Module 040 OUTILS ANALYTIQUES. Analyse d inégalité. L indice de Gini

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1 OUTILS ANALTIQUES Module 040 Analse d inégalité L indice de Gini

2 Analse d inégalité L indice de Gini par Lorenzo Giovanni Bellù, Service de soutien aux politiques agricoles, Division de l assistance aux politiques, FAO, Italie Paolo Liberati, Université d Urbino, «Carlo Bo», Institut d économie, Urbino, Italie pour le compte de Organisation des Nations-Unies pour l alimentation et l agriculture À propos d EASPol EASPol est un référentiel interactif multilingue en ligne qui propose des ressources téléchargeables visant à renforcer les capacités en matière d'élaboration de politiques alimentaire, agricole et développement rural. L'adresse de sa page d accueil est : Les ressources d'easpol sont créées et mises à jour par le Service de soutien aux politiques agricoles de la FAO. Les termes emploés et la présentation du contenu de ce document d information ne représentent en aucune manière l opinion de l Organisation des Nations-Unies pour l alimentation et l agriculture quant au statut juridique d'un pas, d un territoire, d une ville ou d une région quelconque ou de ses autorités ou quant à la délimitation de ses frontières ou limites. FAO décembre 006 : Tous droits réservés. La reproduction et la diffusion des documents accessibles sur le site Web de la FAO aux fins de formation ou autres fins non commerciales sont autorisées sans permission écrite préalable des détenteurs des droits d auteur, à condition que la source en soit clairement mentionnée. La reproduction de leur contenu aux fins de revente ou autres fins commerciales est interdite sans l autorisation écrite des détenteurs des droits d auteur. Il convient d adresser ces demandes d autorisation à : copright@fao.org.

3 Analse d inégalité : l indice de Gini Sommaire. Résumé.... Introduction.... Contexte conceptuel.... L indice de Gini.... L indice de Gini généralisé (G v ) Procédure détaillée de calcul de l indice de Gini L indice de Gini Indice de Gini généralisé Exemple numérique du mode de calcul de l indice de Gini Indice de Gini standard dérivé de la courbe de Lorenz Indice de Gini standard avec formule de covariance Indice de Gini généralisé Propriétés principales de l indice de Gini Intersection de Lorenz et indice de Gini Snthèse des propriétés principales de l indice de Gini et de sa version généralisée Remarques à l intention des lecteurs Liens EASPol Annexe I Autres méthodes de calcul de l indice de Gini... 0 Dérivation géométrique de l indice de Gini et autre formule possible Indice de Gini avec formule de covariance Principales propriétés de l indice de Gini.... Ouvrages de référence et autres ressources... 4 Métadonnées du module... 5

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5 Analse d inégalité : l indice de Gini. RÉSUMÉ Le présent document traite de l indicateur d inégalité le plus fréquemment utilisé : l indice de Gini. Il en présente les caractéristiques et le lien qu il entretient avec un autre outil de représentation graphique de l inégalité largement usité : la courbe de Lorenz. Il aborde également une version étendue de cet indice faisant appel à différents facteurs de pondération. Une procédure détaillée et des exemples numériques expliquent les modalités d utilisation de l indice de Gini et de ses versions généralisées.. INTRODUCTION Objectifs Ce module présente l utilisation des indices de Gini standard et généralisé, compare les distributions de revenus et en explique les avantages et les inconvénients respectifs. Public Ce module s adresse aux analstes des politiques actuels ou futurs désireux d ajouter l analse des distributions de revenus à leurs capacités d analse des impacts des politiques de développement sur l inégalité. De ce fait, il constituera un document de référence utile pour les économistes et les praticiens travaillant dans des administrations publiques, des ONG, des organisations professionnelles ou des cabinets de conseil. Les professeurs pourront l utiliser à l appui de leurs cours consacrés à l analse coût/bénéfice (ACB) et à l économie du développement. Enfin, il permettra à toute personne qui le souhaite d améliorer ses compétences en matière d ACB et de compléter sa formation. Connaissances préalables requises Les utilisateurs devront posséder des notions élémentaires de mathématiques et de statistiques et avoir maîtrisé les concepts : de distribution des revenus et d inégalité des revenus ; de courbes de Lorenz ; d aversion pour l inégalité. Des liens vers les modules EASPol pertinents, des ouvrages consacrés à ces sujets et des documents de référence figurent dans les notes de bas de page et à la section 9 du présent module. Les liens hpertexte vers des documents EASPol apparaissent en bleu : a) parcours de formation en gras souligné ; b) autres modules EASPOL ou matériels EASPOL complémentaires en italique gras souligné ; c) liens vers le glossaire en gras et d) liens externes en italique.

6 Module EASPol 040 Outils analtiques. CONTEXTE CONCEPTUEL L indice de Gini est un indicateur associé à l approche descriptive de la mesure de l inégalité. Lambert (99) a résumé la base analtique permettant d établir le rapport entre l indice de Gini et les fonctions de bien-être social et donc de le faire entrer dans le champ de l analse du bien-être. Dans les pages suivantes, nous n aborderons que l approche descriptive. L approche bien-être sera traitée dans des outils plus avancés. L indice de Gini est un indicateur d inégalité complexe et snthétique, comme de nombreux autres de même nature. De ce fait, il fournit des informations condensées sur la distribution des revenus, mais pas sur ses caractéristiques, telles que localisation et forme. Pour cet indice, nous appliquons la logique des axiomes d inégalité, dans la mesure où ceux-ci constituent des critères éligibles d évaluation des performances des indicateurs.. L indice de Gini L indice de Gini a été élaboré par Gini en 9 et entretient un lien strict avec la représentation de l inégalité des revenus à l aide de la courbe de Lorenz. En particulier, il mesure le ratio entre l aire située entre la courbe de Lorenz et la droite d'équidistribution (et donc l aire de concentration) et l aire de concentration maximale. La figure représente ces aires : elle trace trois courbes de Lorenz à partir de trois distributions de revenus hpothétiques, A, B et C. La courbe basée sur la distribution des revenus A est la courbe standard que donne l analse des distributions de revenus réelles. Celle de la distribution B représente le cas extrême où tous les revenus sont égaux. Dans ce cas, elle prend aussi le nom de droite d équidistribution. Enfin, la courbe de la distribution C illustre un autre cas extrême, celui où tous les revenus sont nuls, sauf le dernier. Dans la figure, OP est la droite d équidistribution et ORP l aire définie par la courbe de Lorenz de la distribution des revenus standard et la courbe d équidistribution, baptisée aire de concentration. OPQ est l aire de concentration maximale, c'est-à-dire la zone entre la courbe de Lorenz de la distribution de revenus C et la droite d équidistribution. La droite d équidistribution OP et l aire OPQ représentent les valeurs extrêmes de l aire de concentration dans une courbe de Lorenz. Soit cette aire est nulle (comme dans le cas de la droite d équidistribution de la distribution B), soit elle est maximale (cas de la distribution C). Pour une distribution des revenus standard, l aire de concentration se situe quelque part entre zéro et l aire de concentration maximale, comme dans la figure. Voir le module EASPol 080 : Impacts des politiques sur l'inégalité : indicateurs simples d'inégalité. Comme indiqué dans le module EASPol 054: Impacts des politiques sur l'inégalité : l'inégalité et ses axiomes de mesure.

