Cours 9: Automates finis
|
|
|
- Clarisse Samson
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Cours 9: Automates finis Olivier Bournez LIX, Ecole Polytechnique INF421-a Bases de la programmation et de l algorithmique
2 Aujourd hui Rappels Déterminisation Automates et expressions régulières Langages non-réguliers Propriétés de clôture Le mot de la fin
3 3 Automate fini déterministe (DFA) q a a q q d a a q c a Un automate fini déterministe est un quintuplet (Q, Σ, δ, q 0, F ) où Σ est un alphaet. Q est un ensemle fini d états. δ : Q Σ Q est la fonction (partielle) de transition. q 0 est l état initial. F Q est un ensemle d états finaux. q e
4 Rappel. Langage accepté par un DFA: informellement 4 Un automate prend en entrée un mot w et l accepte ou le rejette: q a a q q d a q c On part à l état q 0 On lit les caractères du mot w un à un en suivant la transition correspondante (si il n y en a pas, on se loque = échec) Lorsque tous les caractères sont lus, on accepte si l on est sur un état final, on rejette sinon. a q e a Exemple: Le mot aa est accepté. Le mot aa est accepté. Le mot aaa n est pas accepté.
5 Langage accepté par un automate: Formellement On introduit la fonction ˆδ de transition étendue aux mots : A partir d un état q en lisant le mot vide ɛ on reste dans l état q, q a a q a q c q Q, ˆδ(q, ɛ) = q. A partir d un état q, en lisant le mot c = wa se terminant par a Σ, on a d aord lu w, puis effectué la transition correspondante à a q d ˆδ(q, wa) = δ(ˆδ(q, w), a), a q e a lorsque le memre droit existe. Le langage L(A) accepté par A est défini par L(A) = {m ˆδ(q 0, m) F }.
6 6 Automate fini non-déterministe (NFA) q a a q q d a a q c a Un automate fini non-déterministe est un quintuplet (Q, Σ, δ, q 0, F ) où Σ est un alphaet. Q est un ensemle fini d états. δ : Q Σ P(Q) est une fonction de Q Σ vers les parties Q. δ associe à tout état q Q, et symole c Σ un sous-ensemle δ(q, c) de Q. q 0 est l état initial. F Q est un ensemle d états finaux. q e
7 Langage accepté par un NFA: informellement Un automate prend en entrée un mot w et l accepte ou le rejette: q a a q q d a q e a q c a On part à l état q 0 On essaye de lire les caractères du mot w un à un (lorsqu il y a plusieurs possiilités, on en choisit une/ s il n y en a pas, on se loque = échec). S il existe une façon de lire tous les caractères et d arriver sur un état final, on accepte le mot. Sinon (il n y a pas de façon de lire tous les caractères et d arriver sur un état final), on rejette. Exemple: aaaa est accepté. a n est pas accepté.
8 Une façon de voir les exécutions Exemple: 0,1 sur w = q 1 0,1 0 q 1 q 2 Exécutions: q 0 q 0 q 0 q 0 q 0 q 0 q 0 q 1 q 1 q 1 q 1 q 2 q 2 q 2 On accepte un mot si et seulement s il y a une exécution sur ce mot partant de l état initial qui termine en un état de F.
9 Formellement: langage accepté par un automate On introduit la fonction ˆδ de transition étendue aux mots : A partir d un état q en lisant le mot vide ɛ on reste dans l état q, q Q, ˆδ(q, ɛ) = {q} A partir d un état q, en lisant le mot m = wa se terminant par a Σ, on a d aord lu w, puis effectué les transitions correspondantes à a ˆδ(q, wa) = δ(p, a). p ˆδ(q,w) Le langage L(A) accepté A est défini par L(A) = {m ˆδ(q 0, m) F }
10 Exercice Construire un automate fini déterministe qui accepte l ensemle des mots sur l alphaet {0, 1} 1. commençant par un 1 2. et qui, interprétés en inaire, sont multiples de 5. Par exemple: 101, 1010, et 1111 sont dans le langage. 0, 100 et 111 ne le sont pas.
11 Solution I/II L astuce est de réaliser que lire un nouveau it multiplie le nomre n lu jusqu à maintenant par 2 si on lit un 0; par 2 et ajoute 1 si on lit un 1. On ne mémorise pas n = 5a +, mais seulement le reste {0, 1, 2, 3, 4} de la division de n par 5. On taule alors en fonction de, la nouvelle valeur de. L état q i signifie que le nomre n vu jusque là est congru à i modulo 5: 0 1 q 0 q 0 q 1 q 1 q 2 q 3 q 2 q 4 q 0 q 3 q 1 q 2 q 4 q 3 q 4
12 Solution II/II Cependant cet automate accepte des mots qui commencent par des 0. On ajoute un état s initial, et un état mort d. Si dans l état s, on voit un 1 en premier, on se comporte comme q 0, c est-à-dire on va en q 1. on voit un 0, on n acceptera jamais, on va en d, qu on ne quittera jamais. 0 1 s d q 1 q 0 q 0 q 1 q 1 q 2 q 3 q 2 q 4 q 0 q 3 q 1 q 2 q 4 q 3 q 4 d d d
13 Aujourd hui Rappels Déterminisation Automates et expressions régulières Langages non-réguliers Propriétés de clôture Le mot de la fin
14 Déterminisation Théorème: Tout NFA peut être simulé par un DFA.
15 Déterminisation Théorème: Tout NFA peut être simulé par un DFA. Preuve: Soit (Q, Σ, δ, q 0, F ) un NFA. Il reconnaît le même langage que le DFA (Q, Σ, δ, {q 0 }, F ) avec: Q = P(Q): Q est constitué de tous les sous-ensemles de Q. F est constitué de tous les sous-ensemles de Q avec au moins un élément commun avec F. Pour tout S Q, et pour tout a Σ, δ (S, a) = q S δ(q, a).
