Pour débuter avec les pourcentages feuille n 1. AP2 : 1.2 La bonne référence 2) : Variations successives AP3 : 3) Variation d un pourcentage

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Odette Morency
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1 POURCENTAGES Activités : Pour débuter avec les pourcentages feuille n 1 Ap1 : 1) Coefficient multiplicateur AP2 : 1.2 La bonne référence 2) : Variations successives AP3 : 3) Variation d un pourcentage Tableur A - DEFINITION Soit t et x deux nombres réels positifs, on dit que y vaut t% de x si : Exemple 1 : La classe de 1 ère L, compte 35 élèves. On sait que 20% sont demi-pensionnaires. Pour calculer le nombre exact, on fait : Remarque : Prendre t% d un nombre x, c est multiplier ce nombre par. Par exemple, prendre 15% d un nombre x revient à le multiplier par 0,15 Exemple 2 : Un club de foot organise un test d où il sélectionnera 35% de chaque catégorie pour effectuer un stage. Calculer le nombre d athlètes sélectionnés pour chaque catégorie. Catégorie Poussin Benjamin Minime Cadet Junior Senior Nombre Sélectionnés B - Variation en pourcentage 1) Calcul d une variation : On considère une grandeur variable positive x mesurée à deux dates distinctes : Date t t o t 1 Valeur de x x o x 1 Définition : Le pourcentage d évolution de x de t o à t 1 se calcule ainsi : Exemple 3 : Au cours d un mois, le prix du baril de pétrole est passé de 68 $ à 72 $. En pourcentage, son augmentation est de.le prix du baril a augmenté d environ 5,88 %. 1

2 Remarque : Le pourcentage d évolution peut être négatif,a mais il est toujours supérieur à 100% Un pourcentage positif indique une augmentation, alors qu un pourcentage négatif caractérise une diminution. 2) Expression d une variation en pourcentage : Augmenter un nombre de t% revient à le multiplier par ( 1 + diminuer un nombre de t% revient à le multiplier par ( 1 - ). ). De même, Le nombre ( 1 + ) est appelé coefficient multiplicateur. On note : CM = 1 + Exemple 4 : Un ordinateur coûtait Lina obtient une réduction de 15%. Elle va payer : 1300 ( 1 ) = ,85 = Exemple 5 : Le baril de pétrole brut coûtait 62 $.Il a augmenté de 5 %. Il coûte désormais : 62 ( 1 + ) = 62 1,05 = 65,1 $ le baril. Exemple 6 : Sur mon livret d épargne, je possède 533,50. Il y a un an j avais 540, et je n ai fait ni versement, ni retrait. Le coefficient d augmentation est de Donc le taux d intérêts de mon livret est de 1,025 1 = 0,025 = 2,5 % par an. 3- Plusieurs pourcentages 3.1 Pourcentage de pourcentage : Prendre t 1 % de t 2 % d un nombre A c est effectuer le calcul suivant : A Exemple7 : Dans une classe de 32 élèves, 75% des élèves étudient l anglais en LV1, et parmi eux, 37,5% étudient l italien en LV2. Le nombre d élèves de la classe étudiant l anglais en LV1 et l italien en LV2 est : 32 = 0,75 0, = 9 élèves. 3.2 Successions d augmentations et réductions : Augmenter un nombre de x % puis de y % revient à le multiplier par : ( ) ( ) ( à adapter pour les diminutions ou les combinaisons d augmentation et de diminutions). Exemple 8 : Un article coûtait 240. Il subit une augmentation de 10%, puis il est soldé à -40%. Son prix soldé est : 240 ( ) ( ) =240 1,10 0,60 = 158,40. Exemple 9 : Un article coûtait 80, il augmente de 10%, puis il baisse de 10%.Son nouveau prix n est pas 80 mais : 80 1,10 0,90 = 79,20 2

3 Attention aux idées reçues:.une hausse de x% suivie d une hausse de y % ne conduit pas à une hausse de ( x+y)%..une baisse de x% suivie d une baisse de y% ne conduit pas à une baisse de (x+y)%..une hausse de x% ne compense pas une baisse de y%.une baisse de x% ne compense pas une hausse de y% Cela conduit toujours à une baisse! Pour déterminer le pourcentage suite à plusieurs hausses successives, plusieurs baisses successives ou des «allers-retours» il est judicieux d utiliser les coefficients multiplicateurs et des diagrammes comme ci-dessous : Exemple 10 : De janvier 2004 à juillet 2004, le prix d un produit à augmenté de 25%. De juillet 2004 à décembre 2004, il à augmenté à nouveau de 35%. De combien a-t-il augmenté sur l ensemble de l année? Exemple de diagramme Explication : De janvier à juillet le prix augmente de 25% il es donc multiplié par 1,25. De juillet à décembre le prix augmente de 35% il est donc multiplié par 1,35. Le prix est donc multiplié par 1,6875 sur l année 2004 car 1,25 1,35=1,6875 Or une multiplication par 1,6875 correspond à une hausse de 68,75%. 3

