Devoir Libre n 2 Vendredi 18 septembre 2009 Durée : 4 heures E4A 2000 CCP TSI 2002

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1 Lycée Masséna Spéciale PSI Année 9- Devoir Libre n Vendredi 8 septembre 9 Durée : 4 heures E4A CCP TSI Le problème, consacré à la propagation guidée de la lumière, comporte deux parties indépendantes : fibres optiques et optique géométrique (première partie), approche électromagnétique et onde évanescente (deuxième partie) Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que * les explications des phénomènes étudiés, les justifications physiques interviennent dans la notation au même titre que les calculs, * tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italiques ont pour objet d'aider à la compréhension du problème mais ne donnent pas lieu à des questions, * tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s'il n'a pas été démontré par les candidat(e)s Le guidage de la lumière est assuré par des fibres optiques : c est un guide d'onde pour les radiations lumineuses Une fibre optique est constituée d un cylindre de verre (ou de plastique) appelé cœur, entouré d une gaine transparente d indice de réfraction plus faible La gaine contribue non seulement aux propriétés mécaniques de la fibre, mais évite aussi les fuites de lumière vers d autres fibres en cas de contact Actuellement, le diamètre du cœur d une fibre va de 3 à µm selon ses propriétés et le diamètre extérieur de la gaine peut aller jusqu à 4 µm PREMIERE PARTIE : FIBRES OPTIQUES ET OPTIQUE GEOMETRIQUE IA Lois DE SNELL-DESCARTES On considère un dioptre de surface S, séparant deux milieux homogènes, d indices de réfraction différents n et n Un rayon lumineux rectiligne, incident dans le milieu, tombant sur le dioptre en un point I, donne naissance à un rayon réfléchi dans le milieu et à un rayon réfracté dans le milieu Soit N le vecteur normal à S en I, dont le sens est défini de vers Le plan d incidence est le plan défini par le rayon lumineux et N, et l angle d incidence est l inclinaison du rayon incident sur la normale à la surface IA Enoncer les lois définissant le rayon réfléchi IA Enoncer les lois définissant le rayon réfracté IB Fibre optique à saut d'indice Soit une fibre optique F constituée d un cœur cylindrique de rayon a et d indice n, entouré d une gaine d indice n inférieur à n et de rayon extérieur b Les faces d entrée et de sortie sont perpendiculaires au cylindre d axe Oz formé par la fibre L ensemble, en particulier la face d entrée, est en contact avec un milieu d indice n et pour les applications numériques on supposera que ce milieu est de l air pour lequel n = IB «Zigzag» plan Un rayon lumineux SI arrive en un point I sur la face d entrée de la fibre A quelle(s) condition(s) d incidence ce rayon a-t-il, dans la fibre, un trajet plan? On considère un rayon SI incident sur le cœur et contenu dans le plan Oxz (Figure ) On appelle i l angle d incidence et θ l angle de la réfraction sur la face d entrée de la fibre Figure

2 IB Déterminer en fonction de n, n et n la condition que doit satisfaire i pour que le rayon réfracté ait une propagation guidée dans le cœur La valeur maximale de i est alors désignée par i a (angle d acceptance de la fibre) IB3 On appelle ouverture numérique (ON) du guide la quantité ON = n sini a Exprimer ON en fonction de n et n IB4 Calculer i a et ON pour une fibre d indices n =,456 (silice) et n =,4 (silicone) Quelle serait la valeur de ces grandeurs pour un guide à base d arséniure de gallium pour lequel n = 3,9 et n = 3,? Commentaires L atténuation de la lumière dans les fibres optiques est due à l absorption et à la diffusion par le matériau constitutif du cœur et par ses impuretés (Fe +, Cu +, OH ) Elle se mesure en décibels par km : A dbkm = φ log l (km) où φ et φ désignent les flux lumineux dans les plans de front successifs et distants de l IB5 On parvient couramment à réaliser des fibres dans lesquelles le flux, après un parcours de 5 km, représente % du flux incident Calculer l atténuation de telles fibres φ IC IC Applications Endoscope à fibres, fibroscope Le but d un endoscope est de permettre à un observateur de «voir» dans des endroits inaccessibles, d intérêts divers (médical, militaire, industriel, etc) L endoscope à fibres est constitué de deux faisceaux de fibres : l un éclaire le site, l autre assure le retour vers l extérieur de la lumière émise par la cible éclairée Le nombre de fibres constituant chaque faisceau est de l ordre de 4 à 6 Si l'on imagine la cible divisée en environ 5 petits carrés, chaque fibre au voisinage de la cible recueillant la lumière de l un d eux, quel est le problème posé à l autre extrémité par la reconstitution de l image? Quel est le problème technologique majeur posé alors par la fabrication du faisceau de fibres? IC Transmission optique par fibre Deux grands problèmes se posent lorsque l on veut transmettre des signaux lumineux dans les fibres : l atténuation (cf IB5) de l impulsion qui se propage et son élargissement temporel On considère la fibre étudiée en IB et on suppose que la lumière incidente qui véhicule le signal définit un cône convergent de sommet O et de demi-angle i a ICa Calculer la différence δτ max des durées extrémales de propagation dans le cœur en fonction de la longueur L de la fibre, des indices n et n et de c (vitesse de la lumière dans le vide) ICb Calculer la différence δτ max pour L = km, n =,456 et n =,4 On prendra c = 3 8 ms - On envoie à l entrée de la fibre des impulsions lumineuses très brèves avec une période T (figure ) : Figure

