PSY C3 Eléments de statistique

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1 PSY C3 Eléments de statistique Responsables : Amandine Penel & Fabrice Guillaume Maîtres de conférence en Psychologie Cognitive Adresse internet pour trouver les cours : Rubrique personnel sur le site du Laboratoire de Psychologie Cognitive (en bas de page)

2 Groupes de TD : Vous devez rester dans votre groupe : alphabet MAR a PAZ PBA a SDZ BRA a DAL AAA a BQA groupe B2 B3 A2 A1 horaire lundi 8h-10h lundi 16h-18h mercredi 12h-14h mercredi 14h-16h salle A434 C140 A434 C113 Exceptions : salariés, handicapés, redoublants qui suivent la 1 ère et 2 ème années en parallèle. Avoir une attestation. FVA a JZZ DAM a FUZ SEA a ZZZ KAA a MAC A4 A3 B4 B1 mercredi 16h-18h jeudi 8h-10h jeudi 10h-12h jeudi 16h-18h S1 F1 F1 S2 Sinon, il faut trouver un autre étudiant qui veut bien faire l échange (constat signé).

3 Statistiques descriptives II 1. Variance et écart-type 2. La distribution normale (gaussienne) 3. De l él échantillon à la population 4. Scores z 5. Table de z 6. Intervalle de confiance

4 1. Variance et écart-type

5 Notion de variabilité = dispersion Histogramme en colonnes Distribution : continue m Effectifs

6 Variance (rappel) : 2 Notée! pour une population, pour un échantillon. s 2 =! ( X N " X ) 2 =! X 2 " ( N! Unité = celle de X au carré. X ) N Écart-type : Indice de dispersion dans la même unité que les données. 2 s 2 On trouve aussi : #(X " X) # 2 X 2 " ( # X ) 2 s 2 = = N N "1 N "1 (petits échantillons) e cart! type = variance Noté! pour une population, s pour un échantillon.

7 Écart-type : écart typique des données par rapport à la moyenne s Note la + basse 11,8 Note la + haute s Note la + basse 11,8 Note la + haute

8 Notion de variabilité = dispersion Plus s est grand et plus la courbe est évasée, plus il est petit, plus elle est mince Note la + basse s 11,8 14 Note la + haute s Note la + basse 11,814 Note la + haute

9 2. La distribution normale Dite aussi gaussienne. Un type particulier de courbe en cloche, symétrique, dans laquelle la moitié des observations sont en-dessous de la moyenne, l autre moitié au-dessus. Mode Médiane Moyenne Très souvent, les phénomènes naturels suivent une telle distribution dite normale. C est aussi le cas des données en psychologie.

10 La loi normale de Gauss ou loi des «erreurs» La loi normale repose sur l'estimation de deux paramètres de la population statistique: la moyenne µ l'écart type σ La courbe (appelée "fonction de densité de probabilité") a la formule suivante: π: : pie (3,14159 ) e : base des logarithmes (2,71828 ) La probabilité qu'une variable x prenne une valeur plus petite ou plus grande qu'une certaine valeur x i s'obtient en calculant l'aire sous la courbe:

11 Nombreux phénomènes biologiques et physiques peuvent être représentés par cette courbe (on( trouve la courbe de Gauss et ses dérivés dans tous les carnets de santé) Exemple : Jouons à pile ou face Nombre Pile/Face (sur 100 jets) 40 / / / / / / 90 Jouer 100 fois à pile ou face, c est c accumuler 100 petits hasards indépendants

12 Relation distribution normale / écart-type : On peut mesurer l écart d une donnée à la moyenne en unités d écart-type. Ex. : m = 56, s = 4 Score X = 60 = 1 écart-type au-dessus de la moyenne. Score X = 64 = 2 écart-types au-dessus de la moyenne. Si la distribution est normale, on connaît exactement le % de scores compris entre m et m + s, etc. :

13 S = 4 score = 64 élevé S = 10 score = 64 - élevé

14 3. De l él échantillon à la population Exemple : L inférence L chez l él épicier L inférence est nécessaire parce que la plupart du temps nous étudions la population à partir d und échantillon. Cette estimation s accompagne s d erreursd Le rôle r de la statistique est de mesurer ce degré d erreur Statistique : science des probabilités NB : La validité de l inférence l dépend de la représentativité de l él échantillon

