1- Commenter rapidement la significativité de la relation dans chacune des enquêtes.

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1 Partie I : applications pour un Phi-coefficient et Odds Ratio Exercices d entraînements / Breton D. 1- Commenter rapidement la significativité de la relation dans chacune des enquêtes. Dans les deux cas la relation est significative. En effet la probabilité de se tromper en rejetant l hypothèse d indépendance (H0) est très faible, inférieure à 0,0001 (p<0001). Dans les deux enquêtes la répartition des femmes suivant la situation de couple est dépendante de l âge de la personne enquêtée. En effet la proportion de personnes en couples est plus faible pour les catégories les plus jeunes (46%(Enq 1) et 53% (Enq 2) des ans - pas encore en couple) et plus âgées (55% (Enq1) et 68% (Enq 2) des ans veuvage). 2- Dans laquelle des deux enquêtes la relation est elle la plus forte? Peut on se fier à la valeur de «x²» pour juger de la qualité de la relation entre deux variables? De quoi dépend la valeur de «x²» en général? Pour juger de l intensité de la relation il faut calculer le «Phi-coefficient». Ce coefficient est la racine carré du rapport entre la valeur du Chi-2 calculé et de l effectif. En effet la valeur de x², chi-2 calculé dépend en partie de l effectif et du nombre de case (dont dépend le degré de liberté). Pour l enquête 1, Phi oceff = 0,17 contre 0,22 pour l enquête 2. La relation est donc plus forte dans la deuxième enquête que dans la première. La différence est assez faible contrairement aux valeurs des x² très différentes. Il ne faut se fier aux valeurs de x² pour comparer l intensité de deux relations si et seulement si les effectifs sont de tailles comparables. Enquête ans ans ans ans ans TOTAL En couple Hors couple TOTAL % en couple 46% 71% 67% 63% 55% 61% Enquête 2 x² 158,5 Phi coefficient 0,18 Degrès de liberté = 4 / x²=158.5 / p < ans ans ans ans ans TOTAL En couple Hors couple TOTAL % en couple 53% 79% 79% 77% 68% 72% x² 9473 Phi coefficient 0,22 Degrès de liberté = 4 / x²=9473 / p< Calculer un les Odds-ratio et Risques Relatifs dans les deux cas (deux enquêtes) pour juger de la relation entre la situation de couple des ans et des ans. Commenter les différentes valeurs obtenues. Enq1 (2005) Enq2 (1999) OR 1,43 1,85 RR 1,19 1,27 Interprétation : Odds-ratio R. Le rapport entre l effectif de personnes en couple et celui des personnes hors couple est 1,43 fois plus fort chez les ans que chez les ans en 2005 contre 1,85 fois en Ces valeurs proches de 1 montrent un contraste faible entre les situations de couples de ces deux groupes. Risque relatif : La proportion de personnes en couple est 1,19 fois plus fort chez les ans que chez les ans en 2005 contre 1,27 en Les situations ne sont pas très différentes. 1

2 Calcul de l intervalle de confiance Echantillon 1 Echantillon 2 OR 1,43 1,85 ln(or) 0,36 0,62 alpha 0,03 0,03 z 2,17 2,17 Chi2 158, /racine(Chi2) 0,08 0,01 Sn ln(or) 0,03 0,01 Exercices d entraînements / Breton D. IC- ln 0,30 0,60 IC+ ln 0,42 0,63 IC- 1,34 1,82 IC+ 1,52 1,88 2

3 Partie II : application pour les estimation : construction d intervalle de confiance ATTENTION DE BIEN VÉRIFIER QUE LES CONDITIONS DU THÉORÈME CENTRAL LIMITE OU DE CONVERGENCE VERS LA LOI NORMALE SOIENT VERIFIEES DANS LES EXERCICES SUIVANTS Exercice a : Au recensement général de la population de 1999, en Alsace 49,4% de la population des personnes âgées de 19 à 24 ans était scolarisée. Cette même année on souhaite mener une enquête auprès de 1000 personnes âgées de ans en Alsace. Avec une probabilité de 90%, 95% et 99%, dans quel intervalle dois-je trouver la proportion de personnes scolarisées si mon échantillon est représentatif. Les conditions : n*p = 1000*0,494 >10 ; p<q Alpha t p Valeur IC- IC+ 90% 1,64 49,4% 2,6% 46,8% 52,0% 95% 1,96 3,1% 46,3% 52,5% 99% 2,58 4,1% 45,3% 53,5% Exercice b : Au recensement général de la population de 1999, en Alsace le nombre moyen de personnes par ménage était de 2,5. Si je mène une enquête en population générale en Alsace cette même année auprès d un échantillon de ménages, dans quel intervalle devrais-je trouver le nombre moyen de personnes par ménage pour m assurer que mon échantillon est représentatif sur cette variable avec une certitude de 98% selon que mon échantillon ait une taille de 500, 1000 ou 1500 ménage. Je ne peux rien faire sans l écart type de cette valeur Si on me donne l écart type de : 0,3 Les conditions : n>30 n t moy std Valeur IC- IC+ 500,00 2,33 2,50 0,30 0,03 2,47 2, ,00 0,02 2,48 2, ,00 0,02 2,48 2,52 Exercice c : Donner un intervalle de confiance pour l odds ratio calculé dans la question 2 de la partie I pour l enquête de 2005 avec une certitude 95%. On peut calculer l intervalle de confiance pour chacun des deux Odds ratio en appliquant la démarche vue en cour. si α=5% alors z = 1,96 Enq1 (2005) Enq2 (1999) OR 1,43 1,85 RR 1,19 1,27 Sn 0,028 0,006 Ln(OR) 0,359 0,617 IC- 1,35 1,83 IC+ 1,51 1,88 3