3 IC3 Quelle est la valeur minimale de T pour que les impulsions soient séparées à la sortie? Comment définissezvous une bande passante associée? En transmission numérique, on exprime le résultat en nombre maximum d éléments binaires (présence ou absence d impulsion : bit) qu on peut transmettre par seconde Que vaut le débit en b/s (bits par seconde) de cette fibre? Le comparer au standard téléphone Numéris (64 kb/s) et au standard télévision ( Mb/s) ID Fibres à gradient d'indice Les fibres à gradient d indice parabolique (variation en r de l indice dans le cœur) ont une importance particulière pour la transmission d informations L indice dans le cœur (de rayon a) diminue de façon continue de la valeur n sur l axe de la fibre à la valeur n dans la gaine (toujours de rayon extérieur b) Soit r la distance d un point quelconque de la fibre à l axe Oz On suppose que l indice n (r) vaut : r n (r ) = n pour < r < a a n (r ) = pour a < r < b, n avec n n n = On considère un empilement de lames à faces parallèles, homogènes, de faible épaisseur et d indices décroissants (n j < n j ) Soit i j l angle d incidence du rayon lumineux sur la lame j (Figure 3) Figure 3 ID Tracer l allure du rayon lumineux dans l empilement de lames et donner une relation entre les angles d incidences et les indices successifs Soit un rayon lumineux SO incident sous l angle i au point O d une fibre F à gradient d indice Dans le repère Oxz, traçons la tangente à la trajectoire du rayon lumineux en un point M(x,z) où l indice vaut n(x,z), et soit θ(x,z) l angle que fait cette tangente avec l axe z (Figure 4) Figure 4

4 ID Donner l expression d une quantité K, fonction de n et θ, invariante le long de la trajectoire du rayon dans le cœur Donner la valeur de K en fonction de n et θ = θ( r =,z ) Quelle relation existe-t-il entre n, n, i et θ? = ID3 Etablir l'équation différentielle : f (dx,dz,,a, θ,x ) =, satisfaite par la trajectoire x = x(z) du rayon lumineux dans le cœur La mettre sous la forme : dx dz =, où A s exprime en fonction de, x, a et θ A On se place dans le cas où la quantité est jugée suffisamment petite pour qu on soit dans l approximation << ID4 Montrer qu alors l équation différentielle de la trajectoire prend la forme : α dz = dx β x En déduire l équation x = x(z) de la trajectoire dans le cœur Quelle est la trajectoire du rayon dans la gaine? ID5 Fibre autofocalisante ID5a Déterminer l angle d acceptance i a de cette fibre qui conduit à un rayon guidé dans le cœur ID5b Comparer l ouverture numérique ON de cette fibre F à celle ON de la fibre F à saut d indice ID5c Exprimer la période Λ (période spatiale) de la trajectoire du rayon lumineux dans le cœur ID5d Pourquoi peut-on dire que la fibre est autofocalisante si les conditions sont telles que θ (exprimé en radians) <<? On est toujours dans l hypothèse << et la fibre F a une longueur L suffisamment grande pour considérer L >> Λ ID6 Calculer dans ces conditions, à l ordre le plus bas, le temps T mis par un rayon caractérisé par l angle de réfraction θ (correspondant à i i a ) pour parcourir cette fibre Montrer qu on peut écrire : T ' n L 4 [ α ' +β' sin θ + γ' θ ] = sin c cos θ Donner la valeur des coefficients α, β et γ On utilisera éventuellement les résultats suivants : L si kl >>, on a : I = sin kzdz L et I = sin 4 kzdz 3L 8 L ID7 Temps de parcours et débit ID7a Calculer la différence de temps de parcours δ τ entre ce rayon et celui caractérisé par θ = Montrer, en ayant 4 remarqué que θ <<, qu on obtient, pour θ exprimé en radians : δ τ = Bθ, où B s exprime en fonction de n, L et c ID7b En déduire l expression de δ τ max pour les rayons qui restent dans le cœur Exprimer δ τ max en fonction de n, n δ τ max ainsi que le rapport δτ max (cf ICb) ID7c Donner la valeur de ce rapport pour n =,456 et n =,4 Justifier qualitativement ce résultat Comparer les débits des deux types de fibres

