S TAT I S T I Q U E S.

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1 S TAT I S T I Q U E S. 1. Vocabulaire. 1.1 Etude statistique. On effectue une étude statistique sur une population, en étudiant un caractère bien précisé sur les individus de cette population. On collecte et on dépouille les données. Un échantillon est une partie de la population. 1.2 Série statistique : La liste des valeurs prises (ou modalités) prises par caractère constitue la série statistique. 1.3 Caractère étudié. C est l aspect étudié sur chaque individu. Le résultat possible (mesure ou réponse) est la valeur du caractère Si le caractère étudié prend des valeurs numériques, il est dit quantitatif. Ce caractère quantitatif peut-être discret s il ne prend que des valeurs isolées et précises. Ce caractère quantitatif est dit continu s il peut prendre toutes les valeurs d un intervalle Si le caractère étudié ne prend pas de valeurs numériques, il est dit qualitatif. Exemple : des opinions, des comportements, des couleurs etc E X E R C I C E 1 Répondre aux questions Voici les résultats d un sondage effectué sur un groupe de 85 élèves. Estimes-tu que les professeurs sont en général : Trop sévères? 50% Pas assez sévères? 47% Sans opinions 3% 1. Donner la population concernée par cette étude et la taille de l échantillon étudié. 2. Préciser le caractère étudié et les valeurs possibles de ce caractère. 1

2 C O U R S D E S E C O N D E A C T I V I T É S N U M É R I Q U E S 1.4 Effectif et fréquence. L effectif d une modalité, est le nombre d individus de la population ayant cette modalité. La fréquence de la modalité est le quotient de l effectif de cette modalité par l effectif total. On calculera : effectif de la modalité n fréquence de la modalité = = effectif total N N.B. On aura toujours : 0 f 1 On appelle distribution des fréquences, l ensemble des fréquences de toutes les modalités. N.B. : La somme des fréquences d une distribution est égale à 1 E X E R C I C E 2 Répondre aux questions. On a étudié l âge des élèves d une classe de seconde. Compléter la ligne des fréquences du tableau suivant : (arrondir les résultats à Âge Total Effectif Fréquences 2 10 ) 1.5 Fréquence cumulée croissante. On appelle fréquence cumulée croissante (resp.décroissante) associée à la modalité x i, la somme des fréquences dont la modalité est inférieure ou égale à x i E X E R C I C E 3 Répondre aux questions ; Sur une commune, on a recensé les surfaces, des exploitations et l on a obtenu les résultats suivants : Surface x i (en ha) ] 0 ; 15 ] ] 15 ; 30 ] ] 30 ; 45 ] ] 45 ; 60 ] ] 60 ; 100 ] Nombre d exploitations x i, des terres agricoles de l ensemble Etablir un tableau faisant apparaître les effectifs et les fréquences cumulées croissantes. Surface inférieure ou égale à x i Effectif cumulé croissant Fréquence cumulée croissante 2

3 Etendue L étendue d une série statistique est la différence entre les valeurs extrêmes du caractère. E X E R C I C E 4 A chercher On considère les deux séries suivantes, qui se situent dans une classe de seconde : Série 1 : Répartition des notes au dernier contrôle de Math en seconde 1. Note ( x i) Total Nombres d élèves ( n i) Fréquences ( f i ) Fréquences cumulées croissantes Série 2 : Répartition des différentes tailles des élèves de la classe, en seconde 2. Taille (en cm) [ 115 ; 135 [ [ 135 ; 145 [ [ 145 ; 155 [ [ 155 ; 165 [ [ 165 ; 185 [ [ 185 ; 195 [ Total Nombre d élèves ( n i ) Fréquences ( f i ) Fréquences cumulées croissantes 1. Quelle est la population étudiée? 2. Quel est le caractère étudié? Est-il qualitatif? quantitatif? Préciser s il est discret ou continu. Pour la série 1 : Pour la série 2 : 3. Quel est l effectif total? Pour la série 1 : Pour la série 2 3

