TD2 Thermodynamique TSI 2

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1 1 e principe Exercice 1 : Grandeur différentielle totale exacte et forme différentielle Un gaz parfait ( = ) de moles, subit deux transformations différentes AC 1B ou AC 2B d un même état initial (, ) vers un même état final (2, 2 ). = Le transfert thermique nous est donné par l application du premier principe : = Donc, ces grandeurs extensives vérifient : = = 1 En utilisant l équation d état des gaz parfaits : = 1 (2 ) = 1 Et : = = = 2 1 (2 ) = 2 1 = 2 Le transfert thermique nous est donné par l application du premier principe : = Donc, ces grandeurs extensives vérifient : = = 1 En utilisant l équation d état des gaz parfaits : = 1 (2 ) = 1 Et : = = 2 1 (2 ) = La transformation AC 1B constituée d une isobare AC 1 et d une isochore C 1B - La transformation AC 2B constituée d une isochore AC 2 et d une isobare C 2B = = (2 + ) 1 = = (1 + 2) 1 Toutes ces transformations isobares sont supposées mécaniquement réversibles. a) Calculer, pour chaque transformation, le travail et le transfert thermique reçu par le gaz de la part du milieu extérieur en fonction de, et Les hypothèses sont donc : - gaz parfait (idéal) : énergie interne fonction uniquement de la température et les capacités calorifiques sont constantes ( = = ) - la transformation est mécaniquement réversible, le travail des forces de pression extérieure est donc intégralement transmis au gaz. Donc pas de frottement solide et le piston est déplacé de manière quasistatique assurant l égalité des pressions = alors = transformation AC 1B Le travail est donné par : = + = 0 car la transformation est isochore = (2 ) = car la transformation est isobare à la pression transformation AC 2B Le travail est donné par : = + = 0 car la transformation est isochore = 2 (2 ) = 2 car la transformation est isobare à la pression b) Calculer la variation d énergie interne pour les deux transformations AB. On peut calculer la variation d énergie interne en suivant les deux chemins possibles : = + = + (2 + ) 1 = 1 (2 + ( 1)) = 3 1 = + = 2 + (1 + 2) 1 = ( 1) 1 = 3 1 c) Remplir le tableau. Identifier alors les grandeurs différentielles totales exactes et totales inexactes Chemin AC 1B Chemin AC 2B Cycle complet AC 1BC 2B

2 Transfert thermique Travail Energie interne = 1 (2 + ) = = 3 1 = 1 (1 + 2) = 2 = 3 1 = = = 0 On voit clairement que le transfert thermique et le travail sont associés à des formes différentielles. L énergie interne est en revanche associée une grandeur différentielle exacte. Exercice 2 : Transformations irréversibles? 2 Nd principe Données : On représente ci-dessous les fonctions 1 et en fonction de > 0 Il faut donc imaginer un piston bloqué enfermant un gaz. Les parois diathermanes sont, par exemple, plongées dans un récipient remplie d eau chaude. b) Avec une analyse qualitative, prévoir si cette transformation est réversible. Justifier. On a clairement un système thermoélastique contenu dans un réacteur thermomécanique fermé à parois fixes et diathermanes : l équilibre thermique n est pas réalisé. Nous avons donc une inhomogénéité de la température conduisant à une irréversibilité de la transformation. c) Evaluer le travail des forces de pression et le transfert thermique Le travail des forces de pression (qui est le seul travail mis en jeu ici) est nul. Le transfert thermique s identifie directement à la variation d énergie interne : = d) Calculer la variation d entropie La variation d entropie est donnée à l aide de l identité thermodynamique : = + Dans cette transformation isochore : = Transformation monotherme isochore : On considère moles de gaz parfait ( = ) enfermés dans un cylindre muni d un piston et subissant une transformation monotherme : les échanges thermiques ne se font qu avec un seul thermostat. a) La transformation est isochore et fait passer la température initiale à la valeur >. Décrire le dispositif (paroi du récipient, extérieur). Dans un premier temps, on peut chercher à nommer cette transformation On ne peut pas parler de compression ou de détente (pas de modification du volume). En revanche, une transformation sera possible si un paramètre extérieur est en déséquilibre avec le système : il s agit de la température. La transformation est un chauffage au contact d une température unique maintenue par un thermostat. e) Calculer l entropie d échange Par définition : = = = ( ) f) Exprimer l entropie créée. Conclusion = = ( ) = ( 1 + ) = 1 + Avec =. On peut alors étudier cette fonction en comparant deux fonctions : et 1 :

