Induction électromagnétique

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1 Induction électromagnétique 1 égimes quasi-stationnaires 1.1 Approximation des régimes quasi-stationnaires (AQS) Le temps de propagation du signal est négligeable devant la période du signal : << T ou >> d où est la longueur d onde du signal et d la dimension des circuits. Exemple : récepteur radio courant avec antenne bande [88MHz, 108MHz]. - dans l antenne (1 m), le temps de propagation du signal (3 ns) n est pas négligeable devant la période (10 ns correspondant à une fréquence de 100 MHz), on doit utiliser les lois de l électromagnétisme des régimes quelconques qui seront étudiés plus tard. - dans le récepteur, a lieu un changement de fréquence qui permet de l abaisser à 10 MHz (fréquence intermédiaire), puis la démodulation permet de retrouver le signal d origine (maximum 10 khz). Donc, dans les composants électroniques, les temps de propagation (30 ps) sont négligeables devant les périodes des signaux (100 ns et 100µs). On peut utiliser l AQS. 1.2 Equations de Maxwell dans l AQS Liens aux sources du champ Structure du champ L équation de Maxwell-Faraday montre qu un champ magnétique dépendant du temps est toujours associé à un champ électrique. On admet que l équation de Maxwell-Ampère est identique à celle en régime stationnaire, la démonstration sera étudiée ultérieurement dans le cas général. 1.3 Propriétés des champs dans l AQS permet d écrire. L équation de Maxwell-Faraday conservative. montre que le champ électrique n est plus à circulation Cette équation peut s écrire donc, on en déduit donc : Il n est plus possible d étudier séparément les champs électrique et magnétique. Le terme est à circulation conservative. La circulation sur un contour fermé du terme dont n est pas nécessairement nulle. Ce terme traduit en partie le phénomène d induction étudié dans ce chapitre. 2 Le phénomène d induction, expériences qualitatives 2.1 obine mobile dans un champ magnétique permanent Expérience On effectue un déplacement de la bobine plate en direction de l entrefer d un aimant en U ou en direction d un barreau aimanté. On crée donc une variation du flux magnétique à travers la bobine. Observations Les deux bornes de la bobine étant reliées à un oscilloscope, on constate l existence d une tension u(t) à ses bornes alors qu aucun générateur ne figure dans le circuit : u = 0 si la bobine est immobile ; u est positive si la bobine s approche, elle est négative si elle s éloigne ; l amplitude de u augmente avec la vitesse v de la bobine. Interprétation Le circuit se comporte comme un générateur électrocinétique capable de mettre en mouvement les charges mobiles du conducteur. Il est le siège d un phénomène d induction électromagnétique engendré par son déplacement dans un champ magnétique, on parle d induction de Lorentz. Sciences Physiques PT Lycée Follereau M Induction électromagnétique 73

