variation dans la base (1) de i 2 s'écrit : d i = j cosϕ i cosθsinϕ dψ + k sinϕdθ + j dϕ, (3.40) ( ) (1) ou (1) d i ( ) 2 = k 1 dψ + i 3 dθ + k 2 dϕ i 2. (3.41) Si les angles ψ, θ, ϕ (et par conséquent les vecteurs i 2, j 2, k 2 ) dépendent de la variable p, nous pouvons écrire : (1) d i 2 = ω p i2, (3.42) dp en introduisant : dψ d d p k1 i θ ϕ ω = k2. (3.43) dp dp dp

72 Commentaires 49 De même, nous trouvons : d j dp Application importante,. dp (1) (1) 2 d k2 = ωp j2 = ωp k2 (3.44) Cherchons l'expression de la dérivée par rapport à la variable p et dans la base (1) d'un vecteur V dont les composantes dans la base (2) sont indépendantes du paramètre p, par exemple, le vecteur position d'un point fixe dans le repère ( O/ i 2, j2, k 2). Nous avons : (2) (2) (2) V = X i + Y j + Z k, (3.45) où les composantes X (2), Y (2), et Z (2) sont indépendantes du paramètre p. La dérivée dans la base (1) du vecteur V s'écrit : (1) (1) (1) (1) d V (2) d i2 (2) d j2 (2) d k = X + Y + Z 2, (3.46) dp dp dp dp soit d'après (3.42) et 3.44) : (1) d V (2) (2) (2) = ω p ( X i2 + Y j2 + Z k2). (3.47) dp D'où le résultat : (1) d V = ω p V. (3.48) dp Ce résultat sera utilisé en cinématique du solide (chapitre 9). COMMENTAIRES Les notions de dérivées seront utilisées en cinématique (Partie II). Nous aurons à exprimer les vecteurs vitesses et vecteurs accélérations des points d'un solide. Ces vecteurs seront obtenus à partir des dérivées des vecteurs positions par rapport au temps et dans divers repères, ce qui conduira à dériver dans diverses bases. Les notions développées dans les paragraphes 3.1, 3.2 et 3.3 doivent donc être parfaitement assimilées. Les exemples proposés suffisent pour illustrer l'utilisation des dérivées vectorielles. Le résultat (3.48) du paragraphe est un résultat important qui sera utilisé en cinématique du solide (chapitre 9). Il est intéressant par le fait qu'il remplace l'opération de dérivation par un produit vectoriel, qui est plus facile à exploiter, en particulier dans le cadre d'une évaluation numérique.

73 CHAPITRE 4 Rappels sur les Courbes 4.1 INTRODUCTION Une courbe (C) (figure 4.1) peut être définie dans un repère (T), comme étant l'ensemble des points M dont les vecteurs positions sont définis par une fonction vectorielle d'un paramètre q : OM = V ( q), O étant un point de référence du repère (T). Si le vecteur position est défini dans la base ( b) = ( i, j, k), nous avons : OM = X( q) i + Y( q) j + Z( q) k. (4.1) Les composantes X(q), Y(q), Z(q) du vecteur position sont également les coordonnées du point M dans le repère ( T) = ( O/ i, j, k). ( ) Par ailleurs la courbe (C) a une tangente en M de vecteur directeur d b V ou dq ( ) ( ) d plus généralement d b d b V = V q, si q est une fonction de la variable p. dp dq dp (C) M(q) O FIGURE 4.1. Courbe.

