Evaluation de différentes mesures de l inégalité

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1 Département fédéral de l'intérieur DFI Office fédéral de la statistique OFS 20 Situation économique et sociale 2005 Observatoire Universitaire de l Emploi Laboratoire d économie appliquée Evaluation de différentes mesures de l inégalité Mandat réalisé pour l OFS par Yves Flückiger (Laboratoire d économie appliquée de l Université de Genève) et Ramses Abul Naga (Université de Lausanne) Renseignements: Paul Röthlisberger, OFS, Section Analyses sociales, Tél.: Encyclopédie statistique de la suisse, numéro: be-f

2 Table de matières Introduction 3. L'indicateur de bien-être 3.2 L'unité d'analyse 5 2 Un exemple illustratif 7 3 Trois classes d'indices d'inégalité 8 4 Trois propriétés souhaitables 4. Le principe des transferts de Pigou et Dalton 4.2 L'invariance à l'échelle de mesure Décomposition par sous-groupes 2 5 Quelques considérations supplémentaires 4 5. Pondération des observations La sensibilité de l indice à l aversion sociale à l'inégalité Les limites de la vulgarisation Données individuelles et données agrégées L influence de la base de données Sensibilité aux valeurs extrêmes Les échelles d'équivalence 8 6 Applications empiriques aux données de l Enquête sur les revenus et la consommation 26 7 Conclusions: quel indice choisir? 27 8 Bibliographie 29 9 ANNEXE: FIGURES ET TABLEAUX 3 Mandat Flückiger/Abul Naga 2

3 Introduction Nombreux sont les chercheurs qui considèrent tout accroissement des inégalités comme un mal social. Cependant, Welch (997) est loin d'être le seul commentateur qui souligne des éléments potentiellement positifs dans l'accroissement des disparités salariales. Par ailleurs, plusieurs études portant sur le marché suisse du travail ont abouti au résultat surprenant que la récession des années 90 se serait soldée par une diminution des inégalités salariales (Deutsch, Flückiger et Silber, 999; Küng, Gugler et Blank, 2000; Bolzani et Abul Naga 2002). A fin de pouvoir prendre position par rapport au débat passionné que suscitent les statistiques sur les inégalités, pour savoir également comment la distribution des revenus s'ajuste à la progression du chômage, il est indispensable au préalable de comprendre comment les chercheurs mesurent les inégalités. La littérature en question est malheureusement trop vaste et difficile d'accès pour un large public et même pour des personnes plus spécialisées. Rares sont les ouvrages simples et concis en la matière (par exemple Atkinson, 983 et Champernowne et Cowell, 998). Le but de ce travail sera donc de présenter d'une manière accessible certains éléments liés à la mesure des inégalités. Nous commençons tout d'abord, à la section 2, par présenter la notation que nous adopterons tout au long de ce travail. La section 3 s'attarde sur différentes familles d'indices d'inégalité. Dans la section 4, nous revenons sur trois axiomes souhaitables que toute mesure d inégalités devrait idéalement satisfaire. La section 5 regroupe quelques considérations liées à l'utilisation des indices, à l'interprétation ainsi qu à la vulgarisation des résultats obtenus. La section 6 contient des commentaires de conclusions. Il existe une littérature voisine à la notre, qui traite des problèmes liés à la mesure de la discrimination sur le marché du travail (Cain, 986), ainsi que la mesure de la pauvreté (Atkinson, 989). Ce travail traitera de la mesure des inégalités au sens le plus strict, et n'abordera donc pas ces autres thèmes. La section 6 contient des applications sur des données provenant de l Enquête sur les revenus et la consommation des ménages suisses en 998 et Finalement, la section 7 présente les principales conclusions de notre travail. Mais avant de passer à la section 2, il nous a semblé utile de rappeler un certain nombre de principes relatifs à la fois à l analyse de la pauvreté et des inégalités. En particulier, les chercheurs qui souhaitent étudier les inégalités (comme la pauvreté par ailleurs), sont immédiatement confrontés à deux types de problèmes fondamentaux : celui du critère de bien-être utilisé pour mesurer les inégalités et celui de l agrégation. En effet, il est nécessaire de définir en premier lieu quelle est la variable choisie comme indicateur de bien-être pour évaluer l intensité de l inégalité. Un autre problème que l'on doit affronter concerne l'unité d'analyse choisie. En d'autres termes, il faut décider sur quel type de données on veut travailler, des données individuelles, familiales ou agrégées au niveau d'un ménage, par exemple. Avant de passer à la présentation des différents indices d inégalité, dans la section 2, nous allons brièvement passer en revue ces deux questions.. L'indicateur de bien-être Les inégalités constituent un phénomène multidimensionnel. Elles devraient en principe rendre compte des différents aspects de la vie économique et sociale, tels que l'alimentation, le logement, l'habillement ou la possibilité d'exercer une profession, l'état de santé et l'éducation, par exemple. Lorsqu'on admet que les inégalités intègrent des composantes sociales ou démographiques, comme l'espérance de vie ou le degré d'alphabétisation, cela a sans aucun doute des répercussions sur la mesure des inégalités, notamment dans l'optique de comparaisons internationales, où la couverture sociale en matière de santé ou d'éducation, par exemple, peut différer d'un pays à l'autre. Etant donnée la difficulté d'intégrer les multiples facettes des inégalités, on suppose en général qu elles sont définies en termes d'un seul indicateur général des ressources économiques, censé représenter de façon adéquate le bien-être. On réduit alors le problème des inégalités à une seule dimension. Dans l'évaluation de la fonction de bien-être social, le bien-être des individus ou des ménages est donc résumé par une seule variable, l'indicateur des ressources. De plus, le bien-être social n'est pas fonction de l'évaluation que le foyer fait de son propre bien-être, mais du niveau objectif des ressources. En ce sens, la fonction de bien-être social n'est pas de type utilitariste, étant donné qu'elle ne dépend pas de l'utilité générée par un certain niveau de ressources, mais directement du niveau de ces ressources. Ainsi, plus il est élevé, plus le bien-être ressenti est important. Les indicateurs objectifs de bien-être tels que le revenu ou les dépenses sont les indicateurs de ressources les plus diffusés pour mesurer les inégalités, en grande partie parce qu'ils sont facilement Mandat Flückiger/Abul Naga 3

4 disponibles. A priori, on pourrait penser qu'il est indifférent d'utiliser le revenu ou les dépenses. Ceci est le cas si les deux distributions classent les individus ou les ménages de façon identique, c'est-à-dire si les dépenses sont exactement proportionnelles au revenu. Or dans la réalité, cette relation systématique n'est guère vérifiée et surtout pas à court terme. En effet, l'épargne et la richesse jouent un rôle primordial dans l'adaptation des dépenses face aux fluctuations accidentelles du revenu. Ainsi, même si le revenu est susceptible de varier considérablement, les dépenses ont tendance à être beaucoup plus régulières dans le temps. Il faut alors être conscient du fait que l'on n'aura pas exactement la même image des inégalités selon que l'on choisisse les dépenses ou le revenu comme indicateur du bien-être. Plusieurs auteurs se sont penchés sur le choix d'un indicateur de bien-être approprié. Parmi ceux-ci, nous pouvons citer les différents travaux d'atkinson (cf. Atkinson, 970, 983). Cet auteur distingue deux approches différentes pour aborder le problème des inégalités. La première est reliée au concept de niveau de vie et débouche sur l'utilisation des dépenses totales ou de la consommation de biens spécifiques comme indicateur de bien-être... Utilisation des dépenses Dans les pays en voie de développement, on a plus souvent recours à des mesures basées sur les dépenses et, en particulier, les dépenses de consommation, plutôt qu'à des mesures basées sur le revenu. L'un des arguments utilisés en faveur de l'adoption des dépenses comme indicateur de bien-être est basé sur