Géométrie dans l espace

Transcription

1 Géométrie ans l espace I- Généralités La géométrie élémentaire e l espace est née u souci étuier les propriétés e l espace ans lequel nous vivons. Les objets élémentaires e cette géométrie sont les points, les roites et les plans. On consière ces notions comme es notions premières, c est-à-ire suffisamment familières pour ne pas les éfinir. our leur étue il sera nécessaire amettre un certain nombre e propriétés e base. Un plan est un ensemble e points. La feuille e papier est une bonne représentation un plan. Lorsque l on veut représenter plusieurs plans e l espace, on représente chacun entre eux par un parallélogramme, censé représenter un rectangle en "perspective". Il ne s agit là que une représentation e l objet théorique "plan" qui n a pas épaisseur et illimité ans tous les sens. Les résultats e géométrie u plan sont applicables ans chaque plan e l espace. II- erspective cavalière xemple 1: GH est un cube e coté 3cm. I est le centre e la face GH. ans la réalité Sur le essin H G L arête [H] est I est L arête [H] est I est [H] et [] sont [H] et [] sont, I et G sont, I et G sont [] et [] mesurent [] et [] sont [] et [] mesurent [] et [] [] mesure [] ropriété(règles e la perspective cavalière): Les éléments visibles sont essinés ans un plan vu e face une figure est ; les autres sont essinés Si eux roites sont parallèles ans la réalité alors elles sont représentées sur le essin par Si es points sont alignés ans la réalité alors ils sont représentés sur le essin par Les proportions sont Remarque: On peut rajouter autres conventions e essin. M. Herbaut 1/9 Secone

2 xemple 2: onstruire un cube GH e 3 cm e côté ans les eux cas suivants : en multipliant les longueurs es arêtes perpeniculaires au plan e face par 0,7 et avec un angle e 45 en multipliant les longueurs es arêtes perpeniculaires au plan e face par 0,5 et avec un angle e 30 III- xiomes incience Les axiomes incience e la géométrie ans l espace sont es axiomes qui fournissent es relations entre les points, les roites et les plans e cette géométrie. ropriété: ar eux points istincts et e l espace passe ar trois points non alignés,,et passe Si et sont eux points un plan, tous les points e la roite () ans un plan e l espace, on peut appliquer les propriétés e la géométrie plane. Il en résulte qu un plan peut être éterminé par l une es conitions suivantes : trois points non alignés eux roites sécantes une roite et un point extérieur à celle-ci xemple 3: GH est un cube e coté 5. lacer les points I et J milieux respectifs e [H] et []. H G 1) onner autres noms u plan (HI) : 2) alculer H. M. Herbaut 2/9 Secone

3 3) uelle est la nature u triangle H? Justifier. 4) émontrer que (IJ) est parallèle à (H). alculer IJ. IV- alculs e volumes 1) Volume une pyramie, un cône hauteur S h hauteur h O r V = aire e base aire e base 2) Volume un prisme, un cylinre aire e base hauteur hauteur aire e base V = 3) Volume une sphère O V = V- ositions relatives e roites et e plans 1) ositions relatives e eux roites I I = = = Remarque: Le fait que eux roites n aient aucun point commun ne suffit pas pour conclure, ans l espace, qu elles sont parallèles. M. Herbaut 3/9 Secone

4 2) ositions relatives une roite et un plan I = = = 3) ositions relatives e 2 plans = = xemple 4: est un tétraère. Les points I, J, K et L sont respectivement sur les arêtes [], [], [] et [], la roite (IJ) étant parallèle à la roite (). Iniquer les positions relatives es roites et plans suivants. 1) Les roites (IJ) et () sont... 2) Les roites (IJ) et (L) sont... K I L J 3) Les roites (IJ) et () sont... 4) Les roites (IJ) et (KL) sont... 5) Les roites (IK) et () sont... 6) La roite (IJ) et le plan () sont... 7) La roite (IJ) et le plan (KL) sont... 8) Les plans () et (LK) sont... 9) Les plans () et (IJ) sont... M. Herbaut 4/9 Secone

5 xemple 5: est un tétraère. est un point e l arête [] et est un point e l arête []. 1) Tracer l intersection e la roite ( ) et u plan (). Justifier 2) Tracer l intersection es plans () et ( ). Justifier VI- ropriétés 1) arallélisme entre roites ropriété: eux roites parallèles à une même troisième roite sont ropriété: Si et sont eux plans parallèles, alors tout plan qui coupe ropriété: Si une roite est parallèle à eux plans sécants alors elle est ropriété(théorème u toit): et sont eux roites est un plan contenant et un plan contenant. Si, en outre, les plans et sont sécants, alors la roite intersection e ces plans 2) arallélisme entre roite et plan ropriété: Une roite est parallèle à un plan si et seulement si elle 3) arallélisme entre plans ropriété: eux plans parallèles à un même troisième plan sont M. Herbaut 5/9 Secone

6 ropriété: Si eux roites sécantes un plan sont respectivement parallèles à eux roites sécantes un plan, alors les plans et 1 1 M. Herbaut 6/9 Secone

7 xercices e géométrie ans l espace xercice 1 1) Représenter en perspective cavalière un cube GH arête 6 cm avec un angle e fuite α = 45 et un coefficient e réuction k = 0,7. 2) a. onstruire le point I, milieu e [G]. b. lacer le point J sur le segment [H] tel que J = 2 cm. c. lacer le point K sur le segment [HG] tel que HK = 4 cm. 3) uelle est la nature u quarilatère G? u triangle H? u triangle JH? u triangle G? xercice 2 Sur le quarillage ci-contre, on a représenté un cube arête 4 cm en perspective cavalière. 1) Mesurer soigneusement l angle e fuite. 2) alculer le coefficient e réuction e cette représentation en perspective cavalière. I 3) Retrouver l angle e fuite par le calcul. 4) ue représente le point intersection es roites (G) et (I) pour le triangle? H G xercice 3 our recueillir e l eau e pluie un particulier enterre ans son jarin une cuve en béton e forme cylinrique e hauteur 1,60m. alculer le iamètre e la base u cylinre sachant qu il peut contenir jusqu a 10m 3 eau. onner le résultat au centimètre près. xercice 4 GH est un cube e coté a. I, J, K et L sont les milieux respectifs e [], [], [] et []. On écoupe ans le cube le coin IJKL. I L J K H G 1) uelle est la nature u triangle LK? alculer, en fonction e a, le volume u coin IJKL. 2) n éuire le volume u morceau e cube restant. xercice 5 Une pyramie régulière S est une pyramie ont la base est un carré et ont toutes les arêtes ont la même longueur a. Le pie e la hauteur H issue e S est le centre u carré. alculer le volume e la pyramie. S H

8 Intersections et constructions xercice 1 GH est un cube. onstruire, en justifiant, l intersection es plans (G) et (). H G xercice 2 est un tétraère. I [], J [] et K []. onstruire l intersection es plans () et (IJK). I K J xercice 3 est un tétraère. est un point e [] et un point e []. réciser, en justifiant, la position relative es objets suivants et construire en justifiant les intersections éventuelles. 1) Les roites () et (). 2) Les roites () et (). 3) La roite () et le plan (). 4) Les plans () et () 5) Les plans () et () xercice 4 S est une pyramie régulière à base carrée. S 1) onstruire, en justifiant, l intersection es plans (S) et (S). 2) onstruire, en justifiant, l intersection es plans (S) et (S).