5 CCP TSI - ETUDE D'UN DISPOSITIF INTERFERENTIEL Soient deux ondes électromagnétiques de pulsations différentes ω et ω et de phases φ et φ Les champs électriques E r et E r associés à ces ondes sont considérés comme parallèles à un axe Ox Leurs composantes suivant cet axe s'écrivent en un point M de l'espace : où E et E désignent des constantes E E = E = E La composante suivant l'axe Ox du champ électrique total des composantes des champs E r et E r : E tot E + E = cos( ω t φ ) cos( ω t φ ) E r tot en un point M de l'espace est alors égale à la somme Par ailleurs, l'intensité lumineuse I mesurée par un détecteur d'ondes électromagnétiques placé en M est proportionnelle à la valeur moyenne temporelle du carré du champ électrique au point M : de proportionnalité / a/ Donner l'expression de moyenne temporelle tot < E > I = K < E > t où K est un coefficient E tot (carré de la composante du champ électrique total au point M) puis exprimer sa valeur t en fonction de E et E b/ Exprimer les intensités respectives I et I de chacune des deux ondes et en déduire l'expression de l'intensité totale I en y faisant apparaître I et I c/ Montrer alors que si ω est différent de ω, alors les deux ondes n'interfèrent pas / a/ On considère maintenant deux ondes de même pulsation : ω = ω = ω (donc de même longueur d'onde λ) Reprendre les questions a b et c (on posera φ = φ - φ ) et montrer que dans ce cas, les deux ondes interfèrent b/ Préciser les intensités associées à chaque type de frange (brillante ou sombre) 3/ En un point M du champ d'interférences, le déphasage φ est relié à la différence de marche δ par la relation : φ = πδ/λ On suppose que : - la distance entre les deux sources (synchrones et ponctuelles) d'ondes électromagnétiques S et S est égale à L - la droite (S S ) est parallèle à l'axe O'x - le point O est le milieu du segment [S S ] - le point M est situé dans un plan perpendiculaire à Oz placé à une distance D du point O grande devant L : L<<D

6 a/ Exprimer la différence de marche δ(m) au point M de coordonnées x et y en fonction de x, y, L et D pour un point M situé dans le plan (xo'y) b/ Sachant que le point M est situé au voisinage du point O' (ses coordonnées x et y vérifient donc : x<<d et y<<d), effectuer un développement limité pour obtenir une expression simplifiée de S(M) ne dépendant que de x, L et D 4/ Quelle est l'équation d'une frange dans le plan (xo'y)? En déduire la forme des franges au voisinage du point O' 5/ Donner l'expression de l'interfrange i défini comme la distance entre deux franges identiques voisines 6/ On considère un dispositif interférentiel particulier formé de deux miroirs plans M et M placés dans l'air et formant un dièdre d'arête A et d'angle égal à π/ α avec α petit devant π/ Une source lumineuse S ponctuelle et monochromatique de longueur d'onde λ est placée dans le plan bissecteur du dièdre formé par les miroirs, à une distance R de l'arête (AS=R) Soient S l'image de S donnée par M et S l'image de S donnée par M,c'est-à-dire schématiquement : M ' M S S S Soient S, l'image de S donnée par M et S l'image de S donnée par M,c'est-à-dire schématiquement : M ' M S S S Les deux sources secondaires S et S émettent deux ondes susceptibles d'interférer : les franges d'interférences sont observées sur un écran E perpendiculaire au plan bissecteur du dièdre et placé à une distance d du point A (AO=d) avec d > R a/ Montrer par un calcul sans approximation que l'angle entre les segments de droite [AS ] et [AS ] est égal à 4α Puis, sachant que α est petit devant π/, exprimer la distance L entre les deux sources secondaires S et S b/ En utilisant le résultat général obtenu à la question 5, exprimer l'interfrange i en fonction d e λ, d, R e t α c/ Donner l'expression de la largeur [E E ] du champ d'interférences intercepté par l'écran ainsi que le nombre N de franges brillantes observées d/ Calculer i, [E E ] et N pour λ=,6 µm, α = -3 rad, R = cm et d = 7 cm