1 ère ST2S F2 : DROITES ET FONCTIONS AFFINES

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1 1 ère ST2S F2 : Droites et fonctions affines 1 / 5 1 ère ST2S F2 : DROITES ET FONCTIONS AFFINES I. Coefficient directeur d une droite Pour tout le chapitre, le plan est rapporté à un repère (O ; i, j). 1. Notion de coefficient directeur Définition : Pour tout droite, non parallèle à l'axe des ordonnées, et pour M x M ; y M et N x N ; y N deux points distincts de, le rapport y y N M est constant. x N x M Ce rapport est noté m et est appelé le coefficient directeur de la droite. Remarques : On peut faire le lien avec pente d'une route ou d'un chemin. En se déplaçant de la gauche vers la droite, une pente montante a un coefficient directeur positif m 0, si la pente est descendante, le coefficient directeur est négatif m 0. Dans le cas d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées, la pente est infini : il n'y a pas de coefficient directeur à la droite. Dans le cas d'une droite parallèle à l'axe des abscisses, la pente est nulle : m= 0. Ce que l'on résume par le tableau suivant : a. Si m 0, la droite «monte» b. Si m 0, la droite «descend» c. Si m=0, la droite est «horizontale» Méthode : Lire graphiquement le coefficient directeur d'une droite 1. On repère un point de la droite dont les coordonnées sont «simples» à lire ; 2. on avance de 1 en abscisse (en vert sur le graphique ci-dessus) ;. on rejoint verticalement la droite ; 4. on lit l'ordonnée ainsi obtenue (si on monte m 0, si on descend m 0). Sur les graphiques ci-dessus, on obtient, respectivement : a. m = 2 b. m = -2 c. m = 0 2. Droites parallèles Propriété : Soient et ' deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées. Dire que // ' est équivalent à dire que et ' ont le même coefficient directeur.. Points méthodes a) Déterminer le coefficient directeur d'une droite à partir de son graphique

2 1 ère ST2S F2 : Droites et fonctions affines 2 / 5 Exemple : on veut déterminer le coefficient directeur de la droite D représentée ci-contre. Si on adopte la méthode précédente, on ne retombe pas sur une valeur lisible facilement (voir ci-contre). on repère alors deux points de la droite ayant tous deux des coordonnées faciles à lire (entières si possibles) ; On calcule le coefficient directeur à partir des coordonnées de ces deux points en utilisant la formule de la définition. Application : M(-2 ; 2) et N(1 ; 1) appartiennent à ; le coefficient directeur m de est donc égal à : m= y N y M = 2 1 x N x M 1 2 = 1. b) Tracer une droite dont on connaît un point et son coefficient directeur Exemple : On veut tracer la droite D 1 passant par le point M(1 ; 2) et de coefficient directeur m =. On place le point M(1 ; 2) et on décale de +1 en abscisses ; On applique le coefficient directeur : on monte de en ordonnées et on marque le point ; On trace la droite passant par M et par le point marqué ; on note la droite D 1. II. Équations de droites 1. Droites non parallèles à l'axe des ordonnées Propriété : Toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation de la forme y = mx p, où m et p sont nombres réels. On dit que c'est l'équation réduite de la droite. m est appelé le coefficient directeur de la droite ; p est appelé l'ordonnée à l'origine de la droite : c'est l'ordonnée du point d'intersection de l'axe des ordonnées et de la droite. Exemple : Sur le graphique ci-contre : le coefficient directeur m de la droite est m= 1 2 ; l'ordonnée à l'origine p de la droite est p = -1 ; Donc la droite a pour équation : y = 1 2 x 1.

3 1 ère ST2S F2 : Droites et fonctions affines / 5 Pour toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées, et d'équation y = mx p, on a : si A x A ; y A appartient à la droite, alors l'égalité y A =m x A est vraie ; réciproquement, si l'égalité y A =m x A est vraie, alors le point A x A ; y A appartient à la droite. 2. Droites parallèles à l'axe des ordonnées Propriété : Tous les points d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées ont la même abscisse. Si on note q cette abscisse, alors la droite admet pour équation x= q. Exemple : La droite représentée ci-contre n'a pas de coefficient directeur et pas d'ordonnées à l'origine. Tous ses points ont pour abscisse x= 2 donc l'équation de cette droite est x= 2. Remarque : Un cas particulier L'axe des ordonnées est une droite qui a pour équation x= 0.. Ce qu'il faut savoir faire a) Déterminer l'équation réduite d'une droite passant par deux points donnés Exemple : On veut déterminer l'équation de la droite passant par les points A(-2 ; ) et B(4 ; -1) Méthode : On calcule le coefficient directeur : m= y B y A x B x A ; On utilise le fait que la droite passe par A x A ; y A et que donc ses coordonnées vérifient l'équation de la droite ; On calcule l'ordonnée à l'origine p Application : m= y B y A = 1 x B x A 4 2 = 4 6 = 2 ; donc la droite (AB) a une équation de la forme : y = 2 x p. A(-2 ; ) est un point de la droite (AB) donc y A = 2 x A p donc = 2 2 p = 4 p 4 = p 9 4 = p on écrit alors l'équation de la droite (AB) : y = 2 x 5 p = 5