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16 Une caractéristique d une population (µ, σ) s appelle un paramètre On peut estimer un paramètre à partir des données de l échantillon (statistique)

17 4. Scores z Intérêt : En calculant la moyenne, la variance et l écart-type d une distribution, on peut situer un score dans cette distribution. Les scores z permettent de comparer des scores issus de distributions différentes (m et s différents) Ex. : Test 1, score 62, m = 57,11 ; s = 2,47 Test 2, score 67, m = 62,46 ; s = 3,21 Test 3, score 76, m = 68,93 ; s = 4,06 On ne peut pas comparer 62, 67 et 76 directement car issus de distributions différentes : Ce serait comme si on comparaît des données obtenues sur des échelles différentes, des enfants de 4 ans et des enfants de 10 ans

18 z = X! s m Score z : on soustrait la moyenne, et on divise par l écart-type Test 1, score 62, m = 57,11 ; s = 2,47 62! 57,11 z( test1) = = 1,98 2,47 Test 2, score 67, m = 62,46 ; s = 3,21 Test 3, score 76, m = 68,93 ; s = 4,06 z( test2) = 1,41 z( test3) = 1,74

19 Loi normale centrée réduite : σ=1 m=0 On peut comparer ces scores z entre eux (même échelle), test1 mieux réussi que test3 que test2 (1,98 > 1,74 > 1,41). Notez que la comparaison (erronée) des scores bruts aurait donné test3 (76)> test2 (67)> test1(62).

20 Relation entre un score z et la distribution normale : z X! m s = Donne l écart à la moyenne, en unités d écart-type. z = 2 signifie que le score est 2 s au-dessus de m (élevé). z = -1 signifie que le score est 1 s en-dessous de m. on peut en déduire le % de scores en-dessous & audessus.

21 5. Table de z (appelée aussi table de la distribution normale). Indique pour tout z le % de scores compris sous z et entre ce z et la moyenne. 50% des scores endessous de la moyenne 47,61% des scores entre z=1,98 et la moyenne 2,39% des scores audessus de z On en déduit : - le % de scores en-dessous = ,61 = 97,61% - le % de scores au-dessus = 50-47,61 = 2,39%

22 Si z est négatif : même % que si z est positif 34,13% des scores entre z=-1 et la moyenne z = -1 z = +1 On en déduit : - le % de scores en-dessous = 50 34,13 = 15,87% - le % de scores au-dessus = 34, = 84,13%

23 Table du z Aires de la distribution normale : % d erreur bilatérale Exemple: z= (précision de 1%) Z =.10 z=1.96 correspond à 5% soit

24 Probabilité unilatérale versus bilatérale Probabilité unilatérale 0,975 (97,5%) Probabilité bilatérale 0,95 (95%) 0,025 (2,5%) 0,025 (2,5%) Z = 1,96 Z 2 = 1,96 Z 1 = - 1,96 Probabilité unilatérale : 0,025 (2,5%) Probabilité bilatérale : 0, ,025 = 0,05 (5%)

25 Attention : la table que vous aurez en TD représente les probabilités bilatérales

26 Marche dans l autre sens : si on connaît le % de scores au-dessus ou endessous d une mesure, on peut en déduire le z correspondant Exemple : Quel est la valeur de z pour qu il y ait seulement 1% des scores au-dessus? Attention : 1% des scores unilatérale signifie 2% bilatérale P = 0,98 P = 0,99 P = 0,01 P = 0,01 P = 0,01 On recherche donc dans la table bilatérale la probabilité 0,02

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28 Si z non listé (ex. : z = 2,825), Pour z=2,820 Pour z=2,83 On prend les deux valeurs qui l encadrent et on fait la moyenne : 0, ,00465 % = = 0,004725soit(0,4725%) 2

29 Raymond va à la pêche Le beau-frère de Raymond a pêché un brochet de 538,9 mm dans le lac. En admettant que la longueur des brochets de ce lac suit une loi normale N(467 mm, 47,9 mm), quelle est la probabilité que Raymond pêche un brochet plus long que celui de son beaufrère? Traduction: P (x > 538,9mm) =? Transformons 538,9 mm en z: Donc: P (x > 538,9 mm) = P (z > 1,501): P (z > 1,501)

30 Table du z : probabilité bilatérale associée à z=1,501 Exemple: z= (précision de 1%) Z =.10 z=1.501 correspond à 13,4% de façon bilatérale donc 13,4 / 2 % de façon unilatérale soit 6,7 %

31 P(z > 1,501) = 1 P(z < 1,501) = 0,067 La probabilité que Raymond pêche un brochet plus long que celui de son beau-frère est donc de 0,067 (soit 6,7 chance sur 100).