16 Déterminisation Théorème: Tout NFA peut être simulé par un DFA. Preuve: Soit (Q, Σ, δ, q 0, F ) un NFA. Il reconnaît le même langage que le DFA (Q, Σ, δ, {q 0 }, F ) avec: Q = P(Q): Q est constitué de tous les sous-ensemles de Q. F est constitué de tous les sous-ensemles de Q avec au moins un élément commun avec F. Pour tout S Q, et pour tout a Σ, δ (S, a) = q S δ(q, a). Pourquoi: il est fait exactement pour que ˆδ (q 0, w) = ˆδ({q 0 }, w) pour tout mot w.
17 Exemple 1 Un NFA: 0,1 Le DFA équivalent: q 0 0 q 1 1 q 2
18 Exemple 1 15 Un NFA: 0,1 q 0 0 q 1 1 q 2 Le DFA équivalent: ,1 0 {q 0 } 0 {q 0, q 1 } 0 {q 0, q 2 } {q 1 } 0 {q 1, q 2 } ,1 1 {q 2 } 1 {q 0, q 1, q 2 }
19 Exemple 1: suite Le DFA: 0,1 q 0 0 q 1 1 q 2 La partie atteignale du DFA équivalent: {q 0 } {q 0, q 1 } {q 0, q 2 } 0 1
20 Exemple: un digicode 17 Réaliser un digicode (code secret 1794) par un NFA: Le DFA otenu (circuit électronique correspondant):
21 Exemple: un digicode Réaliser un digicode (code secret 1794) par un NFA: Le DFA otenu (circuit électronique correspondant): 1 0,2-9 0,2-6,8-9 {0} 1 {0, 1} {0, 2} 1 9 {0, 3} 4 {0, 4} 0,2-8 0,2,3,5-9 0,2-9 Tous les autres sous-ensemles de {0, 1, 2, 3, 4} ne sont pas atteignales: ils ne sont pas représentés ici. 17
22 18 Encore une extension: automate fini non-déterministe avec ɛ-transitions (NFA ɛ) q a a q q d a q e ɛ a q c a Le principe: 1. on autorise toujours plusieurs transitions avec le même symole. (non-déterminisme) 2. mais aussi les transitions spontanées : certaines transitions peuvent être étiquetées par le mot vide ɛ. Elles peuvent être prises sans lire de lettre. Exemple: le mot aaaaa est accepté.
23 NFA ɛ: formalisations Formalisation de la notion d automate: Formalisation de la notion de mot reconnu:
24 NFA ɛ: formalisations Formalisation de la notion d automate:... δ : Q (Σ {ɛ}) P(Q)... Formalisation de la notion de mot reconnu:
25 NFA ɛ: formalisations Formalisation de la notion d automate:... δ : Q (Σ {ɛ}) P(Q)... Formalisation de la notion de mot reconnu:... ˆδ(q, wa) = p ˆδ(q,w) ɛ clôture(δ(p, a)). ɛ clôture(q) = tous les états joignales à partir de q par une suite de n 0 transitions étiquetées par ɛ...
26 NFA ɛ: formalisations Formalisation de la notion d automate:... δ : Q (Σ {ɛ}) P(Q)... Formalisation de la notion de mot reconnu:... ˆδ(q, wa) = p ˆδ(q,w) ɛ clôture(δ(p, a)). ɛ clôture(q) = tous les états joignales à partir de q par une suite de n 0 transitions étiquetées par ɛ... Tout DFA peut être vu comme un NFA, tout NFA peut être vu comme un NFA ɛ.
27 NFA ɛ: formalisations Formalisation de la notion d automate:... δ : Q (Σ {ɛ}) P(Q)... Formalisation de la notion de mot reconnu:... ˆδ(q, wa) = p ˆδ(q,w) ɛ clôture(δ(p, a)). ɛ clôture(q) = tous les états joignales à partir de q par une suite de n 0 transitions étiquetées par ɛ... Tout DFA peut être vu comme un NFA, tout NFA peut être vu comme un NFA ɛ. Théorème: Tout NFA ɛ peut être simulé par un DFA.
28 NFA ɛ: formalisations Formalisation de la notion d automate:... δ : Q (Σ {ɛ}) P(Q)... Formalisation de la notion de mot reconnu:... ˆδ(q, wa) = p ˆδ(q,w) ɛ clôture(δ(p, a)). ɛ clôture(q) = tous les états joignales à partir de q par une suite de n 0 transitions étiquetées par ɛ... Tout DFA peut être vu comme un NFA, tout NFA peut être vu comme un NFA ɛ. Théorème: Tout NFA ɛ peut être simulé par un DFA.... même principe...
