Seconde 1 Chapitre 10 : Valeur absolue. page n

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1 Seconde 1 Chapitre 10 : Valeur absolue. page n 1 En français l'adjectif " absolu " s'oppose à l'adjectif " relatif ". En mathématiques, les nombres relatifs sont positifs ou négatifs et une valeur absolue est toujours positive. Nous allons définir dans ce chapitre la notation x qui se lit valeur absolue de x : c'est la distance entre le réel x et zéro. Nous verrons que cela permet de traduire d'une autre façon le fait qu'un réel appartient à un intervalle. La distance entre deux points A et B est la longueur du segment [ AB ] mesurée avec l'unité de l'axe. On la note x x ce qui se lit valeur absolue de la différence x B x A. B A La notation actuelle de la valeur absolue est due en 1841 au mathématicien allemand Karl Weierstrass ( ). La valeur absolue sert par exemple dans les trois cas suivants : Premier cas : à remplacer une double inégalité par une seule : a r x a + r x [ a r ; a + r ] x a r Deuxième cas : à exprimer l'appartenance d'un réel à un intervalle x 7 2 x [ 5 ; 9 ]. Troisième cas : à exprimer des résultats concernant des valeurs approchées : π 22 0,01 équivaut à dire que E1 Distance entre deux points d'une droite graduée. est une valeur approchée de π à 0,01 près. 1 a ) Tracer une droite graduée et placer les points O, I, A, B, C, D et E d'abscisses respectives : 0 ; 1 ; 3 ; 8 ; 11 ; - 4 ; - 6. b ) Déterminer les distances suivantes, en précisant à chaque fois l'opération à effectuer : AB ; CA ; OA ; CI ; DA ; BE ; OE ; ED. c ) Tracer une droite graduée. Marquer un point M de cette droite d'abscisse a, avec a +. Exprimer la distance OM en fonction de a. d ) Tracer une droite graduée. Marquer un point N de cette droite d'abscisse b, avec b -. Exprimer la distance ON en fonction de b. e ) P et Q sont deux points de cette droite d'abscisses respectives p et q. Exprimer la distance PQ en fonction de p et q pour chaque situation. Première situation P Q Deuxième situation Q P

2 Seconde 1 Chapitre 10 : Valeur absolue. page n 2 2 ) Compléter le tableau ci-dessous. Que remarque-t-on concernant la distance entre deux nombres? p q p q q p distance de p et q π - 3,15 1 Valeur absolue et distance entre deux nombres réels. Définition Soit x un réel quelconque. Soit M un point d'abscisse x. La valeur absolue de x est égale à la distance OM c'est à dire la distance du point M au point d'origine O. On note x = OM. Propriété x = x x lorsque lorsque x 0 x 0 Autrement dit si x 0 alors x = x si x 0 alors x = x Exemple : déterminer la valeur absolue de 2, puis celle de 3 puis celle de 5,7. Voir feuille annexe. Remarque Soit x un nombre réel. Alors l'un des deux réels x et -x est positif. On l'appelle la valeur absolue de x et on le note x.

3 Seconde 1 Chapitre 10 : Valeur absolue. page n 3 Définition Soient x et y deux réels. Soit A le point d'abscisse x. Soit B le point d'abscisse y. Alors le nombre x y est appelé la distance entre les nombres x et y. On note d ( x ; y ) = x y = y x. La distance entre deux nombres réels x et y est la différence entre le plus grand et le plus petit. Exemple Déterminer 1 5. Voir feuille annexe. E2 Calculs de valeurs absolues. p 51 n 10 p 51 n 11 p 55 n 77 p 57 n 78 p 57 n Propriétés. Propriété 1 x = 0 si et seulement si x = 0 Démonstration : voir feuille annexe. Propriété 2 x = x Deux nombres opposés ont la même valeur absolue. Démonstration : voir feuille annexe.

4 Seconde 1 Chapitre 10 : Valeur absolue. page n 4 Propriété 3 x = y si et seulement si x = y ou x = - y Application : résoudre l équation x 3 = 5. Voir feuille annexe. E3 Savoir résoudre des équations avec des valeurs absolues. P 57 n 81 a seulement. P 57 n Intervalles et valeur absolue. Les intervalles [ a ; b ], ] a ; b [, [ a ; b [, ] a ; b ] sont des intervalles d extrémités a et b avec toujours a < b. Le centre ou milieu de l intervalle est le nombre Le rayon de l intervalle est égal à b a. 2 La longueur ou l amplitude de l intervalle est b a. a + b. 2 Exemple : déterminer les extrémités, le centre, le rayon et l'amplitude de l'intervalle [ 5 ; 9 ]. Voir annexe. Soit a un nombre réel. Soit r un nombre réel positif. Alors x a r x [ a r ; a + r ] a r x a + r La distance de x à a est inférieure ou égale à r signifie que x appartient à l intervalle [ a r ; a + r ]. E4 Intervalles et valeur absolues. P 57 n Inéquation. Exemples : résoudre dans les inéquations x 7 2 puis x 7 > 2. Voir feuille annexe. E5 Savoir résoudre des inéquations. P 58 n 101. a ) et b ) seulement et n 102.

5 Seconde 1 Chapitre 10 : Valeur absolue. page n 5 5 Etude de la fonction qui à x fait correspondre x. Soit f la fonction donnée par l'expression f ( x ) = x. Alors f est une fonction définie sur. La fonction f est strictement décroissante sur ] ; 0 [. La fonction f est strictement croissante sur [ 0 ; + [. Les valeurs de f ( x ) sont toujours positives. La fonction f est une fonction paire sur. Tableau de variation x 0 + f 0 Représentation graphique : voir feuille annexe. E6 Savoir travailler avec la fonction valeur absolue. Soit f la fonction donnée par l'expression f ( x ) = x. Exemple : si 0 < x < 1 alors 0 < x < 1 car la fonction f est strictement croissante sur [ 0 ; + [. De la même façon, recopier et compléter : a. si 0 > x > 3 alors x car b. si x < 6 alors x car c. si x > 7 alors x car d. si 0 < x < 9 alors x car e. si 8 < x < 5 alors x car f. si 2 x < 4 alors x car Test de compréhension du chapitre Donner une définition de la valeur absolue d'un nombre x. 2. Expliquer la propriété x = y 3. Définir les extrémités, le centre, le rayon et l'amplitude d'un intervalle [ a ; b ]. 4. Compléter et expliquer la propriété : x a r 5. Donner la représentation graphique de f ( x ) = x et rappeler les propriétés de cette fonction.