Poids (Kg) Effectif

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1 Université Antonine Année Probabilités et Statistiques Fiche VI - Estimation Semestre III Exercice élèves sont inscrits dans un lycée. On veut obtenir une estimation de la moyenne et de l écart-type du poids des élèves du lycée. Pour ce faire, on mesure le poids des élèves d un échantillon représentatif. Les mesures sont reprises dans le tableau suivant : Poids (Kg) Effectif Déterminer une estimation non biaisée de la moyenne et une estimation de l écart-type du poids des élèves du lycée sur la base de cet échantillon. 2. Calculer les intervalles de confiance à 95% et à 99% pour l estimation du poids des élèves. Exercice 2. On veut estimer la loi de probabilité de la durée de vie des moteurs des voitures. On prend 125 moteurs et on relève le nombre de kilomètres parcourus avant la révision totale. En désignant par X le nombre de kilomètres parcourus, on a trouvé dans cet échantillon (en milliers de kilomètres) : x i = et x i x 2 = En faisant l hypothèse que la loi de probabilité de X est normale, estimer les paramètres de cette loi. 2. La loi de probabilité de X étant supposée celle déterminée dans la question précédente, on veut juger si l adoption d une huile spéciale est susceptible d accroître la vie moyenne des moteurs. Pour cela, on prélève dans la fabrication un nouvel échantillon de 9 moteurs et on relève les durées d utilisation obtenues avec le nouveau lubrifiant. a. Rappeler la loi de probabilité de la moyenne d un échantillon de n valeurs indépendantes d une variable aléatoire gaussienne de paramètres m et σ. b. Estimer alors les paramètres de cette loi. Exercice 3. Calculer le paramètre t de la loi normale centrée réduite au risque α dans chacun des cas suivants : α = 0,1% α = 0,27% α = 1% α = 4% α = 5% α = 10% α = 90% Exercice 4. Les mesures des diamètres de 200 roues dentées issues d un échantillon aléatoire, fabriquées pendant une journée par une certaine machine, ont montré que la moyenne du diamètre était 0,824 cm, et l écart-type 0,0042 cm. Déterminer les intervalles de confiance à 90%, 95%, 99% et 99,73% du diamètre moyen de toutes les roues dentées. Exercice 5. Un tirage exhaustif d un échantillon aléatoire de 50 notes de statistiques sur le total de 200, a donné une moyenne de 75, et un écart-type de Déterminer l intervalle de confiance à 95% pour estimer la moyenne des 200 notes.

2 2. Avec quel degré de confiance peut-on dire que la moyenne des 200 notes est 75 ± 1? Exercice 6. Etant donnée une distribution de Student à v = 1 (respectivement 5, 10, 20, 30, 40) degré de liberté, calculer la valeur de t correspondante à un intervalle de confiance à 95% et 99%. Exercice 7. Un échantillon de 9 moteurs de voitures indique une durée de vie moyenne x = km, avec un écart-type σ = km. Trouver les limites de la moyenne de la durée de vie réelle X pour une grande production, avec un risque de confiance de 5%, de 1%. Exercice 8. Sur 40 lancers d une pièce, 24 "face" sortent. Trouver les limites de l intervalle de confiance à 95%, puis à 99,73% du pourcentage de "face" qui serait obtenu pour un nombre illimité de lancers de la pièce. Exercice 9. On veut estimer la moyenne d une variable aléatoire suivant la loi normale de variance 6, L estimation se fait à l aide d un échantillon de taille n = 100, fournissant m = 4,3. Quel est l intervalle de confiance à 95%? 2. Même question en supposant que la variance de la population n est pas connue, mais uniquement celle de l échantillon égale à 6,76. Exercice % des électeurs d un échantillon aléatoire de 100 électeurs, choisi parmi tous les électeurs d une région, est favorable à un candidat. 1. Trouver les limites de l intervalle de confiance à 95%, 99% et 99,73% du pourcentage des électeurs de la région favorables à ce candidat. 2. Quelle devrait être la taille de l échantillon d électeurs pour être confiant à 95%, puis à 99,73% que le candidat soit élu. Exercice 11. Le ministère de la construction désire connaître le nombre de garages qu il est souhaitable de construire afin que les locataires puissent y ranger leurs voitures. On interroge 3238 locataires, on trouve parmi eux 971 possesseurs de voitures. 1. Donner une estimation ponctuelle des locataires ayant une voiture. 2. Estimer par intervalle de confiance, la proportion des locataires ayant une voiture au risque α = 5% dans chacun des deux cas suivants : a. p = f, b. pq = 1 4. Exercice 12. L écart-type des tailles de 9 étudiants choisis au hasard dans une école de 1000 étudiants est 14 cm. Estimer par intervalle de confiance à 95% et à 99% l écart-type de la totalité des étudiants.

3 Exercice 13. Pour étudier la pourriture des pommes de terre, un chercheur injecte à 13 pommes de terre des bactéries qui causent cette pourriture. Il mesure ensuite la surface pourrie (en mm 2 ) sur ces 13 pommes de terre. Il obtient une moyenne empirique de 7,84 mm 2 pour une variance empirique de 14,13. On modélise la surface pourrie d une pomme de terre par une loi normale N(μ, σ). 1. Calculer un intervalle de confiance pour μ au niveau 0,95 puis Calculer un intervalle de confiance pour σ 2 au niveau 0,95 puis Exercice 14. Un échantillon de 150 lampes de qualité A montre une durée de vie moyenne de 1400 heures avec un écart-type de 120 heures. Un échantillon de 200 lampes de qualité B montre une durée de vie moyenne de 1200 heures, avec un écart-type de 80 heures. Donner les limites de l intervalle de confiance à 99% de la différence de la durée de vie moyenne entre les qualités A et B. Exercice 15. La force de compression d un certain type de béton est modélisée par une variable gaussienne d espérance μ, et de variance σ 2. L unité de nesure est le psi (pound per square inch). Dans les questions 1 à 4, on supposera la variance connue et égale à Sur un échantillon de 12 mesures, on a observé une moyenne empirique de 3250 psi. 1. Donner un intervalle de confiance de niveau 0.95 pour μ. 2. Donner un intervalle de confiance de niveau 0.99 pour μ. Comparer avec le résultat précédent. 3. Si avec le même échantillon on donnait un intervalle de confiance de largeur 30 psi, quel serait le niveau de confiance? 4. On souhaite maintenant estimer μ avec une précision de ±15 psi, avec un niveau de confiance de Quelle taille minimale doit avoir l échantillon? 5. La variance théorique est désormais supposée inconnue. On dispose de la donnée suivante (sur le même échantillon de taille 12) : 12 i=1 x i 2 = Donner pour μ un intervalle de confiance de niveau 0.95 et comparer-le avec celui de la question Donner un intervalle de confiance de niveau 0.95 pour la variance, et pour l écart-type.

4 Loi de Student

5 Loi de Khi-deux