Signaux sur automates cellulaires en dimension 2

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1 Signaux sur automates cellulaires en dimension 2 Jean-Christophe Dubacq LRI, Orsay SÉMINAIRE OCAD 21 NOVEMBRE 2002

2 Automates cellulaires Définition 1 (Automate cellulaire) Un automate cellulaire de dimension d est un triplet (S, V, f) où S est un ensemble d états, V un sous-ensemble fini de Z d et f une fonction de S V S. Une configuration est un élément de S Zd.

3 Automates cellulaires Définition 1 (Automate cellulaire) Un automate cellulaire de dimension d est un triplet (S, V, f) où S est un ensemble d états, V un sous-ensemble fini de Z d et f une fonction de S V S. Une configuration est un élément de S Zd. Configuration

4 Automates cellulaires Définition 1 (Automate cellulaire) Un automate cellulaire de dimension d est un triplet (S, V, f) où S est un ensemble d états, V un sous-ensemble fini de Z d et f une fonction de S V S. Une configuration est un élément de S Zd. New configuration Configuration

5 Automates cellulaires Définition 1 (Automate cellulaire) Un automate cellulaire de dimension d est un triplet (S, V, f) où S est un ensemble d états, V un sous-ensemble fini de Z d et f une fonction de S V S. Une configuration est un élément de S Zd. f f : Here, V = { 1, 0, 1}

6 Automates cellulaires Définition 1 (Automate cellulaire) Un automate cellulaire de dimension d est un triplet (S, V, f) où S est un ensemble d états, V un sous-ensemble fini de Z d et f une fonction de S V S. Une configuration est un élément de S Zd. f f f f f f f Parallelism

7 Définition 2 (Fonction globale) La fonction globale d un automate cellulaire est la fonction f : S Zd S Zd qui à une configuration C associe la configuration image f(c) : u = f ( u + x 1,..., u + x v ). Par itération successive, on définit une suite de configurations. On appelle la fonction (u, t) u, t le diagramme espace-temps de l automate cellulaire.

8 Plusieurs voisinages von Neumann Moore Treillis En dimension 1 En dimension 2 Mathématiquement xi 1 x i 1 x i = 1

13 Classication de Wolfram Wolfram a institué une classification empirique des automates cellulaires en 4 classes : nihilpotents, périodiques, aléatoires, complexes.

14 Classication de Wolfram Wolfram a institué une classification empirique des automates cellulaires en 4 classes : nihilpotents, périodiques, aléatoires, complexes. Cette classification est censée permettre de trouver les automates cellulaires les plus intéressants dans la classe IV.

15 Classe I

16 Classe II

17 Classe III

18 Classe IV

19 Classe IV

20 Classe IV

21 Notion de signal Diagramme espace-temps d un automate (9 états) : Temps croissant

22 Notion de signal Diagramme espace-temps d un automate (9 états) : Construction Partitionner les états. Temps croissant

25 Notion de signal Diagramme espace-temps d un automate (9 états) : Construction Partitionner les états. Détection Décider d une direction. Temps croissant

26 Notion de signal Diagramme espace-temps d un automate (9 états) : Construction Partitionner les états. Détection Décider d une direction. Support Utiliser un automate fini. Temps croissant

27 Définition 3 (AC à impulsion) On se donne un automate cellulaire A possédant deux états distingués, et tel que f(,..., ) =. On étudie le diagramme espace-temps de A appliqué à la configuration.

28 Définition 3 (AC à impulsion) On se donne un automate cellulaire A possédant deux états distingués, et tel que f(,..., ) =. On étudie le diagramme espace-temps de A appliqué à la configuration. Définition 4 (Signal) Un V-signal Γ est une séquence de sites {(u(t), t)} t 0 tels que u(0) = 0. t 0 : u(t + 1) u(t) V.

29 Définition 3 (AC à impulsion) On se donne un automate cellulaire A possédant deux états distingués, et tel que f(,..., ) =. On étudie le diagramme espace-temps de A appliqué à la configuration. Définition 4 (Signal) Un V-signal Γ est une séquence de sites {(u(t), t)} t 0 tels que u(0) = 0. t 0 : u(t + 1) u(t) V. Définition 5 (Signaux de base) On appelle signal de base tout signal qui est ultimement périodique.

30 Faire des signaux rapides Le signal le plus «rapide» que l on sache faire est le signal de temps réel : Temps Temps réel

31 Faire des signaux rapides Le signal le plus «rapide» que l on sache faire est le signal de temps réel : Temps f(n) n Un signal peut «définir» une fonction f, soit par le signal (n, n + f(n)),

32 Faire des signaux rapides Le signal le plus «rapide» que l on sache faire est le signal de temps réel : Temps f(n) n Un signal peut «définir» une fonction f, soit par le signal (n, n + f(n)), soit par le signal (n f(n), n + f(n)) = pente du signal.