4 3.3 Pourcentage d évolution : Si une quantité Q varie pendant des périodes successives et que les coefficients multiplicateurs correspondant aux évolutions au cours de chacune de ces périodes sont C 1 ; C 2 ;C 3 ; ;C n. alors le coefficient multiplicateur global CM global correspondant à l évolution entre le début de la première période et la fin de la dérnière péride est : Exemple 1: CM global = C 1 C 2 C 3 C n Le bilan des ateliers d intégration locale ( Nantes- Cité des congrés- 2 décembre 1999) de l agence pour le dévellopement des relations Interculturelles ( ADRI) apparaît le tableau «Fréquentation des ateliers de l intégration locale par profil». Voici un extrait des deux premières lignes. NANTES 99 NB TOULOUSE 1998 NB STRASBOURG 1996 NB 99/96 Agent de collectivité, mairie % Acteur de terrain % 4

5 Exemple 2 : 5

6 Exercice : 4- Variation d un pourcentage Un pourcentage est l expression d un quotient de dénominateur 100. Il sert à comparer facilement des rapports de grandeurs. On l obtient généralement par le calcul d un rapport, y 0. La variation du pourcentage peut donc être liée à une variation de x, ou à une variation de y. Exemple 11 : Dans un ménage, le loyer est de 750 pour des revenus de Le loyer représente donc représente 30% des revenus. Cette variation est peut être dûe à : = 0.25 = 25 % des revenus. U n an plus tard, le loyer une augmentation du loyer : = 0.3 donc x = 900 une baisse des revenus : = 0,30 donc y = = 2500 On peut donc imaginer un mélange des deux. 5- Addition et comparaison de pourcentages : 5.1 Addition de pourcentages : L addition de deux pourcentages n a de sens que lorsque ces pourcentages représentent deux parties sans élément commun d un même ensemble. Exemple 12 : Dans une classe, 85% des élèves ont un ordinateur et parmi eux, 15% ont une connexion internet bas débit, et 65% ont une connexion internet haut débit. Si on considère comme ensemble de référence, les élèves qui ont un 6

7 ordinateur, on peut dire que 65% + 15% = 80% des élèves ayant un ordinateur ont accès à internet. Exemple 13 : Au dernier contrôle de maths, 20% des élèves ont eu plus de 16/20, et 50% ont eu plus de 12/20. La somme de ces pourcentages n a aucun sens car l ensemble des élèves ayant eu plus de 16 est contenu dans l ensemble des élèves ayant eu plus de Comparaison de pourcentages : Lorsque deux pourcentages portent sur des ensembles distincts, l ordre des pourcentages, n est pas obligatoirement le même que celui des données absolues. Exemple 14: Le loyer d une famille A aux revenus mensuels de 3000 est de 750. Le loyer d une famille B aux revenus mensuels de 2100 est de 630. Famille Loyer en Loyer en % des revenus A 750 = 25 % B 630 = 30 % En données absolues, c est la famille A qui paye un loyer plus important, mais en pourcentage des revenus, c est la famille B qui paye le plus. C Approximation linéaire de faibles pourcentages : Exemple : En France, dans les années 90, l augmentation des prix d une année sur l autre était très faible. Les taux d inflation annuels sont donnés dans le tableau ci-dessous, ainsi que les coefficients multiplicateurs annuels des prix correspondants. Ainsi, le coefficient multiplicateur global pour les qutres dernières années est : CM ( ) = 1,018 1,005 1,002 1,016 1,0415 correspondant à une augmentation de 4,15% Or, en ajoutant les taux d inflation, on obtient 1,8% + 0,5% +0,2% + 1,6% = 4,1%. L erreur commise est peu importante, car les taux sont proches de 0. 7

8 En effet ( 1 + 0,018) (1 +0,005) = 1 + 0,018 +0, ,018 0,005 = 1 + 0, ,00009 Le produit des taux 0,00009 est très proche de 0 et donc négligeable devant 0,023 Théorème : Dans le cas des faibles pourcentages, on peut approcher le pourcentage global d évolution par la somme des pourcentages. On dit que l on effectue une approximation linéaire des pourcentages Conclusion : (1 + t 1) (1 + t 2) 1 + t 1 + t 2 Si le nombre t est petit, deux augmentations successives de t% correspondent environ à une augmentation de 2t%. Si les nombres t 1 et t 2 sont petits, une augmentation de t 1% suivie d une augmentation de t 2% équivaut environ à une augmentation de ( t 1 + t 2)%. Ces propriétés s appliquent également à des diminutions. Exercice d application : Evolution de l indice des prix dans la grande distribution sur l année 2005, en % Mois Jan Fev Mars Avr Mai Juin Juillet Août Sept Oct Nov Déc % a) Calculer la variation globale des prix sur l année 2005, en %, en utilisant le coefficient multiplicateur global puis en utilisant l approximation linéaire. Une baisse des prix de 0.1% correspond à : CM 1 = b) En juillet 2006, les prix augmentent de 0.3%. En supposant que ce taux mensuel est resté le même tous les mois de l année 2006, calculer le taux annuel global d inflation suivant les deux méthodes. 8

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