AUTOMATIQUE SÉANCE N 6: SYSTÈMES DU SECOND ORDRE

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1 AUTOMATIQUE SÉANCE N 6: SYSTÈMES DU SECOND ORDRE Exercice : Circuit RLC Nous nous intéressons dans ce premier exercice au montage représenté à la FIGURE. V e (p) F (p) V s (p) (a) Montage étudié (b) Schéma bloc du système FIGURE Ciruit RLC. Quelle est la relation liant le courant i(t) et la tension v s (t)? De même, quelle est la relation liant la tension aux bornes de l inductance et le courant i(t). i(t) = C dv s(t) v L (t) = L di(t) 2. A partir de la loi des mailles, exprimer l équation différentielle du second ordre liant v e (t) et v s (t) v e (t) = v R (t) + v L (t) + v s (t) v e (t) = R i(t) + L di(t) v e (t) = RC dv s(t) + LC d2 v s (t) 2 + v s (t) 3. A l aide des propriétés de la transformée de Laplace étudiées lors du premier TD, déterminer la fonction de transfert liant V e (p) et V s (p). La tension de sortie à l instant t = 0 est considérée nulle. V e (p) = RC p V s (p) + LC p 2 V s (p) +V s (p) V e (p) = V s (p)( + RC p + LC p 2 )

2 4. La forme standard d une fonction de transfert du second ordre est la suivante : F (p) = + 2 ξ ω 0 K p + p2 ω 2 0 Exprimer sous cette forme la fonction de transfert F (p) = V s(p) V e (p) définie à la question précédente. Vous donnerez l expression des constantes K, ξ et ω 0. Vous préciserez également la signification de ces constantes. D où : Gain statique :K = Coefficient d amortissement : ξ = R 2 Pulsation propre : ω 0 = LC F (p) = V s(p V e (p) = + RC p + LC p 2 C L 2 Exercice 2 : Identification d un système du second ordre - Régime pseudo-périodique Afin d asservir un système, il est impératif de savoir l identifier. Une manière usuelle de procéder est de solliciter le système avec un échelon indiciel en entrée et d observer comment évolue la sortie. La réponse indicielle d un système F 2 (p) est représentée à la FIGURE 2. Tension [V] er dépassement v smax v s 4 3 T p 2 eme dépassement v s (t) 2 v e (t) t[ms] FIGURE 2 Réponse indicielle. Déterminer le gain statique K du système. MODULE AU3 2 ANNÉE 205/206

3 Le gain statique est le gain existant entre entrée et sortie d un système en régime permanent : K = v s v e = 3 2 =,5 2. Mesurer la valeur du premier dépassement du système. Le premier dépassement est mesuré de la manière suivante : D % = v s max v s = 4,2 3 = 0,4 40% v s 3 3. A l aide du graphique ci-dessous, déterminer la valeur du coefficient d amortissement ξ du système. 00% 80% 60% 40% 20% D % ξ Le coefficient d amortissement correspondant à un premier dépassement de 40% est de 0, Mesurer la valeur de la pseudo période T p du système. Il est possible de mesurer la valeur de la pseudo-période (T p ) du système directement sur l essai indiciel : T p = ms 5. En déduire, à l aide de la relation ci-dessous, la valeur du la pulsation propre du système (ω 0 ) ω 0 = 2π ω 0 = T p ξ 2 2π 0 3 0,28 2 = 6544rad/s 3 Exercice 3 : Modélisation schéma bloc de la machine à courant continu On s intéresse ici au système représenté à la FIGURE 3. Il s agit d un asservissement en vitesse d un machine à courant continu. Pour mémoire, l induit de celle-ci est modélisé par la mise en série MODULE AU3 3 ANNÉE 205/206

4 CONVERTISSEUR i(t) DC Ω, C e V e DC V induit MCC C r CHARGE MÉCANIQUE MLI V Ωmes V cmde? C(p)? + V Ω FIGURE 3 MCC pilotée en vitesse d une résistance R, d une inductance L et d une f.e.m e proportionnelle à la vitesse de rotation de la machine. Le comportement de la MCC est décrit par uniquement 4 équations : Proportionnalité entre le courant d induit i(t) et le couple électromagnétique de la machine C e (t) : C e (t) = k i(t) Proportionnalité entre la f.e.m e(t) et la vitesse de rotation de la machine Ω(t) : Loi des mailles de l induit : e(t) = k Ω(t) V induit (t) = e(t) + R i(t) + L di(t) Principe fondamental de la dynamique appliqué à l arbre moteur : J dω(t) = C e (t) C r (t) Avec : J : moment d inertie total ramené sur l arbre moteur C e : couple moteur C r : couple résistant (C r = f Ω) On cherche à modéliser sous forme de schéma bloc le système ayant pour entrée la tension d induit (V induit ) et pour sortie la vitesse de la machine (Ω).. Exprimer chacune des 4 équations dans le domaine de Laplace. C e (p) = k I(p) E(p) = k Ω(p) V induit (p) = E(p) R I(p) + L p I(p) J p Ω(p) = C e (p) f Ω(p) MODULE AU3 4 ANNÉE 205/206

5 2. Identifier les constantes de temps électrique (τ e ) et mécanique (τ m ) du système. τ e = L R τ m = J f 3. Définir alors le schéma bloc de la machine à courant continu. V induit (p) + E(p) I(p) R + L R p k C e(p) f + J f p Ω(p) k 4. Définir la fonction de transfert en boucle fermée de cette MCC : FT PF(p) = Ω(p) V induit (p) FT BF(p) =... FT BF(p) = R J k (+τ e p)(+τ m p) + R J k k (+τ e p)(+τ m p) R J k + R J k2 + τ e+τ m + R p + τ e τ m J k2 + R p2 J k2 5. Identifier alors les expressions du gain statique (K), du coefficient d amortissement (ξ) et de la pulsation propre (ω 0 ). MODULE AU3 5 ANNÉE 205/206