33 Construction de signaux complexes On ne peut pas construire n importe quel signal qui ne soit pas de base. Théorème 1 Soit A un AC à q états. Alors il n est pas possible de construire un signal non ultimement périodique de pente inférieure à : log q (n) en dimension 1, log ppcm 1...q (n) en dimension supérieure.

34 En dimension 1 : bandes périodiques L On considère une tranche de taille L. Elle est composée de lamelles.

35 En dimension 1 : bandes périodiques Etats quiescents On considère une tranche de taille L. Elle est composée de lamelles. Chaque lamelle dépend uniquement de la lamelle précédente.

36 En dimension 1 : bandes périodiques n < q L On considère une tranche de taille L. Elle est composée de lamelles. Chaque lamelle dépend uniquement de la lamelle précédente. Donc, il y a périodicité de la lamelle.

37 En dimension supérieures : généralisation On définit D i comme suit : D t i = t 1 i, t D (0,0) D i = { (D t i ) t max(i1,...,i k )/2 if i N k λ else. D 0 est le signal de temps réel.

38 En dimension supérieures : généralisation On définit D i comme suit : D t i = t 1 i, t D (1,0) D (0,1) D i = { (D t i ) t max(i1,...,i k )/2 if i N k λ else. D 0 est le signal de temps réel.

39 En dimension supérieures : généralisation On définit D i comme suit : D i = Di t = t 1 i, t { (D t i ) t max(i1,...,i k )/2 if i N k λ else. D 0 est le signal de temps réel. Mots infinis, définis à partir d un état potentiellement non quiescent.

40 En dimension supérieures : généralisation On définit D i comme suit : D i = Di t = t 1 i, t { (D t i ) t max(i1,...,i k )/2 if i N k λ else. D 0 est le signal de temps réel. Mots infinis, définis à partir d un état potentiellement non quiescent.

41 Comme D t+1 i dépend de D t i x 1 avec x V Moore,

42 Comme D t+1 i dépend de D t i x 1 avec x V Moore,

43 Comme D t+1 i dépend de Di x 1 t avec x V Moore, on va conserver une relation sur la périodicité de D i par rapport à la périodicité des D i x 1 pour x V Moore.

44 Comme D t+1 i dépend de Di x 1 t avec x V Moore, on va conserver une relation sur la périodicité de D i par rapport à la périodicité des D i x 1 pour x V Moore. D i x 1 est périodique (x V Moore ) D i est périodique. (comportement d automate à q états).

45 Comme D t+1 i dépend de Di x 1 t avec x V Moore, on va conserver une relation sur la périodicité de D i par rapport à la périodicité des D i x 1 pour x V Moore. D i x 1 est périodique (x V Moore ) D i est périodique. (comportement d automate à q états). On a écroulement des périodes : 2, 3, 5, 6, et non La période du 8-uplet est le ppcm des périodes.

46 Comme D t+1 i dépend de Di x 1 t avec x V Moore, on va conserver une relation sur la périodicité de D i par rapport à la périodicité des D i x 1 pour x V Moore. D i x 1 est périodique (x V Moore ) D i est périodique. (comportement d automate à q états). On a écroulement des périodes : 2, 3, 5, 6, et non La période du 8-uplet est le ppcm des périodes. Chaque période divise donc ppcm(1,..., q) k.

47 Théorème 2 (Dubacq,Terrier) Pour tout i Z k, il existe α i S, β i S, u i N et v i N tels que : D i = α i (β i ). u i + v i S et 1 v i S. α i M i + u i P i, où M i est max ( α i x 1 ). x V Moore \{1} β i divise v i P i, où P i is ppcm x V Moore \{1} ( β i x 1 ).

48 Théorème 2 (Dubacq,Terrier) Pour tout i Z k, il existe α i S, β i S, u i N et v i N tels que : D i = α i (β i ). u i + v i S et 1 v i S. α i M i + u i P i, où M i est max ( α i x 1 ). x V Moore \{1} β i divise v i P i, où P i is ppcm x V Moore \{1} ( β i x 1 ). Plus précisément : α i < S ppcm(1,..., S ) i i k. β i divise ppcm(1,..., S ) i i k +1.

49 Réduction d'états : logarithme en base 2 Soit l(t) = log 2 (t + 1). Il est possible de détecter le signal Γ = (t l(t), t l(t), t + l(t)) avec le voisinage treillis. a b c d f(a, b, c, d) Règle n o λ λ λ λ λ #0 1 λ λ λ 0 #1 0 λ λ λ 1 #2 λ λ #3 1 λ #4 0 λ #5 1 λ #6 1 λ #7 0 λ #8 0 λ #9 1 λ 1 # # # #13 λ #14 a, b, c et d sont les cellules avec les coordonnées relatives suivantes : a est ( b est ( 11 1 c est ( 11 1 d est ( Les règles sont classées par ordre de priorité. ), ), ), ).