4 C O U R S D E S E C O N D E A C T I V I T É S N U M É R I Q U E S 2. Représentations graphiques. 2.1 Diagramme en bâton. On l utilise pour représenter graphiquement une série statistique de caractère discret. On place en abscisse les valeurs du caractère, et en ordonnée les effectifs. Voici le diagramme en bâton de la série 1 de l exercice précédent. 1 y Série 1 : Notes du dernier contrôle de math x Q1Med Q3 2.2 Histogramme. On l utilise pour représenter graphiquement une série statistique dont le caractère est continu. L aire de chaque rectangle est proportionnelle à l effectif. La largeur de chaque rectangle correspond à l amplitude de l intervalle de chaque classe (elle est exprimée en carreaux) effectif (ou fréquence) On calcule la densité de chaque classe, selon le rapport : largeur de l'intervalle On attribue à l aire de 1 carreau une valeur (ici : aire de 1 carreau = 1%) puis on divise la densité par cette valeur pour trouver la hauteur du rectangle. Voir page suivante la représentation de l histogramme de la série 2 de l exercice précédent. Choisir une unité, en carreaux, sur l axe des abscisses, et indiquer les amplitudes sur l axe des abscisses. Taille (en cm) [ 115 ; 135 [ [ 135 ; 145 [ [ 145 ; 155 [ [ 155 ; 165 [ [ 165 ; 185 [ [ 185 ; 195 [ Total Nombre d élèves ( n i ) Fréquence (%) 9,09 33,33 24,24 21,21 9,09 3,03 Largeurs de l intervalle (en carreaux) Densité des intervalles 2,3 16,7 12,1 10,6 2,3 1,5 1 Notez la présence de Q1, Med et Q3. Ces valeurs seront expliquées plus loin. 4

5 Voici ce que cela donne : 2 Série 2 / Taille des élèves de seconde x D1Q1 Med Q3 D9 = 1,0 % E X E R C I C E 5 Répondre aux questions Les élèves d un lycée ont répondu à la question suivante : «A quelle distance du lycée habitez-vous?» Les réponses sont consignées dans les deux premières lignes du tableau suivant, qui est à compléter. Distance (en Km) [ 0 ; 2 [ [ 2 ; 4 [ [ 4 ; 7 [ [ 7 ; 10 [ [ 10 ; 20 [ Effectifs Largeur du rectangle en carreaux Hauteur (en carreaux) Choix des unités : En abscisses : 2 carreaux = 1 unité. Donc une amplitude de 2, a une largeur de 4 carreaux On choisit que l aire de 1 carreau représente 10 élèves. La hauteur du rectangle de largeur 4 sera donc de : 72 40= 1.8 carreaux 2 Les valeurs correspondant à D1, Q1, Med, Q3 et D9 seront expliquées plus loin. 5

6 C O U R S D E S E C O N D E A C T I V I T É S N U M É R I Q U E S On divise les effectifs par 10 fois le nombre de carreaux de la largeur de l intervalle, pour trouver la hauteur du rectangle correspondant On dessine l histogramme ci-dessous : x 2.3 Diagramme circulaire. On l utilise pour représenter une série statistique dont le caractère est discret, ou encore qualitatif. L ouverture de l angle de chaque secteur est proportionnelle à la fréquence de la modalité. Intéressons nous nous à la situation suivante : Dans une classe de 32 élèves, le choix de la seconde langue vivante s est fait de la façon suivante : Langue Anglais Allemand Espagnol Total Effectif Fréquence 10 5 = = = Angle (en degrés) , 5 16 = , 5 16 = = On construit le diagramme circulaire suivant : Choix de la seconde langue Anglais : 31,25 % Allemand : 56,25 % Espagnol : 12,50 % 6

