Exercices. 1. Hélice à pas variable ( ) ( ) ( )

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1 Eercices Hélice à pas variable De nos jours, les bateau ont besoin de rendements plus importants mais au coût le plus réduit Les hélices à pas variables permettent une grande maniabilité du bateau Le principe consiste à faire varier l orientation de la pale de l hélice pour changer le pas et donc changer l action de l hélice sur l eau (en norme et en sens) Le schéma ci-dessous représente le sstème de pilotage en rotation autour de son ae de l hélice et en orientation de la pale Le moteur et réducteur fait tourner l hélice par l intermédiaire de l arbre porte-hélice Le vérin hdraulique provoque la translation de cet arbre et de la coulisse qui oriente les pales Les trois ou quatre pales (selon le modèle) ont la même orientation Modèle Modèle n note : = m z et G = g z m est la masse de la pale du modèle m est la masse de la pale du modèle a = 8 mm ; m = mm ; b = 438 mm c = 6 mm ; R = 6 mm ; d = 78 mm I est le moment d inertie du moeu d hélice sur l ae (, ) n suppose que α est variable et β fie Modèle Paramètrage : n définit 3 repères : R,,, z lié au bateau que l on ( ) supposera en mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport à un repère galiléen R,,, z lié à l hélice en mouvement de ( ) rotation d ae (, ) par rapport au bateau tel que : (, ) = α R,,, z lié à une pale en mouvement de ( ) rotation d ae (, z ) ou (, z ) par rapport à l hélice tel que : (, ) = β Déterminer dans la base B la matrice d inertie au point G puis au point de la pale avec le modèle F E n notera pour la suite du problème : [ I ( ) G pale ] = F B D E D B Déterminer la résultante cinétique de la pale P par rapport au bateau 3 Déterminer le moment cinétique au point G de la pale P par rapport au bateau 4 Déterminer la résultante dnamique de la pale P par rapport au bateau 5 Déterminer le moment dnamique au point G puis au point de la pale P par rapport au bateau 6 Déterminer le moment dnamique au point sur l ae (, ) de l ensemble E formé par les 3 pales et le moeu d hélice par rapport au bateau n propose modélisations pour la pale : une plaque rectangulaire d épaisseur négligeable une plaque formée d un trapèze et d un demidisque d épaisseur négligeable Modèle inétique-dnamique-puissance Page 9 inétique-dnamique-puissance Page

2 n se propose d étudier une éolienne dont le schéma est donné sur le document joint Une schématisation simplifiée d une éolienne peut être donnée par l ensemble constitué : d un bâti ; d un solide (bloc oscillant) en liaison pivot d ae (, z ) avec le bâti ; d un solide (hélice et rotor de génératrice) en liaison pivot d ae (, ) avec le solide Eolienne génératrice sur l hélice : { } vent sur le solide : { } IG = G F sinα I = V Paramétrage : chaque solide i est associé un repère de base orthonormée directe ( i, i, zi ) avec : z = z et (, ) = (, ) = α = et (, ) = ( z, z ) = β Solide : homogène de masse m, de centre d inertie et admettant le plan (,, z ) comme plan de smétrie matérielle pérateur d inertie en : F E [ I () ] = F B D E D (,, z ) Sur le solide, on repère le point tel que = h + z Solide : homogène de masse m, de centre d inertie G tel que G = L e solide est constitué (voir figure) : d un clindre plein d ae (, ' ' ) de masse m, de centre G ( GG = µ ), de hauteur H et de raon R d une plaque rectangulaire de masse m, de centre d inertie G ( GG = λ ), de côté a suivant ( G, ), de côté b suivant ( G,z ) et d épaisseur négligeable ' n a : µ >, λ > et m = m + m Hpothèses : le bâti est galiléen ; les liaisons sont supposées parfaites ; les poids sont négligés ctions sur le mécanisme autres que les actions de liaison es actions sont supposées connues : X e + Ye + Ze z vent sur l hélice :{ IV } = Le + M e + Ne z G Etude cinétique : Simplifier l opérateur d inertie [ I ] Déterminer : La relation entre µ et λ ; L opérateur d inertie en dimensions H et R L opérateur d inertie en des dimensions a et b L opérateur d inertie en l opérateur [ ()] G (), connaissant le plan de smétrie G du solide dans la base (, z ) ', G du solide dans la base (, z ), G du solide dans la base (, z ) I dans la suite du problème, : [ ' (')] I en fonction de la masse G : [ ()] G : [ I ()] G I en fonction de la masse ' m et des m et n notera, B, les termes de 3 Déterminer le moment cinétique σ (/ ) au point du solide dans son mouvement par rapport au bâti 4 Déterminer le moment dnamique δ ( / ) z au point du solide dans son mouvement par rapport au bâti en projection sur z 5 Déterminer le moment cinétique σ G (/) au point G du solide dans son mouvement par rapport au bâti 6 Déterminer le moment dnamique δ ( / ) au point G du solide dans son mouvement par rapport au bâti en projection sur G 7 Déterminer le moment dnamique δ ( / ) z au point du solide dans son mouvement par rapport au bâti en projection sur z Etude dnamique : 8 En utilisant le principe fondamental de la dnamique, déterminer les équations définissant les lois de mouvement n ne déterminera pas ces lois inétique-dnamique-puissance Page inétique-dnamique-puissance Page

