Acquisition, Représentation et Traitement des Connaissances 4 ème Année Contrôle des connaissances Durée : 1 heure 30

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1 Acquisition, Représentation et Traitement des Connaissances 4 ème Année Contrôle des connaissances Durée : heure 30 Tous les documents sont autorisés, les calculatrices également. Les réponses justes sont en rouge. Le sujet est en 5 exercices que vous réaliserez "au brouillon". Vous fournirez vos réponses sur la feuille de QCM qui vous est distribuée en accompagnement en cochant les cases correspondant aux bonnes réponses. Pour chaque question, il peut y avoir 0, ou plusieurs bonnes réponses. Cocher des réponses fausses peut entraîner des points négatifs. Vous aurez aussi à fournir un schéma de réseau sémantique au dos de la feuille QCM (exercice 5). Remplissez la feuille QCM avec beaucoup d'attention et de soin, et n'oubliez pas les détails administratifs : remplir soigneusement l en-tête du QCM : tout en-tête qui ne sera pas intégralement rempli entraînera la note zéro. Le numéro désigné par le vocable «code réglementaire» correspond à votre numéro de dossier (présent sur votre carte d étudiant). Exercice. Logique des défauts. u(x):v(x) Rappel : un défaut est de la forme où u(x), v(x), w(x) sont des formules w(x) de la logique des prédicats qui contiennent x comme variable libre. Sa signification est : si u(x) est connu et v(x) consistant avec ce qui est connu, alors inférer w(x). Un défaut est dit normal lorsque v(x) et w(x) sont identiques. Par exemple : canard(x) :jaune(x) jaune(x) se lira : «si x est un canard et s il est consistant de croire qu il est jaune, alors inférer que x est jaune» ; ou encore : «un canard est jaune, sauf exception» ; ou encore : «en général, un canard est jaune». Considérons la base de connaissances suivante : - (D) : en général, les mammifères ne volent pas; - (D2) : en général, les chauve-souris volent; - (R) : les vampires sont des mammifères; - (R2) : les chauve-souris sont des mammifères ; - (F) : Dracula est un vampire ; - (F2) : Stuart est une chauve-souris. Soit U l'ensemble : {( x) ( V(x) M (x)) ; ( x) ( CS(x) M (x)) ; V(D) ; CS(S) }.

2 [ Nous avons utilisé des abréviations évidentes pour la définition des prédicats! ] Appelons d l'ensemble { D, D 2 }. (U, d) est la théorie de défauts qui représente exactement la base de connaissances donnée. Alors : () (U, d) n a pas d extension (2) (U, d) a une extension (3) (U, d) a deux extensions (4) (U, d) a n > 2 extensions (5) Dracula vole (6) Dracula ne vole pas (7) Il y a ambiguïté : Dracula vole ou ne vole pas, selon l extension considérée (8) Stuart vole (9) Stuart ne vole pas (0) Il y a ambiguïté : Stuart vole ou ne vole pas, selon l extension considérée Le défaut D s écrit : M(x): vol(x). vol(x) Le défaut D 2 s écrit : CS(x):vol(x). vol(x) En appliquant D aux objets de U, on obtient vol(d). En appliquant D une nouvelle fois, on obtient vol(s). D 2 n est alors pas applicable et on a une première extension : U { vol(d), vol(s) }. Si maintenant on applique aux objets de U une fois le défaut D puis une fois le défaut D 2, on obtient une seconde extension : U { vol(d), vol(s) }. (on vérifie bien ici qu on ne peut plus appliquer ni D, ni D 2 ). On peut aussi vérifier que l ordre des défauts est ici sans importance. Il n y a donc pas d autre extension. Exercice 2. Logique des Défauts. Dans la suite, A, B et C sont des constantes. Considérons le monde W = { B, A } et la règle de défaut D : () (W, D) n a pas d extension (2) (W, D) a une extension : A C.