74 4.2 Abscisse curviligne. Longueur d'un arc de courbe ABSCISSE CURVILIGNE LONGUEUR D'UN ARC DE COURBE Parmi toutes les variables q qui permettent de définir la position du point M sur la courbe (C), il a été choisi une variable particulière, que nous noterons s, telle ( ) que le vecteur d OM soit un vecteur unitaire : ds ( b) 2 ( b) d OM = 1 ou d OM ds ds = 1. (4.2) Soit M un point infiniment voisin du point M (figure 4.2) obtenu en augmentant la variable s de la valeur d. s Nous avons : ( b) ( b) MM = OM OM = d OM = d OM ds. ds (4.3) La longueur de l'arc de courbe compris entre les points MM est confondue avec la longueur MM. Soit : MM ( b) ( b) MM = d OM ds = ± d OM ds ds ds. (4.4) D'où le résultat : ds =± MM. (4.5) Si M 0 et M sont deux points quelconques de la courbe (C), la relation précédente s'écrit : sm ( ) sm ( ) = ± MM. (4.6) 0 0 La variable s ainsi introduite mesure la longueur de l'arc de courbe. Son signe dépend de l'orientation de la courbe. Nous écrirons par exemple : sm ( ) sm ( ) = M 0 M. (4.7) La courbe est alors orientée dans le sens des s croissant. La variable s est appelée abscisse curviligne du point M. 0 M ( s+ d s) (C) M () s O FIGURE 4.2. Longueur d'arc. M 0

75 52 Chapitre 4 Rappels sur les courbes Si le point M 0 est pris comme origine des abscisses curvilignes, il en résulte que : sm ( 0) = 0, et la relation (4.6) s'écrit : sm ( ) 0 =± MM. (4.8) 4.3 TANGENTE. NORMALE. RAYON DE COURBURE De la définition de l'abscisse curviligne, il résulte que le vecteur : ( b) e d OM t = (4.9) ds est un vecteur unitaire. Le vecteur e t est donc le vecteur directeur unitaire de la tangente à la courbe (C) au point M, orientée dans le sens des s croissant. La tangente orientée est l'axe ( M, e t ). 2 Puisque e t = 1, on obtient en dérivant par rapport à s et dans la base (b) : ( b) d e e t t = 0. (4.10) ds ( b) d e Le vecteur t est donc orthogonal au vecteur e t, et l'on pose : ds ( b) d e t e = n ds R, (4.11) où par définition : e n est le vecteur unitaire de la direction normale principale à la courbe (C) au point M ; R est un scalaire positif appelé rayon de courbure de la courbe (C) au point M. 4.4 REPÈRE DE FRÉNET Les deux vecteurs e t et e n constituent les deux premiers vecteurs d'une base orthonormée directe. Le troisième vecteur, appelé vecteur unitaire de la direction binormale à la courbe (C) au point M, est défini par la relation : e = e e. (4.12) b t n La base ainsi obtenue est appelée base de Frénet. Elle est fonction de l'abscisse curviligne s, donc du point M. Le repère (figure 4.3) ( M / et, en, eb) est appelé repère de Frénet.

76 4.4 Repère de Frénet 53 (C) e n M e t e b FIGURE 4.3. Repère de Frénet. Le plan ( M / et, en) ( M / e, e ) est le plan normal en M à la courbe (C), et le plan ( M / e, e ) est le plan osculateur en M à la courbe (C), le plan n b b t est le plan rectifiant en M à la courbe (C). La dérivée du vecteur position OM par rapport au paramètre q et dans la base (b) s'écrit : dom dom ds = = e ds t. (4.13) dq ds dq dq En dérivant à nouveau, nous obtenons : d OM det ds d det e s ds d 2 t d d 2 d ( d ) e s t 2 dq q q dq s q dq, (4.14) ou en tenant compte de (4.11) : d OM en ds = d s 2 ( d ) + et 2 dq R q dq. (4.15) De cette relation, il résulte que : 1. Le bipoint d'origine M et d'image 2 d OM est contenu dans le plan 2 dq osculateur à la courbe (C) en M (figure 4.4). 2. Le produit scalaire : e d OM 1 ds ( ) 2 n =, (4.16) 2 dq R dq est toujours positif. Le vecteur 2 d OM 2 dq a donc toujours une composante positive sur le vecteur e n et cette composante définit la concavité de la courbe (C) au point M. Enfin, le point D défini par : MD = R e n (4.17) est appelé centre de courbure de la courbe (C) au point M (figure 4.4).