la théorie économique, selon laquelle le revenu est constitué d'une partie consacrée à la consommation et d'une autre consacrée à l'épargne. Or, lorsqu'on s'intéresse aux inégalités de manière statique, on considère en général les variables approximant le revenu permanent comme les meilleures mesures du bien-être. En effet, étant donné la possibilité d'épargner, les ménages peuvent adapter leur consommation et maximiser ainsi leur bien-être. Par opposition, l'utilisation du revenu peut conduire à des interprétations erronées et ceci en particulier dans les sociétés fortement axées sur l'agriculture. Le revenu d'un agriculteur n'est pas forcément un très bon indicateur de son niveau de vie, car il est soumis aux variations saisonnières, et c'est pourquoi on donne la préférence à l'utilisation de la consommation ou des dépenses. On peut cependant apporter une légère nuance à cet argument, car les différences dans les comportements de consommation des ménages sont influencées aussi en partie par des éléments de cycle de vie. Le niveau des dépenses peut en effet être affecté par l'âge du chef de ménage. Mais les distorsions qui peuvent naître de l'utilisation des dépenses ont moins de conséquences quant à l'évaluation du bien-être que le recours au revenu. En effet, selon la théorie du cycle de vie, les individus ont tendance à épargner pendant les années où ils travaillent et à désépargner après la retraite. Par conséquent, si on utilise le revenu courant comme indicateur du bien-être, on surestime le bien-être des individus avant leur retraite, car même s'ils ont les moyens pour effectuer des dépenses, le revenu n'est pas automatiquement transformé en consommation, et à le sous-estimer après. Un autre argument que l'on pourrait mettre en avant tient simplement à la disponibilité et à la fiabilité des données. En effet, dans plusieurs pays en voie de développement, les données relatives au revenu ne sont pas toujours très fiables, alors que les dépenses sont souvent enregistrées de façon plus précise que le revenu. Toujours en considérant les sociétés à prédominance agricole, le revenu est en outre plus difficile à établir que la consommation, car il vient en grande partie de l'autoconsommation. Dans les pays développés, ces arguments en faveur de l'utilisation des dépenses ne sont plus aussi pertinents, car il existe aussi de très bonnes enquêtes sur les revenus. De plus, la part des personnes employées dans l'agriculture y est beaucoup moins importante. Une autre limitation, mineure toutefois, de l'utilisation des dépenses comme indicateur du bien-être vient du fait qu'il existe parfois des perturbations dans le temps liées à l'achat de biens durables, qui haussent le montant des dépenses courantes, alors que l'usage des biens en question se fait sur plusieurs périodes. On pourrait évidemment déduire l'achat de ces biens durables de l'ensemble des dépenses...2 Utilisation du revenu Dans la plupart des pays développés où l'on effectue des études sur les inégalités, on a tendance à les évaluer en ayant recours au revenu comme indicateur du bien-être. Selon Atkinson, le revenu n'est pas une variable adéquate pour mesurer les inégalités en termes de niveau de vie, car comme nous l'avons Mandat Flückiger/Abul Naga 4

5 déjà remarqué, il peut le sous-estimer. Des variations accidentelles de revenu peuvent être aplanies par le recours à l'emprunt ou à la désépargne, ce qui permet de maintenir le même niveau de vie. Cette variable est en revanche tout à fait adaptée si l'on envisage les inégalités en termes de droit à un revenu minimum. Un argument en faveur de l'utilisation du revenu comme indicateur de bien-être est que le faible niveau de dépenses d'un ménage peut tout à fait être le fruit d'un choix, alors que le revenu est beaucoup plus proche d'une mesure des opportunités réelles dont dispose un ménage et n'est pas influencé par les décisions de consommation. L'un des problèmes liés à l'utilisation du revenu comme indicateur du bien-être provient de la qualité des données. Très souvent, lorsqu'on utilise des données d'enquête, le