3 3 Etude d un embraage centrifuge Les embraage centrifuges peuvent être constitués de trois masses en mouvement de rotation par rapport à l'ae : Présentation: La chaîne de puissance d un véhicule comprend différents éléments: Embraage Boîte de Différentiel Roues vitesses le moteur: actionneur de la chaîne l embraage: il permet de désolidariser les roues du moteur Le moteur peut tourner tout en aant le véhicule arrêté L embraage peut être commandé manuellement (pédale du conducteur) ou automatiquement la boîte de vitesses: elle permet de faire varier la réduction de vitesse Elle est constituée en règle générale de plusieurs engrenages le différentiel permet d obtenir des vitesses de rotation des roues (D ou G) différentes lorsque le véhicule tourne Etude d un embraage centrifuge La plupart des embraages utilisés actuellement sont des embraages plans commandés par la pédale d embraage elui qui est étudié ici est un embraage clindrique et centrifuge e tpe de modèle équipe certains scooters, débroussailleuse, (ou aussi les premières V) Il est constitué : d un arbre moteur ( et 6), de masselottes 4 reliées par des ressorts 5 d un arbre de sortie en forme de cloche 3 l arrêt, les ressorts maintiennent les masselottes vers l intérieur et il n a pas de contact entre les arbres Lorsque la vitesse d entrée augmente, les efforts d inertie écartent les masselottes qui viennent en contact avec 3 qui est donc entraîné en rotation loche 3 Masselotte 4 Ressort 5 e 6 loche 3 Masse 4 e 6 Ressort 5 Vue éclatée de l embraage centrifuge utre modèle avec 3 masselottes en rotation La schématisation de la masselotte est donnée R e = 94 mm; R i = 36 mm; α = 6 et l épaisseur e = 36 mm Les contacts sont supposés sans frottement sauf entre 3 et 4 oefficient de frottement entre 4 et 3: f =,35 Entre 3 et 4, on suppose que la pression de contact est uniforme Masse volumique de la masselotte ρ = 78 kg / m 3 Les mouvements des masselottes par rapport à 6 sont suffisamment faibles pour supposer que l action du ressort sur les masselottes est constante ette action est modélisée par un glisseur au point d ancrage du ressort de direction 4 et de norme F = dan Le couple moteur est noté La liaison entre 6 et 4 peut être schématisée par une glissière de direction 4 n note ω = ω4/ = ω6/, la vitesse de rotation des solides 4, et 6 inétique Déterminer la position du centre d inertie (position R G sur 4 ) et la masse m d une masselotte 4 Déterminer la forme de la matrice d inertie d une masselotte dans la base B 4, z alculer le moment d inertie par rapport à l ae ( ) pplications numériques 4 Dnamique n se place dans le cas où la masselotte n est pas en contact avec la cloche 3 alculer V ( G,4/ ) et Γ ( G,4/ ) Déterminer à partir de quelle vitesse de rotation ω, il va avoir décollement de la masselotte de l'ae pplications numériques min 3 Dnamique n se place maintenant dans le cas où ω > ω Il a donc contact entre 4 et 3 n supposera que ce contact se fait avec min glissement ou à la limite du glissement En isolant la masselotte 4, déterminer la pression de contact P (uniforme) entre 3 et 4 en fonction de m, ω /, R G, Re, α, e et F n supposera ω = te En déduire le couple mai transmissible par l embraage T en fonction de m, ω, R G, Re, f et F pplications numériques inétique-dnamique-puissance Page 3 inétique-dnamique-puissance Page 4