32 6. Intervalle de confiance On cherche à estimer un paramètre (ex., µ) à partir de plusieurs échantillons, µ M = meilleure estimation possible de µ. Cependant, erreur possible (erreur standard de la moyenne) : σ M Exemples d intervalles de confiance dans notre vie quotidienne : température, le prix d une voiture, etc.

33 Exemple d une distribution de scores de satisfaction au travail dont la moyenne est 50 (des milliers de travailleurs et de travailleuses ont passé cette épreuve) Si vous faites passer l épreuve à un petit groupe de travailleurs Probabilité que la moyenne se situe à l intérieur des intervalles : Faible Élevée

34 Valeurs d un échantillon Valeurs population On va estimer un intervalle qui contient µ (paramètre) : Au lieu de dire, µ = µ M, (ou µ : paramètre de la population et µ M paramètre de l échantillon) on dit : minimum < µ < maximum Si l intervalle est attaché à un pourcentage (95% ou 99%), on parle d intervalle de confiance à 95% (ou 99%) [minimum ; maximum] qui contient µ avec 5% (ou 1%) d erreur possible.

35 Supposons qu une distribution de moyennes a les caractéristiques suivantes : µ M = 75 ; σ M = 5 On sait que : 68,26% des scores entre z=-1 et z=1 z=1 Dans la table p=31,74 z = -1 µ M z = +1-1 σ M + 1 σ M Donc 68,26% des scores sont entre µ M +/- 1 écarttype : [75-5 ; 75+5] L intervalle [70 ; 80] a 68,26% de chance de contenir µ C est l intervalle de confiance pour µ à 68,26%.

36 On s intéresse en général à des intervalles de confiance pour µ à 95% (ou 99%) : La logique est la même. Il faut déterminer z pour 95% Consultation table de z : z 95 =1,96 95% 2,5% 2,5% z = -1,96 z = +1,96 donc intervalle de confiance à 95% : µ M ± z 95 "# M [ 75 "1,96 # 5 ; 75 +1,96 # 5] = [ 65,2 ; 84,8]

37 Raymond retourne à la pêche! Si la longueur des brochets du lac suit une loi normale N(moyenne: 467 mm, écarttype: 47,9 mm), entre quelles valeurs se situent 95 % des longueurs des brochets de ce lac? 1) Traduction: P (x 1 < x < x 2 ) = 0,95 2) Transformons x 1 et x 2 en z: P (z 1 < z < z 2 ) = 0,95 Le problème est donc inverse du précédent: nous avons la probabilité mais pas z

38 z 2 = 1,96 z 1 = 1,96 par symétrie Retransformons z 1 et z 2 en x par l'opération inverse d'un «centrage-réduction», on multiplie z par l'écart type de la variable, puis on ajoute la moyenne au résultat : z X! m = X " m = z # s X = z " s + m s x 1 = (z 1 47,9 mm) mm = ( 1,96 47,9 mm) mm = 373,12 mm x 2 = (z 2 47,9 mm) mm = (1,96 47,9 mm) mm = 560,88 mm Ainsi, 95% des brochets du lac ont une longueur comprise entre 373,12 mm et 560,88 mm. L intervalle de confiance est : [373,12;560,88].

39 Intervalle de confiance à 95% : µ M ± z 95 "# M [ 65,2 ; 84,8] Signifie que cet intervalle comprend µ avec 5% d erreur plus d information que µ! µ M = 75 Intervalle de confiance à 99% : µ M ± z 99 "# M z 99 = 2,57

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41 Intervalle de confiance à 99% : µ M ± z 99 "# M z 99 = 2,57 [ 75 " 2,57 # 5 ; ,57 # 5] = [ 62,2 ; 87,9] Cet intervalle comprend µ avec 1% d erreur 0,5% 99% 0,5% z = -2,57 z = +2,57