7 Analse d inégalité : l indice de Gini L indice de Gini mesure le ratio entre l aire de concentration et l aire de concentration maximale. Par conséquent, dans la figure : [] G aire de concentration i aire d de concentration i maximale ORP OPQ Comme l aire de concentration maximale correspond à une distribution où un seul individu détient la totalité des revenus, l indice de Gini G mesure en général la distance entre l aire définie par une quelconque distribution de revenus standard et l aire de concentration maximale. Il faut maintenant comprendre comment s applique la formule de la figure dans la pratique. Commençons par le dénominateur de G. Nous avons déjà expliqué 4 que les coordonnées maximales de la courbe de Lorenz se situent au point (,). Par conséquent, l aire OPQ doit être un triangle possédant une longueur de base de et une hauteur de. Son aire est donc égale à ½. Le dénominateur de G est donc ½. Figure : Courbe de Lorenz et indice de Gini 00,0 P Proportion cumulée des revenus (%) 90,0 80,0 70,0 60,0 50,0 40,0 0,0 0,0 0,0 ORP Aire de concentration 0,0 O 0,0 0,0 40,0 60,0 80,0 00,0 Proportion cumulée de la population (%) R Dis_A Dis_B Dis_C Q OPQ Aire de concentration maximale GINI Aire de concentration Aire de concentration maximale ORP OPQ Mais qu en est-il du numérateur? Au lieu de calculer directement l aire de concentration, nous pouvons exploiter le fait que cette aire représente la différence entre l aire de concentration maximale et l aire sous la courbe de Lorenz (cette dernière étant 4 Voir le module EASPol 000, Représentation graphique de l'inégalité des revenus : la courbe de Lorenz.

8 4 Module EASPol 040 Outils analtiques donnée par ORPQ). Le mode de calcul le plus facile de l aire sous la courbe de Lorenz est décrit ci-après. Commençons par rappeler la définition des coordonnées de la courbe de Lorenz. Si... : q i p i n... i n i proportion cumulée de la population n où q 0p 00 et q npn. i proportion cumulée des revenus 5 L aire sous la courbe de Lorenz ORPQ est la somme des aires d une série de polgones. Regardons la figure, où une courbe de Lorenz simplifiée a été créée pour une population de quatre individus. Le premier polgone est un triangle (poqp) et les trois autres sont des trapèzes isocèles pivotés. On peut donc calculer chaque aire séparément et ajouter les résultats obtenus pour obtenir la valeur de l aire globale. Smbolisons l aire du ième polgone par Z i et l aire totale obtenue de cette manière par Z. L aire du triangle est donnée par : Z base hauteur } } p q tandis que l aire de chaque trapèze est donnée par : Z i base longue base courte hauteur ( q q ) ( p p ) i i 6 i 8 i Comme q p 0, la somme de toutes ces aires donne : 0 0 n Z Zi i i [ ( qi qi )( pi pi )] pour n4 5 Voir le module EASPOL 000, Représentation graphique de l'inégalité des revenus : la courbe de Lorenz.

9 Analse d inégalité : l indice de Gini 5 Figure : Mode de calcul de l aire de concentration,0 q 4 0,8 Aire de concentration : (/)-Z 0,6 q 0,4 0, q q 0,0 0 0,5 0,5 0,75 q 0 p 0 p p p p 4 TRIANGLE TRAPÈZE TRAPÈZE 4 TRAPÈZE Cependant, Z n est pas l aire de concentration, mais l aire sous la courbe de Lorenz. Pour calculer l aire de concentration (numérateur de l indice de Gini), il suffit maintenant de soustraire Z de l aire de concentration maximale (½ ) comme suit : Aire de concentration ) [( q q )( p p ] Z i i i i i Selon [], l indice de Gini G est donc égal à : [] [ ( qi qi )( pi pi )] i G i [ ( qi qi )( pi pi )] que l on peut également écrire : [] G Z La formule ci-dessus indique seulement que l indice de Gini est égal à moins deux fois l aire sous la courbe de Lorenz.