revenu est sous-estimé. C est le cas en particulier pour les ménages dont le chef exerce une activité indépendante. De manière générale, on observe une réticence plus grande lorsqu'il s'agit de déclarer le revenu que lorsqu'on doit indiquer les montants dépensés. Dans les études qui retiennent le revenu comme indicateur de bien-être, on adopte en général le concept de revenu disponible car il représente les ressources dont dispose effectivement un ménage ou un individu pour acquérir des biens et services ou pour les mettre de côté sous forme d'épargne. Lorsque les données ne le permettent pas, on a recours à d'autres définitions du revenu comme le revenu avant impôt, par exemple...3 Choix de l'indicateur de bien-être Nous avons constaté qu'il existe des arguments en faveur de l'adoption des dépenses comme indicateur de bien-être, de même qu'en faveur du revenu. Ces arguments font parfois référence à une théorie économique sous-jacente et à une façon particulière d'envisager le concept des inégalités. Mais nous avons également remarqué que bien souvent, le choix de l'indicateur de bien-être est conditionné par la disponibilité et la fiabilité des données. Néanmoins, dans les cas où l'on dispose de données précises à la fois sur les dépenses et sur le revenu, nous avons le choix entre l'un ou l'autre indicateur, mais il peut également être utile de les utiliser alternativement, afin d'obtenir deux points de vue différents. Nous avons en effet déjà mentionné le fait qu'une analyse basée sur la distribution des revenus peut conduire à des conclusions différentes de celles obtenues à partir d'une analyse basée sur la distribution des dépenses. La principale raison en est qu'un ménage peut avoir un revenu faible, inférieur au minimum souhaitable, mais atteindre un niveau de dépenses supérieur en empruntant ou en désépargnant. De plus, il peut arriver à la satisfaction de ses besoins en partageant sa consommation avec d'autres. A l'inverse, le fait d'avoir un revenu suffisamment élevé ne garantit pas que l'on arrive au minimum de consommation requis. Nous pouvons citer une autre raison qui tend à donner une image différente, selon le choix de l'indicateur de bien-être. En effet, les niveaux de dépenses observés ne reflètent pas uniquement les possibilités de consommation des ménages, mais également leurs goûts. Le choix de l'indicateur de bien-être dépend du point de vue où l'on désire se placer pour observer le phénomène; celui du niveau de vie ou celui du droit à un revenu minimum. Même si les dépenses de consommation et le revenu sont des mesures du bien-être largement acceptées, elles donnent, malgré tout, une image réductrice des inégalités. Il faudrait idéalement compléter ces mesures du bien-être avec d'autres, comme l'état de santé, l'espérance de vie et le niveau d'éducation, par exemple ou envisager une méthode permettant de tenir compte de l'aspect multidimensionnel des inégalités..2 L'unité d'analyse La détermination de l'unité d'analyse revêt une certaine importance, car elle est susceptible de modifier les résultats obtenus aussi bien lors de la phase d'identification que pour celle d'agrégation, ainsi que leur interprétation. La plupart des auteurs qui se sont intéressés à la définition de l'unité d'analyse distinguent deux cas extrêmes. On trouve d'un côté l'individu comme unité d'analyse et de l'autre le ménage. Certains pourtant font une distinction plus fine et font dépendre la définition de l'unité d'analyse d'un certain nombre de Mandat Flückiger/Abul Naga 5