7 3. Caractéristiques de position. 3.1 Mode et classe modale Le mode d une série discrète : C est la valeur du caractère qui correspond au plus grand effectif La classe modale d une série continue : C est la classe qui correspond au plus grand effectif. Ainsi : Dans le cas de la série 2 de l exemple précédent, la classe modale est [ 135 ; 145 [ Dans le cas de la série 1 de l exemple précédent, il y a deux modes : 9 et La médiane Définition : C est la valeur du caractère qui partage la série ordonnée en deux parties de même effectif Détermination : M É D I A N E D U N E S É R I E D I S C R È T E Méthode de la liste. On range les valeurs du caractère par ordre croissant. Si l effectif total est impair, N = 2n+ 1 alors la médiane (Med) est la valeur de rang n+ 1 Si l effectif total est pair, N = 2n alors la médiane est la demi somme des valeurs de caractère n et n+ 1 E X E R C I C E 6 A chercher. Donner, en justifiant, la médiane des séries suivantes : Série 1 7 ; 9 ; 10 ; 11 ; 15 ; 17 ; 51 8 ; 10 ; 12 ; 15 Série 2 7

8 C O U R S D E S E C O N D E A C T I V I T É S N U M É R I Q U E S Méthode en utilisant les effectifs cumulés croissants On utilisera cette méthode lorsque les valeurs à recopier sont trop nombreuses. Calculons la médiane de la série 1 de la page 2. On commence par calculer les effectifs cumulés croissants (ou les fréquences cumulées croissantes), que l on regroupe dans un tableau. On obtient : (complète ce tableau) Note ( x i) Total Nombres d élèves ( n i) Effectifs cumulés croissants 1 4 Rappel : 1 signifie que 1 élève a une note inférieure ou égale à 2 4 signifie que élèves ont une note inférieure ou égale à 5 etc Il y a 34 élèves au total, donc la note médiane est située Conclusion : en observant le tableau ci-dessus, on en conclut que la note médiane est : M É D I A N E D U N E S É R I E À C A R A C T È R E C O N T I N U. On se propose de déterminer la médiane de la série 2 vue précédemment.(taille des élèves) Comme précédemment, on va utiliser le polygone des fréquences cumulées croissantes On construit d abord le tableau des fréquences cumulées croissantes : Taille (en cm) [ 115 ; 135 [ [ 135 ; 145 [ [ 145 ; 155 [ [ 155 ; 165 [ [ 165 ; 185 [ [ 185 ; 195[ Total Nombre d élèves ( n i ) Fréquences ( f i ) en % 9 33 Fréquences cumulées croissantes en % Fréquences cumulées décroissantes en % 4 3 Ensuite on trace le polygone des fréquences cumulées croissantes exprimées en %.(Par commodité) 3 Ici, 9 signifie que 9 % des élèves ont une taille strictement inférieure à 135 cm 33 signifie que 33 % des élèves ont une taille strictement inférieure à 145 cm 4 3 signifie que 3% des élèves ont une taille supérieure ou égale à 185 8

9 Reporte tes valeurs et construit ce polygone. Sur ce graphique, on remarque que le point d ordonnée 50, a pour abscisse environ. Cette valeur est la médiane de la série. Que signifie cette valeur médiane? y Tailles Voici donné par un logiciel le polygone que tu aurais dû obtenir : 110 Polygones des fréquences cumulées croissantes (en %) D1 Q1 Med Q3 D9 Tailles Examine bien ce graphique. Compte tenu de ce qui a été dit pour la signification de la médiane (Med), a ton avis : Que signifie Q1? 9

10 C O U R S D E S E C O N D E A C T I V I T É S N U M É R I Q U E S Que signifie Q3? Que signifie D1? Que signifie D9? 3.3 La moyenne Définition ; Soit une série d effectif total N et dont les valeurs du caractère sont x1, x2,... x N x La moyenne x est définie par 1+ x xn x= N Remarque : La somme x1 + x xn se note : N xi et se lit :»somme des i i= 1 x pour i variant de 1 à N» Et donc la moyenne de la série se notera : 1 N x= xi N i = 1 La série 8, 10, 12, 15 a pour moyenne : Calcul d une moyenne pondérée. Pour une série statistique quantitative, prenant les valeurs de x 1 à x p et connue par la distribution des effectifs n i (ou des fréquences f i ), la moyenne pondérée est le nombre x calculé par la relation : p p 1 x= N ni xi ou x= fi xi i = 1 i = 1 N.B. : si la série est regroupée en classes, on se ramène à un caractère discret en remplaçant chaque classe par son centre. E X E R C I C E 7 A chercher Déterminer la moyenne de chacune des séries statistiques suivantes sur un parc automobile : a) Nombre de passagers autorisés de 25 véhicules