3 On a donc une transformation isobare, pour laquelle on a un travail des forces de pression (avec un mouvement quasistatique et sans frottement du piston) donné par : = ( ) Le transfert thermique de cette transformation isobare est rapidement donné par l enthalpie : = = On peut alors affirmer que pour toute température, la transformation isochore monotherme est irréversible. Transformation monotherme isobare : On considère moles de gaz parfait ( = ) enfermés dans un cylindre muni d un piston et subissant une transformation monotherme : les échanges thermiques ne se font qu avec un seul thermostat a) La transformation est isobare (à la pression ) et on fait passer de manière mécaniquement réversible le gaz de son volume initial (température ) à un volume final < (température finale ). Décrire le dispositif (paroi du récipient, extérieur). S agit-il d une compression? Dans un premier temps, on peut chercher à nommer cette transformation. On ne peut pas parler de compression ou de détente (pas de modification de la pression). En revanche, une transformation sera possible si un paramètre extérieur est en déséquilibre avec le système : il s agit de la température. La transformation est un refroidissement au contact d une température unique maintenue par un thermostat avec des parois diathermanes. Comme la transformation est réversible mécaniquement, l égalité des pressions (intérieure et extérieure) est assurée. On réalise donc un refroidissement isobare en mettant en contact la paroi mobile avec l extérieur et immergeant le reste du système dans un bain d eau froide. b) Avec une analyse qualitative, prévoir si cette transformation est réversible. Justifier. On a un système thermoélastique contenu dans un réacteur thermomécanique présentant un déséquilibre de température avec l extérieur. Il y a donc à coup sûr irréversibilité. c) Evaluer le travail des forces de pression et le transfert thermique d) Calculer la variation d entropie A l aide de l identité thermodynamique : = = ; = e) Calculer l entropie d échange Par définition : = = ; = ( ) f) Exprimer l entropie créée. Conclusion = = ( ) = ( 1 + ) = 1 + Avec =. On peut alors étudier cette fonction en comparant deux fonctions : et 1 : On peut alors affirmer que pour toutes températures, la transformation isobare monotherme est irréversibles. Exercice 3 : Transformation réversibles? Transformation isotherme : On fait passer moles de gaz parfait ( = ) d un volume initiale (température ) à un volume final < (température finale ) dans un réacteur thermomécanique dépourvu de frottement au cours d une transformation isotherme.