77 54 Chapitre 4 Rappels sur les courbes plan osculateur D plan normal 2 d OM 2 dq (C) e n e b M e t dom dq FIGURE 4.4. Concavité et courbure. EXERCICE 4.1 Dans le trièdre ( O/ i, j, k ), on définit la courbe (C) comme l'ensemble des points M de coordonnées cartésiennes : 3 3 x = asin q, y = a cos q, z = a cos 2 q, avec a > 0 et 0 < q < π. 2 Déterminer le vecteur directeur unitaire de la tangente, l'abscisse curviligne, le vecteur de la normale principale, le rayon de courbure et la base de Frénet en un point quelconque de la courbe (C). COMMENTAIRES Le présent chapitre introduit les notions de base relatives aux courbes. L'exercice 4.1 illustre de quelle manière ces notions peuvent être utilisées simplement à partir de leurs définitions.

78 CHAPITRE 5 Torseurs 5.1 DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS DES TORSEURS Définitions et notations Un torseur, que nous noterons { T } peut être défini comme l'ensemble de deux champs de vecteurs, définis sur l'espace géométrique ou sur un sous-espace (D) de l'espace géométrique et ayant les propriétés suivantes. 1. Le premier champ de vecteurs fait correspondre à tout point P de l'espace (D) un vecteur R de 3, indépendant du point considéré : P ( D) 3 R. (5.1) Le vecteur R est appelé la résultante du torseur { T }. Nous la noterons soit R, soit R{ T }. 2. Le second champ de vecteurs fait correspondre à tout point P de l'espace (D) un vecteur M P qui dépend du point P : P ( D) 3 M P. (5.2) Le vecteur M P est appelé le vecteur-moment au point P ou moment au point P du torseur { T }. Nous le noterons soit M P, soit MP{ T }. Entre les vecteurs-moments en deux points P et Q de l'espace (D), il existe la relation : MQ{ T } = MP{ T } + R{ T } PQ. (5.3) Cette relation très importante peut être prise comme relation de définition du champ des vecteurs-moments, et par extension comme relation de définition des torseurs : Le torseur { T } est l'ensemble des deux champs de vecteurs : résultante et

79 56 Chapitre 5 Torseurs vecteur-moment définis sur l'espace (D), vérifiant en chaque point P de cet espace la relation (5.3). Les deux vecteurs R et M P sont appelés les éléments de réduction au point P du torseur { T } ou les composantes vectorielles au point P du torseur { T }. Nous les noterons généralement par { R, M P} P. L'importance des éléments de réduction en un point résulte du théorème suivant : Étant donné deux vecteurs R et M P, et un point P, il existe un torseur et un seul ayant R et M P pour éléments de réduction en P. De ce théorème, il résulte qu'un torseur est défini de manière unique si l'on donne ses éléments de réduction en un point. Les six réels X, Y, Z et L P, M P, N P, composantes respectives de R et M P dans une base donnée, s'appellent les composantes en P du torseur { T }. Nous les X, Y, Z, L, M, N. noterons généralement par { } P P P P Propriétés des vecteurs-moments Les deux vecteurs-moments M P au point P et M Q au point Q ont même projection sur la droite PQ : on dit que le champ des vecteurs-moments est équiprojectif. La projection du vecteur-moment M P sur PQ (ou plus généralement sur la direction PQ est donnée par définition par le produit scalaire PQ M P (à un facteur multiplicatif près). Considérant l'expression (5.3), nous pouvons écrire : PQ MQ = PQ M P + PQ ( R PQ). (5.4) Les deux vecteurs PQ et R PQ étant orthogonaux, la relation précédente se réduit à : PQ MQ = PQ M P. (5.5) Cette relation exprime que les vecteurs M P et M Q ont même projection sur la droite PQ Espace vectoriel des torseurs L'ensemble des torseurs définis sur un espace (D) constitue un espace vectoriel Égalité de deux torseurs Deux torseurs sont égaux (on dit parfois équivalents), si et seulement si, il