11 Pour les calculs, il faut organiser les données dans le tableau suivant : i x i Total n i n x i On calcule ensuite : x = b) Vétusté de 80 véhicules du parc : Nb d années x i [ 0 ; 0,5 [ [ 0,5 ; 1 [ [ 1 ; 1,5 [ [ 1,5 ; 2 [ [ 2 ; 2,5 [ Total Effectif n i Centre des classes c i n c i i On calcule ensuite : x = Propriétés de la moyenne. a) Linéarité. Si on multiplie toutes les valeurs de la série par un même nombre a, alors la moyenne est multipliée par a. Ainsi : si la série x1, x2,... x n a pour moyenne x, alors la série ax1, ax2,... ax n a pour moyenne ax Si on ajoute le même nombre b à chacune des valeurs de la série, alors la moyenne est augmentée de b. Ainsi : si la série x1, x2... x n a pour moyenne x, alors la série x1 + b, x2+ b,... x n + b a pour moyenne x+ b Exemples : 1. Dans une classe la moyenne du contrôle de SVT a été de 8 sur 20. Le professeur a décidé d augmenter toutes les notes de 10% Calculer la nouvelle moyenne. 11

12 C O U R S D E S E C O N D E A C T I V I T É S N U M É R I Q U E S 2. Dans cette classe la moyenne du contrôle d hist-géo a été de 7,8. Le professeur décide d ajouter un point à chaque élève. Calculer la nouvelle moyenne. b) La moyenne des sous-groupes. Soit une série statistique séparée en deux sous-groupes distincts d effectifs respectifs n et p Le premier sous-groupe a pour moyenne z, et le second sous-groupe a pour moyenne y Dans ce cas la moyenne de la série statistique est : nz+ p y x= n+ p E X E R C I C E 8 A chercher Dans une classe de seconde, la moyenne générale des 12 élèves ayant choisi l option MPI est 12,74 et la moyenne générale des 18 élèves ayant choisi l option SES est 11,86 Calculer la moyenne générale de la classe. c) Moyenne élaguée. Lorsque les valeurs extrêmes, maximum ou minimum semblent douteuses, ou ne rentrent pas dans le cadre de l étude, on peut faire un calcul de moyenne élaguée en retirant ces valeurs de la série. E X E R C I C E 9 A chercher Observer la série suivante de la répartition des salaires dans une entreprise. Salaires (en ) Effectifs La situation est-elle adaptée au calcul d une moyenne élaguée? Pourquoi? Calculer cette moyenne. 12

13 Autre exemple : La série 7, 9, 10, 11, 15, 17, 51 a pour moyenne : Refaisons ce calcul en éliminant la valeur Choisir un indicateur. La valeur moyenne est parfois moins intéressante que la valeur médiane. Par exemple, la moyenne générale d une classe ne rend pas forcément compte du niveau général de la classe. Ainsi, deux classes de même moyenne générale peuvent avoir des niveaux très différents. Ce constat se fera grâce à la valeur médiane. E X E R C I C E 1 0 A chercher Deux classes de seconde ont eu le même contrôle. Voici les résultats : Classe de seconde 1 : 6 ; 6,3 ; 6,4 ; 6,6 ; 6,9 ; 7 ; 7,2 ; 7,5 ; 8 ; 8,4 ; 19,8 ; 19,9 ; 20 Classe de seconde 2 : 0,5 ; 1 ; 1,5 ; 8,9 ; 12 ; 12,5 ; 12,8 ; 13 ; 13,1 ; 13,4 ; 13,6 ; 13,7 ; 14 Calculer la moyenne, puis la médiane de chacune de ces classes, puis interpréter les résultats. 13

