Pré-conférence : Un texte un mathématicien Darwin : le hasard et l évolution
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- Achille Beauregard
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1 Pré-conférence : Un texte un mathématicien Darwin : le hasard et l évolution Manon Costa 18 janvier 2013 Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
2 Qui est Darwin? Charles Darwin ( ) est un naturaliste anglais dont les travaux sur l évolution des espèces vivantes ont révolutionné la biologie. Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
3 Voyage à bord du Beagle ( ) Lors de son voyage à bord du Beagle, il observe la diversité des espèces présentes et met au point sa théorie de l évolution. Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
4 De l origine des espèces (1859) Sélection naturelle : processus permettant d expliquer la création de différentes espèces partant d un ancêtre commun. Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
5 Modéliser l évolution? On peut distinguer deux types d évolutions : L évolution du nombre d individus dans une population, L évolution des caractéristiques des individus. On va s intéresser à des modèles mathématiques et plus précisément probabilistes pour comprendre ces évolutions. Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
6 Le modèle de Galton-Watson Ce modèle décrit l évolution de la taille d une population qui se reproduit aléatoirement. Chaque individu se reproduit indépendamment des autres suivant une loi de probabilité, c est à dire : il a 0 descendant avec une probabilité p 0, il a 1 descendant avec une probabilité p 1, il a 2 descendants avec une probabilité p 2,... il a q descendants avec une probabilité p q, On a bien sur p 0 + p 1 + p p q = 1. Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
7 Exemples On considère des générations d individus, c est à dire qu à chaque étape, les enfants remplacent les parents. A la génération n, on note X n la taille de la population (c est une variable aléatoire). Un cas particulier : p 1 = 1 : chaque parent est remplacé par un descendant. La population reste constante : X n = X 0 Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
8 Exemples On considère des générations d individus, c est à dire qu à chaque étape, les enfants remplacent les parents. A la génération n, on note X n la taille de la population (c est une variable aléatoire). Un cas particulier : p 1 = 1 : chaque parent est remplacé par un descendant. La population reste constante : X n = X 0 Chaque individu a deux enfants (p 2 = 1). Partant d un individu, la taille de la population double à chaque génération : à la génération n il y a 2 n individus. X n = 2 n Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
9 Exemples aléatoires On prend maintenant des exemples dans lesquels tous les individus n ont pas le même nombre d enfants. p 0 = 1/3, p 1 = 1/3, p 2 = 1/3. Le nombre moyen d enfants est donc : 0 1/ / /3 = 1 Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
10 Exemples aléatoires On prend maintenant des exemples dans lesquels tous les individus n ont pas le même nombre d enfants. p 0 = 1/3, p 1 = 1/3, p 2 = 1/3. Le nombre moyen d enfants est donc : 0 1/ / /3 = 1 p 0 = 1/5, p 2 = 4/5. Le nombre moyen d enfants est donc : 0 1/ /5 = 8/5 > 1. On peut penser que la population va grandir. Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
11 Exemples aléatoires On prend maintenant des exemples dans lesquels tous les individus n ont pas le même nombre d enfants. p 0 = 1/3, p 1 = 1/3, p 2 = 1/3. Le nombre moyen d enfants est donc : 0 1/ / /3 = 1 p 0 = 1/5, p 2 = 4/5. Le nombre moyen d enfants est donc : 0 1/ /5 = 8/5 > 1. On peut penser que la population va grandir. Si on regarde le cas inverse : p 0 = 4/5, p 2 = 1/5. Le nombre moyen d enfants est donc : 0 4/ /5 = 2/5 < 1. On peut penser que la population va s éteindre. Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
12 Comment étudier ce processus? On introduit le polynôme : f (x) = p 0 + p 1 x + p 2 x p q x q Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
13 Comment étudier ce processus? On introduit le polynôme : f (x) = p 0 + p 1 x + p 2 x p q x q Exemples Chaque individu a deux enfants p 2 = 1 : alors f(x) = x 2. Si p 0 = 1/3, p 1 = 1/3, p 2 = 1/3, alors Si p 0 = 1/5, p 2 = 4/5, alors f(x) = x x2 f(x) = x2 Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
14 La fonction f (x) = p 0 + p 1 x + p 2 x p q x q On remarque que f (0) = p 0 et f (1) = 1, f est croissante (f est convexe) Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
15 La fonction f (x) = p 0 + p 1 x + p 2 x p q x q On remarque que f (0) = p 0 et f (1) = 1, f est croissante (f est convexe) On peut facilement retrouver la moyenne : f (x) = p 1 + 2p 2 x + 3p 3 x qp q x q 1 alors, f (1) = p 1 + 2p 2 + 3p qp q = m. Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
16 Probabilité d extinction à une génération A la génération n on note q n la probabilité que la population soit éteinte à cette génération. q n = P(X n = 0). Par exemple : si on part d un unique individu : q 1 =la probabilité de ne pas avoir d enfants =p 0. Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
17 Probabilité d extinction à une génération A la génération n on note q n la probabilité que la population soit éteinte à cette génération. q n = P(X n = 0). Par exemple : si on part d un unique individu : La suite (q n ) n est croissante. q 1 =la probabilité de ne pas avoir d enfants =p 0. Et on peut montrer que c est une suite récurrente : q n = f (q n 1 ) Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
