Feuille d exercices n 7 : Couples de v.a.r. discrètes

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1 ECE2-B 2-27 On remplace alors les valeurs dépendant de a et b dans le tableau : Feuille d exercices n 7 : Couples de var discrètes Exercice 3 ( ) a On commence par compléter le tableau de sorte à obtenir les lois marginales (ce qui revient à appliquer la formule des probabilités totales) x X(Ω) y Y (Ω) P([Y y]) t P([X x]) 2 a b a + b a + 3 b + 3 a + b + 27 On obtient alors une première information : a + b + Autrement dit : a + b 2 3 Il reste à exploiter l indépendance des var X et Y P([X ] [Y y]) P([X ]) P([Y y]) ( 2 a + 3 ) a 3 72 On en déduit que : b a a x X(Ω) y Y (Ω) P([Y y]) et b + 3 t P([X x]) Par mesure de vérification, on s assure que P([X i] [Y j]) est bien égal au produit P([X i]) P([Y j]) (c est le cas) Les var X et Y étant indépendantes : P [Y y] ([X x]) P([X x]) b On suppose maintenant a On calcule alors b x X(Ω) puis on remplit le tableau avec : a y Y (Ω) P([Y y]) et b t P([X x]) ( ): application directe du cours, ( ): pas de difficulté majeure, ( ): plus difficile, ( ): costaud

2 ECE2-B 2-27 On en déduit alors par définition de l espérance : E(X) 7 7 Par le théorème de transfert, on obtient : et E(Y ) t 2 + t + E(XY ) t + 2t + Puis par la formule de Kœnig-Huyghens : Cov(X, Y ) E(XY ) E(X) E(Y ) 2t + 7 (t + ) 2 On cherche enfin à trouver t qui annule le cœfficient de corrélation : ρ(x, Y ) Cov(X, Y ) σ(x)σ(y ) Cov(X, Y ) 2y + y 2 7(t + ) 2 c D après la question précédente, X et Y ne sont pas indépendantes car : a 3 72 (seule valeur de a permettant d assurer l indépendance de X et Y ) Exercice ( ) a X est égale au rang d apparition du premier succès (obtenir ) dans une succession infinie d épreuves de Bernoulli (lancer d un dé) indépendantes et de même paramètre p ( ) Ainsi : X G ( ) Les lancers étant indépendants, la séquence suivant le premier est à considérer comme une nouvelle séquence de lancers Ainsi : Y G ( ) On a alors : E(X) E(Y ) et V(X) V(Y ) b Par linéarité de l espérance : Par indépendance de X et Y : 3 E(Z) E(X + Y ) E(X) + E(Y ) 2 V(Z) V(X + Y ) V(X) + V(Y ) 3 3 c Comme pour tout ω Ω, X(ω), + et Y (ω), + alors Z(Ω) 2, + Soit k 2 (X i) i est le sce associé à X Ainsi, d après la formule des probas totales : P(Z k) P(X + Y k) i i k i P([X i] [X + Y k]) P([X i] [Y k i]) ( p) i p ( p) k i p + + p 2k ( p) k 2 i p 2 ( p) k 2 (k ) ik (k ) k 2 k ( ): application directe du cours, ( ): pas de difficulté majeure, ( ): plus difficile, ( ): costaud 2

3 ECE2-B 2-27 d Z représente le rang d apparition du deuxième On peut obtenir la loi de Z par dénombrement Soit k 2 Un tirage réalisant [Z k] (ie un tirage dont le deuxième appraît au k ème lancer) est un tirage dont les k premiers lancers sont entièrement déterminés par : le choix du rang d apparition du premier : k possibilités De plus chacun de ces cas a la probabilité ( p) k 2 p 2 d apparaître puisque ces k premiers lancers comportent k 2 lancers différents de et deux lancers qui donnnent Avec p, on obtient finalement : P([Z k]) (k ) ( p) k 2 p 2 (k ) k 2 k Exercice ( ) Dans la suite, pour tout n N, on considère les événements suivants B n : «on tire une boule blanche au n ème tirage» N n : «on tire une boule blanche au n ème tirage» Ainsi : p n P(B n ) a Le premier tirage s effectuant dans U, on obtient : p 2 (B, N ) est un sce Ainsi, par la formule des probabilités totales : b On applique la formule des probabilités totales à B n+ sur le système complet d évènements (B n, B n ) : P(B n+ ) P(B n B n+ ) + P(N n B n+ ) P(B n ) P Bn (B n+ ) + P(N n ) P Nn (B n+ ) 2 p n + ( p n) p n + La suite (p n ) est donc arithmético-géométrique (car P(B n ) et P(N n ) ) L équation de point fixe associée à la suite (p n ) est : x x + Elle admet pour unique solution : λ 3 On écrit : p n+ λ p n + λ + (L ) (L 2 ) et donc p n+ λ (p n λ) (L ) (L 2 ) Notons alors (v n ) la suite de terme général v n p n λ La suite (v n ) est géométrique de raison Ainsi, pour tout n N : P(B 2 ) P(B B 2 ) + P(N B 2 ) P(B ) P B (B 2 ) + P(N ) P N (B 2 ) (car P(B ) et P(N ) ) v n ( ) n ( ) n v (p λ) ( ) n ( 2 ) ( ) n 3 p 2 + ( p ) + 3 On a donc, pour tout n N : p n v n + λ Enfin, comme ], [, ( ) n n + et ainsi p n ( ) n + 3 n + 3 ( ): application directe du cours, ( ): pas de difficulté majeure, ( ): plus difficile, ( ): costaud 3