29 Un intérêt: permettre de cominer directement des automates. Exemple: à partir d un automate qui reconnaît pim p q 0 q i 1 q m 2 q 3 et d un automate qui reconnaît poum p r 0 r o 1 r u 2 r m 3 r 4 construire un automate qui reconnaît pim poum à coup de copier coller: s ɛ ɛ p q 0 q i 1 q m 2 q 3 p r 0 r o 1 r u 2 r m 3 r 4
30 Aujourd hui Rappels Déterminisation Automates et expressions régulières Langages non-réguliers Propriétés de clôture Le mot de la fin
31 Liens avec les expressions régulières Théorème de Kleene: L(DFA) = L(NFA) = L(NFA ɛ) = Langages réguliers. Autrement dit: les assertions suivantes sont équivalentes. L est accepté par un DFA. L est accepté par un NFA. L est accepté par un NFA ɛ. L est régulier: L = [[p]] pour un motif p.
32 Des expressions régulières aux automates: motifs de ase Étant donné un motif p, on peut construire un automate qui reconnaît [[p]]. Pour le motif : q 0 q 1 Pour le motif ɛ: q ɛ 0 q 1 Pour le motif c, c Σ: q c 0 q 1
33 Des expressions régulières aux automates: autres motifs Inductivement, si les motifs p 1 et p 2 correspondent à des automates, Pour le motif p 1.p 2 : p ɛ 1 p 2 Pour le motif p 1 p 2 : ɛ ɛ p 1 p 2 ɛ ɛ Pour le motif p 1 : ɛ ɛ ɛ p 1 ɛ
34 Des automates aux expressions régulières: un peu d algère Les identités (L 1 L 2 )L = L 1.L L 2.L et L.(L 1 L 2 ) = L.L 1 L.L 2 incitent à aussi noter + la disjonction: (L 1 + L 2 )L = L 1 L + L 2 L L(L 1 + L 2 ) = LL 1 + LL 2 Les identités L = L = L et {ɛ}l = L{ɛ} = L incitent à aussi noter 0 pour, et 1 pour {ɛ}: L + 0 = L 0 + L = L 1.L = L L.1 = L
35 Des automates aux expressions régulières: un peu d algère Passer d un automate à un langage... a 1 a 2 3 a... revient à résoudre un système d équations. X 1 = ax 2 + X 3 X 2 = ax 1 + X X 3 = ax Cas général: X q est le langage constitué des mots w tel que ˆδ(q, w) F. X q = p K p,qx p + L q avec K p,q = {a Σ q δ(p, a)}, L q vaut 0 si q F, {1} sinon.
36 Des automates aux expressions régulières: résoudre des équations Si K ne contient pas le mot vide, l équation X = KX + L admet comme unique solution X = K L.
37 Des automates aux expressions régulières: résoudre des équations Si K ne contient pas le mot vide, l équation X = KX + L admet comme unique solution X = K L. Preuve: K L est ien solution, car K(K L) + L = (KK )L + L = (KK + 1)L = K L
38 Des automates aux expressions régulières: résoudre des équations On prouve par récurrence sur w que w K L implique w Y : Si w = 0, w L, car ɛ K. Donc w KY + L = Y. Si w = n + 1. Si w L, alors w KY + L = Y. Sinon, w = w w w, avec w K, w K, w L. Puisque w ɛ, w w n et par hypothèse de récurrence w w Y, et donc w = w w w KY KY + L = Y. Donc X Y. Si K ne contient pas le mot vide, l équation X = KX + L admet comme unique solution X = K L. Preuve: K L est ien solution, car K(K L) + L = (KK )L + L = (KK + 1)L = K L Soit Y une autre solution, prouvons que X = Y, pour X = K L.
39 Des automates aux expressions régulières: résoudre des équations Si K ne contient pas le mot vide, l équation X = KX + L admet comme unique solution X = K L. Et donc si K et L sont réguliers, X aussi.
40 Des automates aux expressions régulières: exemple a 1 a 2 3 a X 1 = ax 2 + X 3 X 2 = ax 1 + X X 3 = ax 2 + 1
41 Des automates aux expressions régulières: exemple a 1 a 2 3 a X 1 = ax 2 + X 3 X 2 = ax 1 + X X 3 = ax Remplaçons X 3 par ax
42 Des automates aux expressions régulières: exemple a 1 a 2 3 a X 1 = ax 2 + (ax 2 + 1) X 2 = ax 1 + (ax 2 + 1) + 1 X 3 = ax X 1 = ax 2 + X 3 X 2 = ax 1 + X X 3 = ax Remplaçons X 3 par ax
43 Des automates aux expressions régulières: exemple a 1 a 2 3 a X 1 = (a + a)x 2 + X 2 = ax 1 + ax 2 + ( + 1) X 3 = ax X 1 = ax 2 + X 3 X 2 = ax 1 + X X 3 = ax Remplaçons X 3 par ax Remplaçons X 1 par (a + a)x 2 +.
44 Des automates aux expressions régulières: exemple a 1 a 2 3 a X 1 = ax 2 + X 3 X 2 = ax 1 + X X 3 = ax X 2 = a((a + a)x 2 + ) + ax 2 + ( + 1) X 1 = (a + a)x 2 + X 3 = ax Remplaçons X 3 par ax Remplaçons X 1 par (a + a)x 2 +.