80 5.1 Définition et propriétés des torseurs 57 existe un point en lequel les éléments de réduction des deux torseurs sont égaux. L'égalité entre deux torseurs : T = T (5.6) { } { } 1 2 est donc équivalente à l'ensemble de deux égalités vectorielles : R{ T1} = R{ T2}, et par exemple MP{ T1} = MP{ T2} Somme de deux torseurs Le torseur somme des torseurs { T 1 } et { 2 }, { } = { T } + { T } (5.7) T que nous noterons : T (5.8) 1 2 a pour éléments de réduction en un point P : R{ T } = R{ T1} + R{ T2}, M T = M T + M { } { } { T } P P 1 P Multiplication par un scalaire Le torseur : { } = λ { T 1 } où λ est un nombre réel, a pour éléments de réduction en un point P : R{ T } = λ R{ T1}, M { T } = λ M { T } Torseur nul P. (5.9) T (5.10) P 1 (5.11) Le torseur nul, que nous noterons { 0 }, est l'élément neutre pour l'addition de deux torseurs. Ses éléments de réduction en tout point sont : R{} 0 = 0, (5.12) MP{} 0 = 0, P ( D) Invariant scalaire d'un torseur L'invariant scalaire d'un torseur est par définition le produit scalaire des éléments de réduction en un point quelconque du torseur considéré. L'invariant scalaire est indépendant du point choisi, ce qui justifie l'intérêt de la définition. En effet, considérons le torseur { }. L'invariant scalaire est par T

81 58 Chapitre 5 Torseurs exemple donné par l'expression : I{ } = R{ } M { } T T T, (5.13) ou en passant par le point P (relation (5.3)): I{ } = R{ } M P{ } + R{ } R{ } PQ soit : I{ } = R{ } M { } Q ( ) T T T T T, L'invariant scalaire est bien indépendant du point. T T T. (5.14) P Produit de deux torseurs On appelle produit de deux torseurs { T 1 } et { } suivante : T le réel défini de la manière { T } { T } = R{ T } M { T } + M { T } R{ T }. (5.15) 2, P 2 P 1 2 Cette définition est indépendante du point P choisi, comme on peut le vérifier facilement à partir de la relation (5.3) Moment d'un torseur par rapport à un axe Considérons le torseur { T } et l'axe ( ) = ( P, u) passant par le point P et de vecteur directeur unitaire u (figure 5.1). Soit Q un point quelconque de l'axe ( ). Nous avons : MQ{ T } = MP{ T } + R{ T } PQ, PQ = αu, α. Il en résulte que : u { } M = u M { } Q T T. (5.16) Le produit scalaire est indépendant du point Q, lorsque Q décrit l'axe ( ). C'est la propriété d'équiprojectivité (paragraphe 5.1.2). P ( ) P u Q FIGURE 5.1 Projection d'un moment sur un axe.

82 5.1 Définition et propriétés des torseurs 59 Le produit scalaire u M P{ T } s'appelle le moment du torseur { T } par rapport à l'axe ( P, u ). Il est indépendant du point choisi sur l'axe. Note. Ne pas confondre : le moment d'un torseur par rapport à un axe qui est un nombre réel ; et le moment d'un torseur en un point qui est un vecteur Axe central d'un torseur Soit un torseur donné de résultante non nulle. L'ensemble des points de l'espace géométrique où le moment du torseur est colinéaire à sa résultante est une droite ayant pour vecteur directeur la résultante du torseur. Cette droite est appelée axe central du torseur. Soit : Axe central du torseur { } = P M { } = αr{ } α T ( T T ). (5.17), P Démontrons ce théorème. Soit donc un torseur donné { T } et nous cherchons l'ensemble ( ) des points P tels que MP{ T } soit colinéaire à R{ T }, ou ce qui est équivalent tels que : R M = 0. (5.18) Soit un point de référence O de l'espace géométrique. L'expression (5.3) s'écrit : MP = M O + R OP. (5.19) La condition (5.18) de colinéarité s'écrit donc : R M + R ( R OP) = 0, (5.20) O ou en tenant compte de la propriété (1.51) du double produit vectoriel : 2 R M + ( R OP) R R OP = 0. (5.21) O De cette expression, nous tirons : R O R OP OP = + M R 2. (5.22) 2 R R Le premier terme est un vecteur indépendant du point P : R O V0 = M. (5.23) 2 R Le second terme dépend du point P, et nous introduisons le réel λ dépendant du point P : R OP λ = (5.24) 2 R P