2 Dans le cas du circuit ouvert, u(t) est la fem induite et il ne circule aucun courant. Si le circuit est fermé sur une résistance il circule un courant induit. 2.2 obine fixe dans un champ magnétique variable Expérience On effectue un déplacement de l aimant en maintenant la bobine immobile. Il y a aussi une variation du flux magnétique à travers la bobine. Observations Les deux bornes de la bobine étant toujours reliées à un oscilloscope, on constate l existence d une tension u(t) à ses bornes alors qu aucun générateur ne figure dans le circuit. u = 0 si l aimant est immobile ; u est positive si l aimant s approche, elle est négative si il s éloigne ; l amplitude de u augmente avec la vitesse v de l aimant. Interprétation Le circuit se comporte encore comme un générateur électrocinétique capable de mettre en mouvement les charges mobiles du conducteur ; il voit un champ magnétique dépendant du temps. Il est le siège d un phénomène d induction électromagnétique engendré par les variations temporelles du champ magnétique, on parle d induction de Neumann. Dans le cas du circuit ouvert, u(t) est la fem induite et il ne circule aucun courant. Si le circuit est fermé sur une résistance il circule un courant induit. On peut aussi créer un champ magnétique variable avec une bobine fixe alimentée par un générateur de tension variable. Ce champ induit une tension dans une seconde bobine placée dans son voisinage. 2.3 Les deux aspects de l induction Dans la première expérience, le déplacement du circuit à la vitesse dans le champ permanent entraîne l apparition d une force magnétique : capable de mettre en mouvement les charges de conduction du circuit ; c est l explication de l induction de Lorentz. Dans la deuxième expérience, le circuit fixe voit apparaître un champ magnétique variable créé par l aimant. L équation de Maxwell Faraday nous apprend qu un tel champ magnétique est source d un champ électrique induit capable de mettre en mouvement les charges ; c est l origine de l induction de Neumann. Dans la seconde expérience, un observateur se déplaçant avec l aimant voit la bobine se déplacer dans un champ magnétique permanent. La distinction entre induction de Lorentz et induction de Neumann est en fait lié au choix du référentiel d étude. Ce sont deux aspects d un même phénomène dans deux référentiels distincts. 2.4 Loi de Faraday Historiquement, les expériences décrites conduisent à relier la fem induite et les variations temporelles du flux du champ magnétique à travers le circuit. Après une étude expérimentale exhaustive des phénomènes d'induction, Faraday à énoncé la loi suivante : un circuit fermé traversé par un flux magnétique variable au cours du temps est le siège d'une force électromotrice d'induction : 2.5 Loi de Lenz Expérience : on considère une bobine plate qui oscille dans le champ créé par un aimant. Si le circuit est ouvert ( infinie) l amortissement, dû aux frottements mécaniques, est très faible ; si = 0 alors les oscillations de la bobine s amortissent très vite. Les forces de Laplace liées au courant induit expliquent ce freinage : elles s opposent au mouvement. On peut ainsi trouver le sens du courant induit ; Si on éloigne le pôle nord d'un aimant d une bobine, on constate que le courant induit circule dans un sens tel que la bobine présente, face au pôle nord de l'aimant, une face sud (par laquelle entre le champ). Le champ magnétique créé par la bobine (son champ propre) et de même sens que celui de l'aimant : le courant induit tend à s'opposer à la diminution du flux. Une telle analyse peut être conduite dans tous les cas, le résultat constitue la loi expérimentale de Lenz : Le courant induit (ou la fem induite) s'oppose par ses effets aux causes qui lui ont donné naissance. Sciences Physiques PT Lycée Follereau M Induction électromagnétique 74

3 C'est en fait un cas particulier du principe de modération. Le signe moins dans la loi de Faraday traduit la loi de Lenz. L'application de la loi de Lenz permet de trouver le sens du courant induit et le signe de la fem induite. 3 Circuit fixe dans un champ dépendant du temps 3.1 Loi de Faraday A partir de l équation de Maxwell-Faraday,, on déduit la relation Cette relation montre que lorsqu il existe un champ magnétique variable, le champ électrique n est pas à circulation conservative. On montre qu il s agit de la fem induite e(t). La partie non conservative du champ électrique, ici est appelée champ électromoteur, noté Dans le cas d un circuit fixe dans un champ magnétique variable, En remplaçant par son expression, on calcule 3.2 Cas d un conducteur filiforme Exemples : spire de forme quelconque, bobine, solénoïde ; où représente le flux à travers une spire. Loi d Ohm généralisée : on montre que : Du point de vue électrique, le conducteur est équivalent au schéma ci-contre. Si le conducteur est court-circuité, 3.3 Cas d un conducteur volumique, courants de Foucault Pour calculer les courants induits, appelés dans ce cas courants de Foucault, on utilise l équation de Maxwell-Faraday pour calculer le champ électrique en tout point du conducteur et déduire la densité volumique de courant par la loi d Ohm. Effets de ces courants : conducteur fixe dans champ variable, ces courants dissipent de l énergie par effet Joule, il s agit du chauffage par induction conducteur mobile dans un champ stationnaire, les courants dissipent de l énergie mécanique par effet Joule et freinent le conducteur (freinage des camions ou du TGV). 3.4 Applications Spire soumise à un champ magnétique variable Cylindre conducteur placé dans un champ magnétique dépendant du temps 3.5 Auto induction Champ propre et flux propre Le champ magnétique propre d'un circuit est le champ magnétique dont ce circuit est la source. Le flux propre est le flux du champ propre à travers le circuit lui-même. Le champ magnétique propre se superpose au champ magnétique extérieur si celui-ci existe. Le flux total à travers le circuit est alors la somme du flux propre et du flux extérieur. Inductance propre d'un circuit Le champ magnétique propre est proportionnel à l intensité i(t) dans le circuit, le flux propre est donc luimême proportionnel à i(t), le coefficient de proportionnalité ne dépendant que de la géométrie du circuit. Le flux propre s'écrit : Le coefficient L est l'inductance propre du circuit ; L, toujours positive, s'exprime en henry (H) et ne dépend que de la géométrie du circuit. A i Sciences Physiques PT Lycée Follereau M Induction électromagnétique 75

