Droites du plan, droites et plans de l espace

Transcription

1 Droites du plan, droites et plans de l espace

2 Trois (plus deux) questions à se poser pour toute leçon d un oral de capes Quand et comment est abordé ce thème dans les programmes de collège et lycée? A quel niveau placer la leçon, avec quels prérequis? Autour de quelles définitions et résultats phares s articule la leçon? Quel plan vais-je adopter, quelle présentation en 20min? Quels sont les développements qui pourraient m être demandés, quels sont les «incontournables» de ce thème (preuves, résolutions d exercices)

3 Définitions / Axiomes / Propriétés N oubliez pas de citer les prérequis ET le cadre théorique choisi Soyez cohérents dans votre plan, vos définitions,. Pas deux définitions d un même objet! Pas de définitions circulaires La droite (AB) est l ensemble des points alignés avec A et B Assumez de parler d axiomes et distinguez-les des définitions Par exemple : les droites sont des parties remarquables du plan, vérifiant certains axiomes en particulier : «Par deux points distincts passe une et une seule droite Distinguez les propriétés des définitions, les propriétés admises de celles que vous pouvez démontrer, etc Attention au terme «caractérisation» Attention à repérer les pièges et ne pas tomber vous-même dedans! Confondre équation cartésienne et équation réduite et le vecteur directeur dans chaque cas Confondre les équations de droite dans l espace et dans le plan

4 Les incontournables de la leçon Positions relatives, relations d incidence et impact sur les équations Equations cartésiennes, réduites, Vecteur directeur, équations paramétrées Liens avec le produit scalaire (droites orthogonales, vecteur normal à un plan, droites perpendiculaires dans l espace, plans perpendiculaires dans l espace, etc ) Théorème du toit

5 Ouvertures possibles Application du produit scalaire et de l orthogonalité dans l espace : plan médiateur distance d un point à un plan

6 Quel cadre de référence? L'épreuve comporte un exposé du candidat suivi d'un entretien avec le jury. Elle prend appui sur les programmes de mathématiques du collège et des différentes séries du lycée général et technologique. Les notions traitées dans ces programmes doivent pouvoir être abordées avec un recul correspondant au niveau M1 du cycle master. L'épreuve permet d'apprécier la capacité du candidat à maîtriser et organiser des notions sur un thème donné, et à les exposer de façon convaincante. Elle consiste en la présentation d'un plan hiérarchisé qui doit mettre en valeur le recul du candidat par rapport au thème. Le candidat choisit un sujet parmi deux qu'il tire au sort. Pendant vingt minutes, il expose un plan d'étude détaillée du sujet qu'il a choisi. Cet exposé est suivi du développement par le candidat d'une partie de ce plan d'étude, choisie par le jury, puis d'un entretien portant sur ce développement ou sur tout autre aspect en lien avec le sujet choisi par le candidat.

7 Cycle 3 (cm1-cm2-6 ième ) Dans le programme Déterminer le plus court chemin entre un point et une droite ou entre deux droites parallèles (en lien avec la perpendicularité). Alignement, appartenance. Perpendicularité, parallélisme (construction de droites parallèles, lien avec la propriété reliant droites parallèles et perpendiculaires). Distance entre deux points, entre un point et une droite. En pratique (types d activités) Pas de document eduscol pour l instant (à venir?) vocabulaire (droites sécantes, perpendiculaires, parallèles) vérifications perceptives et instrumentées constructions (droite parallèle ou perpendiculaire à une autre droite qui passe par un point, médiatrices) Mesure de la distance entre un point et une droite.

8 Cycle 4 (5 ième à 3 ième ) Dans le programme En pratique (types d activités) Position relative de deux droites dans le plan. Caractérisation angulaire du parallélisme, angles alternes / internes. Justifier que deux droites sont parallèles ou non Activités de constructions avec justification

9 Seconde Dans le programme Tracer une droite dans le plan repéré Interpréter graphiquement le coefficient directeur d une droite Caractériser analytiquement une droite ( ou Etablir que trois points sont alignés, non alignés Reconnaître que deux droite sont parallèles, sécantes Déterminer le point d intersection de deux droites sécantes. En pratique : Tracés de droites, lectures graphiques Détermination d équations de droites Résolution de systèmes En activité de recherche : «droites perpendiculaire et coefficients directeurs», «distance d un point à une droite» En application des vecteurs : pour démontrer que des points sont alignés, que des droites sont parallèles

10 Première S Dans le programme de première S Utiliser la condition de colinéarité pour obtenir une équation cartésienne de droite. Déterminer une équation cartésienne de droite connaissant un vecteur directeur et un point. Déterminer un vecteur directeur d une droite définie par une équation cartésienne. En pratique : Equation cartésienne lien avec les équations réduites Vecteur directeur, lien avec le parallélisme. Critère Déterminer une équation de droite : à partir de deux points, à partir d un point et un vecteur directeur Passage d une forme d équation à l autre (cartésienne, réduite) Vérifier le parallélisme de deux droites. Application du produit scalaire : équation d une droite à un vecteur normal donné,

11 Terminale S Dans le programme de Terminale S L objectif est de rendre les élèves capables d étudier des problèmes d intersection de droites et de plans, en choisissant un cadre adapté, vectoriel ou non, repéré ou non. Orthogonalité : - de deux droites ; - d une droite et d un plan. Représentation paramétrique d une droite. Caractérisation d un plan par un point et deux vecteurs non colinéaires. Choisir une décomposition pertinente dans le cadre de la résolution de problèmes d alignement ou de coplanarité. En pratique : Représentation paramétrique de droites, de plan Résolution de systèmes Intersection d une droite et d un plan, de deux plans Application du produit scalaire et de l orthogonalité dans l espace : plan médiateur, distance d un point à un plan

12 A vous de jouer (travail de groupe) Quand et comment est abordé ce thème dans les programmes de collège et lycée? A quel niveau placer la leçon, avec quels prérequis? Autour de quelles définitions et résultats phares s articule la leçon? Quel plan adopter, quelle présentation en 20min? Quels sont les développements qui pourraient m être demandés, quels sont les «incontournables» de ce thème (preuves, résolutions d exercices)

13 Attendu Rendre un travail de groupe contenant : La leçon à présenter (correspondant à 20 min d exposé) Entre deux et quatre développements qui pourraient vous être demandés en complément (correspondant au total à 20 min d exposé)