Module : diagrammes de Bode

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1 BSEL - Physique appliquée Module : diagrammes de Bode Diaporama : les diagrammes de Bode Résumé de cours Guide pour le tracé d un diagramme de Bode Exercices d apprentissage Mesures de gain et de phase (diapo 1) Voltmètre, dbm et gain (diapo 3) Courbe de gain et analyseur de spectre (diapo 5) Diagrammes asymptotiques (diapo 9) Diagrammes asymptotiques (diapo 10) Les cassures (diapo 11) Caractérisation des cassures (diapos 1-13) Transmittance en BF (diapos 14 à 17) Tracés de diagramme de Bode (diapo 18) Questionnaire : les diagrammes de Bode en questions ean-philippe muller version anvier 008

2 Guide pour le tracé des diagrammes de Bode Diagramme de Bode étape 1 : mettre la transmittance ω) sous orme standard en aisant apparaître au numérateur et au dénominateur un produit de termes de la orme : Termes de la transmittance Appellation K (au numérateur uniquement) 0 gain ω ω dérivateur (au numérateur) intégrateur ( au dénominateur) ω ω 0 ω 1 + m ω ω ω 1 er ordre ème ordre 0 0 Remarque : ne pas oublier de vériier si les onctions du ème ordre peuvent être actorisées (si m>1) étape : chercher l expression de la transmittance T BF(ω) aux basses réquences en aisant ω 0 Règles d approximation K gardé ω gardé ω 0 1 ω ω + remplacé par 1 0 ω 1 + m ω remplacé par 1 ω ω 0 0 étape 3 : tracer le diagramme de Bode asymptotique de T BF(ω) qui est le début du diagramme de ω) Transmittance aux BF Courbe de gain Courbe de phase si Horizontale 0log(K) T BF ( ω ) K si T ( ω) ω BF ω Horizontale 0 si K positi, -180 si K négati Pente +0dB/décade Passe par 0dB à ω ω 0 Horizontale, +90 degrés 0 si T ( ) 1 BF ω ω ω Pente -0dB/décade Passe par 0dB à ω ω 0 Horizontale, -90 degrés 0 étape 4 : terminer le diagramme asymptotique de ω) en plaçant les cassures des onctions du 1 er et ème ordre du numérateur et du dénominateur Fonction Au numérateur Au dénominateur ω ω Cassure simple vers le haut à ω ω 0 Rotation de phase de +90 degrés Cassure simple vers le bas à ω ω 0 Rotation de phase de -90 degrés 0 ω 1 + m ω ω ω 0 0 Cassure double vers le haut à ω ω 0 Rotation de phase de +180 degrés Cassure double vers le bas à ω ω 0 Rotation de phase de -180 degrés étape 5 : tracer les courbes de gain et de phase réelles Fonction Courbe réelle de gain ω ω Passe à ±3 db de la cassure 0 ω 1 + m ω ω ω 0 0 Calculer le gain à la cassure ( ω ω 0 ) et placer le point Courbe réelle de phase Passe à ± 45 degrés Passe à ± 90 degrés c est terminé!

3 BSEL - Physique appliquée Exercices d application ean-philippe muller version anvier 008

4 BOD01-Mesures de gain et de phase (diapo 1) Diagramme de Bode comprendre les liens qui existent entre courbe de gain et courbe de phase Un préampliicateur, conçu pour être alimenté par une tension aible (3V), a le schéma structurel suivant : Son diagramme de Bode est le suivant : Pour ce préampliicateur : la réquence de coupure basse est : b la réquence de coupure haute est : h le gain dans la bande passante vaut : G 0 l ampliication dans la bande passante vaut : A v0 a 10 Hz, l ampliicateur introduit un déphasage de : ϕ si e(t) 0,0.cos(π5000t), la sortie s écrit : s(t)