10 6 Module EASPol 040 Outils analtiques Cette interprétation géométrique basée sur la courbe de Lorenz ne constitue que l un des modes de calcul possibles de l indice de Gini. Une autre approche, qui va s avérer particulièrement utile ci-après, consiste à exprimer directement l indice de Gini en termes de covariance entre les niveaux de revenus et la distribution cumulée des revenus. En particulier : [4] G Cov (, F( ) ) où Cov représente la covariance entre des niveaux de revenus et la distribution cumulée des mêmes revenus F() et où est le revenu moen. Il est utile de rappeler ici que la covariance est la valeur attendue E des produits des écarts sur la moenne de chaque variable. Soit dans ce cas précis : [5] Cov [, F( ) ] E[ ] [ F( ) F( ) ]. L indice de Gini généralisé (G v ) Pour évaluer l impact des politiques sur l inégalité, nous disposons d une mesure suffisamment souple pour incarner les préférences de différents décisionnaires concernant, par exemple, le degré d aversion pour l inégalité. Après tout, deux décisionnaires adoptant des attitudes différentes vis-à-vis de l inégalité évalueront différemment les effets d une même politique. L indice de Gini élaboré dans la section précédente (appelé ci-après indice de Gini standard) ne permet pas de prendre en compte ces différences d attitude ou, en d autres termes, le degré d aversion pour l inégalité. La généralisation de l indice de Gini de itzhaki (98) le rend dépendant d un degré spécifié d aversion pour l inégalité. La formule correspondante est la suivante : [6] Gv () v Cov, F() ( ) v où tous les termes ont le même sens que dans [4] et où v exprime le degré d aversion pour l inégalité. L affectation de différentes valeurs à v risque de modifier la valeur de l indice de Gini du fait d une pondération différente des revenus à différentes parties de leur distribution. À noter que lorsque v, l expression [6] revient à l indice de Gini standard (expression [4]). Pour comprendre la signification de l indice de Gini généralisé, rappelons la définition étendue suivante du terme de covariance dans [6] : [7] Cov [ ] [, ( F( ) )] E[ ] ( F( ) ) ( F( ) )

11 Analse d inégalité : l indice de Gini 7 Les seconds crochets à la droite de l expression [7] doivent être interprétés comme la pondération à affecter à chaque niveau de revenu, c est-à-dire à chaque écart sur la moenne du niveau de revenus (premiers crochets). Pour les bas revenus (inférieurs au revenu moen), le terme des premiers crochets est négatif et le second, positif. Pour les revenus élevés (supérieurs à la moenne), la situation est inversée. Les écarts sur la moenne sont positifs, tandis que le terme des seconds crochets est négatif. À noter la propriété de la fonction de distribution cumulée (FDC) : sa moenne est égale à sa médiane (½). De ce fait, la valeur des seconds crochets sera positive jusqu à la médiane de la FDC. Cela signifie que la médiane de la distribution des revenus aura une pondération nulle, puisque le revenu médian est le niveau de revenu où F() ½. Il nous faut maintenant comprendre ce qui arrive aux revenus situés avant et après la médiane quand la valeur de v augmente. La figure se penche sur ce problème. La droite rouge représente la différence de [- F()] sur la moenne dans le cas standard de v. Elle coupe l axe des x au niveau médian de cette distribution de revenus hpothétique. Si nous prenons le cas où v (courbe noire épaisse), on voit relativement facilement qu une fraction des personnes riches (à droite de l intersection avec v dans la zone sud-est du graphique) possède (en termes absolus) une pondération inférieure que lorsque v. Cela concerne tous les revenus pour lesquels la courbe noire épaisse se situe au-dessus de la droite rouge dans le graphique. Dans le même temps, une fraction des personnes pauvres (à gauche de l intersection avec v dans la zone nord-ouest du graphique) présente une pondération supérieure que lorsque v. Cela concerne tous les revenus pour lesquels la courbe noire épaisse se situe à nouveau au-dessus de la droite rouge dans le graphique. Lorsque l on augmente v, la fraction de personnes riches dont l écart de revenus sur la moenne reçoit une pondération inférieure à celle de v augmente. Dans le même temps, la fraction de personnes pauvres dont l écart de revenus sur la moenne reçoit une pondération supérieure à celle de v diminue. La figure rend compte des cas où v, v4, v8 et v6. Par conséquent, quand v augmente, le nombre de bas revenus possédant une pondération importante diminue et le nombre de personnes possédant une pondération nulle augmente. Dans le calcul de Gini, augmenter v signifie donc se focaliser plutôt sur l inégalité dans une fraction progressivement inférieure de la distribution des revenus. 6 6 C est la raison pour laquelle on considère souvent v comme un «paramètre d aversion pour l inégalité».

12 8 Module EASPol 040 Outils analtiques Figure : Pondération dans l indice de Gini,0 0,8 Quand v augmente, un ensemble progressivement moindre d individus pauvres compte davantage que quand v. Plus v est élevé, plus le poids des individus diminue rapidement. Quand v6, peu de personnes à bas revenus comptent beaucoup. (-F()) : écarts sur la moenne 0,6 0,4 0, 0,0-0, Quand v augmente, un ensemble progressivement plus important d individus riches compte moins que quand v. Quand v6, même certaines personnes à bas revenus comptent pour zéro, car une pauvreté plus extrême devient progressivement le point de focalisation. -0,4-0,6 Niveaux de revenus v v v4 v8 v6 De ce fait, l indice de Gini généralisé donne davantage de souplesse à l'évaluation des programmes et des politiques de développement que l indice de Gini standard, parce qu il permet d incarner différents degrés d aversion pour l inégalité. Pour mieux comprendre ce point, utilisons l exemple du tableau. Tableau : Exemple de facteurs de pondération implicites dans l indice de Gini généralisé Individus Revenus F() -F() [-F()]v- v [-F()]v- v 4 Revenus : écarts sur la moenne [-F()]v- v : écarts sur la moenne [-F()]v- v4 : écarts sur la moenne Facteur de pondération implicite quand v Facteur de pondération implicite quand v ,0 0,80 0,80 0, ,40 0,45,0 8, ,40 0,60 0,60 0, ,0 0,5,5, ,60 0,40 0,40 0,06 0 0,00 0,00,0, ,80 0,0 0,0 0, ,0-0,06 0,5 0, ,00 0,00 0,00 0, ,40-0,06 0,0 0,0 Moenne 000 0,60 0,40 0,40 0,06 Le tableau rend compte de la distribution hpothétique des revenus de cinq individus. Pour chaque niveau de revenu, la troisième et la quatrième colonnes fournissent le résultat du calcul de F() et de (-F()), respectivement. La cinquième et la sixième donnent le résultat de la quatrième colonne pour v et v4.