4 Equations électriques Soit un circuit rigide (C) parcouru par un courant d'intensité i (t) variable dans le temps, son flux propre variant dans le temps, il est le siège d'une fem d'auto-induction. Pour tenir compte du phénomène d auto-induction, il faut ajouter dans le schéma du circuit un générateur fictif de fem, orienté dans le sens conventionnel positif pour l intensité. En l absence de champ magnétique extérieur : En présence d un champ magnétique extérieur : 3.6 Induction mutuelle Inductance mutuelle de deux circuits Un couplage par induction mutuelle existe entre deux circuits lorsque la variation du champ magnétique créé par l un et sensible dans l autre. et On admet le théorème de Neumann Il existe un coefficient d inductance mutuelle M de deux circuits tel que : et M dépend uniquement de la géométrie des circuits. Equations couplées et énergie Le flux total à travers le circuit 1 est la somme de son flux propre et du flux de mutuelle envoyé par le circuit 2. De même pour le circuit 2 : A A i i Energie En utilisant les équations précédentes, on peut établir un bilan énergétique : représente l énergie magnétique des deux systèmes couplés. et sont les énergies emmagasinées dans chacune des bobines, si elle était seule. est l énergie mutuelle. Localisation de l énergie : Dans un solénoïde très long, de longueur l, de section S, portant N spires parcourues par un courant d'intensité i :,, on calcule pour déduire Sciences Physiques PT Lycée Follereau M Induction électromagnétique 76

5 Couplage parfait L énergie magnétique est une grandeur toujours positive. C est le cas à condition que. On définit le coefficient de couplage entre deux circuits par Ce coefficient est compris entre 0 et 1. Si k = 1 alors le couplage des deux enroulements est parfait : toutes les lignes de champ de l un traversent l autre. En pratique le couplage n est pas idéal du fait des pertes magnétiques et 0 < k Application au transformateur parfait ôle du transformateur - Elever et baisser une tension. - Adaptation de la source à l impédance de la charge pour optimiser le transfert de la puissance électrique. - Isolation électrique entre la charge et la source. Description du transformateur Il est constitué d un circuit magnétique fermé sur lequel sont bobinés deux enroulements électriques indépendants : le primaire, relié à la source et le secondaire relié à la charge. Le circuit magnétique est constitué d un matériau ferromagnétique : de minces tôles de fer au silicium (0,05 à 0,5 mm d épaisseur), isolées les unes des autres par un vernis ou par une oxydation superficielle. Elles sont fortement serrées les unes aux autres. Le circuit magnétique, ou noyau, canalise les lignes de champ magnétique : le champ magnétique est nul en dehors noyau. Le flux du champ magnétique à travers une section droite du noyau est conservé. Le primaire et le secondaire sont constitués de fils de cuivre isolés, ces circuits sont noyés dans de la résine et comprimés pour résister aux efforts électromagnétiques. Pour les transformateurs de forte puissance, le circuit électrique est isolé de l extérieur et du circuit magnétique par un diélectrique comme de l huile ce qui permet d évacuer vers l extérieur la chaleur dissipée dans le transformateur. Transformateur idéal On néglige les résistances des deux enroulements. Le couplage entre les deux enroulements est parfait : toutes les lignes de champ magnétique traversent les deux enroulements, on néglige les pertes magnétiques. Dans le modèle idéal, les pertes sont nulles : toute la puissance reçue par le primaire est transférée au secondaire. elations entre tensions et entre courants u 1 u 1 u 2 u 2 La convention d orientation est la suivante : les courants entrent par les bornes homologues et on utilise les conventions réceptrices au primaire et au secondaire. Le primaire comporte N 1 spires, le secondaire N 2. Le rapport entre ces deux nombres est le rapport de transformation noté m : m = N 2 /N 1 Le flux à travers le primaire est : 1 = N 1 ; la fem induite : e 1 = N 1 d / dt = u 1 Le flux à travers le secondaire est : 2 = N 2 ; la fem induite : e 2 = N 2 d / dt = u 2 Sciences Physiques PT Lycée Follereau M Induction électromagnétique 77