5 BOD0-Voltmètre, dbm et gain (diapo 3) Diagramme de Bode comprendre comment on relève une courbe de gain au voltmètre numérique On étudie un iltre RC passe-bas à l aide d un générateur BF et d un voltmètre numérique : Les mesures sont aites dans les conditions suivantes : le générateur basse-réquence ournit à sa sortie un signal sinusoïdal de valeur eicace 1V le voltmètre en position «db» convertit le niveau du signal en dbm sur 600 Ω 1) Lorsque le voltmètre mesure e(t), quelle valeur E dbm aiche-t-il? ) Donner l expression de la transmittance complexe ω) du iltre en onction de R,C et ω, puis exprimer son module. 3) Calculer le module de la transmittance à la réquence de 15,838 khz aichée par le GBF. 4) En déduire la valeur eicace de la tension de sortie S, puis la valeur S dbm aichée par le voltmètre relié à la sortie. 5) En mettant le niveau d entrée E dbm en mémoire (touche «zéro»), le voltmètre aiche le gain G S dbm E dbm. Quelle valeur devrait aicher le voltmètre sur la photo? Comment peut-on expliquer le léger écart observé?

6 BOD03-Courbe de gain et analyseur de spectre (diapo 5) Diagramme de Bode comprendre comment on peut tracer les courbes de gain à l analyseur de spectre Un iltre i pour l étage «image» de la télévision a été testé au moyen d un analyseur de spectre équipé d un générateur suiveur (ou de tracking) : branchement illustré sur la photo ci-contre niveau de sortie du suiveur : 0 dbm. échelles : centrale 38,9 MHz - span MHz/div La courbe donnant le niveau du signal de sortie du iltre en onction de la réquence est alors la suivante : En s aidant du spectre du signal TV après le mélangeur superposé à la courbe de réponse, déterminer : la réquence où l atténuation du iltre est minimale, et la valeur de cette atténuation : A mini l atténuation du iltre pour la porteuse image : A image l atténuation du iltre pour la sous-porteuse son A son l atténuation minimale «hors-bande passante» A hors-bande >

7 BOD04-Diagrammes asymptotiques (diapo 9) Diagramme de Bode comprendre les liens qui existent entre courbe de gain et courbe de phase On donne la courbe de gain asymptotique, tracer la courbe de phase asymptotique. On donne la courbe de phase asymptotique, tracer la courbe de gain asymptotique.

8 BOD05-Diagrammes asymptotiques (diapo 10) Diagramme de Bode savoir tracer les courbes réelles à partir des diagrammes asymptotiques On donne la courbe de gain asymptotique du diagramme de Bode d un système. Tracer la courbe de phase asymptotique, puis les courbes de gain et de phase réelles sachant qu à la première cassure du second ordre la courbe réelle passe à 8 db au-dessus de la cassure et à la deuxième à 4 db en-dessous de la cassure.

9 BOD06-Les cassures (diapo 11) Diagramme de Bode savoir tracer un diagramme asymptotique à partir de la liste des cassures A- Le diagramme de Bode d un système démarre avec un gain de 10 db et une phase nulle. Ce diagramme présente les cassures suivantes : cassure du premier ordre vers le haut à 10 Hz cassure du second ordre vers le bas à 80 Hz cassure du premier ordre vers le bas à 800 Hz Tracer les courbes de gain et de phase asymptotiques.

10 Diagramme de Bode B- Le diagramme de Bode d un système démarre avec une pente de + 0 db/dec et passe à 0 db à 3 Hz. Ce diagramme présente les cassures suivantes : cassure du premier ordre vers le bas à 0 Hz cassure du second ordre vers le bas à 100 Hz cassure du premier ordre vers le bas à 600 Hz Tracer les courbes de gain et de phase asymptotiques.

