PROBLEMES. La proportionnalité

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1 PROBLEMES La proportionnalité Identifier des situations de proportionnalité dans des contextes familiers Construire des raisonnements en utilisant la proportionnalité pour résoudre des problèmes Choisir la procédure la plus efficace pour résoudre une situation de proportionnalité : relation entre les nombres ou coefficient de proportionnalité Faire apparaître ce qui caractérise graphiquement une situation de proportionnalité Aborder la notion de moyenne. Utiliser les pourcentages Utiliser la notion d échelles 1 P a g e

2 Deux suites de nombres sont proportionnelles quand on passe de l une à l autre en multipliant ou en divisant les nombres de la première suite par un même nombre, et que l on obtient les nombres de la seconde suite. Voici la liste des ingrédients pour six personnes : ml de lait - 4 œufs - 250g de farine - 150g de sucre - 2 cuillérées à soupe d huile - 1 yaourt Pour faire un gâteau pour 6 personnes, il faut 3 œufs. Le nombre de personnes et le nombre d'œufs sont proportionnels, cela signifie que si on double le nombre de personnes, il faudra doubler le nombre d'œufs. On écrit généralement ces résultats dans un tableau de proportionnalité : Personnes lait (en ml) œufs farine (en g) huile (en c.s.) sucre (en g) ½ yaourt On peut aussi construire un graphique. Le graphique correspondant à une situation de proportionnalité est une droite qui commence au point zéro. (Dans une situation de proportionnalité, tous les points sont alignés avec 0.) P a g e

3 Il est quelques fois intéressant de savoir calculer le coefficient de proportionnalité, c'est-à-dire l opérateur qui permet de passer d une ligne à une autre. Personnes lait (en ml) œufs farine (en g) huile (en c.s.) sucre (en g) yaourt X ½ Lorsqu'on doit résoudre une situation de proportionnalité pour laquelle il est impossible d'utiliser un opérateur entier ou de trouver directement la réponse, on peut faire appel à la règle de trois (ou produit en croix). Si 5 kg de ciment coûte 100, combien aurais-je de kilogrammes de ciment avec 250? 5kg (5 X 250) : 100 = On appelle donc cette technique règle de trois parce qu'elle fait intervenir trois valeurs pour en calculer une quatrième. le double 2 fois plus X 2 le triple 3 fois plus X 3 le quadruple 4 fois plus X 4 a le même sens que la moitié, le demi 2 fois moins : 2 le tiers 3 fois moins : 3 le quart 4 fois moins : 4 doubler tripler quadrupler c est prendre le double c est prendre le triple c est prendre le quadruple 3 P a g e

4 Petits problèmes pour s entraîner Problème 1 Complète le tableau qui te donne les ingrédients nécessaires pour faire un gâteau au chocolat pour 4 personnes. nombre de personnes œufs sucre chocolat farine beurre g 100 g 120 g 20 g Problème 2 Antoine échange 5 billes contre 2 calots. Combien de calots obtiendra-t-il en échange de 10 billes? de 15 billes? de 30 billes? Combien de billes lui faudra-t-il pour obtenir 8 calots? 10 calots? 20calots? Ecris tes résultats dans le tableau ci-dessous. billes 5 calots 2 Problème 3 J ai payé 3 chemises 39. Combien aurais-je payé 5 chemises? 4 P a g e

5 Problème 4 12 cahiers coûtent 30. Quel est le prix de 36 cahiers? de 18 cahiers? Problème 5 4 images coûtent 5. Quel est le prix de 2 images? de 6 images? Problème 6 Pour faire 5 litres de confiture, il faut 7 kg de goyaviers. a - L usine MIAM veut fabriquer de la confiture. Combien de kilogrammes de goyaviers sont nécessaires pour 35 litres de confiture? 745 litres? b - Combien de litres peut-on faire avec 14 kg? 21 kg? 35 kg? 56 kg? 5 P a g e

6 c - Pour 1 litre de confiture, combien de kg de goyaviers faut-il? Problème 7 Pour faire 12 meringues, il faut 4 blancs d œuf et 240 g de sucre. On prévoit de servir 3 meringues par personne. a) Combien faut-il d œufs et de sucre pour 12 personnes? 6 personnes? 18 personnes? b) Il ne reste que 1,200 kg de sucre. Combien de personnes pourra-t-on servir? Problème 8 Un joueur professionnel parcourt en moyenne au cours de 20 matchs une distance de 224km, dont 34 avec un ballon au pied. Dans une saison, il y a 60 matchs. Quelle distance parcourt-il en moyenne pendant la saison? Quelle distance parcourt-il un ballon au pied pendant une saison?.. 6 P a g e

