Chapitre n 7 L E DIPÔLE R C

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1 T ale S hapitre n 7 L E IPÔLE R I- Rappels 1 )Orientation d un circuit électrique Pr pvoir étudier le comportement électrique d un dipôle, il est nécessaire d orienter le circuit la branche dans lequel il se trve. Un sens choisi arbitrairement permettra de définir un sens positif du crant (l intensité électrique devient alors une grandeur algébrique) : la convention récepteur est utilisée : le crant aura une intensité positive dans le sens des potentiels décroissants. 2 )Intensité électrique a) Généralités Un crant électrique est Par convention, le crant électrique circule de la borne vers la borne, à l'extérieur du générateur. Le sens réel de propagation des électrons est opposé au sens conventionnel du crant. b) Lois des intensités pr des dipôles placés en série L'intensité électrique est la même en ts les points d'un circuit électrique constitué de dipôles placés en série : I I 4 I 2 I 3 pr des dipôles placés en dérivation après la loi des nœuds : I 2 I 3 I 5 I 1 3 )Tension électrique a) Généralités La tension ( différence de potentiel) aux bornes d un dipôle se note : I 4 Rq. : Le sens de la flèche tension est indépendant du sens du crant électrique! La tension est une grandeur algébrique : il faut donc tjrs indiquer son signe : Le potentiel le plus élevé (on ne dit pas le potentiel positif) se trve en si soit soit si b) Lois des tensions pr des dipôles placés en série La loi d additivité des tensions ns permet d écrire : pr des dipôles placés en dérivation La loi d unicité des tensions ns permet d écrire : + - P N - 1 -

2 4 )Le conducteur ohmique a) La loi d Ohm Lorsqu'un crant d'intensité I traverse un conducteur ohmique de vers, la tension U à ses bornes est définie par la relation : où R est la résistance de ce conducteur ohmique. Rq. 1 : omme le crant va du potentiel le plus élevé vers celui le moins élevé, donc de vers, alors la tension U est, comme R et I. Rq. 2 : Écrivons la loi d'ohm avec la tension U :U = soit soit b) ssociations de conducteurs ohmiques L'association en série de n conducteurs ohmiques se comporte un seul conducteur ohmique de résistance équivalente R éq telle que : L'association en dérivation de n conducteurs ohmiques se comporte comme un seul conducteur ohmique de résistance équivalente R éq telle que : II- Le condensateur 1 )éfinition Un condensateur est constitué de deux corps conducteurs de l'électricité séparés par un corps isolant. Il est caractérisé par, s'exprimant en ( ). Notation conventionnelle : 2 )Relation entre charge et intensité Par définition, un crant électrique est un débit de charges électriques. Pr un crant continu : Pr un crant variable, l intensité peut être définie par : soit i + q i u q u > 0 i > 0 3 )Relation entre charge et tension L expérience de charge d'un condensateur par un générateur de crant (délivrant une intensité constante) montre que la charge q de l armature du condensateur est proportionnelle à la tension électrique u à ses bornes : le coefficient de proportionnalité correspond physiquement à la capacité du condensateur : où q représente la charge de l'armature du condensateur sur laquelle arrive le crant d'intensité i positive. Rq. 1 : Rq. 2 : L unité Farad étant peu adaptée aux valeurs de capacité, celles-ci sont svent exprimées avec des ssmultiples. La capacité d un condensateur dépend des caractéristiques du composant, comme la dimension des armatures, l épaisseur et la nature de l isolant. 4 )Relation entre intensité et tension L intensité étant définie par : et la charge q de l armature par q =, ns pvons écrire : soit puisque la capacité est une constante pr un condensateur donné

3 III- Étude de la réponse d un condensateur à un échelon de tension 1 )Etude de la charge crant de charge : i > 0 a) Montage Un dipôle R subit un u échelon de tension lorsque l interrupteur, R du circuit dans lequel un générateur de tension continue (E) est branché en dérivation aux bornes du dipôle R, est t fermé. La tension u R passe alors 0 brutalement de 0 V à E V. (100 Ω) E (6 V) u R (10 µf) (33 Ω) b) Établissement de l équation différentielle vant le basculement de l interrupteur en position, le condensateur est supposé (u (0) = Lorsque l interrupteur est basculé en position, la tension aux bornes du dipôle R passe brutalement de après la loi d additivité des tensions : soit Or donc soit En notant τ = R., ns obtenons : L équation différentielle peut aussi s écrire en fonction de la variable q(t) : omme q(t) = soit et lors l équation R.i + u = E s écrit : soit c) Solution de l équation différentielle L équation différentielle linéaire du premier ordre en u (t) à coefficients constants et avec second membre non nul peut admettre comme solution : où, et m sont des constantes à déterminer. Si alors L équation différentielle peut alors s écrire : La comparaison membre à membre ns conduit à écrire : La solution de l équation différentielle s écrit alors : e plus à, le condensateur est déchargé, donc soit m = = et soit onc : soit onc : avec τ = R. onclusion : Lorsqu une augmentation brutale de tension est imposée à un circuit, celle aux bornes du condensateur, mais au crs du temps. d) Évolution de l intensité du crant omme alors la solution de l équation différentielle peut s écrire : L intensité du crant étant définie par : alors onclusion : la fermeture du circuit (à t = 0), le crant initial a pr intensité : Pr t > 0 s, l intensité décroît exponentiellement au crs du temps jusqu à s annuler