11 BOD07-Caractérisation des cassures (diapos 1 et 13) Diagramme de Bode savoir trouver les cassures à partir de la transmittance Pour les transmittances suivantes, trouver la réquence et le type des cassures : 50( ) ) 0 ( ) 500 première cassure à : Hz deuxième cassure à : Hz troisième cassure à : Hz 00+ 0, 4 ) 10 + première cassure à : Hz deuxième cassure à : Hz troisième cassure à : Hz 0 ) première cassure à : Hz deuxième cassure à : Hz troisième cassure à : Hz 5+ ) 6 (0+ )( ) 100 première cassure à : Hz deuxième cassure à : Hz troisième cassure à : Hz

12 BOD08-Transmittance en BF (diapos 14 à 17) Diagramme de Bode savoir trouver la transmittance équivalente aux basses réquences pour tracer le début du diagramme de Bode Pour les transmittances suivantes, trouver la transmittance équivalente aux basses-réquences et dessiner les courbes de gain et de phase asymptotiques aux basses-réquences , 4 ) 10 + () T BF La courbe de gain : est horizontale monte à 0 db/dec monte à 40 db/dec descend à -0dB/dec descend à 40dB/dec La phase vaut : 180 degrés -90 degrés 0 degré 90 degrés 180 degrés ) () T BF La courbe de gain : est horizontale monte à 0 db/dec monte à 40 db/dec descend à -0dB/dec descend à 40dB/dec La phase vaut : 180 degrés -90 degrés 0 degré 90 degrés 180 degrés

13 Diagramme de Bode 50( ) ) 00 ( ) 5000 () T BF La courbe de gain : est horizontale monte à 0 db/dec monte à 40 db/dec descend à -0dB/dec descend à 40dB/dec La phase vaut : 180 degrés -90 degrés 0 degré 90 degrés 180 degrés 0 ) () T BF La courbe de gain : est horizontale monte à 0 db/dec monte à 40 db/dec descend à -0dB/dec descend à 40dB/dec La phase vaut : 180 degrés -90 degrés 0 degré 90 degrés 180 degrés

14 BOD09-Tracé du diagramme de Bode (diapo 18) Diagramme de Bode maîtriser les diérentes étapes du tracé d un diagramme de Bode Mettre les transmittances suivantes sous la orme standard, trouver la transmittance équivalente aux basses-réquences et les cassures, puis dessiner les courbes de gain et de phase asymptotiques et réelles ) 500+ T () () T BF Cassures : 10+ ) 5 ( ) 00 T () () T BF Cassures :

15 Diagramme de Bode 1600 ) (40+ )(00+ ) T () () T BF Cassures : ) T () () T BF Cassures : Remarque : pour préciser le tracé de la courbe réelle, on calculera le module de la transmittance à la cassure.

16 BOD10-Tracé du diagramme de Bode Diagramme de Bode entraînement au tracé 10( 0,001) ) 0,05 Mettre sous la orme standard, en déduire la transmittance aux basses-réquences, caractériser les cassures, tracer le diagramme asymptotique, calculer les points utiles et tracer le diagramme réel, établir les équations des 3 asymptotes, en déduire par un calcul simple le gain et la phase à 100 Hz.

17 BOD11-Tracé du diagramme de Bode Diagramme de Bode entraînement au tracé 100(50+,5) ) 50+ Mettre sous la orme standard, en déduire la transmittance aux basses-réquences, caractériser les cassures, tracer le diagramme asymptotique, calculer les points utiles et tracer le diagramme réel, établir les équations des 3 asymptotes, en déduire par un calcul simple le gain et la phase à 100 Hz.

18 BOD1-Tracé du diagramme de Bode Diagramme de Bode entraînement au tracé 100(50+,5) ) (50+ ) Mettre sous la orme standard, en déduire la transmittance aux basses-réquences, caractériser les cassures, tracer le diagramme asymptotique, calculer les points utiles et tracer le diagramme réel, établir les équations des 3 asymptotes, en déduire par un calcul simple le gain et la phase à 100 Hz.