18 Limite de la probabilité d extinction On imagine que l on regarde la population après un temps infini, quelle est la probabilité qu elle ait survécu? C est ce qu on appelle la limite q de la suite (q n ) n. Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
19 Limite de la probabilité d extinction On imagine que l on regarde la population après un temps infini, quelle est la probabilité qu elle ait survécu? C est ce qu on appelle la limite q de la suite (q n ) n. Pour calculer la limite, on utilise le graphe de f : car q n = f (q n 1 ) Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
20 Limite de la probabilité d extinction On imagine que l on regarde la population après un temps infini, quelle est la probabilité qu elle ait survécu? C est ce qu on appelle la limite q de la suite (q n ) n. Pour calculer la limite, on utilise le graphe de f : car q n = f (q n 1 ) Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
21 Limite de la probabilité d extinction Un autre exemple : ici la moyenne est plus grande que 1 : Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
22 Conclusion Si on a une limite q alors :. q = f(q) On a donc Si p 0 = 0, alors q = 0 et la population ne s éteint jamais Si le nombre moyen d enfants m 1 q=1, donc la population s éteint toujours Si le nombre moyen d enfants m > 1, alors 0 < q < 1 et la population ne s éteint pas toujours Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
23 Comment ajouter la génétique? On veut donner un type à chaque descendant. Le modèle le plus simple est de regarder un gène avec deux allèles a et A. On a donc trois types d individus les AA, les Aa, et les aa. Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
24 Passage à la seconde génération À la première génération, on a les proportions suivantes : p 1 individus AA 2q 1 individus Aa, r 1 individus aa. Quelles sont les proportions p 2, 2q 2, r 2 à la génération suivante? Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
25 Passage à la seconde génération À la première génération, on a les proportions suivantes : p 1 individus AA 2q 1 individus Aa, r 1 individus aa. Quelles sont les proportions p 2, 2q 2, r 2 à la génération suivante? On raisonne pour chaque allèle, c est à dire qu on choisit les parents un par un... P(1er allèle A) =P(un parent AA) + 1 P(un parent Aa) + 0 P(un parent aa) 2 =p q r 1 =p 1 + q 1 Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
26 Passage à la seconde génération À la première génération, on a les proportions suivantes : p 1 individus AA 2q 1 individus Aa, r 1 individus aa. Quelles sont les proportions p 2, 2q 2, r 2 à la génération suivante? On raisonne pour chaque allèle, c est à dire qu on choisit les parents un par un... P(1er allèle A) =P(un parent AA) + 1 P(un parent Aa) + 0 P(un parent aa) 2 =p q r 1 =p 1 + q 1 P(1er allèle a) =r 1 + q 1 Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
27 Passage à la seconde génération Le choix des deux allèles revient au choix des deux parents qui se fait indépendamment : P(être AA) = p 2 =P(1er allèle A et 2nd allèle A) =P(1er allèle A) P(2nd allèle A) p 2 =(p 1 + q 1 ) 2 Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
28 Passage à la seconde génération Le choix des deux allèles revient au choix des deux parents qui se fait indépendamment : P(être AA) = p 2 =P(1er allèle A et 2nd allèle A) =P(1er allèle A) P(2nd allèle A) p 2 =(p 1 + q 1 ) 2 P(être Aa) = 2q 2 =P(1er allèle A et 2nd allèle a) + P(1er allèle a et 2nd allèle A) =2P(1er allèle A) P(2nd allèle a) 2q 2 =2(p 1 + q 1 )(q 1 + r 1 ) Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
29 Passage à la seconde génération Le choix des deux allèles revient au choix des deux parents qui se fait indépendamment : P(être AA) = p 2 =P(1er allèle A et 2nd allèle A) =P(1er allèle A) P(2nd allèle A) p 2 =(p 1 + q 1 ) 2 P(être Aa) = 2q 2 =P(1er allèle A et 2nd allèle a) + P(1er allèle a et 2nd allèle A) =2P(1er allèle A) P(2nd allèle a) 2q 2 =2(p 1 + q 1 )(q 1 + r 1 ) P(être aa) = r 2 =P(1er allèle a et 2nd allèle a) + P(1er allèle a et 2nd allèle A) r 2 =(r 1 + q 1 ) 2 Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
30 Loi de Hardy Weinberg On a calculé les fréquences à la deuxième génération : p 2 = (p 1 + q 1 ) 2 On remarque que 2q 2 = 2(p 1 + q 1 )(r 1 + q 1 ) r 2 = (r 1 + q 1 ) 2 q 2 2 = p 2 r 2 Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
31 Conséquences de la Loi de Hardy Weinberg Comme q 2 2 = p 2 r 2, Ceci va nous permettre d en dire plus sur les fréquences des générations suivantes : Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
32 Conséquences de la Loi de Hardy Weinberg Comme q 2 2 = p 2 r 2, Ceci va nous permettre d en dire plus sur les fréquences des générations suivantes : Pour les AA : p 3 = (p 2 + q 2 ) 2 =p p 2 q 2 + q 2 2 =p p 2 q 2 + p 2 r 2 =p 2 (p 2 + 2q 2 + r 2 ) }{{} =1 =p 2 On conserve la mêmes fréquences pour les générations suivantes. Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
33 Ajout de la sélection natuelle? Ici tous les individus ont la même probabilité de se reproduire, comment ajouter le fait que certains gènes peuvent améliorer la survie? Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
34 Merci de votre attention! Manon Costa Pré-conférence : Un texte un mathématiciendarwin : le hasard et l évolution 18 janvier / 21
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