7 Problème 9 En pressant 3 oranges, on obtient 15 cl de jus d'orange. Quelle quantité de jus obtient-on en pressant 12 oranges? Problème 10 Pour faire de la pâte à galettes, on utilise 200 g de farine de blé noir pour 50 cl d'eau. Combien utilise-t-on de farine pour 100 cl d'eau? Problème 11 Le train Goéland parcourt 240 km en 1h30. Le train Mistral parcourt 240 km en 2h. Le train Hirondelle parcourt 240 km en 1h. Quel est le plus rapide? 7 P a g e

8 Problème 12 Pour une fête, on prépare de la menthe à l'eau avec du sirop de menthe et de l'eau ; il faut 3 verres de sirop de menthe pour 12 verres d'eau. Combien utilise-t-on de verres d'eau pour 6 verres de sirop de menthe? Problème 13 Un directeur d'école commande 4 boîtes de compas. Dans chacune des boîtes, il y a 8 compas. Un compas coûte 3. Combien le directeur doit-il payer en tout? Problème 14 Pour un séjour à la montagne, le prix est de 20 par personne et par jour. Quel est le prix d'un séjour pour un groupe de 4 personnes et pour 6 jours? 8 P a g e

9 Problème 15 Aurélie achète 30 cm de ruban et paie 20 centimes d'euros. Son amie Christine a besoin de 90 cm du même ruban. Combien va-t-elle payer? Problème 16 Emilie fait un cake pour 12 personnes en utilisant les ingrédients suivants : des raisins secs, 480 g de farine, 240 g de sucre, 12 œufs. Quelle quantité de farine, de sucre et d'œufs lui faut-il avec la même recette pour 4 personnes? Problème 17 Le train Aigle parcourt 290 km en 2h38min. Le train Gazelle parcourt 580 km en 4h46min. Quel est le plus rapide? 9 P a g e

10 Problème 18 Un photographe a décidé de faire un agrandissement d'une photo. La photo a pour dimension 10 cm de largeur et 30 cm de longueur. L'agrandissement a une largeur de 20 cm. Quelle est la longueur de l'agrandissement? Problème 19 Un transporteur doit livrer du sucre dans un magasin. Les sacs de 7 kg de sucre sont placés dans des caisses. Chaque caisse contient 20 sacs. Le transporteur charge 80 caisses pleines dans son camion. Quelle quantité de sucre le transporteur a-t-il chargée dans son camion? Problème 20 Dans son jardin, M. Durand utilise pour l'arrosage 3 litres d'eau par jour et par arbre. Pendant 4 jours, il a utilisé 60 litres pour arroser ses arbres. Combien d'arbres a-t-il dans son jardin? 10 P a g e

11 Problème 21 Aujourd hui, François a 30 ans et son fils Simon a 6 ans. Quel âge aura Simon quand son père aura 60 ans? Problème 22 Un fermier a 6 vaches et suffisamment de foin pour les nourrir pendant 36 jours. S il n avait eu que 2 vaches, pendant combien de jours aurait-il pu les nourrir avec la même quantité de foin? Problème 23 François qui mesure 1,80 m a pêché un brochet. Son fils Simon a photographié cette prise pour impressionner ses copains. Quelle est la longueur réelle du brochet? Réponse : 11 P a g e

12 Problème 24 Pour faire une expérience de chimie, le professeur demande à des élèves de préparer de l'eau sucrée dans plusieurs récipients qui contiennent de l'eau : JACQUES PIERRE DIDIER ISABELLE BENOIT LAURENCE 6 dl 10 dl 8 dl 20 dl 16 dl 6 dl Le professeur donne alors le sucre aux élèves et leur dit de s'arranger entre eux pour que l'eau soit aussi sucrée dans tous les récipients. Voici la quantité de sucre qu ils ajoutent dans leur récipient : JACQUES PIERRE DIDIER ISABELLE BENOIT LAURENCE 6 dl 10 dl 8 dl 20 dl 16 dl 6 dl 15 g 25 g 20 g 50 g 35 g 15 g Mais l'expérience risque de ne pas marcher car un des élèves a fait une petite erreur : dans son récipient l'eau n'est pas aussi sucrée que dans celui des autres élèves. Quel élève s'est trompé? Quelle quantité de sucre aurait-il dû mettre? Problème 25 Aujourd hui, Paul a 10 ans et son frère René a 14 ans. Quand Paul aura 20 ans, quel sera l'âge de René? Quand Paul aura 30 ans, quel sera l'âge de René? 12 P a g e