4 Schématisation de la masselotte 4 Ejecteur 4 5 B z 3 B z Données : solide : Z : nombre de dents I : moment d inertie par rapport à l ae (, z ) solide : poulie motrice Z : nombre de dents du pignon I : moment d inertie par rapport à l ae ( B, z ) d : diamètre de la poulie solide 3 : poulie folle Z 3 = Z : nombre de dents du pignon I 3 : moment d inertie par rapport à l ae (, z ) d 3 = d : diamètre de la poulie courroie : masse et inertie négligées solide 4 : m 4 : masse solide 5 : m 5 : masse Notation : n note ω i/, la vitesse de rotation du solide i par rapport à son ae de rotation n note V i/, la vitesse des solides 4 et 5 par rapport à Hpothèses : Les solides, et 3 ont leurs centres d inertie sur leurs aes de rotation Toutes les liaisons sont parfaites sauf le contact entre le solide 5 et le sol dont le modèle est un frottement de oulomb avec un coefficient de frottement noté f ctions etérieures : : couple appliqué du moteur sur porté par l ae (, z ) g = g Questions : Par le théorème de l énergie-puissance, déterminer une relation entre, ω / et ses dérivées et les grandeurs constantes : Z, Z, I, I, I 3, m 4, m 5, f et g Dans la phase de décélération on souhaite que le contact entre le pousseur 4 et le solide 5 soit maintenu Déterminer les conditions à respecter alors 3 Retrouver à l aide du principe fondamental de la dnamique la relation déterminée à la question inétique-dnamique-puissance Page 5 inétique-dnamique-puissance Page 6

5 5 Effet groscopique Soit un repère galiléen lié au bâti du groscope Définition des repères et solides: Solide Repère associé aractéristiques R,,, z g = gz R,,, z ψ = (, ) Le moteur M entraîne R,,, z θ = (, ) Ω = ɺ ϕ Le moteur M entraîne S bâti ( ) adre ( ) adre ( ) Rotor S Matrice d inertie, au point, de l ensemble constitué de S et de M (rotor du moteur eclu) : F [ I ( ) ] F B (, z ), S / R Matrice d inertie, au point, de S (rotor du moteur compris) : Le centre d inertie de cet ensemble est en = [ I ( )] S = Un solide S 3 assimilable à un point matériel de masse m est placé au point M, tel que M = d (,, ) Questions: Que se passe t-il au repos? n souhaite déterminer la rotation de par rapport à :ψɺ à imposer pour que le solide S reste dans un plan vertical (θ = ) n pose: θ ( t = ) = et ɺ θ ( t = ) = rd s te La rotation de S par rapport à est fiée: ϕɺ = Déterminer les moments cinétiques au point de S, de M, de S et de S 3 par rapport au bâti : σ ( / ), σ ( S / ) et σ ( 3/ ) Déterminer les moments dnamiques au point de S, de M, de S et de S 3 par rapport au bâti en projection sur l ae : δ ( / ), δ ( S / ) et δ ( 3 / ) Isoler l ensemble Σ formé de S, de M, de S et de S 3 Ecrire l équation de moments dnamiques sur l ae Déterminer ψɺ en fonction des paramètres du sstème pour avoir : θ ( t ) = et ɺ θ ( t) = rd s Donner la valeur numérique de ψɺ pour les valeurs suivantes : m = 35g, d = 5cm, ϕɺ = 45 tr/min, =, -3 kgm² Groscope de la station spatiale internationale Utilisation des groscopes pour les sstèmes de navigation inétique-dnamique-puissance Page 7 inétique-dnamique-puissance Page 8