3 A et A sont inconsistants. Considérons le monde W = { B, A } et la règle de défaut D : A : B C (3) (W, D) n a pas d extension (4) (W, D) a une extension (5) (W, D) a 2 extensions. L extension est { B, A, C } Considérons le monde W = { A } et les règles de défaut D : (6) (W, D) n a pas d extension (7) (W, D) a une extension (8) (W, D) a 2 extensions A : B B, B : C C, B : C C. Les deux premiers défauts donnent l extension { A, B, C }. Le er et le 3 ème défauts donnent l extension { A, B, C }. Considérons le monde W = { B (A C)} et les règles de défaut : A D : A, : B B, : C C. (9) (W, D) possède extension (20) (W, D) possède 2 extensions (2) (W, D) possède n>2 extensions (22) B appartient à une extension de (W,D) (23) B appartient à une extension de (W,D) (24) Si B appartient à une extension de (W,D), alors A et C aussi (25) Si B appartient à une extension de (W,D), alors A et C aussi (26) Si B appartient à une extension de (W,D), alors A et C aussi (27) Si B appartient à une extension de (W,D), alors A et C aussi L expression B (A C) est vraie lorsque B est faux et aussi lorsque B et (A C) sont vrais. Dans le er cas, il est consistant de croire que A et C sont vrais (leur valeur de vérité est sans importance) et B est faux (donc B vrai). De sorte que les défauts et 3 sont applicables, mais pas 2. Et nous avons la ère extension : W { B, A, C }. Dans le second cas, A et C sont faux (donc A et C sont vrais) et B vrai ; le défaut 2 s applique donc, même s il ne nous apprend rien! Et nous avons la 2 ème extension : W { B, A, C }. Il est clair qu il n y a pas de 3 ème possibilité.

4 Exercice 3. Apprentissage automatique Soit le paquet de règles de discrimination suivant : Si x = vrai et z = vrai, Alors t = vrai Si y = vrai et z = vrai, Alors t = vrai Sinon t = faux où toutes les variables x, y, z et t sont binaires. Le(s)quel(s) des codes génétiques suivants respecte(nt)-il(s) la méthode de codage des règles de GABIL? (28) (29) (30) Le(s)quel(s) des réseaux de perceptrons suivant(s) est(sont)-il(s) équivalent(s) au paquet de règles? (on code vrai en et faux en ) x y z 2 - t y x z - t x y z t (3) le er réseau à partir de la gauche (32) le réseau du milieu (33) le 3 ème réseau à partir de la gauche L application directe de la méthode de codage de Gabil (voir encadré dans le poly) donne la réponse 30. Pour vérifier que les 3 réseaux représentent effectivement les règles données, on peut banalement faire le tableau des calculs effectués par les neurones. Les mêmes résultats seraient-ils vrais si on codait vrai en et faux en 0? Exercice 4. Sous-ensembles flous. Soient A, B, C, D, E des sous-ensembles flous de l ensemble X. On notera P le complémentaire dans X du sous-ensemble flou P et P le complémentaire de P dans X.

5 On rappelle que µ P (x) = -µ P (x). Alors : (34) A = A (35) ( A B ) = A B (36) A (B C) = (A (B C )) (37) A (B C) = (A B) (A C) mais, en général, A (B C) (A B) (A C) (38) A (B C) = (A B) (A C) et A (B C) = (A B) (A C) (39) D E = (D E) D (40) (A D) (A D) D (4) (A D) (A D) D Pour plus de commodité, je vais noter ici a pour µ A (x), a pour µ A (x) et a pour µ A (x). Je noterai a v b pour µ A B (x) et a b pour µ A B (x). Tout l exercice repose sur les calculs de bornes supérieures ( v ) et inférieures ( ). (34) : - ( - a) = a (35) : (a v b ) = sup ( a, b ) = inf ( -a, -b ) (36) : (a v (b c )) = sup ( -a, inf (-b, -c)) = inf ( -+a, - inf ( -b, -c )) = inf ( a, sup ( -+b, -+c )) = inf ( a, sup ( b, c )) = a (b v c ) (37) et (38) : a v (b c) = (a v b) (a v c) a (b v c) = (a b) v (a c) (39) : nous avons à l évidence une inclusion : (D E) D D E. Mais l égalité n est pas vraie : il suffit pour le vérifier de choisir de faire varier x dans le segment [0,], de prendre µ E (x) constante, par exemple égale à 0,8 et µ D (x) linéaire croissante de 0 à pour x croissant de 0 à. Pour x = /2 nous pouvons calculer : Sup ( inf ( µ D (x), µ E (x) ), - µ D (x)) = 0,5 Sup ( - µ D (x), µ E (x) ) = 0,8. (40) et (4) : à l évidence, (a v d) de même que ((-a) v d) sont supérieurs ou égaux à d ; de sorte que l inf des deux est lui-même supérieur ou égal à D et (4) est vrai. Il est en revanche aisé de trouver un contre-exemple à (40) : prenons µ A (x) linéaire croissante de 0 à pour x croissant de 0 à et µ D (x) = µ A (x) 0, pour x>0, et nul sinon. Exercice 5. Réseaux sémantiques. Dessinez au dos de la feuille QCM le réseau sémantique représentant l ensemble des connaissances suivantes : - tout prédateur effraie sa proie - les chats sont des prédateurs pour les oiseaux - «Matou» est un chat qui effraie l oiseau «Piaf»

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