14 C O U R S D E S E C O N D E A C T I V I T É S N U M É R I Q U E S 4. Fluctuation d échantillonnage. Simulation. 4.1 Echantillonnage statistique. Soit une série statistique formée des résultats d une expérience, faite n fois, dans les mêmes conditions. Cette série constitue un échantillon statistique de taille n. Exemple : On lance un dé équilibré, numéroté de 1 à 6, et on note le chiffre qui apparaît sur la face supérieure. On répète cette expérience 100 fois. On obtient un échantillon A, de taille 100. On a noté les fréquences d apparition de chaque chiffre. Chiffre Fréquence A 0,14 0,17 0,19 0,18 0,17 0,15 C est le tableau de la distribution des fréquences. Ainsi, la fréquence de l évènement «le dé donne 5» est 0, Fluctuation d échantillonnage. On a construit deux échantillons A et B de taille 100, et on a noté pour chaque échantillon la distribution des fréquences. Chiffre Fréquence A 0,14 0,17 0,19 0,18 0,17 0,15 Fréquence B 0,15 0,16 0,16 0,18 0,17 0,18 On constate que les distributions des fréquences des deux échantillons ne sont pas les mêmes. On appelle cela la fluctuation d échantillonnage. La moyenne de l échantillon A est : La moyenne de l échantillon B est : 4.3 Simulation. Lorsqu on lance un dé équilibré (expérience précédente), on ne peut pas prévoir à l avance le résultat. Le lancer du dé est donc une expérience aléatoire. Simuler une expérience, c est choisir un modèle pour cette expérience. Exemple : La naissance d un enfant est assimilée à une expérience aléatoire ayant deux résultats possibles : garçon ou fille. Supposons que les chances sont égales d avoir un garçon ou une fille. Pour simuler la répartition des sexes dans 10 familles de 4 enfants : On lance 4 fois un dé équilibré, et on choisit «fille» si le résultat est pair, et «garçon» si le résultat est impair On répète 10 fois ces 4 lancers. Chaque groupe de 4 lancers correspondant à une famille de 4 enfants. 14

15 En répétant cette expérience 100 fois par exemple, on pourrait estimer la fréquence des familles constituées de 2 filles et deux garçons. 4.4 Utilisation de la fonction RAND 5 d une calculatrice. C est une fonction qui va sortir au hasard un nombre décimal de l intervalle [ 0 ;1[ comprenant 10 chiffres après la virgule Exemple de situation : On voudrait étudier la fréquence de répartition des sexes à l issue de 50 naissances. Si on sort 0, 2, 4, 6, 8 on associe une fille Si on sort 1, 3, 5, 7, 9 on associe un garçon. Chaque chiffre du nombre sera interprété en «garçon» ou «fille» Il suffira de tirer 5 nombres par RAND, pour simuler 50 naissances. (s il n y a que 9 chiffres après la virgule on place 0 en 10 ème position) Réalisons cette expérience. On a trouvé : Nombre de filles = soit une fréquence de : Nombre de garçons = soit une fréquence de : E X E R C I C E 1 1 A chercher 1. Effectuer une simulation de 50 lancers d une pièce de monnaie, et donner la fréquence de «face». On va demander à la calculatrice de sortir de façon aléatoire un nombre entier de 1 à si ce nombre est pair : on dira «face» - si ce nombres est impair : on dira «pile» Réglage de la machine : (Casio 35 +) 1 + OPTN F6 NUM Int (10 EXIT Prob Ran # ) EXE Chaque appui sur EXE sortira un nombre allant de 1 à 10 Nombre de «FACE» Fréquence de «FACE» 5 Avec la Casio 35+, dans le menu Run OPTN, F6 jusqu à PROB (F3), Ran# (F4), EXE Avec la TI 89, CATALOG, rand(, ENTER, puis fermer la ) pour obtenir rand(), puis ENTER Remarque : si votre TI89 est réglée en français, rand() correspond à nbraléat() 15