4 Partie III : application pour les tests TESTS SI ON CONNAÎT LA VALEUR DANS LA POPULATION TOTALE Exercice a-bis : Dans l enquête décrite dans le «a» de la partie II je trouve 51% de personnes scolarisées. Tester l hypothèse selon laquelle mon échantillon est représentatif de la population totale au seuil de 90%. Faire le test en bilatéral et unilatéral. Alpha t bilatéral p Valeur IC- IC+ 90% 1,64 49,4% 2,6% 46,8% 52,0% t unilatéral 1,28 2,0% "- infini" 51,4% Cas 1 : On test l hypothèse Ho d abord que moy=moy0 = 0,494 bilatéral Cas 2 : On test l hypothèse Ho d abord que moy>moy0 = 0,494 unilatéral Dans les deux cas on ne peut pas rejeter Ho et donc mon échantillon peut être considéré comme représentatif A quel seuil arriverais-je à une conclusion contraire? t unilatéral 84,42% 1,01 1,6% "- infini" 51,0% Avec 1,01 = [(51-49,4%)/(racine([(0,494)*(1-0,494)/1 000] Le seuil est donc p=15,7% de rejeter H0 alors que H0 est vraie. Exercice b-bis: Finalement l enquête de «b» partie II a été réalisée auprès de 1500 ménages. On a obtenu une moyenne de personnes par ménage de 2,35. Peut-on affirmer que l échantillon est représentatif au seuil 90%? BILATERAL n t moy std Valeur IC- IC ,00 1,28 (90%) 2,50 0,30 1,0% 2,49 + infini A quel seuil exact arriverais-je à une conclusion contraire? n t moy std Valeur IC- IC ,00 1,28 2,50 0,30 1,0% 2,49 + infini t unilatéral 100,0% 10,61 0,15 "- infini" 2,35 TESTS DE COMPARAISON DE DEUX MOYENNES ET DE DEUX POURCENTAGES Exercice d : Dans une enquête menée en 2005 en France métropolitaine on a demandé à des femmes âgées de ans si elles étaient d accord avec l affirmation suivante : «Pour s'épanouir, un homme doit avoir des enfants» On croise la réponse à cette question avec le fait de pratiquer ou non une religion au moins une fois par an, en dehors des cérémonies religieuses de type mariage ou baptême. Sur les 852 femmes non pratiquantes 51,4% répondent par l affirmative contre 62,2% des 249 pratiquantes. Peut affirmer que selon que les «pratiquantes» répondent différemment des «non pratiquantes» au seuil 99%? 4

5 Faire un test bilatéral puis unilatéral. Exercices d entraînements / Breton D. n f1 f1*(1-f1) IC- IC+ Non pratiquantes ,4% 25,0% -0,0925 0,0925 Pratiquantes ,2% 23,5% Différence 0,108 Je rejette H0 alpha 99% t (bilatéral) 2,58 UNILATERAL t (unilatéral) 2,33 IC- IC+ p 53,8% - infini' 0,0835 n*p et n*q>10 Je rejette H0 Exercice e : On a demandé à ces mêmes femmes le nombre d enfants qu elles avaient au moment de l enquête. Les 593 femmes âgées de ans qui ont répondu être «d accord ou plutôt d accord avec cette affirmation» ont en moyenne 1,79 enfants au moment de l enquête contre 1,44 pour les 240 femmes qui répondent être «ni d accord et ni pas d accord» et 1,35 pour les 268 qui déclarent être «Plutôt pas d accord et pas du tout d accord». Pour des écarts types respectifs de 1,11, 1,14 et 1,14. Quelles conclusions avec la certitude de 99%? D'accord et plutôt d'accord Ni d'acciord, ni pas d'accord Plutôt ou pas du tout d'accord Différence n moy std 593 1,79 1, ,44 1, ,35 1,14 alpha 99% n1, n2 et n" >>30 t 2,33 Dispersion Limite de décision DIFFERENCE Observé Ecart type 1-2 0,087 0,20 0,35 rejet de H0 Ecart type 2-3 0,101 0,24 0,09 non rejet Ecart type 1-3 0,083 0,19 0,44 rejet de H0 A quel seuil peut affirmer qu il existe une différence entre les deux derniers groupes de femmes (240 femmes et 268 femmes)? Dispersion Limite de décision DIFFERENCE Observé Ecart type 2-3 0,101 0,09 0,09 t 0, alpha 81% 5

