V e. S e. relative ε r sachant que C = ε 0 ε r

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1 G. Pinson : Physique Appliquée Couant alternatif ACA-TD / ACA-- Soit un circuit RL série, avec R = 0 Ω ; L = 70 mh. Calculer les tensions V R (tension aux bornes de R), V L (tension aux bornes de L), V RL (tension totale aux bornes du circuit RL), pour : a) i(t) = 3 sin(π50t) ; b) i(t) = 3 sin(π500t) ACA-- Calculer le courant qui circule dans un circuit RC série, alimenté en 30 V efficaces, 50 Hz, avec : R = 47 kω ; C = nf. ACA-3- Un dipôle série constitué d'une résistance et d'une réactance est soumis à une tension u(t) = 0 sin(π50t). l est parcouru par un courant d'amplitude 58 ma déphasé de +5 par rapport à u. Préciser la nature et la valeur des composants qui le constituent. ACA-4- Calculer la tension vue entre les points A et B : 33 kω A [ V ; 0 ] 00 Hz 47 nf B ACA-5- n appliquant la règle du pont diviseur de tension, montrer que la tension de sortie est en phase avec la tension d'entrée pour une certaine fréquence que l'on calculera : V e 0 kω x 0, µf V s ACA-6- Un bobinage de moteur asynchrone monophasé est équivalent à un circuit RL série avec R = 0 Ω ; L = 0, H ; f = 50 Hz. On connecte en série un condensateur C. Soit V la tension aux bornes du circuit RL, et U la tension totale (aux bornes du circuit RLC). Calculer C pour que la tension V soit en quadrature par rapport à U. ACA-7- On considère le pont d'impédances suivant : a) Calculer R et C sachant que le pont est équilibré pour f = 48 Hz, R 3 = 460 Ω, C 3 =,96 nf, R 4 = kω, C = 50 pf. b) C, R est un capteur capacitif d humidité constitué de disques de 0mm de diamètre séparés par un diélectrique d épaisseur e = 3mm. Calculer la constante diélectrique relative ε r sachant que C = ε 0 ε r S e C C R A B C3 R3 R4 ACA-8- Soit Z l impédance totale du circuit : Soit R = 4,7 kω, L = 0 mh ; C = 0, µf. a) Que vaut l impédance Z lorsque v est une tension continue? b) Que vaut l impédance Z lorsque v est une tension sinusoïdale pure dont la fréquence tend vers l infini? c) n f = 3000 Hz puis f = 8000 Hz calculer la pulsation ω, et l impédance Z. d) Calculer la fréquence f 0 pour laquelle Z est purement résistive. e) ndiquer sur papier libre, en échelle linéaire, l allure de la fonction Z(f ). f) Pour f < f 0, ce circuit est-il inductif ou capacitif? Pourquoi? SBN G. Pinson, 00 v i

2 G. Pinson : Physique Appliquée Couant alternatif ACA-TD / ACA-9- V V R V C V L a) Donner l'expression complexe des tensions V R, V L, V C en fonction de l'intensité du courant et des composants (R, L, C). b) xprimer le rapport / V. Que représente-t-il? c) n déduire le module de en fonction de R, L, C, ω, V. d) Quelle est la valeur ω 0 de la pulsation de résonance série conduisant à une intensité du courant maximale? n déduire la valeur numérique de la fréquence de résonance f 0. e) Donner l'expression de la puissance active P dissipée par effet Joule dans la résistance R en fonction de R, L, C, ω, V. ACA-0- R = 68 kω ; C = 0,047 µf U V La tension u(t) appliquée aux bornes du dipôle RC ci-contre est : u(t) = 0 sin(πft ). a) tablir les expressions littérales du module et de l argument de l impédance Z de ce dipôle en fonction de la fréquence f. A.N. : calculer Z et arg(z ). b) Calculer la valeur efficace et la phase du courant i(t) qui le traverse. c) Calculer la valeur efficace et la phase de la tension v(t) mesurée aux bornes du condensateur. d) Calculer la valeur de l inductance qu il faudrait ajouter en série avec ce dipôle pour obtenir une impédance totale purement réelle : ACA-- R v e (t) Z v s (t) ) Calculer l impédance d un condensateur de 00 µf pour une fréquence f = 60 Hz. ) Même question pour une inductance de 0 mh 3 ) Le pont diviseur de tension est à vide. On donne : R = 0 Ω ; v e (t) = 30 sin( π60t ) a) Calculer v s (t) si Z est une résistance de valeur 4 Ω. b) Même question si Z est un condensateur de valeur 00 µf c) Même question si Z est une inductance de valeur 0 mh SBN G. Pinson, 00