83 60 Chapitre 5 Torseurs axe central ( P ) 0, R R O P 0 FIGURE 5.2. Axe central. Le vecteur position du point P s'écrit donc : OP = V0 +λ R. (5.25) Ce résultat exprime bien que l'ensemble ( ) des points P est une droite de vecteur directeur R, résultante du torseur considéré. Pour déterminer l'axe central du torseur, il suffit (connaissant un vecteur directeur) de trouver un point particulier de l'axe. Comme point particulier, cherchons le point P 0 tel que le vecteur position OP0 soit orthogonal à l'axe central. Nous avons alors : R OP 0 = 0, (5.26) et l'expression (5.25) s'écrit : R O OP0 = V0 = M. (5.27) 2 R L'axe central est l'axe ( P0, R). 5.2 TORSEURS PARTICULIERS DÉCOMPOSITION D'UN TORSEUR QUELCONQUE Glisseur Définition Un torseur de résultante non nulle est un glisseur, si et seulement si son invariant scalaire est nul. La définition d'un glisseur peut donc se traduire par : { T } I{ } { } { } 0,, est un glisseur T = R P = P T M T (5.28) avec R{ T } 0.

84 5.2 Torseurs particuliers. Décomposition d'un torseur quelconque 61 L'invariant scalaire étant indépendant du point P où il est déterminé, il est équivalent de dire : Un torseur est un glisseur si et seulement si, il existe au moins un point en lequel le moment du torseur est nul Moment en un point d'un glisseur Considérons le glisseur { T }. Il existe au moins un point où le moment du glisseur est nul. Soit A ce point : M { T } 0. (5.29) A = Le moment en un point P quelconque s'écrit : MP{ T } = MA{ T } + R{ T } AP. (5.30) Soit ici : MP{ T } = R{ T } AP. (5.31) Cette relation exprime le vecteur-moment en un point quelconque P d'un glisseur dont le moment est nul au point A Axe d'un glisseur Soit { T } un glisseur et A un point où le moment du torseur est nul. Cherchons l'ensemble des points P en lesquels le moment du torseur est nul. D'après (5.31) l'ensemble de ces points vérifie la relation : R{ T } AP = 0 avec R{ T } 0. (5.32) Cette relation montre que AP est colinéaire à la résultante, donc que le point P appartient à la droite passant par le point A et de vecteur directeur la résultante du glisseur. Cette droite est appelée l'axe de moments nuls du glisseur ou de manière plus abrégée : l'axe du glisseur. Cet axe est l'axe central du glisseur Conclusions 1. Un torseur { T }, de résultante non nulle, est un glisseur si et seulement si son invariant scalaire est nul. 2. Un glisseur est entièrement déterminé par les données : de sa résultante : R{ T }, d'un point A en lequel son moment est nul : MA { T } = Un glisseur possède un axe de moments nuls : l'axe ( A, R{ T }). 4. Si Q est un point quelconque de cet axe, le moment en un point P quelconque s'exprime par : MP{ T } = R{ T } QP. (5.33)