4 1 ère ST2S F2 : Droites et fonctions affines 4 / 5 b) Tracer une droite dont on connaît l'équation Exemple : On veut déterminer l'équation de la droite d'équation y = 2 x 2 Méthode : On identifie l'ordonnée à l'origine p et on place le point de coordonnées A(0 ; p) si le coefficient directeur est «simple», on place le point de coordonnées B( x A 1 ; y A p) Sinon, on prend une valeur de x qui se calcule bien avec le coefficient directeur on trace la droite qui passe par A et B Application : y = 2 x 2 a pour ordonnée à l'origine 2 donc la droite passe par le point de coordonnées A(0 ; 2) Ici, le coefficient directeur est m= 2 : il n'est pas «simple» une valeur qui se multiplie bien avec 2 est x = par exemple. Pour x B =, y = 2 2=2 2 =4 donc on a B(2 ; 2) III. 1. Système Intersection de droites et système d'équations linéaires Un système de deux équations linéaires à deux inconnues se présente sous la forme d'un couple d'équations du premier degré comportant chacune les mêmes deux variables et reliées par une accolade. { Exemple : x y= 5 est un système de deux équations linéaires à deux inconnues x et y. 2 x y= Une solution d'un système est un couple de valeurs x ; y vérifiant en même temps les deux équations. { Exemple : une solution du système précédent x y= 5 2 x y = est { x= 2 ; y =1, en effet : 2 1 = =. 2. Résoudre algébriquement un système Quand le système se présente avec une, ou plusieurs, équation(s) de droite(s) sous forme réduite, la meilleure technique à utiliser est celle appelée par «substitution». Exemple : on veut résoudre le système { y = x+ 6. Existence d'une solution : Ce système est composée de deux équations réduites dont les coefficients directeurs sont différents, donc les droites représentant ces deux équations ne sont pas parallèles et donc il y a bien une solution unique à ce système. Calcul de la solution : { y = x+ 6 { y = 2 x x + 1 = x+ 6 { 1 6= x + 2 x { 5 =5 x on remplace y par 2 x+ 1 dans la 2ème équation on résout la 2ème équation en isolant les termes

5 1 ère ST2S F2 : Droites et fonctions affines 5 / 5 { x= 1 y = 2 ( 1)+ 1 { x= 1 { y = x= 1 donc la solution du système { est y = x+ 6 { x= 1 y =. Remarque : Dans le cas où les équations du système ne sont pas sous forme réduite, on commencera par les mettre sous cette forme. Exemple : { 6 x + y = 2 4 x 5 y= 10 { y= 6 x+ 2 5 y = 4 x + 10 {y 6 x = + 2 y = 4 x {y = 2 x+ 2 y = 4 5 x 2.. Résoudre graphiquement un système Propriété : Un système de deux équations linéaires à deux inconnues peut être représenté graphiquement par deux droites dans un plan rapporté à un repère. Les solutions du système, si elles existent, sont les couples de coordonnées des points d'intersection des deux droites. Plusieurs cas sont possibles : voici les trois possibles sur des exemples. Cas 1 :, x y= 5 2 x y = { réduite { y = x 5 y =2 x s'écrit sous forme et les droites D et D' d'équations y = x 5 et y =2 x sont sécantes au point de coordonnées (2 ; 1). Cas 2 : { x y= 2 s'écrit sous la forme réduite x y= 4 y = x 2 { et les droites D et D' y = x 4 d'équations y = x 2 et y = x 4 sont parallèles. Il n'y a donc pas de point d'intersection. Cas : { x y= s'écrit sous la forme 4 x 4 y =12 réduite { y = x et les droites D et D' y = x d'équations y = x et y = x sont confondues. Il y aune infinité de points d'intersection. Le système a pour solution le couple (2 ; 1) S={ (2 ; 1) } Le système n'admet pas de solution. S = Le système admet une infinité de solutions. S = R