6 Exercice tiré du contrôle continu de Phi coefficient + odds ratio Dans une enquête réalisée en 2003 en France métropolitaine on a demandé à des adultes leur âge, leur sexe et on leur a posé la question ci-dessous concernant la volonté de montrer ou non une conviction. Les croisements de ces différentes variables donnent les tableaux suivants : Pour les femmes : Pour les hommes : Moins de Moins de Total ans ans 30 ans 30 ans Non Non Souvent ou Souvent ou parfois parfois Total Total Total chi-2 17,47 p 0,0001 chi-2 31,37 p 0, Les relations entre les deux variables sont-elles significatives? La relation est-elle plus «forte» pour les hommes ou pour les femmes? Justifier. 2- Calculer et interpréter les valeurs de l Odds-ratio et du Risque relatif pour les femmes. 3- Comparer les valeurs obtenues dans la question 2 et commenter ans Moins de 30 ans Total ans Moins de 30 ans Total Non Non Souvent ou parfois Souvent ou parfois Total Total chi-2 17,47 p 0,0001 chi-2 31,37 p 0,0001 Coefficient Phi 0,16 Coefficient Phi 0,24 Odds-ratio 3,1 Odds-ratio 6,6 Risque Risque relatif 2,8 relatif 5,6 6

7 Exercice tiré du contrôle continu de Intervalles et tests Dans cette même enquête on a posé la question suivante aux différentes personnes Sur les 459 Bretons, 36,2% on déclaré se sentir d une région française contre 35,2% des 307 Alsaciens et 20,0% des 365 Lorrains. 1- Peut-on affirmer que plus de 1 Bretons sur 3 se sentent avant tout Breton? à 2%, 5%, 10%? 2- Peut-on affirmer que le sentiment d appartenance régional est plus fort en Alsace qu en Lorraine? A 2%, 5%, 10 %, déterminer la valeur de «p» exact à partir de laquelle la décision change? 3- Peut-on affirmer que le sentiment d appartenance régional est moins fort en Alsace qu en Bretagne? A 5%? 20%? Question 1 p0 33,33% (p0*(1-p0)/n)^0,5 0,022 IC unilatéral (2%) 37,85% IC unilatéral (5%) 36,95% IC unilatéral (10%) 36,15% Question 2 p0=p1=p2 26,94% (p0*(1-p0)*(1/n1 =+1/n2)^0,5 0,03 IC unilatéral (2%) 7,06% IC unilatéral (5%) 5,65% IC unilatéral (10%) 4,40% Différence obser. 15,20% Valeur attendue 4,42 p comme seuil 0,0% Question 3 p0=p1=p2 35,78% (p0*(1-p0)*(1/n1 =+1/n2)^0,5 0,031 IC unilatéral (5%) 5,12% IC unilatéral (20%) 2,62% Différence obser. 0,97% Valeur attendue 0,31 VALEURS DE LA TABLE 1,0% 2,326 2,0% 2,054 2,5% 1,960 3,0% 1,881 4,0% 1,751 5,0% 1,645 6,0% 1,555 7,0% 1,476 8,0% 1,405 9,0% 1,341 10,0% 1,282 15,0% 1,036 20,0% 0,842 p comme seuil 37,8% 7

8 Exercice tiré du contrôle continu de Tests Dans cette même enquête, on a calculé l âge moyen des personnes suivant leur sentiment d appartenance régionale. On obtient les résultats suivants. Les 108 Alsaciens qui ont répondu se sentir avant tout d une région française sont âgé en moyenne de 51,89 ans pour un écart type de 16,73 contre respectivement 46,6 ans et 16,3 ans pour les 166 Bretons. Peut on affirmer que l âge des personnes se sentant avant tout d une région est significativement plus élevé en Alsace qu en Bretagne avec un seuil de 3%? Déterminer le «p» précisément. Conclure. VALEURS DE LA TABLE Population 1 Population 2 1,0% 2,326 Bretons Alsaciens 2,0% 2,054 effectif (n) ,5% 1,960 moyenne 46,60 51,89 3,0% 1,881 Ecart type 16,30 16,73 4,0% 1,751 5,0% 1,645 6,0% 1,555 7,0% 1,476 8,0% 1,405 9,0% 1,341 10,0% 1,282 15,0% 1,036 20,0% 0,842 Question 1 moy 1 = moy2 valeur de IC bilatéral 2,05 IC unilatéral (3%) 3,86 Différence obser. 5,29 Valeur attendue 2,58 p comme seuil 0,5% 8

9 Exercice : moins de 45 ans plus de 45 ans moins de 45 ans plus de 45 ans D accord D accord Pas Pas d'accord d'accord ,3 0,5 1,0 2,9 1,3 2,7 365, ,25 0,24 S 0,06 S 0,06 0,97 1,19 0,85 1,10 2,64 3,29 2,35 3,00 Exercice 2 : partie I 0,01 0,1 t 1,96 0,99 0,9 2,33 1,28 p=p0 p>0, p 0,5 0,5 48,8% 47,9% 51,2% 49,7% Dans les deux cas l'estimation est dans l'intervalle je ne peux donc pas rejeter H0. Par contre son explication est certainement liée à son influence. 0,000 0,016 0,167 56,6% 43,4% 9