13 Analse d inégalité : l indice de Gini 9 À noter que v correspond à l indice de Gini standard et que v4 inclut davantage de personnes à bas revenus dans la pondération. La septième colonne indique l écart de chaque revenu par rapport au revenu moen. Il est négatif pour les bas revenus et positif pour les revenus élevés. Nous devons simplement nous rappeler qu il fait partie du terme de covariance de [7]. Les huitième et neuvième colonnes calculent les écarts sur la moenne de l autre partie du terme de covariance de la formule [7]. Que nous apprend la comparaison de ces colonnes? Nous voons facilement que la «pondération» affectée aux revenus les plus bas est supérieure avec v4 qu avec v. Dans le même temps, la pondération de l'individu le plus riche descend rapidement à zéro quand v4. Une méthode de calcul du facteur de pondération implicite de l indice de Gini consiste à définir le ratio entre la valeur de la fonction (-F()) v- à n'importe quel niveau de revenu et la valeur de cette même fonction au niveau de revenu médian. Pour v et v4, ce calcul apparaît dans les deux dernières colonnes du tableau. Quand v, le revenu le plus bas contribue deux fois plus au calcul de l indice de Gini que le revenu médian. Quand v4, il contribue huit fois plus. Vous remarquerez également que la contribution des revenus les plus élevés est inférieure quand v4. 4. PROCÉDURE DÉTAILLÉE DE CALCUL DE L INDICE DE GINI 4. L indice de Gini La procédure détaillée de calcul de l indice de Gini est snthétisée dans la figure 4, basée sur la formule [] ci-dessus. Il faut commencer par trier la distribution des revenus par niveaux de revenus (étape ). À l étape, nous calculons la distribution de revenus cumulée. À l étape, nous obtenons la proportion cumulée des revenus (q i ) en divisant chaque revenu cumulé par le total des revenus. L étape 4 fournit la proportion cumulée de la population (p i ). Pour ce faire, nous classons les individus par ordre croissant et nous attribuons le rang à la personne au revenu le plus bas et le rang «n» à celle au revenu le plus élevé, puis nous divisons par n. À l étape 5, nous calculons l aire des polgones Z,Z, Z...Z n. Le premier est un triangle, les autres sont des trapèzes (appliquez la formule figurant dans le texte). À l étape 6, nous additionnons toutes les aires pour obtenir l aire sous la courbe de Lorenz (Z), puis nous calculons l indice de Gini G-Z. La figure 4 fournit le déroulement de cette procédure.

14 0 Module EASPol 040 Outils analtiques Figure 4 : Procédure détaillée de calcul de l indice de Gini ÉTAPE Contenu opérationnel Si cela n'a pas déjà été fait, trier la distribution de revenus par niveaux de revenus Calculer la distribution de revenus cumulée Calculer la proportion cumulée des revenus en divisant chaque revenu cumulé par le total des revenus Affecter le rang au revenu le plus bas et le rang n au revenu le plus élevé, puis calculer la proportion cumulée de la population en divisant chaque rang par n Calculer l'aire des polgones en appliquant les formules fournies dans le texte pour l'aire du triangle et des trapèzes Additionner toutes les aires pour obtenir Z, puis calculer G -Z Mais le texte fournit une autre formule de calcul direct de l indice de Gini (voir la formule [4]), basée sur le terme de covariance. Il est donc utile d'en fournir la procédure de calcul détaillée (voir la figure 5). Figure 5 : Procédure détaillée de calcul de l indice de Gini à l aide de la formule de covariance ÉTAPE 4 Contenu opérationnel Si cela n'a pas déjà été fait, trier la distribution de revenus par niveaux de revenus Calculer la fonction de distribution cumulée F() Calculer la covariance Cov(,F()) et le niveau de revenu moen Calculer Gini en appliquant la formule [4] fournie dans le texte L étape nous demande, comme d'habitude, de trier la distribution de revenus par niveaux de revenus. L étape nous demande de calculer la FDC F(). 7 7 Voir le module EASPOL 007 :Impacts des politiques sur la pauvreté : indicateurs de base de la pauvreté.

15 Analse d inégalité : l indice de Gini L étape nous demande simplement de prendre la covariance entre la distribution des niveaux de revenus et la fonction de distribution cumulée et le niveau de revenus moen, utilisée dans le dénominateur de la formule[4]. Enfin, l étape 4 applique directement la formule [4] fournie dans le texte. 4. Indice de Gini généralisé La figure 6 fournit les étapes du calcul de la version généralisée de l indice de Gini. Figure 6 : Procédure détaillée de calcul de l indice de Gini généralisé ÉTAPE Contenu opérationnel Si cela n'a pas déjà été fait, trier la distribution de revenus par niveaux de revenus Calculer la fonction de distribution cumulée F() Calculer -F() pour chaque revenu 4 Choisir la valeur du paramètre d'aversion pour l'inégalité v 5 Calculer [-F()] v Calculer la covariance : Cov[, (-F()) v - ] et la moenne de la distribution de revenus Calculer Gini en appliquant la formule de covariance [6] fournie dans le texte Les étapes sont très semblables à celles du calcul de l indice de Gini standard à l aide de la formule de covariance. Les étapes et sont même identiques. Par souci de commodité du fait du mode d expression de la formule, l étape nous demande de calculer, pour chaque niveau de revenus, la valeur de un moins la valeur de la fonction de distribution cumulée à ce point. L étape 4 est l élément le plus caractéristique de cette procédure, car elle nous demande de choisir la valeur du paramètre de l aversion pour l inégalité v. Il suffit de nous souvenir que, plus les valeurs de v sont élevées, plus l aversion pour l inégalité est forte. L étape 5 nous demande de calculer un élément du terme de covariance, à savoir la valeur de (-F()) v-. À l étape 6, nous devons calculer la covariance complète et le revenu moen, ce qui nous permettra d appliquer la formule [6] fournie dans le texte pour obtenir l indice de Gini généralisé (étape 7).

