2. Activité en 2 nde : «Résolution d équation du type f(x)=k» a. Énoncé

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1 2. Activité en 2 nde : «Résolution d équation du type f(x)=k» a. Énoncé 45

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3 b. Contexte et tableau récapitulatif Enoncé Résolution d équation du type f(x)=k Niveau concerné Seconde Période de l année Durée et organisation 2 ème trimestre 2h en binôme lors d une séance d Accompagnement Personnalisé en salle informatique Les activités ont été faites en «autonomie accompagnée» (aides éventuelles du professeur sous formes de questions) suivant la vitesse des groupes et le niveau des élèves Logiciels utilisés/ matériels Un grapheur (géogébra et/ou la calculatrice) Un logiciel de calcul formel (Xcas) Prérequis Objectifs généraux Compétences de calculs développées Notions basiques sur les fonctions (images, antécédents, représentation graphique ) Changement de registres dans le cadre fonctionnel (graphique, algébrique ) Techniques usuelles sur le calcul littéral : développer, factoriser, simplifier Une prise en main régulière : o de la calculatrice o d un grapheur o d un logiciel de calcul formel afin de maîtriser les fonctions expand, factor, simplify Développer l autonomie lors de la résolution de problèmes par une utilisation raisonnée du calcul formel. Interaction entre le calcul manuel et instrumenté afin de : Remédier et approfondir dans le calcul littéral o Travail sur l aspect «structural» d une expression algébrique 5 o Travail sur la factorisation et les développements o Travail sur la résolution d équations Développer l utilisation autonome et pertinente des logiciels, de connaitre leurs apports suivant les problèmes, savoir s ils sont nécessaires ou non de développer l intelligence de calcul. 5 «Une expression algébrique est considérée comme un objet dont on peut décrire la forme et avec lequel on va pouvoir faire de nouveaux calculs (réduction, factorisation, développement, substitution dans une autre expression,...) ; on évoque alors le caractère «structural» de l expression» - Extrait du document ressource «Du numérique au littéral au collège» 47

4 c. Objectifs et analyse a priori Extraits des programmes et documents ressources BO de seconde 48

5 Document ressource sur les fonctions pour la classe de seconde 49

6 Objectifs généraux Le but est de travailler sur un des objectifs généraux du programme de seconde concernant le domaine des fonctions. En même temps, on retravaille des compétences calculatoires liées aux expressions algébriques, et on les approfondit. Les élèves ont déjà commencé à travailler sur ce genre de problème lors de précédents problèmes (sur des exemples plus basiques). On reprend ici les démarches déjà vues afin de les consolider avec l utilisation raisonnée des outils numériques. On retravaille également des compétences calculatoires (factoriser, développer ) au niveau «lycée» donc plus techniques. A propos du questionnaire sur «l utilisation raisonnée des outils numériques» : L objectif est de travailler l intelligence de calcul, l utilisation raisonnée et critique des outils TICE. Il faut donc poser des questions relatives à ces propos (cf. Questionnaire). Comme indiqué sur le polycopié, les élèves doivent avoir une réflexion sur l utilisation des outils TICE. Si des élèves utilisent un outil TICE : - Sans se poser des questions sur sa réelle utilité - Alors que cela n était pas nécessaire le professeur pourra refuser à ces élèves de passer à l exercice suivant, les obligeant ainsi à retravailler le problème «à la main» et comprendre pourquoi l outil n était pas nécessaire ou quel était son utilité. Le professeur pourra également effectuer une différenciation suivant le niveau de l élève : Si les calculs sont trop techniques, il pourra autoriser l élève ayant réussi grâce au logiciel à passer à l autre exercice pour poursuivre les résolutions de problème (il travaillera ensuite l aspect technique en remédiation). A propos de la compétence : «Raisonner» «Les compétences évoluées «raisonner, démontrer, élaborer une démarche» ou «développer une démarche connue, mettre en forme un raisonnement» sont des compétences évaluées au baccalauréat dans toutes les séries. Il convient donc d évaluer progressivement dès la classe de seconde les apprentissages sur la logique et le raisonnement». (Extraits du document ressource de seconde «Notation et raisonnement mathématiques»). Ce document ressource suggère comme ceux du collège, dans l esprit d une évaluation formative, de distinguer le fond de la forme, de valoriser les écrit intermédiaires. Aussi, chaque activité est suivie de la phrase : «Tu écriras en détail toutes les étapes de ta démarche, y compris celles qui n ont pas abouties». Le but est d inciter les élèves à écrire toutes les étapes de leur recherche dans l esprit d une narration de recherche orientée sur l utilisation raisonnée des outils numériques. 50