16 C O U R S D E S E C O N D E A C T I V I T É S N U M É R I Q U E S 2. Effectuer une simulation de 50 lancers d un dé cubique. Attention : cette fois il faut sortir un entier compris entre 1 et 6 Avec la Casio 35+, 6 Ran# donnera un nombre décimal compris entre 0 et 6 et INT(6 Ran# ) donnera un entier qui est la partie entière du nombre précédent (donc compris entre 0 et 5) Donc pour avoir un entier compris entre 1 et 6, on tapera 1+ INT(6 Ran# ) Avec la TI 89, il suffit de placer le nombre 6 dans les parenthèses ran() pour avoir un entier compris entre 1 et 6.. Pour chaque lancer, on note le nombre obtenu. Avec la Casio 35+, il faut taper : 1+ Int(6 Ran#) Pour cela : on tape 1 +, puis dans le menu Run OPTN, F6 jusqu à NUM (F4), Int (F2), puis ouvrir une parenthèse,et taper 6, puis OPTN, F6 jusqu à PROB (F3) puis F4, et refermer la parenthèse, puis EXE En tapant EXE 50 fois de suite, on aura les résultats des 50 lancers. Avec la TI 89, il suffit de appuyer sur CATALOG, rand( ), et de rentrer 6 entre les (),pour obtenir rand(6) puis ENTER, 50 fois de suite. Résultats : Nombre ( x i ) Total Effectif ( n i ) Fréquence ( f i ) 5. Sondage et intervalle de confiance. 5.1 Situation : Dans une population, on s intéresse à une sous population qui vérifie un certain critère : par exemple une sous population qui va voter pour un certain candidat. On souhaite connaître la proportion p des personnes votant pour ce candidat. 5.2 Méthode : On sonde un échantillon de cette population. Le nombre n de personnes sondées est appelé la taille de l échantillon. On connaît alors la proportion p des personnes de notre échantillon votant pour le candidat. En fait, p n est pas égal à p, car il est une approximation de p. De plus, à cause des fluctuations d échantillonnage, la valeur de p n est jamais la même! 5.3 Théorème : A la condition que : 1. La taille de l échantillon soit strictement supérieure à p appartienne à l intervalle [ 0,3 ; 0,7 ] 16

17 3. On choisisse un individu au hasard, on le sonde et on le remet dans la population avant de sonder l individu suivant Alors, il y a 95 % de chances que p appartienne à l intervalle 1 1 p ; p+ n n On dit encore que le niveau de confiance est de 95 % L amplitude de cet intervalle est Cet intervalle s appelle intervalle de confiance. 2 n E X E R C I C E 1 2 A chercher. Un homme politique souhaite connaître ses chances d être élu lors du deuxième tour d une élection. Quelle taille doit avoir l échantillon sondé pour obtenir un intervalle de confiance inférieur à 1 % avec un niveau de confiance de 95 %? 17

18 C O U R S D E S E C O N D E A C T I V I T É S N U M É R I Q U E S 6. Je me prépare aux contrôles. 6.1 Testons les connaissances essentielles Savoir calculer les paramètres d une série. Soit la série statistique définie par ce tableau : Valeur x i Effectif Pour chacune des questions suivantes, choisir la bonne réponse : Réponses : A B C D 1. L étendue de cette série est : Le mode de cette série est : La moyenne de cette série est : 4 5, La médiane de cette série est : 4 5, La moyenne élaguée de cette série est : 5 5,1 5,4 5, Savoir utiliser les propriétés de la moyenne. La moyenne d un élève sur les 4 premiers devoirs d une matière est 10. Réponses : A B C D 1. Si le professeur augmente toutes les notes d un point, sa moyenne devient : 2. Si le professeur augmente toutes les notes de 10%, sa moyenne devient : 3. Si l élève a 15 au cinquième devoir, sa moyenne devient : ,1 10, , Savoir concevoir des simulations. Réponses : A B C D 1. La fonction RANDOM de la calculatrice fournit aléatoirement : 2. Pour simuler avec la calculatrice le numéro du mois de naissance d une personne choisie au hasard, on tape : 3. Que simule-t-on à l aide de la calculatrice avec les séquences int (rand + 0,5) ou int ( ran # + 0,5)? Un entier compris entre 0 et 1 Int ( rand 12) ou int (ran # 12) Le lancer d une pièce 0 ou 1 Un réel compris entre 0 et 1 Int (rand 12) + 1 ou int (ran # 12) + 1 Le lancer de deux pièces Rand 12 ou ran # 12 La naissance d un enfant Un entier compris entre 0 et 9 Int (rand + 12) ou int (ran # + 12) Le lancer d un dé à 4 faces. 18