16 Module EASPol 040 Outils analtiques 5. EXEMPLE NUMÉRIQUE DU MODE DE CALCUL DE L INDICE DE GINI 5. Indice de Gini standard dérivé de la courbe de Lorenz Le calcul de l indice de Gini dérivé de la courbe de Lorenz figure dans le tableau, où nous supposons l existence d une distribution de revenus à cinq individus (et cinq revenus). L étape nécessite simplement de trier cette distribution par niveaux de revenus. L étape, en revanche, nous demande de calculer la distribution cumulée des revenus. Le résultat de ce calcul est unités de revenu, soit le revenu total de l économie. Tableau : Exemple numérique du calcul de l indice de Gini (dérivé de la courbe de Lorenz) ÉTAPE ÉTAPE ÉTAPE ÉTAPE 4 ÉTAPE 5 ÉTAPE 6 Trier la distribution de revenus Individu Distribution des revenus Calculer le revenu cumulé Revenu cumulé Calculer la proportion cumulée des revenus (q i ) Proportion cumulée des revenus Affecter un rang aux revenus Rangs Calculer la proportion cumulée de la population (p i ) Proportion cumulée de la population Calculer l'aire des polgones (Z) Aire des polgones Calculer l'indice de Gini Indice de Gini 0 0 0,000 0, 0, ,000 0,4 0,000 0, ,000 0,6 0, , ,8 0, ,000 5,0 0,00 G - Z 0,007[0,067 x 0,]/ Aire du premier triangle Aire de chaque trapèze 0,00 Valeur de Z, l'aire sous la courbe de Lorenz Exemple : 0,07[(0,000,067)(0,4-0,)]/ L étape transforme la distribution de revenus cumulée en proportion cumulée des revenus. Le résultat est. Rappelons-nous simplement que ces valeurs sont les q i introduits dans la section. ci-dessus. Conformément au tri de la distribution des revenus de l étape, un rang croissant (de à n) est affecté à chaque revenu (étape 4). Ces rangs sont ensuite transformés en proportion cumulée de la population. Ce calcul donne les p i traités dans la section. cidessus. Lorsque nous disposons de q et de p pour tous les niveaux de revenus, nous pouvons calculer l aire des polgones sous la courbe de Lorenz. Il suffit de nous rappeler que le premier est un triangle et que les autres sont des trapèzes. Pour ce faire, l étape 5 applique les formules présentées dans la section.. La somme de ces aires donne Z, c est-à-dire l aire totale sous la courbe de Lorenz.

17 Analse d inégalité : l indice de Gini Enfin, l étape 6 est l application mécanique de la formule [6] fournie dans le texte. Elle donne un indice de Gini de 0, Indice de Gini standard avec formule de covariance Le tableau fournit un exemple numérique de calcul de l indice de Gini avec la formule [4] de covariance présentée dans le texte. Les étapes sont ici moins nombreuses. L'étape change pas et consiste à trier la distribution des revenus par niveaux de revenus. L étape demande de calculer la fonction de distribution cumulée F(). L étape nécessite de calculer les deux paramètres essentiels à appliquer à la formule de covariance : la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumulée (dont la valeur est de 400 dans l exemple) et le niveau de revenus moen, soit 000 unités de revenu. Tableau : Exemple numérique de calcul de l indice de Gini avec la formule de covariance ÉTAPE Trier la distribution des revenus ÉTAPE ÉTAPE ÉTAPE 4 Calculer la fonction de distribution cumulée F() Calculer la covariance Cov (, F()) Calculer le niveau moen de revenu Calculer Gini à l'aide la formule [4] Individu A - Distribution des revenus tpe Distribution des revenus cumulée Covariance Revenu moen 000 0, 000 0, , , , ,67 Gini L application de la formule [4] fournie dans le texte donne une valeur d indice de Gini égale à 0,67 (bien évidemment identique à celle du tableau!). 5. Indice de Gini généralisé Nous nous sommes servis de la formule de covariance pour expliquer qu il est possible de rendre l indice de Gini standard sensible à un degré donné d aversion pour l inégalité. Le tableau 4 fournit un exemple de traitement de cette généralisation à l aide de la même distribution de revenus que dans les tableaux et.

18 4 Module EASPol 040 Outils analtiques Tableau 4 : Exemple numérique de calcul de l indice de Gini généralisé ÉTAPE ÉTAPE ÉTAPE ÉTAPE 4 ÉTAPE 5 ÉTAPE 6 ÉTAPE 7 Trier la distribution des revenus Individu A - Distribution des revenus tpe Calculer la fonction de distribution cumulée F() Distribution des revenus cumulée Calculer - F() Choisir v Calculer [ - F()] (v-) Calculer la covariance Cov (, F()) - F() v [ - F()] (v-) Covariance Calculer le niveau de revenu moen Revenu moen Calculer Gini à l'aide de la formule [4] 000 0, 0,8 0, ,4 0,6 0, 000 0,6 0,4 0, ,8 0, 0, ,0 0,0 4 0, ,46 Gini Les étapes et sont identiques à celles du tableau. En revanche, l étape requiert de calculer les valeurs de un moins la fonction de distribution cumulée. L étape 4 introduit le paramètre d aversion pour l inégalité v, auquel nous avons choisi d attribuer la valeur 4. Par conséquent, chaque montant calculé à l étape passe à la puissance (v-), c est-àdire (étape 5). L étape 6 calcule les deux paramètres essentiels : le terme de covariance (-46 dans l exemple) et le revenu moen ( 000). L étape 7 applique la formule [6] fournie dans le texte et donne un indice de Gini de 0,46. Cette valeur est différente de celle obtenue avec l indice de Gini standard, car des pondérations différentes ont été attribuées aux mêmes revenus. 6. PROPRIÉTÉS PRINCIPALES DE L INDICE DE GINI Cette section décrit les propriétés principales de l indice de Gini en termes des axiomes 8 qu il respecte. Comme la plupart de ces propriétés sont communes aux indices de Gini standard et généralisé, nous les traiterons ensemble tout en signalant leurs différences majeures. Les principales propriétés de l indice de Gini sont les suivantes : la limite inférieure de G est zéro quelle que soit la valeur de v. Quand tous les revenus sont égaux, la covariance entre les niveaux de revenus et la fonction de distribution cumulée est nulle et l indice de Gini est donc zéro. Concernant l interprétation géométrique de l indice de Gini standard, notez que quand tous les revenus sont égaux, la courbe de Lorenz est égale à la droite d équidistribution. Par conséquent, la somme des aires des polgones (Z) est égale à ½, c est-à-dire la somme du triangle sous la courbe de Lorenz. De ce fait, l indice de Gini ( Z) est égal à zéro ; 8 Voir le module EASPol 054 Impacts des politiques sur l'inégalité : l'inégalité et ses axiomes de mesure (disponible en anglais) pour en savoir plus sur les axiomes dans la mesure de l inégalité.