45 Des automates aux expressions régulières: exemple a 1 a 2 3 a X 1 = ax 2 + X 3 X 2 = ax 1 + X X 3 = ax X 2 = (aa + aa + a)x 2 + (a + + 1) X 1 = (a + a)x 2 + X 3 = ax Remplaçons X 3 par ax Remplaçons X 1 par (a + a)x 2 +. Résolvons l équation X 2 = (aa + aa + a)x 2 + (a + + 1).
46 Des automates aux expressions régulières: exemple a 1 a 2 3 a X 1 = ax 2 + X 3 X 2 = ax 1 + X X 3 = ax X 2 = (aa + aa + a) (a + + 1) X 1 = (a + a)x 2 + X 3 = ax Remplaçons X 3 par ax Remplaçons X 1 par (a + a)x 2 +. Résolvons l équation X 2 = (aa + aa + a)x 2 + (a + + 1). Reportons.
47 Des automates aux expressions régulières: exemple a 1 a 2 3 a X 1 = ax 2 + X 3 X 2 = ax 1 + X X 3 = ax X 2 = (aa + aa + a) (a + + 1) X 1 = (a + a)(aa + aa + a) (a + + 1) + X 3 = a(aa + aa + a) (a + + 1) + 1 Remplaçons X 3 par ax Remplaçons X 1 par (a + a)x 2 +. Résolvons l équation X 2 = (aa + aa + a)x 2 + (a + + 1). Reportons. Le langage reconnu par l automate est donné par X 1, et donc vaut (a + a)(aa + aa + a) (a + + 1) +.
48 Aujourd hui Rappels Déterminisation Automates et expressions régulières Langages non-réguliers Propriétés de clôture Le mot de la fin
49 Le lemme de la pompe Pour tout langage régulier L, il existe un entier n tel que tout mot m de L de longueur m n se décompose en w = xyz avec y ɛ xy n et pour tout entier k, xy k z L.
50 Le lemme de la pompe Pour tout langage régulier L, il existe un entier n tel que tout mot m de L de longueur m n se décompose en w = xyz avec y ɛ xy n et pour tout entier k, xy k z L. Autrement dit, si m est dans L, on peut trouver un sous mot qui peut être répété un nomre aritraire de fois, sans changer l appartenance à L.
51 Pourquoi? I/II Soit L un langage régulier, et A un automate fini déterministe qui le reconnaît. Soit n le nomre d états de A. Soit m un mot du langage L avec m n. Considérons q i (m) l état de l automate après avoir lu les i premières lettres de m. Puisque m n, nécessairement on a du repasser au moins deux fois par le même état q (principe des tiroirs et des chaussettes/lemme des (trous de) pigeons).
52 Pourquoi? II/II Soient i < j tels que q i (m) = q j (m) = q. Soit x constitué des i premiers caractères de m: ˆδ(q 0, x) = q. Soit y constitué des j i caractères suivants de m: ˆδ(q 0, xy) = ˆδ(q, y) = q. Soit z constitué des caractères suivants de m: ˆδ(q 0, xyz) = ˆδ(q, z) F. Puisque ˆδ(q, y) = q, ˆδ(q, y k ) = q. On a donc ˆδ(q 0, xy k z) = ˆδ(q, y k z) = ˆδ(q, z) F.
53 Application Le langage des mots sur Σ = {a, } qui contiennent autant de a que de n est pas régulier.
54 Application Le langage des mots sur Σ = {a, } qui contiennent autant de a que de n est pas régulier. En effet
55 Application 33 Le langage des mots sur Σ = {a, } qui contiennent autant de a que de n est pas régulier. En effet Soit n l entier donné par le lemme.
56 Application 33 Le langage des mots sur Σ = {a, } qui contiennent autant de a que de n est pas régulier. En effet Soit n l entier donné par le lemme. Considérons le mot w = a n n du langage.
57 Application 33 Le langage des mots sur Σ = {a, } qui contiennent autant de a que de n est pas régulier. En effet Soit n l entier donné par le lemme. Considérons le mot w = a n n du langage. Supposons w = xyz, avec y ɛ et xy n.
58 Application 33 Le langage des mots sur Σ = {a, } qui contiennent autant de a que de n est pas régulier. En effet Soit n l entier donné par le lemme. Considérons le mot w = a n n du langage. Supposons w = xyz, avec y ɛ et xy n. Puisque xy n, x et y ne sont constitués que de a.
59 Application 33 Le langage des mots sur Σ = {a, } qui contiennent autant de a que de n est pas régulier. En effet Soit n l entier donné par le lemme. Considérons le mot w = a n n du langage. Supposons w = xyz, avec y ɛ et xy n. Puisque xy n, x et y ne sont constitués que de a. Il existe un entier k tel que xy k z n est pas dans le langage.
60 Application 33 Le langage des mots sur Σ = {a, } qui contiennent autant de a que de n est pas régulier. En effet Soit n l entier donné par le lemme. Considérons le mot w = a n n du langage. Supposons w = xyz, avec y ɛ et xy n. Puisque xy n, x et y ne sont constitués que de a. Il existe un entier k tel que xy k z n est pas dans le langage. Contradiction.