50 Réduction d'états : logarithme en base 2 Soit l(t) = log 2 (t + 1). Il est possible de détecter le signal Γ = (t l(t), t l(t), t + l(t)) avec le voisinage treillis. a b c d f(a, b, c, d) Règle n o λ λ λ λ λ #0 1 λ λ λ 0 #1 0 λ λ λ 1 #2 λ λ #3 1 λ #4 0 λ #5 1 λ #6 1 λ #7 0 λ #8 0 λ #9 1 λ 1 # # # #13 λ #14 a, b, c et d sont les cellules avec les coordonnées relatives suivantes : a est ( b est ( 11 1 c est ( 11 1 d est ( Les règles sont classées par ordre de priorité. ), ), ), ). 2 états + λ (dimension 2)

51 Réduction d'états : logarithme en base 2 Soit l(t) = log 2 (t + 1). Il est possible de détecter le signal Γ = (t l(t), t l(t), t + l(t)) avec le voisinage treillis. a b c d f(a, b, c, d) Règle n o λ λ λ λ λ #0 1 λ λ λ 0 #1 0 λ λ λ 1 #2 λ λ #3 1 λ #4 0 λ #5 1 λ #6 1 λ #7 0 λ #8 0 λ #9 1 λ 1 # # # #13 λ #14 a, b, c et d sont les cellules avec les coordonnées relatives suivantes : a est ( b est ( 11 1 c est ( 11 1 d est ( Les règles sont classées par ordre de priorité. ), ), ), ). 2 états + λ (dimension 2) 3 états + λ (dimension 1)

52 Temps=20 Représentation 3D des premières étapes

56 Temps=20 État initial Représentation 3D des premières étapes

57 Temps=20 État initial Représentation 3D des premières étapes

58 Temps=20 Ligne de temps réel État initial Représentation 3D des premières étapes

59 Temps=20 Ligne de temps réel Représentation 3D des premières étapes

60 Ligne de temps réel Représentation 3D des premières étapes

63 Représentation 3D des premières étapes

71 Représentation 3D des premières étapes Résultat optimal : 2 états impossible en dimension 2 ou 1

79 Amélioration : base quelconque Soient x et y premiers entre eux. a b c d f(a, b, c, d) Règle n o λ λ λ λ λ #0 Rules for l = 0 π j λ λ λ π j+1 (or π 1 if j = k) #1 π x λ π k κ π 0 (k x) #2 π j λ π k κ π j (j, k x) #3 π x λ π x κ k π 0 (k y 1) #4 π j λ π x κ k π j (j x, k y 1) #5 π j λ π x κ y 1 π j+1 (or π 1 if j = k) #6 λ λ π x κ y 1 π 1 #7 Rules for l = 1 κ y 1 π x λ, κ y λ κ y #8 κ y 1 π k λ, κ y λ κ 0 (k x) #9 κ y π λ, κ y λ κ 1 #10 κ j π λ, κ y λ κ j+1 (j y 1, y) #11 κ y π κ k λ κ 0 (k y) #12 κ j π κ k λ κ j (j y, k y) #13 λ π 1 λ, κ y λ κ 1 #14 λ #15 Fonction log xy en max(x, y)+2 états (avec une amélioration mineure). Gain énorme sur 1D (xy + 1 états minimum).

80 Conclusion Signaux inconstructibles indépendamment de la dimension ;

81 Conclusion Signaux inconstructibles indépendamment de la dimension ; Conjecture : le nombre d états nécessaires pour construire log a est lié à la décomposition de a en nombres premiers ;

82 Conclusion Signaux inconstructibles indépendamment de la dimension ; Conjecture : le nombre d états nécessaires pour construire log a est lié à la décomposition de a en nombres premiers ; Lien entre reconnaissance de langages et construction de signaux.

83 Conclusion Signaux inconstructibles indépendamment de la dimension ; Conjecture : le nombre d états nécessaires pour construire log a est lié à la décomposition de a en nombres premiers ; Lien entre reconnaissance de langages et construction de signaux. Fonctions équivalentes au logarithme, mais qui n en sont pas :

84 Conclusion Signaux inconstructibles indépendamment de la dimension ; Conjecture : le nombre d états nécessaires pour construire log a est lié à la décomposition de a en nombres premiers ; Lien entre reconnaissance de langages et construction de signaux. Fonctions équivalentes au logarithme, mais qui n en sont pas : Systèmes de numérations exotiques,

85 Conclusion Signaux inconstructibles indépendamment de la dimension ; Conjecture : le nombre d états nécessaires pour construire log a est lié à la décomposition de a en nombres premiers ; Lien entre reconnaissance de langages et construction de signaux. Fonctions équivalentes au logarithme, mais qui n en sont pas : Systèmes de numérations exotiques, Fonctions autres (réciproque du ppcm) ;

86 Le mot de la n Merci à tous ceux qui m ont aider à faire cet exposé : Véronique Terrier, co-auteur, pour son apport scientifique extrêmement précieux ; Juliette et d autres, pour leur soutien et leurs encouragements ; L auteur de pdfl A T E X, celui de PPower4, celui de Metapost et les auteurs de paquets comme esopic pour leurs outils techniques.