19 BOD013-Tracé du diagramme de Bode Diagramme de Bode entraînement au tracé 10 ) (10+ )( 0,6 ) Mettre sous la orme standard, en déduire la transmittance aux basses-réquences, caractériser les cassures, tracer le diagramme asymptotique, calculer les points utiles et tracer le diagramme réel, établir les équations des 3 asymptotes, en déduire par un calcul simple le gain à Hz et à 600 Hz.

20 Diagrammes de Bode - Réponses Exercice BOD01 : la réquence de coupure basse est : b 50 Hz la réquence de coupure haute est : h 400 khz le gain dans la bande passante vaut : G 0 30 db l ampliication dans la bande passante vaut : A v0 31,6 a 10 Hz, l ampliicateur introduit un déphasage de : ϕ -50 si e(t) 0,0.cos(π5000t), la sortie s écrit : s(t) 0,63cos(π5000t - π) Exercice BOD0 : 1) E dbm, dbm ) ω) 1 3) T 0,709 RC 4) S dbm -0,77 dbm 5) G S E - 3 db ω Exercice BOD03 : la réquence où l atténuation du iltre est minimale, et la valeur de cette atténuation : A mini 7 db l atténuation du iltre pour la porteuse image : A image 14 db l atténuation du iltre pour la sous-porteuse son A son 60 db l atténuation minimale «hors-bande passante» A hors-bande > 48 db Exercice BOD04 : cassure du premier ordre vers le bas rotation de phase de 90 vers le bas cassure du premier ordre vers le haut rotation de phase de 90 vers le haut Exercice BOD05 : pour un premier ordre, la courbe réelle passe à 3 db des asymptotes à la cassure. pour un second ordre, la courbe réelle passe à x db des asymptotes à la cassure ( x dépend de m, à calculer) Exercice BOD06 : cassure du premier ordre la pente change de ± 0 db cassure du second ordre la pente change de ± 40 db cassure au numérateur la rupture de pente se ait vers le haut cassure au dénominateur la rupture de pente se ait vers le bas Exercice BOD07 : 50( ) ) 0 ( ) ,4 ) première cassure à : 0 Hz vers le haut, du premier ordre la rotation de phase est de +90 degrés deuxième cassure à : 500 Hz vers le bas, du premier ordre la rotation de phase est de 90 degrés première cassure à : 10 Hz vers le bas, du premier ordre la rotation de phase est de 90 degrés deuxième cassure à : 500 Hz vers le haut, du premier ordre la rotation de phase est de +90 degrés

21 Diagrammes de Bode - Réponses 0 ) ,4 ( ) première cassure à : 50 Hz vers le bas, du second ordre la rotation de phase est de -180 degrés 5+ ) 6 1,5 5 (0+ )( ) ( )( ) première cassure à : 5 Hz vers le haut, du premier ordre la rotation de phase est de +90 degrés deuxième cassure à : 0 Hz vers le bas, du premier ordre la rotation de phase est de 90 degrés troisième cassure à : 100 Hz vers le bas, du premier ordre la rotation de phase est de 90 degrés Exercice BOD08 : 00+ 0,4 ) T 10+ BF ( ) 0 6dB 10 Aux basses-réquences, la courbe de gain a une pente nulle et la phase vaut 0 degré. ) T + 50 db BF ( ) ,5 ( ) Aux basses-réquences, la courbe de gain a une pente nulle et la phase vaut 0. 50( ) ) 00 ( ) 5000 T ( ) 1 BF 50 Aux basses réquences, a courbe de gain est décroissante à -0dB/dec et la phase vaut -90 degrés 0 ) ,4 ( ) T BF ( ) 15 Aux basses réquences, la courbe de gain est croissante à 0 db/dec et la phase vaut 90 degrés. Exercice BOD09 : ) T 500+ BF ( ) 10 0dB 500 Démarre avec une pente nulle (à 0 db, 0 ), cassure ordre 1 vers le haut à 50 Hz, cassure ordre 1 vers le bas à 500 Hz 10+ ) 5 50 ( ) ( ) T ( ) 1 BF 10