61 Autre application 34 Le langage {a n n n 0} n est pas régulier.
62 Autre application 34 Le langage {a n n n 0} n est pas régulier. En effet La même preuve (mot à mot) fonctionne.
63 Autre application Le langage {a n n est un entier premier} n est pas régulier.
64 Autre application Le langage {a n n est un entier premier} n est pas régulier. En effet
65 Autre application Le langage {a n n est un entier premier} n est pas régulier. En effet Soit n l entier donné par le lemme.
66 Autre application Le langage {a n n est un entier premier} n est pas régulier. En effet Soit n l entier donné par le lemme. Considérons p un nomre premier avec p n + 2.
67 Autre application Le langage {a n n est un entier premier} n est pas régulier. En effet Soit n l entier donné par le lemme. Considérons p un nomre premier avec p n + 2. Le mot w = a p est dans le langage.
68 Autre application Le langage {a n n est un entier premier} n est pas régulier. En effet Soit n l entier donné par le lemme. Considérons p un nomre premier avec p n + 2. Le mot w = a p est dans le langage. Supposons w = xyz, avec y ɛ et xy n.
69 Autre application Le langage {a n n est un entier premier} n est pas régulier. En effet Soit n l entier donné par le lemme. Considérons p un nomre premier avec p n + 2. Le mot w = a p est dans le langage. Supposons w = xyz, avec y ɛ et xy n. Soit m = y.
70 Autre application Le langage {a n n est un entier premier} n est pas régulier. En effet Soit n l entier donné par le lemme. Considérons p un nomre premier avec p n + 2. Le mot w = a p est dans le langage. Supposons w = xyz, avec y ɛ et xy n. Soit m = y. On doit avoir xy p m z dans le langage, de longueur p m + (p m) m = (m + 1)(p m).
71 Autre application 35 Le langage {a n n est un entier premier} n est pas régulier. En effet Soit n l entier donné par le lemme. Considérons p un nomre premier avec p n + 2. Le mot w = a p est dans le langage. Supposons w = xyz, avec y ɛ et xy n. Soit m = y. On doit avoir xy p m z dans le langage, de longueur p m + (p m) m = (m + 1)(p m). Ce nomre n est pas premier, sauf si m + 1 = 1 ou p m = 1.
72 Autre application 35 Le langage {a n n est un entier premier} n est pas régulier. En effet Soit n l entier donné par le lemme. Considérons p un nomre premier avec p n + 2. Le mot w = a p est dans le langage. Supposons w = xyz, avec y ɛ et xy n. Soit m = y. On doit avoir xy p m z dans le langage, de longueur p m + (p m) m = (m + 1)(p m). Ce nomre n est pas premier, sauf si m + 1 = 1 ou p m = 1. Or m + 1 > 1 puisque m 0, et p m > 1 puique p n + 2.
73 Autre application 35 Le langage {a n n est un entier premier} n est pas régulier. En effet Soit n l entier donné par le lemme. Considérons p un nomre premier avec p n + 2. Le mot w = a p est dans le langage. Supposons w = xyz, avec y ɛ et xy n. Soit m = y. On doit avoir xy p m z dans le langage, de longueur p m + (p m) m = (m + 1)(p m). Ce nomre n est pas premier, sauf si m + 1 = 1 ou p m = 1. Or m + 1 > 1 puisque m 0, et p m > 1 puique p n + 2. Contradiction.
74 Autre application L ensemle des chaînes sur Σ = {(, )} ien parenthésées n est pas régulier. etc...
75 Aujourd hui Rappels Déterminisation Automates et expressions régulières Langages non-réguliers Propriétés de clôture Le mot de la fin
76 Propriétés de clôture 1. L union de deux langages réguliers est un langage régulier. 2. L étoile d un langage régulier est un langage régulier. 3. La concaténation de deux langages réguliers est un langage régulier. 4. Le complément d un langage régulier est un langage régulier. 5. L intersection de deux deux langages réguliers est un langage régulier. 6. La différence de deux langages réguliers est un langage régulier.
77 39 Preuve On se donne deux langages réguliers L 1 et L 2. L 1 correspond à un motif p 1, L 2 à un motif p 2. Alors: L 1 L 2 correspond au motif p 1 p 2.
78 39 Preuve On se donne deux langages réguliers L 1 et L 2. L 1 correspond à un motif p 1, L 2 à un motif p 2. Alors: L 1 L 2 correspond au motif p 1 p 2. L 1 au motif p 1
79 Preuve On se donne deux langages réguliers L 1 et L 2. L 1 correspond à un motif p 1, L 2 à un motif p 2. Alors: L 1 L 2 correspond au motif p 1 p 2. L 1 au motif p 1 L 1.L 2 au motif p 1.p 2
80 Preuve On se donne deux langages réguliers L 1 et L 2. L 1 correspond à un motif p 1, L 2 à un motif p 2. Alors: L 1 L 2 correspond au motif p 1 p 2. L 1 au motif p 1 L 1.L 2 au motif p 1.p 2 L 1 correspond à un automate fini déterministe (Q, Σ, δ, q 0, F ). Son complémentaire L c 1 à l automate fini déterministe (Q, Σ, δ, q 0, Q F ).