3 G. Pinson : Physique Appliquée Adaptation d'impédance ACA-TD / ACA-- Charge d'un amplificateur : on dispose d'un amplificateur stéréophonique de puissance nominale 00W par canal. Chaque enceinte acoustique présente une impédance nominale de 8Ω. Pour améliorer la répartition du son dans le volume d'écoute, on veut ajouter une enceinte de même caractéristique par canal. Comment faut-il brancher celle-ci? a) Pour modéliser cette question, on considère un générateur [, R s ] qui se compose d une source de fem continue et d une impédance interne R s = 8Ω. l débite dans une charge = 8Ω une puissance P u = 00W. Calculer, P F (puissance fournie par la source idéale ) ainsi que le rendement du système η = P u P F. R s U R s R s On alimente maintenant deux charges identiques (8Ω) avec le même générateur [, R s ]. Calculer P u, P F et η dans les deux cas suivants : b) les deux charges sont connectées en série ; c) les deux charges sont connectées en parallèle. d) Conclusion : quel branchement choisir pour optimiser l utilisation du générateur? ACA-3- Adaptation d impédance sur un capteur inductif a) Un capteur inductif est assimilable à un générateur de fem interne e(t) = sinωt, où = 35 mv, fréquence f = 0 khz, en série avec une impédance interne Z = R + jlω. La résistance R vaut 80 Ω et le module de son impédance vaut Z = 500 Ω à 0 khz. Calculer L. b) On pose : ϕ = arg Z. Calculer ϕ e(t) R L c) On considère le cas où le capteur est branché en courtcircuit. Soit i(t) le courant débité. tablir l expression littérale de i(t) en fonction de, R, L, ω, ϕ. A.N. : calculer eff. d) n déduire la puissance active dissipée dans le capteur. V R R V L L Le capteur est maintenant branché sur une charge Z c. On pose : Z c = r + jx. e) tablir l expression littérale de la valeur efficace du courant débité eff en fonction de, R, r, L, X, ω. R Z c L f) n déduire l expression de la puissance active P u transmise à la charge. g) Monter que cette puissance est maximale pour une certaine valeur de l impédance de charge Z co dont on précisera les éléments r o et X o en fonction de r, L et ω. h) Quelle est la nature de cette charge? Préciser la valeur numérique de ses éléments à f = 0 khz. i) A.N. : calculer dans ces conditions eff et la puissance transmise P u. SBN G. Pinson, 00

4 G. Pinson : Physique Appliquée Réponses ACA-TD/ 4 RPONSS ACA-- a) f = 50 Hz Lω = Ω b) f = 500 Hz Lω = 0Ω V R = R = 0. [3 ; 0 ] = [60 V; 0 ] V R = 0. [3 ; 0 ] = [60 V; 0 ] V L = jlωι = [ ; 90 ].[3 ; 0 ] = [66 V; 90 ] V L = [0 ; 90 ].[3 ; 0 ] = [660 V; 90 ] V RL = (R+jLω) = [89, V ; 47,7 ] V RL = [663 V; 84,8 ] /Cω = /.0-9 π50 = 44,7 kω = 30 / (47 j 44,7)0 3 = [,4 ma ; 7 ] Z = [0 ; 0 ] / [ ; 5 ] = (33 j 46)Ω = R + /jcω avec R = 33 Ω et C =,8 µf (réactance < 0 dipôle RC) /Cω = / π00 = 33,9 kω U 0 = [ ; 0 ].(/jcω)/ (R + /jcω) = / ( + jrcω) = [,43 V ; 44,3 ] V s V e = R + jcω R + jcω + R + jcω = 3 + j RCω + jrcω = jrcω + 3jRCω + ( jrcω) = jrcω (RCω) + 3jRCω On remarque que, lorsque RCω =, la quantité V s = est un nombre réel, donc de phase nulle. Ce V e 3 qui correspond à la fréquence : f 0 = = 59 Hz πrc ACA-- ACA-3- ACA-4- ACA-5- Soient R et C les éléments composant ce circuit (un RC série et un RC // ) : ACA-6- Le moteur forme avec le condensateur un circuit RLC série. Les tensions étant proportionnelles aux impédances, il vient : Z grand triangle : sinθ = Z Cω petit triangle : sinθ = Lω Z = Z Cω C = L L ω + R = 6,5µF θ R Lω θ /Cω ACA-7- Z a) AB =. 3 Z Z 4 Z (Z + Z 3 )(Z + Z 4 ) Z AB = Z Z 3 Z + Z 3 + Z Z 4 Z + Z 4 SBN G. Pinson, 00