19 6.2 Bilan des connaissances Une fréquence : A. Est toujours dans [ 0 ; 1 ] B. N est jamais égale à 0 C. Dépend de l effectif total Soit un échantillon de taille 100. Compléter le tableau ci-dessous par les effectifs correspondants à chacune des valeurs de la variable statistique : Valeur 1,2 2,1 3 4,7 5,3 Fréquence 0,19 0,05 0,3 0,25 0, La somme des fréquences des valeurs prises par une variable statistique est : A. Toujours un nombre plus petit que 1 B. Toujours égale à 100 C. Toujours égale à Si on multiplie tous les effectifs d une série statistique par 1000 alors : A. Les fréquences restent inchangées B. Chaque fréquence est multipliée par 1000 C. La médiane reste inchangée D. La médiane est multipliée par Si dans une série statistique il y a un même nombre de valeurs positives et de valeurs négatives, la moyenne est nulle. A. Vrai B. Faux Si trois nombres ont pour moyenne 7 et 5 autres nombres ont pour moyenne 12, la moyenne des huit nombres est : A. ( 12+ 7) 2 B C. ( 3*7+ 5*12) nombres ont pour moyenne 21 et autres nombres ont pour moyenne 21, alors les nombres ont pour moyenne : A. 42 B C x1, x2, x3, x4, x 5 sont cinq nombres de moyenne m, alors : ( x m) ( x m) ( x m) ( x m) ( x m) est égal à : A. 5m B. m 19

20 C O U R S D E S E C O N D E A C T I V I T É S N U M É R I Q U E S C Si on multiplie toutes les valeurs prises par une variable statistique par 10 alors : A. La médiane est multipliée par 10 B. La moyenne est multipliée par 10 C. La médiane reste inchangée D. La moyenne reste inchangée Si on ajoute 21 à chacune des 100 valeurs prises par une série statistique alors : A. La moyenne augmente de 21 B. La moyenne augmente de C. La médiane reste inchangée D. La médiane est augmentée de En répétant 100 fois avec une calculatrice int(10*rand) : A. On obtient 100 nombres entiers distincts B. On obtient une liste de nombres entiers pouvant prendre toutes les valeurs de 0 à 10. C. On obtient une liste de 100 chiffres pris au hasard parmi : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; Si dans une liste de chiffres choisis au hasard on élimine un chiffre sur deux : A. La liste obtenue n est plus une liste de chiffres au hasard B. Il n y a plus que des chiffres soit pairs, soit impairs C. La liste obtenue est encore une liste de chiffres choisis au hasard Dans une urne il y a 9 boules rouges et 3 boules noires. On tire 20 fois une boule de l urne et on la remet après avoir noté sa couleur. Au bout des 20 fois, on relève la fréquence d apparition d une boule noire. On recommence 10 fois l expérience. La fréquence d apparition d une boule noire : A. Sera toujours voisine de 0,25 B. Sera toujours voisine de 0,5 C. Peut sensiblement varier d une fois sur l autre Si l on jette deux pièces de monnaie bien équilibrée : A. Il y a autant de chances d obtenir 0 fois pile que deux fois pile B. Il y a plus de chances d avoir deux fois face qu une fois face. 6.3 Dire si la proposition est vraie ou fausse. 1. La moitié des valeurs d une série statistique a une valeur supérieure ou égale à la médiane. 2. La médiane sépare une série statistique en exactement deux parties de même taille. 3. La moitié des valeurs d une série statistique a une valeur supérieure ou égale à la moyenne. 4. On considère une série statistique dont la moyenne est 13. Si on ajoute à cette série la valeur 13, alors la moyenne est inchangée. 20