81 Preuve On se donne deux langages réguliers L 1 et L 2. L 1 correspond à un motif p 1, L 2 à un motif p 2. Alors: L 1 L 2 correspond au motif p 1 p 2. L 1 au motif p 1 L 1.L 2 au motif p 1.p 2 L 1 correspond à un automate fini déterministe (Q, Σ, δ, q 0, F ). Son complémentaire L c 1 à l automate fini déterministe (Q, Σ, δ, q 0, Q F ). L 1 L 2 s otient par les lois de Morgan (L 1 L 2 ) c = L c 1 L c 2
82 Preuve On se donne deux langages réguliers L 1 et L 2. L 1 correspond à un motif p 1, L 2 à un motif p 2. Alors: L 1 L 2 correspond au motif p 1 p 2. L 1 au motif p 1 L 1.L 2 au motif p 1.p 2 L 1 correspond à un automate fini déterministe (Q, Σ, δ, q 0, F ). Son complémentaire L c 1 à l automate fini déterministe (Q, Σ, δ, q 0, Q F ). L 1 L 2 s otient par les lois de Morgan L 1 L 2 s otient par L 1 L c 2. (L 1 L 2 ) c = L c 1 L c 2
83 Aujourd hui Rappels Déterminisation Automates et expressions régulières Langages non-réguliers Propriétés de clôture Le mot de la fin
84 Les points importants du cours ( INF 431) Programmer plus et mieux. Des structures de données dynamiques. Des algorithmes sur ces structures. Quelques considérations de complexité. Automates et langages.
85 La pale Tous les documents (poly, copie des transparents, notes) sont autorisés. Quand on vous demande d écrire du code: rarement plus de 15 lignes. Le poly est un sur-ensemle de ce que nous avons vu en amphis. Réviser aussi les TPs.
86 c est IMPORTANT. Le sondage
Probabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
INF 232: Langages et Automates. Travaux Dirigés. Université Joseph Fourier, Université Grenoble 1 Licence Sciences et Technologies
INF 232: Langages et Automates Travaux Dirigés Université Joseph Fourier, Université Grenoble 1 Licence Sciences et Technologies Année Académique 2013-2014 Année Académique 2013-2014 UNIVERSITÉ JOSEPH
De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
CH.6 Propriétés des langages non contextuels
CH.6 Propriétés des langages non contetuels 6.1 Le lemme de pompage 6.2 Les propriétés de fermeture 6.3 Les problèmes de décidabilité 6.4 Les langages non contetuels déterministes utomates ch6 1 6.1 Le
Informatique Théorique : Théorie des Langages, Analyse Lexicale, Analyse Syntaxique Jean-Pierre Jouannaud Professeur
Université Paris-Sud Licence d Informatique Informatique Théorique : Théorie des Langages, Analyse Lexicale, Analyse Syntaxique Jean-Pierre Jouannaud Professeur Adresse de l auteur : LIX École Polytechnique
Réalisabilité et extraction de programmes
Mercredi 9 mars 2005 Extraction de programme: qu'est-ce que c'est? Extraire à partir d'une preuve un entier x N tel que A(x). π x N A(x) (un témoin) (En fait, on n'extrait pas un entier, mais un programme
Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5.
DÉVELOPPEMENT 32 A 5 EST LE SEUL GROUPE SIMPLE D ORDRE 60 Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5. Démonstration. On considère un groupe G d ordre 60 = 2 2 3 5 et
Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques
Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de
La NP-complétude. Johanne Cohen. PRISM/CNRS, Versailles, France.
La NP-complétude Johanne Cohen PRISM/CNRS, Versailles, France. Références 1. Algorithm Design, Jon Kleinberg, Eva Tardos, Addison-Wesley, 2006. 2. Computers and Intractability : A Guide to the Theory of
Image d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction
Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Résolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Fondements de l informatique Logique, modèles, et calculs
Fondements de l informatique Logique, modèles, et calculs Cours INF423 de l Ecole Polytechnique Olivier Bournez Version du 20 septembre 2013 2 Table des matières 1 Introduction 9 1.1 Concepts mathématiques........................
1 Définition et premières propriétés des congruences
Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon
Logique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
UEO11 COURS/TD 1. nombres entiers et réels codés en mémoire centrale. Caractères alphabétiques et caractères spéciaux.
UEO11 COURS/TD 1 Contenu du semestre Cours et TDs sont intégrés L objectif de ce cours équivalent a 6h de cours, 10h de TD et 8h de TP est le suivant : - initiation à l algorithmique - notions de bases
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Manuel d utilisation 26 juin 2011. 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2
éducalgo Manuel d utilisation 26 juin 2011 Table des matières 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2 2 Comment écrire un algorithme? 3 2.1 Avec quoi écrit-on? Avec les boutons d écriture........
Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence
Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée
Rappels sur les suites - Algorithme
DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................
ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2008 - Partie D
ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2008 - Partie D TITRE : Les Fonctions de Hachage Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant le jury :.10 minutes Entretien avec le jury :..10 minutes GUIDE
3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Calcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Limites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique
La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation
Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Chap 4. La fonction exponentielle Terminale S. Lemme : Si est une fonction dérivable sur R telle que : = et 0! = 1 alors ne s annule pas sur R.