4 ECE2-B 2-27 c X n (Ω) {, } P([X n ]) P(B n ) p n et P([X n ]) P(N n ) p n Ainsi, X n B (p) D où : E(X n ) p n et V(X n ) p n ( p n ) p n p 2 n d (Note : il n y a pas de dans la loi du couple, on essaie les différentes intersections successivement jusqu à ce qu une soit fausse ou toutes soient bonnes) Les var X et X 2 ne sont pas indépendantes car (par exemple) : P(X ) P(X 2 ) p p 2 3 et P([X ] [X 2 ]) P(B B 2 ) P(B ) P B (B 2 ) 2 2 e La var X k est égale au nombre de boule blanche ( ou ) obtenue au k ème tirage Ainsi : S n n Donc par linéarité de l espérance : E(S n ) n k E(X k ) n 3 + X k k n p k k ) n ( n ( ( ) n ) Exercice ( ) Pour tout i, 3, on considère les événements suivants P : «le dé choisit est truqué», A i : «le i ème lancer a donné la face» On cherche donc à déterminer P (A A 2 A 3 )(P ) Par définition et comme P(A A 2 A 3 ) : P A A 2 A 3 (P ) P(P A A 2 A 3 ) P(A A 2 A 3 ) On obtient par la formule des probabilités composées : P(P A A 2 A 3 ) P(P ) P P (A ) P P A (A 2 ) P P A A 2 (A 3 ) 2 ( ) 3 Comme (P, P ) est un système complet d événements, on obtient par la formule des probabilités totales : P(A A 2 A 3 ) P (P A A 2 A 3 ) + P ( P A A 2 A 3 ) P(P ) P P (A ) P P A (A 2 ) P P A A 2 (A 3 ) ( ) (la deuxième égalité est encore obtenue par la formule des probabilités composées) On en conclut que : P A A 2 A 3 (P ) ( ): application directe du cours, ( ): pas de difficulté majeure, ( ): plus difficile, ( ): costaud

5 ECE2-B a) X est égale au rang d apparition du premier succès (obtenir ) dans une succession possiblement infinie d épreuves de Bernoulli (lancer d un dé) indépendantes et de même paramètre p ( ) Ainsi : X G ( ) On en déduit que : E(X) p et V(X) q p 2 ( 3 )2 b) De même Y G ( ) On en déduit que : E(Y ) et V(X) ( )2 2 3 ([X k]) k est le sce associé à la var X Ainsi, d après la formule des probabilités totales : P(X Y ) k P([X k] [X Y ]) Or, comme X et Y sont indépendantes : k P([X k] [Y k]) P([X Y ]) P([X k]) P([Y k]) k + ( ) k ( ) k k + ( ) k k ([X i]) i est le sce associé à la var X Ainsi, d après la formule des probabilités totales : P(X < Y ) i i i i i 3 P([X i] [Y > i]) P([X i]) P([Y > i]) P(X i) ( + i ( ) i ( ) i ( ) i ) 2 ( 3 3 ) i ( ) i ( ) i i Z suit la loi géométrique de paramètre ( ) i 3 Comme X(Ω) N et Z(Ω) N, (X + Z)(Ω) 2; + Soit k 2 ([X i]) i est le sce associé à la var X (car X et Y sont indépendantes) ( ): application directe du cours, ( ): pas de difficulté majeure, ( ): plus difficile, ( ): costaud

6 ECE2-B 2-27 Par la formule des probabilités totales : P([X + Z k]) P([X i] [X + Z k]) i P([X i] [Z k i]) i k i k i P([X i] [Z k i]) P([X i]) P([Z k i]) ((*) car [Z k i] si i k) (par indépendance de X et Z) k i ( ) i ( ) k i k 2 i ( ) k 2 (k )k 2 k (*) On cherche à déterminer les i tels que : i, + ET k i, + Or : k i, + k i i k Enfin :, +, k, k ( ): application directe du cours, ( ): pas de difficulté majeure, ( ): plus difficile, ( ): costaud