22 Diagrammes de Bode - Réponses Démarre avec une pente de 0 db/dec et 90 ( passe par 0dB à 10Hz), cassure ordre 1 vers le haut à 50Hz, cassure ordre 1 vers le bas à 00 Hz ) 5 (40+ )(00+ ) ( )( ) T BF ( ) 5 Démarre avec une pente de +0 db/dec et +90 ( passe par 0dB à 5Hz), cassure ordre 1 vers le bas à 40Hz, cassure ordre 1 vers le bas à 00 Hz. ) T + 6 db BF ( ) 6 0,3 ( ) 0 0 Démarre avec une pente nulle (6 db, 0 ), cassure ordre vers le bas à 0 Hz. A 0 Hz, la transmittance vaut en module T/0,3 6,67 16,5 db : la courbe de gain présente un pic important et passe à 16,5 db au-dessus de la cassure. Exercice BOD010 : Gain de 0 db en BF, cassure vers le bas à 0 Hz, puis cassure vers le haut à 1000 Hz Exercice BOD011 : Gain de 40 db en BF, cassure vers le haut à 0 Hz, puis cassure vers le haut à 50 Hz Exercice BOD1 : 100(50+,5) ) 0 (50+ ) ( ) ( ) T 1 BF ( ) ( 10 ) démarre avec une pente de -40 db/dec et -180 ( passe par 0dB à 10Hz) cassure ordre 1 vers le haut à 0Hz ( la pente passe à 0dB/dec, la phase passe à -90 ) cassure ordre 1 vers le bas à 50 Hz ( la pente passe à 40db/dec, la phase descend à 180 ) asymptote 1 si < 0Hz : asymptote si 0 Hz < < 50 Hz : T 1( ) T ( ) 1 BF ( ) 10 pente -40 db/dec passant par 0dB à 10 Hz T ( ) 0 1 ( ) 10 5 pente -0 db/dec passant par 0dB à 5 Hz asymptote 3 si > 50 Hz : T 3 ( ) 1 pente 40dB/dec passant par 0dB à 15,8 Hz ( ) 15,8 à 100 Hz on est sur la 3 ème asymptote et on a : ( 100) 0, 05 ( ) 15, T soit T -3 db et ϕ - 180

23 Diagrammes de Bode - Réponses Exercice BOD13 : 10 ) 1 (10 )(1 0,6 ) (1 )(1 0,6 ( ) ) T BF ( ) 1 démarre avec une pente de +0 db/dec et +90 ( passe par 0dB à 1Hz) cassure ordre 1 vers le bas à 10Hz ( la pente devient nulle, la phase passe à 0 ) cassure ordre vers le bas à 00 Hz ( la pente passe à 40db/dec, la phase descend à 180 ) asymptote 1 si < 10Hz : T 1( ) T BF ( ) 1 pente +0 db/dec passant par 0dB à 1 Hz asymptote si 10 Hz < < 00 Hz : T 1 ( ) 10 0dB 10 pente nulle 1 3 ( ) ) asymptote 3 si > 00 Hz : T pente 40dB/dec passant par 0dB à 63 Hz à Hz on est sur la première asymptote et ( ( ) ) ( 63 T ( ) 1 1 soit T6dB à 600 Hz on est sur la 3 ème asymptote et T ( 600) ) 3 1, 1 soit T 1,1 0,9 db (

24 BSEL - Physique appliquée Questionnaire ean-philippe muller version anvier 008

25 Diagramme de Bode 1- Tracé du diagramme de Bode de : 00+ 0, 4 ) 10 + l expression pratique pour le tracé de Bode est T () aux réquences basses, l expression approchée est T BF () la courbe de gain est horizontale, montante, descendante ( pente 0 40dB/décade) * la phase vaut 180, -90,0, 90, 180 degrés * quand la réquence augmente, on rencontre une première cassure à Hz quand la réquence augmente, on rencontre une deuxième cassure à Hz (vériication) aux réquences très élevées, l expression approchée est T HF () la courbe de gain est horizontale, montante, descendante ( pente 0dB/décade, 40dB/décade) la phase vaut 180, -90,0, 90, 180 degrés * : rayer les mentions inutiles, ou entourer la mention exacte ean-philippe muller