6 Soit le rapport des tensions alternatives La conservation de la puissance impose :, soit : Transfert d impédance Vu du primaire (de la source), l ensemble transformateur + charge est équivalent à un dipôle dont l impédance dépend de la charge et de m. 4 Conducteur mobile dans un champ magnétique permanent 4.1 Transformation des champs On considère deux référentiels en translation rectiligne l un par rapport à l autre, la loi de composition des vitesses donne. La force est invariante par changement de référentiel, en particulier pour la force de Lorentz. On déduit alors et 4.2 Expression du champ électromoteur d'induction On considère une distribution de charges et de courant qui crée dans un référentiel () un champ magnétique stationnaire. Dans (),. Dans un référentiel ( ) en translation par rapport à () à la vitesse, On considère un champ électromoteur qui est présent dans ( ) : emarque : dans le cas général, le champ électromoteur d induction, noté, est le champ électrique responsable du déplacement des charges dans un conducteur en déplacement, avec la vitesse, dans un champ magnétique dérivant du potentiel vecteur. Il s exprime par : 4.3 Loi de Faraday La force électromotrice induite est : Prenons l exemple d une spire rectangulaire entrant dans un champ magnétique perpendiculaire à son plan. On retrouve à nouveau la loi de Faraday. La fem induite est algébrisée par le signe de d. Les sens positifs choisis pour le courant et le déplacement donnent le signe de e. Loi dohm généralisée Pour un conducteur A mobile dans un champ, on retrouve la loi d Ohm généralisée comme en 3.2 Du point de vue électrique, le conducteur est équivalent au schéma ci-contre. A i 5 Les convertisseurs électromécaniques 5.1 Modèle de convertisseur Les convertisseurs (ou transducteurs électromécaniques) sont des systèmes qui assurent la conversion d'énergie mécanique en énergie électrique et réciproquement. Les générateurs et moteurs électriques, les haut-parleurs en sont des exemples. On utilise le modèle suivant : une tige MN, de longueur l, de masse m, mobile sans frottement sur deux rails parallèles à Ox, placés dans un champ magnétique uniforme perpendiculaire au plan des rails. Sciences Physiques PT Lycée Follereau M Induction électromagnétique 78