4 a) Décrire le réacteur et la nature de la transformation. Il s agit d une compression impliquant des parois diathermanes en contact permanent avec un thermostat permettant de maintenir une température unique. Pour que cet équilibre thermique avec l extérieur soit possible, l expérience est nécessairement quasistatique donc lente b) Avec une analyse qualitative, prévoir si cette transformation est réversible. Justifier. On a un équilibre thermique et mécanique pour ce système contenu dans un réacteur thermomécanique sans frottement, il n y a donc aucune source d irréversibilité. On a : c) Evaluer le travail des forces de pression et le transfert thermique = = Et le transfert thermique est donné à partir du 1 e principe : = = d) Calculer la variation d entropie A l aide de l identité thermodynamique : = = = e) Calculer l entropie d échange L entropie d échange vaut : = f) Exprimer l entropie créée. Conclusion L entropie créée est nulle. La transformation est donc bien réversible. Transformation adiabatique : On fait passer moles de gaz parfait ( = ) de manière mécaniquement réversible d un volume initiale (température ) à un volume final < (température finale ) dans un réacteur thermomécanique dépourvu de frottement au cours d une transformation adiabatique. a) Décrire le réacteur et la nature de la transformation. Cette fois les parois sont athermanes, le piston est en mouvement quasistatique, assurant l équilibre mécanique. La température du milieu extérieur n influe pas ici (équilibre interne). Il s agit donc d une compression qui s accompagne d une augmentation de la température. b) Avec une analyse qualitative, prévoir si cette transformation est réversible. Justifier. Pas de déséquilibre mécanique et équilibre thermique interne, donc pas de source d irréversibilité (pas de frottement n ont plus) c) Donner l expression de température subie par le gaz en fonction de,, et On a =. Donc = = 1 d) Evaluer le travail des forces de pression en fonction de thermique.,, et et le transfert = 0 Et le travail s obtient à l aide du 1 e principe : = = () e) Calculer la variation d entropie Avec l identité thermodynamique : = + = + = + = 0 f) Calculer l entropie d échange = 0 g) Exprimer l entropie créée. Conclusion Aucune entropie créée, donc la transformation est bien réversible Exercice 4 : Expérience historique : La détente de Joule-Gay Lussac La détente de Joule-Gay Lussac est une détente rapide d un gaz comprimé dans une enceinte (à gauche) dans une enceinte plus grande (gauche+droite), la partie de

5 droite étant initialement vide. L ensemble est thermiquement isolé et les parois sont rigides Etude d un système fermé Exercice 5 : Moteur essence et moteur diesel 1) Prévoir qualitativement si une telle transformation est réversible. Le système présente clairement une inhomogénéité des pressions : la transformation est irréversible 2) Donner l expression de la variation d énergie interne = + Il s agit de moteurs à explosion ou encore appelés moteurs à combustion interne. Bien qu ils ne soient pas réellement des systèmes fermés, leur étude peut être modélisée en leurs appliquant le formalisme de ces systèmes (on ne tiendra pas compte des phases d admission et de refoulement). A) Moteur essence L agent thermique est un mélange air-essence. Au cours du cycle, la nature du fluide varie, d abord mélange combustible inhomogène, il devient ensuite gaz de combustion, selon une équation du type : Il faut clairement voir que le système c est l ensemble {gaz+vide} et que le travail des forces de pression extérieures au système est nul (l action de freinage que peut exercer, au cours de la détente, le gaz déjà présent dans le récipient initialement vide sur celui encore comprimé du récipient n est pas une action extérieur au système). Les parois calorifugées et = 0 implique alors = = 0 2 () + 25() = 16() + 18 () La réaction montre que le dioxygène doit être en proportion plus importante, de plus, l oxygène intervient pour 20% dans la composition de l air. 3) Que pouvons-nous affirmer sur la variation de température dans cas d une détente de Joule- Gay Lussac réalisée avec un gaz parfait? Pour un gaz parfait () donc si = 0 aucune variation de température n est observable en théorie 4) Préciser comment cette expérience à permis de vérifier, pour un gaz réel basse pression assimilé à un gaz parfait, la 1 e loi de Joule : l énergie interne d un gaz parfait ne dépend que de la température. De manière générale : = + Ici : = 0 Or 0, donc = Si expérimentalement = 0 alors = 0 et () 5) Exprimer la variation d entropie des moles de gaz parfait, l entropie d échange et créée en fonction du volume initial et final. Interpréter. On assimile donc en 1 e approximation le mélange (combustible-gaz) à un gaz qui sera également supposé parfait. La source chaude (réaction chimique exothermique) et la source froide (circuit de refroidissement) seront assimilées à des thermostats au contact de la chambre. Le travail peut être échangé à l aide d un piston mobile (lui-même relié par une bielle à une came excentrique qui permet la conversion du mouvement de translation en mouvement de rotation de l arbre moteur) = + = = = La transformation est bien irréversible.