Lemme : Si est une fonction dérivable sur R telle que : = et 0! = 1 alors ne s annule pas sur R. Démonstration : Soit la fonction %:& %&!= &!, elle est dérivable sur R et & R, %. &!= &! = &! = %&! gaelle.buffet@ac-montpellier.fr
Relation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices
Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 MPSI 1 Feuille d exercices Manipulation des relations d ordre. Relation d ordre Exercice 1. Soit E un ensemble fixé contenant au moins deux éléments. On considère la relation
Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Continuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé
Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données
Calculabilité Cours 3 : Problèmes non-calculables. http://www.irisa.fr/lande/pichardie/l3/log/
Calculabilité Cours 3 : Problèmes non-calculables http://www.irisa.fr/lande/pichardie/l3/log/ Problèmes et classes de décidabilité Problèmes et classes de décidabilité Nous nous intéressons aux problèmes
Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités
Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations
Modèles de Calcul. Yassine Lakhnech. 2007/08 Université Joseph Fourier Lab.: VERIMAG. Yassine.Lakhnech@imag.fr. Modèles de Calcul Start p.
Modèles de Calcul Yassine Lakhnech Yassine.Lakhnech@imag.fr 2007/08 Université Joseph Fourier Lab.: VERIMAG Modèles de Calcul Start p.1/81 Équipe pédagogique Cours : Saddek Bensalem et Yassine Lakhnech
Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Capacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34
Capacité d un canal Second Théorème de Shannon Théorie de l information 1/34 Plan du cours 1. Canaux discrets sans mémoire, exemples ; 2. Capacité ; 3. Canaux symétriques ; 4. Codage de canal ; 5. Second
Introduction à la théorie des graphes. Solutions des exercices
CAHIERS DE LA CRM Introduction à la théorie des graphes Solutions des exercices Didier Müller CAHIER N O 6 COMMISSION ROMANDE DE MATHÉMATIQUE 1 Graphes non orientés Exercice 1 On obtient le graphe biparti
Continuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
chapitre 4 Nombres de Catalan
chapitre 4 Nombres de Catalan I Dénitions Dénition 1 La suite de Catalan (C n ) n est la suite dénie par C 0 = 1 et, pour tout n N, C n+1 = C k C n k. Exemple 2 On trouve rapidement C 0 = 1, C 1 = 1, C
Nombres premiers. Comment reconnaître un nombre premier? Mais...
Introduction Nombres premiers Nombres premiers Rutger Noot IRMA Université de Strasbourg et CNRS Le 19 janvier 2011 IREM Strasbourg Definition Un nombre premier est un entier naturel p > 1 ayant exactement
Théorie des Langages
Théorie des Langages Analyse syntaxique descendante Claude Moulin Université de Technologie de Compiègne Printemps 2010 Sommaire 1 Principe 2 Premiers 3 Suivants 4 Analyse 5 Grammaire LL(1) Exemple : Grammaire
Cours 1 : Qu est-ce que la programmation?
1/65 Introduction à la programmation Cours 1 : Qu est-ce que la programmation? Yann Régis-Gianas yrg@pps.univ-paris-diderot.fr Université Paris Diderot Paris 7 2/65 1. Sortez un appareil qui peut se rendre
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Chapitre 7. Récurrences
Chapitre 7 Récurrences 333 Plan 1. Introduction 2. Applications 3. Classification des récurrences 4. Résolution de récurrences 5. Résumé et comparaisons Lectures conseillées : I MCS, chapitre 20. I Rosen,
Le produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010
MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne
Introduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Arithmétique binaire. Chapitre. 5.1 Notions. 5.1.1 Bit. 5.1.2 Mot
Chapitre 5 Arithmétique binaire L es codes sont manipulés au quotidien sans qu on s en rende compte, et leur compréhension est quasi instinctive. Le seul fait de lire fait appel au codage alphabétique,
Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Algorithmes récursifs
Licence 1 MASS - Algorithmique et Calcul Formel S. Verel, M.-E. Voge www.i3s.unice.fr/ verel 23 mars 2007 Objectifs de la séance 3 écrire des algorithmes récursifs avec un seul test rechercher un élément
LE PROBLEME DU PLUS COURT CHEMIN
LE PROBLEME DU PLUS COURT CHEMIN Dans cette leçon nous définissons le modèle de plus court chemin, présentons des exemples d'application et proposons un algorithme de résolution dans le cas où les longueurs
LES DECIMALES DE π BERNARD EGGER
LES DECIMALES DE π BERNARD EGGER La génération de suites de nombres pseudo aléatoires est un enjeu essentiel pour la simulation. Si comme le dit B Ycard dans le cours écrit pour le logiciel SEL, «Paradoxalement,
Développement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Cours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Simulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Algèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008)
Université Mohammed V Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Filière : SMI Algèbre binaire et Circuits logiques (27-28) Prof. Abdelhakim El Imrani Plan. Algèbre de Boole 2. Circuits
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Chapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Cours d introduction à l informatique. Partie 2 : Comment écrire un algorithme? Qu est-ce qu une variable? Expressions et instructions
Cours d introduction à l informatique Partie 2 : Comment écrire un algorithme? Qu est-ce qu une variable? Expressions et instructions Qu est-ce qu un Une recette de cuisine algorithme? Protocole expérimental
Projet d informatique M1BI : Compression et décompression de texte. 1 Généralités sur la compression/décompression de texte
Projet d informatique M1BI : Compression et décompression de texte Le but de ce projet est de coder un programme réalisant de la compression et décompression de texte. On se proposera de coder deux algorithmes
Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés.
Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R
Architecture des ordinateurs TD1 - Portes logiques et premiers circuits
Architecture des ordinateurs TD1 - Portes logiques et premiers circuits 1 Rappel : un peu de logique Exercice 1.1 Remplir la table de vérité suivante : a b a + b ab a + b ab a b 0 0 0 1 1 0 1 1 Exercice
Probabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Date : 18.11.2013 Tangram en carré page
Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Titre : Tangram en carré Numéro de la dernière page : 14 Degrés : 1 e 4 e du Collège Durée : 90 minutes Résumé : Le jeu de Tangram (appelé en chinois les sept planches
Trépier avec règle, ressort à boudin, chronomètre, 5 masses de 50 g.
PHYSQ 130: Hooke 1 LOI DE HOOKE: CAS DU RESSORT 1 Introduction La loi de Hooke est fondamentale dans l étude du mouvement oscillatoire. Elle est utilisée, entre autres, dans les théories décrivant les
Définitions. Numéro à préciser. (Durée : )
Numéro à préciser (Durée : ) On étudie dans ce problème l ordre lexicographique pour les mots sur un alphabet fini et plusieurs constructions des cycles de De Bruijn. Les trois parties sont largement indépendantes.
Objets Combinatoires élementaires
Objets Combinatoires élementaires 0-0 Permutations Arrangements Permutations pour un multi-ensemble mots sous-ensemble à k éléments (Problème du choix) Compositions LE2I 04 1 Permutations Supposons que
Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche
Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines
Matrice d accès. Master SEMS, 2013-2014. Pierre Paradinas. October 16, 2013
Matrice d accès Master SEMS, 2013-2014 Pierre Paradinas October 16, 2013 Le Concept de Matrice d Accès ntroduit en 1971 par Butler Lampson Definition On note O, l ensemble des entités objet qui sont impliquées
La fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Cours 1 : Introduction Ordinateurs - Langages de haut niveau - Application
Université de Provence Licence Math-Info Première Année V. Phan Luong Algorithmique et Programmation en Python Cours 1 : Introduction Ordinateurs - Langages de haut niveau - Application 1 Ordinateur Un
Machines virtuelles Cours 1 : Introduction
Machines virtuelles Cours 1 : Introduction Pierre Letouzey 1 pierre.letouzey@inria.fr PPS - Université Denis Diderot Paris 7 janvier 2012 1. Merci à Y. Régis-Gianas pour les transparents Qu est-ce qu une
Objectifs du cours d aujourd hui. Informatique II : Cours d introduction à l informatique et à la programmation objet. Complexité d un problème (2)
Objectifs du cours d aujourd hui Informatique II : Cours d introduction à l informatique et à la programmation objet Complexité des problèmes Introduire la notion de complexité d un problème Présenter
Optimisation Discrète
Prof F Eisenbrand EPFL - DISOPT Optimisation Discrète Adrian Bock Semestre de printemps 2011 Série 7 7 avril 2011 Exercice 1 i Considérer le programme linéaire max{c T x : Ax b} avec c R n, A R m n et
Texte Agrégation limitée par diffusion interne
Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse
Cours d arithmétique Première partie
Cours d arithmétique Première partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi Décembre 2004 Ce document est la première partie d un cours d arithmétique écrit pour les élèves préparant
a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
STI2D Logique binaire SIN. L' Algèbre de BOOLE
L' Algère de BOOLE L'lgère de Boole est l prtie des mthémtiques, de l logique et de l'électronique qui s'intéresse ux opértions et ux fonctions sur les vriles logiques. Le nom provient de George Boole.
Algorithmique et Programmation, IMA
Algorithmique et Programmation, IMA Cours 2 : C Premier Niveau / Algorithmique Université Lille 1 - Polytech Lille Notations, identificateurs Variables et Types de base Expressions Constantes Instructions
STAGE IREM 0- Premiers pas en Python
Université de Bordeaux 16-18 Février 2014/2015 STAGE IREM 0- Premiers pas en Python IREM de Bordeaux Affectation et expressions Le langage python permet tout d abord de faire des calculs. On peut évaluer
Théorie de la mesure. S. Nicolay
Théorie de la mesure S. Nicolay Année académique 2011 2012 ii Table des matières Introduction v 1 Mesures 1 1.1 Sigma-algèbres................................. 1 1.2 Mesures.....................................
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Solutions du chapitre 4
Solutions du chapitre 4 Structures de contrôle: première partie 4.9 Identifiez et corrigez les erreurs (il peut y en avoir plus d une par segment de code) de chacune des proposition suivantes: a) if (
Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses. Guillaume Martinez 17 décembre 2007
Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses Guillaume Martinez 17 décembre 2007 1 Table des matières 1 Le projet 3 1.1 Objectif................................ 3 1.2 Les choix techniques.........................
Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Eteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques :
MTH EN JEN 2013-2014 Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : Lycée Michel Montaigne : HERITEL ôme T S POLLOZE Hélène 1 S SOK Sophie 1 S Eteindre Lycée Sud Médoc : ROSIO Gauthier 2 nd PELGE
Complément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Analyse stochastique de la CRM à ordre partiel dans le cadre des essais cliniques de phase I
Analyse stochastique de la CRM à ordre partiel dans le cadre des essais cliniques de phase I Roxane Duroux 1 Cadre de l étude Cette étude s inscrit dans le cadre de recherche de doses pour des essais cliniques