7 5.2 Générateur électrique La tige se déplace à vitesse constante sous l'action d'une force extérieure constante. La résistance du circuit est supposée constante égale à et on néglige le champ propre. La loi de Lenz permet de prévoir le sens du courant induit : la force de Laplace doit s'opposer à. La loi de Pouillet (équation électrique) donne e = v l = i. L'équation mécanique donne : puisque la vitesse est constante. N générateur Si la force extérieure est dirigée selon alors. La force de Laplace est une force de freinage proportionnelle à la vitesse : cette propriété est utilisée dans les freinages électriques des poids lourds. En multipliant par i l'équation électrique et par v l'équation mécanique, on fait apparaître les puissances de la force de Laplace et de la fem induite ; on remarque que leur somme est nulle. 5.3 Moteur électrique Les rails sont maintenant reliés par un générateur extérieur de fem E, la résistance totale est toujours. La loi de Lenz permet de prévoir le sens de la fem induite e, elle doit s'opposer à E La loi de Pouillet donne : E + e = E v l = i M i M C'est la force de Laplace qui met en mouvement la tige MN et v l'équation mécanique donne en projection sur Ox : F la m dv/dt= i l ce qui conduit O à dv/dt + v N= v lim xavec v lim = E/l et O E N x générateur moteur une constante de temps = m / ( l) 2 La vitesse de la tige MN est donc v = v lim [ 1 exp( t/) ] En multipliant par i l'équation électrique et par v l'équation mécanique, on obtient l'équation énergétique qui traduit la conversion de la puissance électrique fourni par le générateur en puissance cinétique et en puissance calorifique perdue par effet Joule. Comme précédemment, la somme des puissances de la force de Laplace et de la fem induite est nulle. endement d'un convertisseur électromécanique Nous venons de voir que la somme des puissances de la force de Laplace et de la fem induite est nulle. On montre que ce résultat est général pour l induction de Lorentz. 5.4 Haut-parleur à bobine mobile Production du son Le haut parleur produit un signal sonore image d un signal électrique. Le son est émis par les vibrations d une membrane conique. On montre que la puissance sonore rayonnée par la membrane est proportionnelle au carré de sa vitesse P = f v 2 L émission de l onde sonore est équivalente à une force de frottement proportionnelle à la vitesse O x v M Schéma de principe Membrane M i(t) u(t) i(t) z z Vue côté membrane Sciences Physiques PT Lycée Follereau M Induction électromagnétique 79

8 L aimant permanent annulaire crée un champ radial constant au niveau de la bobine mobile. La bobine est solidaire de la membrane et comporte N spires de rayon a, longueur du fil : l = 2 π N a. La bobine et les fils d alimentation ont une résistance totale et une inductance L. On note m la masse de l équipage mobile constitué de la bobine + la membrane. Son mouvement est en mouvement de translation parallèlement à Oz. Il est rappelé vers sa position d équilibre par un ressort de raideur k. la cote z = 0 correspond au repos du système. Les frottements mécaniques, proportionnels à la vitesse, sont négligeables par rapport à la force de rayonnement qui produit l onde sonore. Mise en équation (à savoir retrouver) Equation mécanique En plus des forces précédemment décrites, une force de Laplace s exerce sur le système : En projection sur Oz, le théorème de résultante dynamique donne l équation suivante : Equation électrique Champ électromoteur : et fem induite : On retrouve la conservation de la puissance : e i = F L v La loi d Ohm s écrit : Il y a couplage entre les grandeurs électriques et les grandeurs mécaniques. Le système fonctionne en haut-parleur si on impose la tension u(t). Fonctionnement en régime harmonique Les équations en représentation complexe En régime sinusoïdal forcé, on utilise les images complexes U, I et V de u(t), i(t) et de la vitesse v(t) de l équipage mobile. On en déduit les équations suivantes : Impédance motionnelle En éliminant V entre les deux équations, on obtient : avec et ; ; Le couplage revient à ajouter à l impédance de la bobine, une impédance motionnelle Z m, liée au mouvement de la bobine. Z m est équivalente à 1, L 1 et C 1 en parallèle. Aspect énergétique ilan énergétique En multipliant l équation mécanique par v et l équation électrique par i, on obtient l équation suivante qui traduit le bilan énergétique : f v 2 + i 2 est la puissance instantanée dissipée par effet Joule et par rayonnement de l onde sonore. Le deuxième terme est la dérivée par rapport au temps de l énergie électromécanique du système. endement énergétique Sur une période, les énergies cinétiques, potentielles et magnétiques moyennes sont constantes. La puissance moyenne fournie par la source est donc égale à la somme de la puissance moyenne dissipée par effet Joule et de la puissance sonore moyenne rayonnée. En notant m la partie réelle de l impédance motionnelle, on a < P Source > = i 2 m /2 + < P Sonore > = < u i > = ( + m ) i m 2 /2 donc < P Sonore > = m i m 2 /2 < PSonore > m Le rendement énergétique s écrit : = = P > + Source En posant = k m, le rendement se met sous la forme suivante : m ω ω ω ρ (ω) = f ω ω 1 0 En dehors des fréquences proches de la fréquence propre, m << et le rendement est très médiocre. Les enceintes de bonne qualité ont plusieurs haut-parleurs. Sciences Physiques PT Lycée Follereau M Induction électromagnétique 80 m

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