13 Problème 26 Une moto consomme en moyenne 4l d essence pour 100 km. Quelle est sera sa consommation pour 350km? Problème 27 Pour faire un gâteau pour six personnes, il faut 150 g de sucre. a. Manon souhaite faire un gâteau deux fois moins gros. Quelle quantité de sucre doit-elle utiliser? b. Marine doit faire ce gâteau pour 9 personnes. Quelle masse de sucre doit-elle utiliser? c. Sabrina dispose de 200 g de sucre. Pour combien de personnes sera le gâteau? 13 P a g e

14 Problème 28 Naelle mesurait 1,08m à 5 ans. A 10 ans, elle mesure 1,54m. Peux-tu prévoir combien elle mesurera à 15 ans? Explique ta réponse. Problème 29 Un robinet permet de remplir huit seaux de dix litres en trois minutes. Quel est le temps nécessaire pour remplir un réservoir de 480 L? Quelle est la quantité d'eau écoulée en 15 min? Si on laisse, par mégarde, ce robinet ouvert pendant deux heures, quelle sera la quantité d'eau écoulée? 14 P a g e

15 Problème 30 Un livre de cuisine indique que, pour faire cuire le rôti, il faut compter «15 min à four chaud pour 500 g de viande». Quel sera le temps nécessaire à la cuisson d'un rôti pesant 750 g? 600g? Problème 31 Le robinet d une baignoire d une salle de bain coule avec un débit de 5 litres toutes les 3 minutes. Combien de litres d eau coulent en 1 heure? en une demi-heure? en 1 heure et 3 minutes? Problème 32 Comparons les prix de deux barils de lessive : Marque «kips» : 2,40 le paquet de 4 kg. Marque «erial» : 2,79 le paquet de 4,5 kg. Quelle est la marque la moins chère? 15 P a g e

16 Problème 33 Arnaud a acheté un nouveau téléphone portable. Son forfait se paie au mois et lui donne droit à 2 heures de communication (par mois). 7 mois de communication lui coûtent 112. Combien coûtent 13 mois de communications? 9 mois? Problème 34 Une entreprise fabrique et vend du lait de coco (c est le jus de la noix de coco). Il faut 21 noix de coco pour obtenir 5 litres de lait de coco. Combien de litres de lait de coco peut-on produire avec 13 noix de coco? Combien faut-il de noix de coco pour obtenir 16 L de lait de coco? 16 P a g e

17 Problème 35 a. Logix a 40 euros. Quelle somme peut-il obtenir en francs suisses? 2 b. Décimus veut échanger 30 euros contre des francs suisses. Quelle somme recevra-t-il? 3 c. Logix pense qu il peut échanger 14 euros contre 24 francs suisses. Es-tu d accord avec lui? d. Millie a 60 euros. Quelle somme peut-elle avoir en francs suisses dans ce bureau de change? 17 P a g e

18 e. Décimus a 50 euros. Quelle somme peut-il avoir en francs suisses dans ce bureau de change? e. Figurine va passer une semaine en Suisse. Elle dispose de 260 euros. Combien de francs suisses peutelle obtenir si elle échange tout son argent? f. Ingrid a 125 euros. Quelle somme peut-elle avoir en francs suisses dans ce bureau de change? Problème 36 a. Dans trois litres d eau, Zoé a versé six verres de sirop de grenadine. Dans trois litres d eau, Arthur a versé cinq verres de sirop de grenadine. Quel mélange a le plus le goût de grenadine? 18 P a g e

19 b. Dans deux litres d eau, Zoé a versé cinq verres de sirop de grenadine. Dans trois litres d eau, Kamil a versé cinq verres de sirop de grenadine. Quel mélange a le plus le goût de grenadine? c. Dans deux litres d eau, Alex a versé trois verres de sirop de menthe. Dans six litres d eau, Farid a versé neuf verres de sirop de menthe. Quel mélange a le plus le goût de menthe? Problème 37 Lou a mélangé 4 verres de lait avec 3 cuillerées de chocolat. Tom a mélangé 10 verres de lait avec 9 cuillerées de chocolat. Qui a obtenu la boisson la plus chocolatée? 19 P a g e

20 Problème 38 Un euro vaut 6,59 anciens francs. le petit Grégoire est allé changer à la banque les francs qu il lui restait. On lui a donné 28,50. Combien de francs avait-il dans sa tirelire? Problème 39 Un viticulteur vend son vin au litre en vrac. Un premier client arrive. On lui remplit son bidon de 5 l et il paye 4,20. Un second client arrive et on lui remplit son bidon de 12l. Combien vat-il payer? Problème 40 Pour faire du béton, les proportions sont les suivantes : 10 pelles de sable pour 3 pelles de ciment et 5l d eau. Quelle quantité de sable et d eau doit-on mettre avec 30 pelles de ciment? 20 P a g e