5 G. Pinson : Physique Appliquée Réponses ACA-TD/ 5 Le pont est équilibré si : = 0 pour Z3 Z = Z4 Z R 3 + jr 3 C 3 ω. R + = R 4 jc ω jc ω C R = R 3 4 ; C C = R 3 C R 4 R = 39, kω ; C = 3 pf ; b) ε r = ec ε 0 πr ε r = 30 a) et b) Z = 0 e) Z = R + Z = jlω + jcω R + Cω Lω et ϕ = arctan R Cω Lω c) f = 3000 Hz ω = 8850 rad/s et Cω = -0,0034 S Z = 9 Ω ; ϕ = 86,4 Lω f = 8000 Hz ω = 5065 rad/s et Cω = 0,00304 S Z = 38 Ω ; ϕ = - 86 d) f 0 = /π LC = 503 Hz f) Circuit inductif car ϕ > 0 ACA-8- ACA-9- a) V R = R. ; V C = jcω. ; V L = jlω. Lω b) Y = V = R + j Lω : admittance ; c) = Cω d) Z = R + Lω Cω 0,5 khz V R + Lω Cω est minimale pour Lω Cω = 0 ω 0 = LC = 9, krad/s f 0 = SBN G. Pinson, 00

6 G. Pinson : Physique Appliquée Réponses ACA-TD/ 6 e) p = R. RC ω V = LCω ( ) + ( RCω) ACA-0- a) Z = R j Cω Z = R + (Cπf ) 76 kω ; arg(z) = arctan RCπf rad b) eff = 0 3 µa ; arg( ) = 0 arg(z ) = 6, c) V = j Cω V eff = π.00 4,45 V ; arg(v ) = arg( ) 90 63,5 =, rad 6,5 = 0,46 d) l faut : LCω = L 54 H! ACA-- R 3a) v s = v R + R e v s = 6 sin (π60t) 3b) et c) R [Ω] = 0 C [F] = 0,000 f [Hz] = 60 partie partie module argument réelle imaginair Zc [Ω] = 0-9,9 9,9-90 Zc + R = 0-9,9 4, -45 Zc / (Zc + R) = 0,7-45 Ve [V eff] = 30 0 Vs [V eff] = 6-45 v s = 6 sin (π60t 45 ) R [Ω] = 0 L [H] = 0,0 f [Hz] = 60 partie partie module argument réelle imaginair ZL [Ω] = 0 0, 0, 90 ZL + R = 0 0, 4, 45 ZL / (ZL + R) = 0,7 45 Ve [V eff] = 30 0 Vs [V eff] = v s = 6 sin (π60t + 45 ) SBN G. Pinson, 00

7 G. Pinson : Physique Appliquée Réponses ACA-TD/ 7 ACA-- Charge d'un amplificateur : a) Charge unique : soit le courant débité par le générateur et U la tension aux bornes de la charge : P u =. = P u = ,54A = (R s + ). = 6.3,54 56,6 V La puissance fournie par la source vaut donc : P F =. = 3,54.56,6 = 00 W t le rendement : η = P u P F = 50% b) Charges en série : charge totale = = 6 Ω. On calcule : = P u =. =6.,36 89 W P F =. = 56,6.,36 33 W η = P u = 89 P F 33 67% c) Charges en parallèle : charge totale = / = 4 Ω. On calcule : = P u =. = 4.4,7 89 W P F =. = 56,6.4,7 67 W η = P u = 89 P F 67 33% = et U = + R s = 56,6 R s ,36 A = 56,6 R s ,7 A + R s (pont diviseur de tension) P u =U. = ( + R s ) P = ( + R s ) u 56,6 V. Comme R s =, P F = P u et η = 50%. d) Le cas a) est le cas nominal. Le cas b) est intéressant, car il allie une puissance utile encore confortable (90W) à un rendement acceptable (près de 70%). Le cas c) est à rejeter, car il impose un échauffement excessif du générateur (près de 80W à dissiper). ACA-3- Adaptation d impédance sur un capteur inductif a) Z = R + L ω L = Z R πf = π0000 3,7 mh b) cosϕ = R Z = 0, ϕ 83 c) = Z i(t ) = Z sin(ωt ϕ) eff = ,3 µa 500 d) P a = R. eff 0, µw e) eff = ( R + r) + (Lω + X ) r f) P u = r. eff = ( R + r) + (Lω + X ) g) Pour que cette puissance soit maximale, il faut que le dénominateur soit minimal, donc que : ) Lω + X = 0 X = Lω cette réactance négative doit être celle d'un condensateur puisque : - l'impédance d'une bobine est Z L = jlω = jx L (donc X L > 0) SBN G. Pinson, 00

8 G. Pinson : Physique Appliquée Réponses ACA-TD/ 8 - l'impédance d'un condensateur est Z C = jcω = j Cω = jx C (donc X C < 0) D'où : Cω = Lω C 0 = L(πf ) On en déduit : P u = r (R + r ). ) Cette dernière expression admet un extremum si sa dérivée est nulle. n dérivant P u par rapport à r, il vient : r P u = R + Rr + r dp u dr = R + Rr + r r(r + r) D = R r D = 0 pour r 0 = R n admettant que cet extremum est un maximum, la puissance P u est donc maximale pour : r 0 = R. h) Cette charge est capacitive. On trouve (pour f = 0 khz) : C 0 0 nf et r 0 = 80 Ω i) eff = = R + r µa et r = R P u =,7 µw. 4R SBN G. Pinson, 00

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