85 62 Chapitre 5 Torseurs Torseur-couple Définition Un torseur non nul est un torseur-couple si et seulement si, sa résultante est nulle. Soit : { } { T } R T = 0, est un torseur-couple (5.34) un point P tel que MP{ T } Propriété du vecteur-moment Il résulte de l'expression (5.3) qu'un torseur-couple est tel que : MP{ } = MQ{ } = M où M est un vecteur indépendant des points P et Q. T T, (5.35) Le vecteur-moment d'un torseur-couple est indépendant du point considéré Décomposition d'un torseur-couple Soit { T c } le torseur couple { } en la somme de deux glisseurs { T 1 } et { T 2 } : { } { T } { T } 0, M. Ce torseur-couple peut être décomposé T c = 1 + 2, (5.36) où les glisseurs sont définis comme suit : R{ T1} + R{ T2} = 0, MP{ T1} + MP{ T2} = M, P étant un point quelconque, I{ T1} = 0, I{ T2} = 0. (5.37) La première relation montre qu'il existe une infinité de couples de glisseurs équivalents à un torseur-couple donné. Les glisseurs constituant l'un de ces couples ont des résultantes opposées. Leurs axes sont donc parallèles. Un de ces couples équivalents peut être obtenu de la manière suivante. 1. Nous choisissons le glisseur { T 1 } en nous donnant : sa résultante R{ T 1} = R1; son axe ( 1 ) déterminé par un point P 1 : ( 1) = ( P1, R1). Il y a donc à ce stade une "double" infinité de choix possibles. Une fois ces choix faits, la décomposition est unique.

86 5.2 Torseurs particuliers. Décomposition d'un torseur quelconque 63 T est alors défini ainsi : 2. Le glisseur { 2 } sa résultante est R{ } = R1 T ; 2 son axe ( 2 ) est déterminé, si nous connaissons un des points de cet axe : P 2 par exemple. Le point P 2 est tel que : M T + M T = M T = M. (5.38) { } { } { } P2 1 P2 2 P2 1 Soit d'après (5.33) : R PP = M. (5.39) Cette relation détermine le point P 2 de manière unique Torseur quelconque Définition Un torseur est quelconque si et seulement si, son invariant scalaire n'est pas nul. { T } est un torseur quelconque I { T } 0. (5.40) Décomposition d'un torseur quelconque Un torseur quelconque peut être décomposé en une somme d'un glisseur et d'un torseur-couple ; ceci d'une infinité de façons. La décomposition d'un torseur { T } quelconque se fait comme suit. 1. On choisit un point P où les éléments de réduction du torseur { T } sont connus, soit : R{ } et M { }. T T (5.41) Il y a une infinité de choix possibles pour le point P. Le choix dépendra de la facilité à exprimer les éléments de réduction du torseur en tel ou tel point. Une fois le choix de P fait, la décomposition du torseur est unique. 2. Le glisseur { T 1 } est tel que : sa résultante est égale à celle du torseur { T } : R{ T1 } = R{ T }, (5.42) son axe passe par le point P choisi. 3. le torseur-couple { T 2 } est tel que : R { T } = M{ T } = M { T } 2 2 P 0,. P

87 64 Chapitre 5 Torseurs Nous obtenons bien ainsi : T. (5.44) { } = { T } + { T } 1 2 À chaque point P choisi est associé un couple : glisseur/torseur-couple, et un seul. Les glisseurs de tous les couples équivalents à un torseur quelconque donné ont même résultante. Ils diffèrent par leurs axes qui ont toutefois la même direction, donnée par la résultante du torseur Conclusions Soit { T } un torseur d'éléments de réduction en P : R{ T } et MP{ T }. 1. Si I{ T } = R{ T } MP{ T } = Si R{ T } 0, le torseur est un glisseur. 1.2 Si R { T } = 0 Si MP{ T } = 0 P, le torseur est le torseur nul. Si MP{ T } 0, le torseur est un torseur-couple, qui peut être décomposé en une somme de deux glisseurs de résultantes opposées. 2. Si I{ T } = R{ T } MP{ T } 0, le torseur est un torseur quelconque. Le torseur peut être décomposé au point P, en un glisseur de résultante R{ T } et d'axe ( P, R{ T }) et en un torseur-couple de vecteur-moment M { T }. P 5.3 TORSEURS ASSOCIÉS À UN CHAMP DE GLISSEURS DÉFINI SUR UN DOMAINE DE L'ESPACE GÉOMÉTRIQUE Par la suite, nous serons amenés à considérer des torseurs associés à des champs de glisseurs définis sur un sous-espace particulier de l'espace géométrique : par exemple, ensemble des points d'un solide, ensemble des points appartenant à plusieurs solides etc. Nous noterons (D) ce sous-espace qui pourra être linéique, surfacique ou volumique. En outre, ce domaine d'étude pourra être soit discret ou dénombrable (s'il est possible de numéroter ses points, c'est-à-dire d'établir une correspondance biunivoque entre les points et la suite des nombres entiers), soit continu dans le cas contraire Torseur associé à un ensemble de points dénombrables Soit un ensemble discret (D) = (M 1, M 2,..., M i,..., M n ) constitué de n points.