21 5. La moyenne est toujours inférieure à la médiane 6. La somme des fréquences d une série statistique vaut toujours Les fréquences sont proportionnelles aux effectifs. 8. Une urne contient 100 boules rouges et 100 boules noires. On prélève au hasard un échantillon de 50 boules. On obtiendra 25 boules rouges et 25 boules noires. 6.4 Construction d un histogramme. On étudie le caractère suivant : l énergie en calories contenue dans un pot de yaourt allégé de valeur affichée 67 cal. Quantité d énergie en calories. [ 56 ;60[ [ 60 ; 64 [ [ 64 ; 66 [ [ 66 ;67[ [ 67;68 [ [ 68 ;74[ [ 74 ; 76 [ Effectifs ère méthode : on construit des rectangles dont la hauteur est proportionnelle à l effectif. Dans ce cas, quelle semble être sur l histogramme la classe qui contient le plus de pots? Est-ce vrai? Que penser de cette méthode? Analyse : aire = amplitude hauteur 2 ème méthode : on construit des rectangles dont l aire est proportionnelle à l effectif de la classe. Or, si l aire est proportionnelle à l effectif, alors : aire = Ainsi : amplitude hauteur = k effectif D où : hauteur = Rappel : le rapport effectif k amplitude effectif amplitude s appelle la densité k effectif Dans ce cas, cette représentation est-elle conforme visuellement à la répartition étudiée? Retenir que : Dans un histogramme, les hauteurs des rectangles sont proportionnelles aux densités d effectifs. 6.5 QCM Dans les questions suivantes, déterminer la (ou les) bonne(s) réponses. 1. Le salaire moyen des employés d une entreprise est de Le directeur décide d augmenter tous les employés de 10%, puis le directeur financier décide de baisser tous les employés de 10%. Finalement, quel est le salaire moyen des employés de cette société? A 1600 B 1936 C 1584 D

22 C O U R S D E S E C O N D E A C T I V I T É S N U M É R I Q U E S 6.6 On considère le graphique ci-dessous sur la répartition des notes dans une classe effectif note sur 20 1) L effectif total vaut : a 11 b 12 c 35 d 69 2) Le mode vaut : a 1 b 11 c 12 d Karine est passionnée par les courses de chevaux. Elle relève le numéro du gagnant de chaque course. Voici ci-dessous le graphique illustrant son relevé. nbre de courses gagnées n du 7 cheval ) La valeur médiane est : a 3 b 5 c 7 d 13 2) Le pourcentage de courses gagnées par un cheval portant un numéro inférieur ou égal à 6 est de : a 42,8 % b 50 % c 57,14 % c 60 % 22

23 6.8 Utiliser des moyennes de sous-groupes. La taille moyenne des 20 garçons d une classe de seconde est 170,4 cm, celle des 14 filles est de 168,5 cm. Calculer la taille moyenne des élèves de la classe. 6.9 Utiliser la linéarité de la moyenne. 1. Calculer rapidement à la main la moyenne m des valeurs suivantes : 331 ; 328 ; 332 ; 335 ; On a observé le prix au kg de différentes variétés de pommes dans un même magasin : Variétés Golden Boskop Reinette Canada Prix au Kg 2,90 2,60 2,75 2,95 a. Calculer le prix moyen des pommes au Kg b. Si on applique une augmentation de 0,8 % à tous les fruits, quel sera le prix moyen au Kg des pommes, dans ce magasin? 23