7 Analyse détaillée de l activité - Interactions et complémentarité entre calcul manuel et instrumenté Blocages éventuels et aides possibles Objectifs visés à propos des outils numériques : Utilité du grapheur pour établir des conjectures, vérifier ses résultats, passer rapidement du registre graphique au registre algébrique dans le cadre fonctionnel. Calcul formel : Aide pour les factorisations o Trop techniques o Impossible à faire en seconde Le professeur pourra guider les élèves dans leur réflexion par des questions ouvertes. Il pourra imposer un retour à un calcul à la main après que les élèves ont intuité la réponse avec Xcas : il y a un «aller-retour» raisonné entre le logiciel et le calcul «à la main». Attitude réfléchie, critique face aux résultats obtenus avec le logiciel Xcas, ou le grapheur. Activité 1 : Question 1 : Passer du registre graphique au registre numérique. Travail sur le calcul numérique, avec réinvestissement des propriétés sur les racines carrées vues au collège. La simplification demande des connaissances similaires aux réductions d expressions algébriques. Utilisation éventuelle du logiciel Xcas comme outil de vérification. Utilisation du grapheur comme outil de vérification ou permettant d établir des conjectures : aspect critique du grapheur qui ne donne que des valeurs approchées. Question 2 : Passer du registre graphique au registre algébrique (résolution d équations). Travail sur des factorisations, équations-produits. Utilisation éventuelle de Xcas (non nécessaire) comme : o outil de vérification o comme aide technique pour la factorisation En théorie, les élèves doivent savoir factoriser ce genre d expressions au lycée, mais le professeur pourra dispenser les élèves en difficulté dans un premier temps du calcul technique afin qu ils se concentrent sur le passage d un registre à l autre, la résolution d équations Utilisation du grapheur comme outil de vérification : aspect critique du grapheur qui ne donne que des valeurs approchées. 51

8 Remarque : si les élèves utilisent la fonction «résoudre» de Xcas : c est déjà bien qu ils y pensent! Mais le professeur exigera alors de trouver la solution sans cette fonction de Xcas. Xcas donne le résultat suivant en factorisant f(x) : On demandera aux élèves qui sont arrivés à : (5x-7)(3x-3) de justifier que les deux expressions sont bien «équivalentes» à l aide de règles sur le calcul littéral. On développe l attitude réfléchie, raisonnée devant l information donnée par le logiciel de calcul formel. La justification va pousser les élèves à retravailler les compétences calculatoires de base. Activité 2 : Comprendre que la recherche d antécédents revient à résoudre une équation. Utilisation (indispensable ici) du logiciel Xcas pour résoudre le problème car la factorisation n est pas du niveau des élèves de seconde. Choix de la forme la mieux adaptée pour résoudre l équation : Factorisée? Développée?? On travaille ainsi l intelligence de calcul de nouveau puisque le choix de la bonne forme est laissé à la charge de l élève. Résolution d équations-produits à 3 facteurs. Utilisation du grapheur comme outil de vérification ou permettant d établir des conjectures : aspect critique du grapheur qui ne donne que des valeurs approchées. Le professeur veillera à bien voir si les élèves ont cerné la différence d utilisation du logiciel Xcas entre cette activité et la précédente (cf. Question c. du questionnaire). 52

9 Activité 3 : La consigne est directement formulée à présent sous «l aspect équation». L objectif est de travailler davantage sur l aspect factorisation avec des expressions techniques du niveau seconde. Le lien avec le graphique est toujours demandé afin de donner toujours du sens à la notion de fonction (conversion entre les registres). La factorisation demande des connaissances sur les identités remarquables. Pour un élève en difficulté, on exigera qu il fasse également à la main la factorisation. Cependant, le logiciel Xcas pourra l aider sur la forme finale voulue. Le professeur pourra proposer des aides sous forme de questions : Quelles sont les différentes méthodes pour factoriser une expression? Quelles sont les conditions pour pouvoir factoriser? En regardant le résultat affiché par Xcas, quelle semble être le facteur commun? Comme le faire apparaître? Le logiciel Xcas peut donc ici aider l élève sur la recherche du facteur commun. L idée est de proposer des exercices de ce genre fréquemment (spiralée) afin que les élèves se posent eux-mêmes ce genre de question (vers l autonomie). Là encore, on demandera aux élèves qui sont arrivés à : (2x-4)(x+4) de justifier que les deux expressions sont bien égales à l aide des règles sur le calcul littéral. Activité 4 : La consigne est directement formulée à présent sous «l aspect équation». Ici, les élèves doivent penser «à se ramener à 0» (cf. Indication). L objectif est de travailler davantage sur l aspect factorisation avec des expressions du niveau seconde. Le lien avec le graphique est toujours demandé afin de donner toujours du sens à la notion de fonction (conversion entre les registres). La factorisation demande ici des connaissances sur les identités remarquables, les racines carrées. Pour un élève en difficulté, on pourra accentuer ici sur l interprétation graphique, sur les conversions entre les registres (graphiques, algébriques ). Là encore, le logiciel Xcas pourra aider les élèves lors du traitement de la factorisation : La forme finale annoncée par Xcas peut permettre à l élève ayant déjà factorisé par x de penser ensuite aux identités remarquables et aux racines carrées. Le professeur pourra proposer des aides sous forme de questions : Quelles sont les différentes méthodes pour factoriser une expression? Quelles sont les conditions pour pouvoir factoriser? En regardant le résultat affiché par Xcas, quelle semble être le facteur commun? Comme le faire apparaître? 53