19 Analse d inégalité : l indice de Gini 5 n la limite supérieure de l indice de Gini standard G est. Dans les très grandes n populations, la limite de cette valeur est. Quand tous les revenus sont nuls, sauf le dernier, celui-ci est aussi égal au revenu total,. Autrement dit, il ne faut calculer qu une seule aire, celle du dernier trapèze. Cependant, dans les très grandes populations, cette aire tend à être plus petite. Dans la limite (c est-à-dire dans un cadre continu), la valeur de l aire Z tend vers zéro et donc l indice de Gini tend vers n. Dans la généralisation, la limite supérieure de G(v) est. Souvenez-vous v n que dans l indice de Gini standard, v ; l indice de Gini est invariant à l échelle. La multiplication de tous les revenus par un facteur α ne modifie pas la valeur de l indice de Gini G. Intuitivement, quand tous les revenus sont redimensionnés par un facteur commun, la distribution cumulée des revenus ne change pas, car une fraction donnée de la population continue à détenir la même fraction du revenu total. Les aires sous la courbe de Lorenz demeurent donc identiques. Dans le cas de la formule de covariance, l application d un facteur commun à tous les revenus augmente la covariance et le revenu moen dans la même mesure. L indice de Gini ne change pas. Cela vaut également pour G(v) ; en revanche, l indice de Gini G n est pas invariant à la translation. Si l on ajoute/soustrait la même somme à tous les revenus, il augmente (ou diminue) en conséquence. Cela vaut également pour G(v) ; l indice de Gini satisfait au principe des transferts quelle que soit la valeur de v. Si le revenu est redistribué d individus relativement riches à des individus relativement pauvres, G et G(v) diminuent. L inverse est vrai si le revenu est redistribué de personnes relativement pauvres à des personnes relativement riches. Dans le cas de l indice de Gini standard, nous remarquons que la taille du changement découlant de la variation de l un quelconque des revenus dépend du rang des individus participant à la redistribution et de la taille de l échantillon. Elle ne dépend pas du niveau des revenus individuels redistribués, mais du total des revenus. Plus précisément, l indice de Gini réagit davantage à une redistribution entre individus présentant une grande différence de rang. De fait, à quantité de redistribution égale, l effet est beaucoup plus faible si les deux individus sont de rang proche. Le tableau 5 illustre le principe de fonctionnement des principales propriétés de l indice de Gini. Dans la colonne de gauche figurent trois simulations de distributions de revenus. La première est une distribution «tpe», classée par niveaux de revenus. Les individus de la seconde ont tous le même revenu. Les individus de la troisième ont tous un revenu nul, sauf le dernier.

20 6 Module EASPol 040 Outils analtiques Pour la distribution de revenus tpe A, l indice de Gini est de 0,67. Pour les revenus équidistribués B, il est nul et pour la distribution la plus concentrée, C, il est de 0,8 n 4 ( 0. 8 ). n 5 Pour une augmentation de tous les revenus de 0 pour-cent, la cinquième colonne montre que l indice de Gini demeurerait inchangé à 0,67 (propriété d invariance à l échelle). Ce ne serait pas le cas pour une augmentation de tous les revenus du même montant absolu (par exemple, 000 unités de revenu dans le texte). Dans ce cas, le tableau 5 montre que l indice de Gini serait plus bas (0,60). Cet indice n est pas invariant à la translation. L indice de Gini satisfait au principe des transferts. Si nous redistribuons, par exemple, 500 unités de revenu des plus riches au plus pauvres, il sera inférieur (0,) dans le texte. À noter que les mêmes transferts entre individus de rang proche (dernière colonne du tableau 5) donnent toujours lieu à un indice de Gini plus bas (0,5), mais supérieur au cas précédent (0,). Cela montre que l indice est plus sensible aux transferts entre individus de rangs éloignés. Tableau 5 : Principales propriétés de l indice de Gini Individu A - Distribution des revenus tpe B - Distribution des revenus avec revenus égaux C - Distribution des revenus avec un seul revenu Distribution des revenus d'origine avec augmentation de 0 pour-cent de tous les revenus Distribution des revenus d'origine avec augmentation de 000 USD de tous les revenus Distribution des revenus d'origine avec redistribution de 500 USD du plus riche au plus pauvre Distribution des revenus d'origine avec redistribution de 00 USD par deux individus de rang proche Revenu total GINI 0,67 0,000 0,800 0,67 0,60 0, 0,5 INCHANGÉ DIMINUÉ DIMINUÉ DIMINUÉ L'indice de Gini réagit moins aux transferts entre individus de rang proche 7. INTERSECTION DE LORENZ ET INDICE DE GINI Nous avons vu qu il est possible de dériver l indice de Gini d une courbe de Lorenz. En d'autres termes, indice de Gini et courbe de Lorenz sont en cohérence. Il faut néanmoins rappeler que l ordre fourni par les courbes de Lorenz, et en particulier par la dominance de Lorenz, est partiel, car quand ces courbes ne coupent rien, nous sommes à même de dire quelle distribution des revenus présente le plus d inégalité. À l inverse, l indice de Gini fournit un ordre complet, puisqu il réduit l intégralité de la distribution des revenus à un seul nombre. La différence élémentaire entre ces deux approches devient apparente en cas d intersection des courbes de Lorenz. Prenons par exemple les deux distributions de

21 Analse d inégalité : l indice de Gini 7 revenus du tableau 6. Les revenus sont distribués différemment, mais l indice de Gini est le même (0,00). Tableau 6 : Deux distributions de revenus possédant le même indice de Gini Individus Distribution des Distribution des revenus X revenus Revenu total Gini 0,00 0,00 Ces deux distributions sont figurées par les courbes de Lorenz de la figure 7. Comme elles se coupent, on ne peut pas s en servir pour les classer en termes d inégalité des revenus. Mais la manière dont elles se coupent donne des aires de même valeur avant et après l intersection. Du coup, l indice de Gini est identique, en dépit de différences de revenus importantes. Figure 7 : Intersection de courbes de Lorenz Distributions de revenus différentes Intersection de Lorenz Même indice de Gini,0 0,8 0,6 Aire de concentration avant intersection 0,4 0, Aire de concentration après intersection 0,0 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0 Dis_X Dis_