4 2 )Étude de la décharge a) Montage u R i : crant de charge (Sens de référence) i i : crant de décharge u R 0 t b) Établissement de l équation différentielle vant le basculement de l interrupteur en position, le condensateur est supposé (u (0) = Lorsque l interrupteur est basculé en position, la tension aux bornes du dipôle R passe brutalement de après la loi d additivité des tensions : soit Or donc soit En notant τ = R., ns obtenons : L équation différentielle peut aussi s écrire en fonction de la variable q(t) : omme q(t) = soit et lors l équation R.i + u = 0 s écrit : soit c) Solution de l équation différentielle L équation différentielle linéaire du premier ordre en u (t) à coefficients constants et sans second membre peut admettre comme solution : où, et m sont des constantes à déterminer. Si alors L équation différentielle peut alors s écrire : La comparaison membre à membre ns conduit à écrire : La solution de l équation différentielle s écrit alors : e plus, le condensateur est chargé, donc soit m = = et soit onc : soit onc : avec τ = R. onclusion : Lorsqu une chute brutale de tension est imposée à un circuit, celle aux bornes du condensateur, mais au crs du temps. d) Évolution de l intensité du crant omme alors la solution de l équation différentielle peut s écrire : L intensité du crant étant définie par : alors onclusion : l verture du circuit (à t = 0), le crant initial a pr intensité algébrique : Pr t > 0 s, l intensité croît exponentiellement au crs du temps jusqu à s annuler

5 IV-La constante de temps du dipôle R 1 )nalyse dimensionnelle Lors de l établissement de l équation différentielle régissant la mise en tension du condensateur, ns avons défini la constante τ comme le produit τ = R. : quelle est la dimension de cette constante? après la loi d Ohm, ns avons : soit Or le crant est un débit de charges : donc onc : Or la charge d un condensateur et la tension à ses bornes sont proportionnelles : soit onc : soit onclusion : Le produit R. est homogène τ = R. est appelé du dipôle R et s exprime en 2 )Méthodes de détermination a) À partir des valeurs des composants du circuit La connaissance de la résistance du conducteur ohmique et de la capacité du condensateur permet simplement de calculer la constante de temps : τ = b) À partir du graphique u = f(t) Lors de la charge du condensateur, le graphique u = f(t) ayant comme équation u (t) = E.(1 e τ ), ns avons à t = τ : u (τ) = soit u (τ) Lors de la décharge du condensateur, le graphique u = f(t) ayant comme équation u (t) = E. e τ, ns avons à t = τ : u (τ) = soit u (τ) Lors de la charge du condensateur, le tracé de la tangente au graphique u = f(t) permet de mettre en évidence un point d intersection entre l asymptote à la crbe et la tangente ; l abscisse de ce point d intersection a pr valeur : t = τ Lors de la décharge du condensateur, le tracé de la tangente au graphique u = f(t) permet de mettre en évidence un point d intersection entre l axe des abscisses et la tangente ; l abscisse de ce point d intersection a pr valeur : t = τ t t 6 u (en V) u = f(t) 6 u (en V) u = f(t) t (en s) t (en s) harge du condensateur écharge du condensateur - 5 -

6 3 )Influence des caractéristiques du circuit sur la constante de temps a) au crs de la charge du condensateur R = 100 Ω rbe : = µf rbe : = µf = 10 µf rbe : R = rbe : R = Ω Ω b) au crs de la décharge du condensateur R = 100 Ω rbe : = µf rbe : = µf c) en bref! Les crbes représentant la tension aux bornes du condensateur possèdent deux grandes parties : un (pr t ) au crs duquel la tension aux bornes du condensateur s établit ( ) s annule ( ) ; un (pr t >, durée à partir de laquelle le condensateur est chargé à 99 %) au crs duquel la tension aux bornes du condensateur est égale à celle aux bornes du générateur ( ) est nulle ( ). V- Energie emmagasinée par le condensateur 1 )Mise en évidence expérimentale a) Montage R i u R u b) Observation et interprétation 2 )Expression mathématique Un condensateur de capacité chargé ss une tension u possède une charge q =.u et une énergie E él définie par : - 6 -