6 3) A la suite de ce chauffage, le gaz se détend de manière adiabatique (transfert thermique lent) et mécaniquement réversible. C est au cours de cette étape que le moteur produit réellement du travail. Donner l expression de la température en fonction de, et. Les grandeurs physiques seront affectées d un indice correspondant à leur valeur au point du cycle considéré (B, C, D ou E). On considère la transformation de moles de gaz parfait dont la capacité calorifique à volume constant est notée. 1) On va étudier la phase de compression BC du mélange supposé gazeux et parfait. Cette compression mécaniquement réversible s effectue suffisamment vite pour qu aucun transfert thermique ne se fasse, nous la supposerons donc également adiabatique. Donner l expression de la température en fonction de, et Cette transformation est donc en équilibre mécanique mais aussi en équilibre thermique interne. L absence de frottement la rend donc réversible. La transformation est donc adiabatique et réversible, nous pouvons utiliser les formules de Laplace : Donc : = = = = 2) L explosion est déclenchée par une bougie ce qui entraîne un chauffage du gaz. Comment peut-on qualifier la transformation CD? Donner l expression de la quantité de chaleur reçue par le gaz en fonction capacité calorifique du gaz, et. de la La transformation CD est un chauffage isochore (que l on sait être une transformation irréversible par déséquilibre thermique). Cette transformation à volume constant est associée à une quantité de chaleur mise en jeu mesurée par la variation d énergie interne : = ( ) Cette transformation est donc en équilibre mécanique mais aussi en équilibre thermique interne. L absence de frottement la rend donc réversible. La transformation est donc adiabatique et réversible, nous pouvons utiliser les formules de Laplace : Donc : = = = = 4) On effectue ensuite un retour à l état initial en considérant l ouverture de la soupape d éjection comme équivalent à une transformation isochore. Déterminer la quantité de chaleur reçue par le gaz en fonction de la capacité calorifique du gaz et Cette transformation à volume constant est associée à une quantité de chaleur mise en jeu mesurée par la variation d énergie interne : = ( ) 5) Donner l expression du rendement de ce moteur en fonction des températures,, et. Le rendement de ce moteur est donné par : = = + = 1 + = 1 + ( ) ( ) 6) Montrer ensuite que ce rendement est indépendant de la température mais juste fonction de =. En déduire alors comment augmenter le travail que pourra délivrer la machine. Faire un calcul de rendement en prenant = et = 9 En utilisant les résultats précédents : = 1 + ( ) = 1 = 1

7 AN : = 7) Exprimer le rendement du moteur de Carnot ditherme qui serait au contact des mêmes thermostats. Comparer ce rendement au cycle étudié précédemment (appelé cycle Beau de Rochas). Le cycle ditherme équivalent serait associé à une source chaude de température et une source froide de température. Nous avons vu que le rendement du cycle réversible de Carnot était alors donné par = 1 donc ici : = 1. On peut également exprimer le cycle Beau de Rochas en fonction de la température : = 1 = 1 et comme < alors on retrouve l énoncé du second principe selon Carnot. - Toutes les transformations sont supposées mécaniquement réversibles. - Les phases AB et CD sont adiabatiques. - La phase d injection BC est isobare. - La phase d échappement DA est assimilée à une simple remise à la pression et à la température atmosphérique à volume contant. 1) Tracer le cycle de Clapeyron () On a donc : 2) Donner l expression de la température en fonction de =, et. Et exprimer en fonction de et B) Moteur diesel : Dans un moteur diesel, l air admis dans le cylindre par la soupape d admission est comprimé seul lorsque le piston remonte de (appelé également Point Mort Bas (PMB)) à (appelé également Point Mort Haut(PMH)). Le carburant, peu inflammable, n est injecté dans le cylindre qu en fin de compression (point B) où la température et la pression sont suffisamment élevées pour que le mélange (air-carburant) s enflamme spontanément sans étincelle (absence de bougie d allumage) : 2 C 16H O 2 32 CO H 2O Le débit du carburant injecté est alors réglé pour que la pression reste constante pendant le début de la descente du piston jusqu à un volume (point C). On posera =. La descente du piston du point C au PMB (point D) se poursuit sans injection. Le retour à l état initial (point A) se fait par ouverture de la soupape d échappement. Les hypothèses thermodynamiques pour l étude de ce cycle sont les suivantes : - La quantité de carburant injecté est négligeable ce qui nous permet de considérer le système comme fermé pendant le cycle. Le gaz sera considéré comme parfait. Cette transformation est donc en équilibre mécanique mais aussi en équilibre thermique interne. L absence de frottement la rend donc réversible. La transformation est donc adiabatique et réversible, nous pouvons utiliser les formules de Laplace : Donc : = = = = = = = = 1 3) Donner une relation entre et à l aide l équation d état des gaz parfaits en C et B D après la loi des gaz parfaits : = soit : = Et : = soit : = Entre BC, nous avons une transformation isobare :