22 8 Module EASPol 040 Outils analtiques 8. SNTHÈSE DES PROPRIÉTÉS PRINCIPALES DE L'INDICE DE GINI ET DE SA VERSION GÉNÉRALISÉE Le tableau 7 snthétise les propriétés principales de l indice de Gini et de sa version généralisée. Ces propriétés reflètent la structure des axiomes. 9 Il est intéressant de noter tout d abord que la limite inférieure de l indice de Gini standard et de sa version généralisée est zéro, alors que sa limite supérieure est différenciée. Cette dernière est très proche de (pour les très grandes populations) dans le cas de l indice de Gini standard et tend vers v (toujours dans les très grandes populations) dans le cas de l indice de Gini généralisé. Les deux versions de l indice de Gini respectent le principe des transferts, mais il faut rappeler que l indice de Gini est plus sensible aux transferts de revenus entre individus situés à des positions (rang) éloignées dans la distribution des revenus. Les deux versions sont invariantes à l échelle et non invariantes à la translation et respectent le principe de population. Cette structure fait de l indice de Gini et de sa version généralisée deux indicateurs d inégalité relative. La grande utilité de leurs caractéristiques dans la pratique explique le fort intérêt qu ils suscitent. Tableau 7: Indice de Gini et ses propriétés utiles LIMITE INF. LIMITE SUP. Principe des transferts Invariance à l'échelle Invariance à la translation Principe de population Indice d'inégalité relative (IIR) Intérêt Gini 0 (n -)/n Gv 0 (/v )(n -)/n OUI, plus sensible si les individus ont des rangs éloignés OUI, plus sensible si les individus ont des rangs éloignés OUI NON OUI OUI Élevé OUI NON OUI OUI Élevé 9. REMARQUES À L INTENTION DES LECTEURS 9. Liens EASPol Les lecteurs pourront se tourner vers certains modules EASPol pour renforcer leurs acquis de base et approfondir leurs connaissances sur l inégalité et sa mesure. Le présent module fait partie d un ensemble de documents expliquant les modalités de comparaison, en termes d inégalité, des distributions de revenus générées par différentes options des politiques. Il appartient au parcours de formation Analse et suivi des impacts socio-économiques des politiques. 9 Comme indiqué dans le module EASPol 054 : Impacts des politiques sur l'inégalité : l'inégalité et ses axiomes de mesure (disponible en anglais).

23 Analse d inégalité : l indice de Gini 9 Les modules EASPol suivants précèdent logiquement le document présent et pourront renforcer les connaissances des utilisateurs : Module EASPol 000 : Représentation graphique de l'inégalité : courbe de Lorenz, Module EASPol 00: Classement des distributions de revenus à l'aide de courbes de Lorenz, EASPol Module 007 : Impacts des politiques sur la pauvreté : indicateurs de base de pauvreté Module EASPol 054 : Impacts des politiques sur l'inégalité : l'inégalité et ses axiomes de mesure (disponible en anglais). Les points traités dans ce module sont approfondis dans les documents suivants : Module EASPol 00 : Analse des distributions de revenus en termes de bien-être social : Classement des distributions de revenus à l'aide de courbes de Lorenz généralisé Module EASPol 04: Analse des distributions de revenus en termes de bien-être social : bien-être social, fonctions de bien-être social et aversion pour l'inégalité (disponible en anglais). Le module EASPol 04, Impacts sur l'inégalité et la pauvreté de certaines politiques agricoles : cas du Paragua, est une étude de cas de la mesure, à l aide de l indice de Gini, des impacts d une politique agricole sur l inégalité dans le contexte d un exercice de simulation bâti à partir de données réelles.

24 Module EASPol 040 Outils analtiques 0 0. ANNEXE I AUTRES MÉTHODES DE CALCUL DE L INDICE DE GINI Dérivation géométrique de l indice de Gini et autre formule possible La dérivation de l indice de Gini par les courbes de Lorenz présente une correspondance directe avec une autre méthode, plutôt lourde, de calcul de cet indicateur : n n n G n n n... [A.] Vous remarquerez la spécificité des termes figurant entre les dernières parenthèses, où chaque part de revenu, de la plus élevée à la plus faible, est multipliée par le rang des individus dans la distribution des revenus du plus bas au plus élevé, de manière à ce que la part la plus importante ait le rang et la plus petite le rang n. Cette correspondance apparaît encore mieux dans un exemple où n. En rappelant la définition des q et des p, on obtient : ; 0 ; 0 ; ; p q p q p q n p q Substituer ces valeurs dans l équation [] dans le texte donne : G 5 [A.] Appelons cette définition, indice de Gini G. Maintenant, réécrivons l expression [A.] comme suit : G [A.] Appelons cette définition, indice de Gini G. Maintenant, réécrivons [A.] et [A.] de manière plus commode en manipulant les crochets :

25 Analse d inégalité : l indice de Gini G 4 [A.4] G [A.5] comme l expression entre parenthèses dans les deux équations est égale à pour n, il est très facile de vérifier que les deux expressions donnent le même résultat (G G ). La formule [A.], souvent utilisée dans les applications opérationnelles, est donc entièrement basée sur la dérivation géométrique de l indice de Gini. 0. Indice de Gini avec formule de covariance Dans le texte, nous avons montré que l indice de Gini peut se calculer directement si nous connaissons le revenu moen et la covariance entre les niveaux et la fonction de distribution cumulée F(). Analtiquement : ( ) ) (, F Cov G. [A.6] Cette formule équivaut aussi à la formule [A.]. Voons pourquoi. ( ) [ ] ( ) [ ) (,, F Cov F Cov ] Sachant que, comme la valeur attendue de F() est ½, et la valeur attendue de [-F()] ½, également, nous pouvons réécrire l expression [A.6] sous la forme : ( ) [ ] ) (, F Cov G. L équivalence entre les formules [A.6] et [A.] apparaît à nouveau pour un cas simplifié, n. Tout d abord, il faut rappeler que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, F E E F E F Cov ), où E correspond à la valeur attendue (la moenne) d une variable donnée. Ensuite, il convient de définir chaque composante de la covariance : ( ) ( ) ( ) ) ( ; ; ) ( F E E F E., nous pouvons obtenir : Par conséquent, en tenant compte du fait que ( ) [ ] ) (, F Cov.