26 Diagramme de Bode - Tracé du diagramme de Bode de ) 0 ( ) aux réquences basses, l expression approchée est T BF () la courbe de gain est horizontale, montante, descendante ( pente 0 40dB/décade) la phase vaut 180, -90,0, 90, 180 degrés quand la réquence augmente, on rencontre une première cassure à Hz quand la réquence augmente, on rencontre une deuxième cassure à Hz (vériication) aux réquences très élevées, l expression approchée est T HF () la courbe de gain est horizontale, montante, descendante ( pente 0dB/décade, 40dB/décade) la phase vaut 180, -90,0, 90, 180 degrés ean-philippe muller

27 Diagramme de Bode 0 3- Tracé du diagramme de Bode de ) l expression standard est T () aux réquences basses, l expression approchée est T BF () la courbe de gain est horizontale, montante, descendante ( pente 0 40dB/décade) la phase vaut 180, -90,0, 90, 180 degrés quand la réquence augmente, on rencontre une cassure à Hz (vériication) aux réquences très élevées, l expression approchée est T HF () la courbe de gain est horizontale, montante, descendante ( pente 0dB/décade, 40dB/décade) la phase vaut 180, -90,0, 90, 180 degrés ean-philippe muller

28 Diagramme de Bode Réponses 1- l expression pratique pour le tracé de Bode est aux réquences basses, l expression approchée est horizontale et la phase vaut 0 degrés ( ) ) ( ) 10 T BF ( ) 0 6dB, la courbe de gain est quand la réquence augmente, on rencontre une première cassure à 10Hz, vers le bas, du premier ordre et la rotation de phase est de -90 degrés quand la réquence augmente, on rencontre une deuxième cassure à 500 Hz, vers le haut, du premier ordre et la rotation de phase est de +90 degrés (vériication) aux réquences très élevées, l expression approchée est courbe de gain est horizontale et la phase vaut 0 degrés la courbe de gain réelle passe à 3dB au niveau des cassures T HF ( ) 0,4 8dB, la - aux réquences basses, l expression approchée est T ( ) 1 BF la courbe de gain est 50 descendante ( pente -0dB/décade), passe par 0dB à 50Hz et la phase vaut 90 degrés quand la réquence augmente, on rencontre une première cassure à 0 Hz, vers le haut, du premier ordre, et la rotation de phase est de +90 degrés quand la réquence augmente, on rencontre une deuxième cassure à 500 Hz, vers le bas, du premier ordre, et la rotation de phase est de -90 degrés (vériication) aux réquences très élevées, l expression approchée est T ( ) 1 HF, la 150 courbe de gain descend ( pente -0dB/déc), passe par 0dB à 150Hz, et la phase vaut -90 degrés la courbe de gain réelle passe à 3dB au niveau des cassures 3- l expression standard est T ) 15 0, ( l amortissement vaut m0, la onction du second ordre ne peut donc pas être actorisée aux réquences basses, l expression approchée est montante ( pente 0dB/décade) et la phase vaut 90 degrés T BF ( ), la courbe de gain est 15 quand la réquence augmente, on rencontre une cassure à 50 Hz, vers le bas, du second ordre, la rotation de phase est de -180 degrés (vériication) aux réquences très élevées, l expression approchée est de gain est descendante ( pente -0dB/décade), la phase vaut -90 degrés on précisera le tracé de la courbe réelle en calculant le module à 50 Hz : T ( ) 1 HF, la courbe 0 T ( 50) 1 0dB ean-philippe muller