8 = = 4) Exprimer le rendement de ce moteur en fonction uniquement de, et γ (on va considérer la transformation de moles de gaz parfait) L énergie interne est extensive donc : + = 0 L absence de travail des forces de pression donne alors : = et = L identité thermodynamique donne également = et = A l aide des résultats précédents : = = + 1 = 1 + ( 1) = 1 + = 1 + ( ) ( ) 1 = 1 + ( 1) = (1 ) ( 1) 5) Le rendement thermodynamique des moteurs diesel est légèrement meilleur que celui des moteurs à essence, cependant le moteur diesel est de plus en plus critiqué, pourquoi? C est un moteur polluant, à l entretien coûteux et le prix du diesel est de plus en plus proche de celui de l essence L entropie est extensive donc : = + 0 soit + 0 et 0 Ainsi si > alors < 0 Question 2 : le second principe démontre l inexistence de la machine cyclique monotherme On considère un fluide réalisant un cycle de transformations (avec donc un retour à l état initial à chaque cycle) au contact d une seule source de chaleur supposée thermostatée à la température. En utilisant l énoncé du second principe proposé dans le cours, retrouver l énoncé de Kelvin du second principe : il n existe pas de moteur fonctionnant de manière cyclique thermostat. qui produise du travail à partir d un seul = 0 sur un cycle et + = 0 soit =. Or le second principe affirme que = 0 = + donc 0 et 0 Questions de réflexion Question 1 : le second principe est un principe d évolution On considère un système constitué de deux gaz répartis dans deux compartiments distincts. Le système est isolé de l extérieur, toutes les parois sont fixes et les gaz sont séparés par une paroi diathermane. On note et les températures respectives des deux gaz au cours de la transformation avec >. On notera et les transferts thermiques algébriques échangés par les deux compartiments. En utilisant l énoncé du second principe proposé dans le cours, retrouver l énoncé de Clausius du second principe : il n existe pas de processus dont le seul effet serait un transfert thermique d une source froide vers une source chaude. L application du premier principe donne : = 0 puisque le système est isolé. Question 3 : travail et transfert thermique ne sont pas équivalents 1) Quel est le principe d une résistance de chauffage? Quelle peut être son rendement? 2) La machine monotherme n existant pas, considérons alors une machine cyclique ditherme (système au contact de deux thermostats). Notre système thermodynamique perçoit alors deux transferts thermiques et au cours du cycle par chaque thermostat aux températures respectives et <. Montrer alors que la conversion intégrale de la chaleur en travail est impossible. 3) Comment améliorer les performances d une machine ditherme cyclique (et donc limiter la dégradation de l énergie). Une résistance chauffage peut convertir intégralement un travail électrique en un transfert thermique par effet Joule.

9 En utilisant une machine cyclique ditherme alors, au cours d un cycle : = 0 = + + Et + 0 d après le second principe donc : soit donc 1. Le meilleur des rendements est obtenu dans le cas d une machine effectuant des transformations réversibles. Ainsi l entropie créée permet d apprécier la dégradation de l énergie en mesurant l irréversibilité des transformations. Questions 4 : Entropie d un système isolé Montrer que l entropie d un système isolé siège d une transformation ne peut que croître. Que peut-on affirmer à l état d équilibre? D après le second principe : = 0 cette augmentation cesse à l équilibre (plus de transformation).