26 Module EASPol 040 Outils analtiques n Si, la formule de covariance de l indice de Gini devient : [ ] G 9. Maintenant, sachant que pour n,, on peut réécrire l expression [A.] comme suit : ce qui donne le même résultat que la formule de covariance. 0. Principales propriétés de l indice de Gini LA LIMITE INFERIEURE DE GINI EST ZERO. Nous le constatons dans le cas simplifié où n. Dans ce cas précis,. La formule [A.] ] donnera alors : G. LA LIMITE SUPERIEURE DE GINI EST (N-)/N Cela s avère également vrai pour n. En supposant à nouveau que n, quand tous les revenus sont nuls sauf le dernier, l expression [b.4] donnera : n n G 0 0 comme dans ce cas. GINI EST INVARIANT A L ECHELLE Nous le voons en appliquant un facteur α à la formule [A.]. Par exemple, pour n, G deviendrait : α α α α α α G. GINI N EST PAS INVARIANT A LA TRANSLATION

27 Analse d inégalité : l indice de Gini Cela peut également se voir à l aide de l équation [A.] dans le cas de n. Supposons une augmentation de Δ 000 USD, soit une augmentation du total des revenus de nδ, c est-à-dire, 000. L équation [A.] deviendra : G,000,000,000. (,000) (,000) (,000) Comme le numérateur et le dénominateur de toutes les parenthèses augmentent de manières différentes, leurs ratios diffèrent de ceux de la formule d origine. L indice de Gini ne devrait donc pas être le même. GINI SATISFAIT AU PRINCIPE DES TRANSFERTS. On le voit aisément en examinant la dérivée de l indice de Gini par rapport au ième revenu : G i n 44 ( n i) rang individuel. GINI REAGIT MOINS AUX TRANSFERTS ENTRE INDIVIDUS DE RANG PROCHE. Expliquons à nouveau cette propriété en supposant que n et que ce revenu est d abord redistribué du plus riche (rang ) au plus pauvre (rang ). La différenciation totale de [A.] par rapport à donnerait : dg d la diminution écart de G dû à l'augmentation de écart de G dû à de 4 ( d) d Maintenant, supposons que le revenu soit redistribué du plus riche (rang ) au moins riche juste en dessous de lui (rang ). Dans ce cas, la différenciation donnera : dg d la diminution écart de G dû à l'augmentation de écart de G dû à de ( d) d qui est clairement inférieur à dg dans le premier cas. On peut généraliser cette propriété en disant que, compte tenu du rang du donneur (dans notre exemple, à partir du revenu ), la diminution de l indice de Gini est plus grande quand le rang du receveur est éloigné de celui du donneur. De ce fait, l indice de Gini est plus sensible aux transferts intervenant autour du mode de la distribution de revenus où la densité d individus est la plus élevée..

28 4 Module EASPol 040 Outils analtiques. OUVRAGES DE RÉFÉRENCE ET AUTRES RESSOURCES Anand S., 98. Inequalit and Povert in Malasia, Oxford Universit Press, London, UK. Cowell F., 977, Measuring Inequalit, Phillip Allan, Oxford, UK. Dalton H., 90. The Measurement of Inequalit of Incomes, Economic Journal, 0, Gini C., 9, Variabilità e mutabilità, Bologna, Ital. Pigou A.C., 9, Wealth and Welfare, MacMillan, London, UK. Sen A.K., 97, On economic Inequalit, Calarendon Press, Oxford, UK. Theil H., 967, Economics and Information Theor, North-Holland, Amsterdam, The Netherlands. itzhaki S., 98, On the Extension of the Gini Index, International Economic Review, 4,

29 Analse d inégalité : l indice de Gini 5 Métadonnées du module. Module EASPol 040. Titre dans la langue d origine Anglais Français Espagnol Autre Inequalit Analsis. Sous-titre dans la langue d origine Anglais Français Espagnol Autre 4. Résumé The Gini Index Le présent document traite de l indicateur d inégalité le plus fréquemment utilisé : l indice de Gini. Il en présente les caractéristiques et le lien qu il entretient avec un autre outil de représentation graphique de l inégalité largement usité : la courbe de Lorenz. Il aborde également une version étendue de cet indice faisant appel à différents facteurs de pondération. Une procédure détaillée et des exemples numériques expliquent les modalités d utilisation de l indice de Gini et de ses versions généralisées. 5. Date Décembre Auteur(s) Lorenzo Giovanni Bellù, Service de soutien aux politiques agricoles, Division de l'assistance aux politiques, FAO, Rome, Italie Paolo Liberati, Université d Urbino, «Carlo Bo», Institut d économie, Urbino, Italie 7. Tpe de module Présentation thématique générale Matériels conceptuels et techniques Outils analtiques Études de cas et rapports Ressources complémentaires 8. Sujets principaux traités dans ce module L agriculture dans le contexte macro-économique Politiques agricoles et sous-sectorielles Politiques agro-alimentaires et chaîne alimentaire Environnement et durabilité Développement institutionnel et organisationnel Planification des investissements et politiques apparentées Pauvreté et sécurité alimentaire Intégration régionale et commerce international Développement ruralt 9. Sujets secondaires traités dans ce module 0. Parcours de Analse et suivi des impacts socio-économiques des formation politiques

30 6 Module EASPol 040 Outils analtiques. Mots clés Renforcement des capacités, agriculture, politiques agricoles, développement agricole, politiques de développement, analse des politiques, analse des impacts des politiques, pauvreté, sécurité alimentaire, outil analtique, inégalité, analse d'inégalité, indice d'inégalité, indicateurs d inégalité, analse coût-bénéfice, indice de gini, indice de gini généralisé, courbe de lorenz, analse du bienêtre social