6 6 Projet Interfas : calage en position pour l'impression en plusieurs couleurs (Ecole de l'ir PSI 4) Présentation : Pour obtenir une impression graphique en plusieurs couleurs, il faut faire passer une feuille à imprimer entre différents rouleau d impression (des couleurs primaires par eemple) Pour la qualité de l impression il est nécessaire de positionner angulairement plusieurs rouleau d impression les uns par rapport au autres La solution proposée utilise la propriété "différentiel" d une poulie Rede pour réaliser cette fonction L annee représente le poste d impression elui-ci est constitué de deu groupes d impression entraînés à l aide d une courroie crantée par un moteur principal non représenté haque groupe (ou rouleau) d impression imprime entre autre une croi de positionnement Un capteur optique (non représenté) permet de détecter les écarts de position entre les différentes croi es mesures viennent alors alimenter le moteur de calage qui fait varier légèrement la position du rouleau par rapport au rouleau B eci de manière à faire coïncider les croi de positionnement L annee représente la poulie Rede seule L annee 3 représente le schéma d implantation de l ensemble L annee 4 donne le schéma cinématique Les pièces 3, 4, 4, 5 et 6 composent les différents solides de la poulie Rede Sur ce schéma, la partie «principal» est en fait composé d un moteur et d un ensemble poulie-courroie non représenté L annee 5 fournit toutes les données nécessaires au problème L annee 6 donne la schématisation d un groupe d impression 6 Pendant la phase d accélération le moteur de calage sert de moteur frein n a alors ω 8 / = rd s En utilisant le théorème de l énergie cinétique appliqué à l ensemble des solides en mouvement Σ, déterminer la valeur numérique du temps nécessaire pour passer de l état immobile à la vitesse de fonctionnement pour laquelle on a ω = rd s / Pendant cette phase, on suppose que le moteur principal eerce un couple constant noté : dem = 3 mn (couple de démarrage) Le résultat sera eprimé en fonction en autre des couples, et B 7 n se place maintenant en régime établi avec ω / = te et ω 8 / = rd s Déterminer alors la valeur de éta (couple en régime établi) 8 Déterminer pour la même phase la valeur du couple 8 pour conserver ω = rd s nnee : fonctionnement général 8 / I DIMENSINNEMENT INEMTIQUE : Déterminer à l aide du schéma cinématique la relation entre ω 3 /, ω5/, ω6/ Déterminer l epression de ω 5/ en fonction de ω /, ω 8/ et des caractéristiques géométriques Z 3, Z 4, Z 4, Z 5, r, r 3, r 6 et r 8 3 Mettre cette relation sous la forme du schéma bloc suivant : Fonctionnement normal orrection des écarts de position ω / ω 3/ nnee : poulie Rede seule ω 8/ ω 6/ + 4 Lorsque le calage est correct on a ω 8 / = rd s Déterminer le rapport r r3, pour avoir dans ce cas ω 5 / = ω/ En déduire la valeur numérique du raon à choisir pour la poulie 5 Simplifier alors le schéma bloc de la question 3 dans la cas général ( ω8/ rd s ) + ω 5/ La poulie Rede possède 3 jeu de satellites Pour notre étude et le schéma cinématique de l annee suivante, on se limitera à un seul jeu II DIMENSINNEMENT DYNMIQUE DES MTEURS : n conservera pour cette partie les valeurs obtenues au questions 4 et 5 de la partie précédente L annee 6 donne la représentation simplifiée d un rouleau d impression Déterminer l epression du moment d inertie noté I (I = I 5 = I) autour de l ae de révolution en fonction de m, R et r Faire l application numérique Déterminer l epression de l énergie cinétique des solides suivants :, 3, 5, 6 et 8 3 Déterminer l epression de l énergie cinétique du solide 4 4 n note Σ l ensemble des solides, 3, 4, 5, 6 et 8 Déterminer l epression de l énergie cinétique de Σ par rapport au référentiel fie T (Σ/) et la mettre sous la forme : T( Σ / ) = I éq ω/ + I8éq ω8/ + I 8éq ω/ ω8/ 5 Déterminer la valeur numérique de I éq inétique-dnamique-puissance Page 9 inétique-dnamique-puissance Page 3

7 nnee 3 : schéma d implantation Brushless Différentiel SR3 Rouleau impression B Rouleau impression nnee 5 : Données du problème Nombres de dents de la poulie Rede SR3 : Z 3 = 36 dts, Z 4 = 5 dts, Z 4 = dts, Z 5 = 45 dts Raons des poulies : r 8 = mm, r 6 = 6 mm, r 3 = 3 mm, r à déterminer Entrae : n note d la distance entre les aes (, ) et ( B, ) : d = 4,65 mm Moments d inertie : I : moment d inertie autour de l ae (, ) de l ensemble formé du rouleau d impression de la poulie et du rotor du moteur principal Sa masse est notée m I 3 : moment d inertie autour de l ae (, ) du solide 3 I 4 : moment d inertie autour de l ae ( B, ) du solide 4 n note m 4 sa masse et B son centre d inertie I 5 : moment d inertie autour de l ae (, ) de la poulie 5 et du rouleau d impression Sa masse est notée m I 6 : moment d inertie autour de l ae (, ) du solide 6 I 8 : moment d inertie autour de l ae (, ) du solide 8 I 3 = 8-5 kgm, I 4 = 8-5 kgm, I 6 =,9 kgm, I 8 = -4 kgm, I et I 5 à déterminer m 4 = 6 g nnee 4 : schéma cinématique de calage 8 Différentiel Rede SR3 ctions etérieures : : couple du stator du moteur principal sur le rotor 8 : couple du stator du moteur de calage sur le rotor : Moment sur l ae (, ) de l action mécanique du papier sur le rouleau d impression B : Moment sur l ae (, ) de l action mécanique du papier sur le rouleau d impression B = B = -6 mn B 4' Papier à imprimer n suppose toutes les liaisons parfaites et on néglige les masses et inerties des courroies et Rouleau impression B R Sens de défilement r nnee 6 : représentation d un rouleau d impression L lindre creu de longueur L, de raon etérieur R, de raon intérieur r et de masse m avec : L = 45 mm, R = 6 mm, r = 4 mm et m =,3 kg Rouleau impression principal inétique-dnamique-puissance Page 3 inétique-dnamique-puissance Page 3