88 5.3 Torseurs associés à un champ de glisseurs défini sur un domaine de l'espace géométrique 65 Sur ce domaine (D) nous définissons un champ de glisseurs qui associe à chaque T d'axe passant par le point M i : point M i du domaine (D) un glisseur { } i Le torseur { } i Mi ( D) { T i}. (5.45) T est un glisseur de résultante Ri et d'axe passant par Mi : R{ Ti} = Ri, i = 1, 2,..., n. (5.46) MMi { Ti} = 0, On appelle torseur associé au domaine (D) et au champ de glisseurs { T i } { T D } somme des glisseurs { T }. Soit : défini sur (D), le torseur ( ) Il résulte de cette définition que : la résultante du torseur { T ( D) } est : n { T ( D) } = { T }. (5.47) i= 1 i n n R{ T ( D) } = R{ T } = Ri, (5.48) i i= 1 i= 1 le moment en un point P quelconque de l'espace géométrique du torseur { T ( D) } est donné par l'expression : n n M T ( D) = M T = PM R. (5.49) { } { } P P i i= 1 i= 1 i i i Torseurs associés à un ensemble continu Soit un ensemble continu (D) de l'espace géométrique (figure 5.3). Sur ce domaine (D), nous définissons un champ de glisseurs qui associe à chaque point M du domaine (D) un glisseur, noté { dt ( M )}, d'axe passant par M, défini de la manière suivante : M ( D) { d T ( M )}. (5.50) Le torseur { dt ( M )} est un glisseur de résultante d R( M ) et d'axe passant par M : R{ dt ( M) } = d R( M), (5.51) MM { dt ( M )} = 0. La résultante d R( M ) peut se mettre sous la forme : d R( M) = R( M)d e( M), (5.52)

89 66 Chapitre 5 Torseurs M (D) d e(m) FIGURE 5.3. Domaine continu. où d em ( ) est un élément du domaine (D) entourant le point M : élément de courbe, de surface ou de volume, suivant que le domaine est linéique, surfacique ou volumique. Le vecteur R( M ) est appelé la densité vectorielle du champ de glisseurs. Le torseur associé au champ de glisseurs (5.50) est obtenu par extension à un domaine continu des expressions (5.47) à (5.49). Le torseur associé au domaine (D) et au champ de glisseurs { dt ( M )} défini sur (D) est le torseur { T ( D) } que nous convenons d'écrire : { T ( D) } = { dt ( M) }. (5.53) ( D) Il résulte de cette écriture et par extension de (5.48) et (5.49) que : la résultante du torseur { T ( D) } est : R{ T ( D) } = d R( M) = R( M)d e( M), (5.54) ( D) ( D) le moment en un point P quelconque de l'espace géométrique du torseur { T ( D) } s'exprime suivant : M { T ( D) } = PM d R( M) = PM R( M)d e( M). (5.55) P ( D) ( D) Les intégrales qui interviennent dans les expressions précédentes seront des intégrales curvilignes, de surface ou de volume suivant la nature du domaine (D) : courbe, surface ou volume. Les relations (5.54) et (5.55) sont bien adaptées à une méthode de calcul littéral. Toutefois, il, est toujours possible de ramener le cas d'un domaine continu à celui d'un domaine discret. Pour ce faire, on divise le domaine (D) en n éléments (figure 5.4). L'élément (i) est alors repéré par le point M i "centre" de cet élément. On suppose ensuite que la densité vectorielle R( M ) est constante à l'intérieur de l'élément (i) : R ( M ) = R( M ), M ( i). (5.56) i