6 facteurs (cf. Atkinson). On peut établir, de la plus générale à la plus particulière, les quatre définitions suivantes. La première définition que l'on peut envisager retient comme unité d'analyse toute personne ou groupe de personnes ayant une résidence commune. Il s'agit en d'autres termes de la notion de ménage qui constitue aussi l'unité d'analyse la plus vaste que l'on puisse imaginer. Le deuxième critère permettant de définir une unité d'analyse est celui des dépenses communes. Selon cette définition, font partie de la même unité d'analyse toutes les personnes qui prennent part de manière non négligeable aux décisions de dépenses. On peut évidemment trouver dans la même unité de dépenses des personnes qui ne sont pas forcément de la même famille. Une autre manière de définir une unité d'analyse est de la faire dépendre des liens du sang, ainsi que des liens créés par le mariage ou la cohabitation. Cette définition de l'unité d'analyse correspond à la notion traditionnelle de famille. La dernière définition proposée par Atkinson est un cas particulier de la précédente et utilise le critère de dépendance pour établir l'unité d'analyse. Selon cette définition, l'unité peut inclure une personne seule ou un couple plus un ou plusieurs enfants dépendants, c'est-à-dire ne gagnant pas encore leur vie. Le choix de l'unité d'analyse dépend en partie de la conception des inégalités que l'on veut privilégier. Comme nous l'avons déjà mentionné à propos du choix de l'indicateur de bien-être, il existe deux approches différentes pour aborder le problème des inégalités. La première met l'accent sur le concept de niveau de vie. Dans cette optique, on suppose que les ressources mises en commun sont partagées pour atteindre un niveau de vie identique pour tous les membres d'un foyer. Cette approche conduit en général à l'adoption d'une unité d'analyse relativement large comme le ménage, par exemple. Cependant, il faut également tenir compte du fait qu'il existe des postes de consommation typiquement individuels, comme l'alimentation et qui ne contribuent pas forcément à procurer le même niveau de vie à tous les membres d'un ménage, alors que d'autres ont tous les attributs de biens publics, c'est-à-dire que la jouissance d'un tel bien par un membre du ménage n'empêche pas les autres d'en profiter. Dans ce dernier cas uniquement, les différents membres du ménage peuvent atteindre le même niveau de vie. En ce qui concerne le premier type de biens, il peut y avoir des inégalités considérables à l'intérieur du ménage. Malgré cela, on suppose d'habitude que tous les membres constituant l'unité d'analyse bénéficient du même niveau de vie, étant donné les difficultés que l'on éprouve à observer la distribution des ressources à l'intérieur de l'unité. La deuxième approche pour concevoir les inégalités est basée sur le droit à un niveau minimum de ressources. Or, par essence, ce type d'approche dirige toute l'attention sur l'individu et sur la nature de ses relations avec d'autres membres du ménage. Par conséquent, l'unité d'analyse retenue dans ce deuxième cas est plutôt l'individu. Dans la pratique, lorsqu'on considère une unité plus vaste que l'individu, on le justifie par les transferts de bien-être ayant lieu à l'intérieur de cette unité plus grande, la famille par exemple, et qui ne sont pas observables. On n'admet donc pas que les membres d'un ménage ne bénéficiant pas d'un revenu monétaire soient complètement sans ressources. Le choix de l'unité d'analyse dépend en fin de compte de l'hypothèse, plus ou moins arbitraire, que l'on fait quant à la distribution intra-familiale des ressources. Dans l'étude des inégalités, cette distribution revêt une grande importance. En effet, il peut y avoir une différence entre les inégalités familiales et personnelles. Il n'est pas exclu que dans un même ménage, un ou plusieurs individus aient un niveau de vie inférieur aux autres. Cette présence d'inégalités intra-familiales devrait nous conduire à préférer l'individu comme unité d'analyse. Cependant, lorsqu'on étudie le problème des inégalités dans une population, on est le plus souvent amené à choisir le ménage comme unité d'analyse. Cela provient essentiellement de la façon dont les données sont récoltées, qui n'a lieu qu'occasionnellement au niveau des individus. Cela se traduit inévitablement par un manque d'informations sur la distribution exacte des ressources à l'intérieur du ménage. Par conséquent, comme pour le choix de l'indicateur de bien-être, ce sont souvent les données qui dictent également le choix de l'unité d'analyse. On considère alors que le ménage est l'unité dont on veut mesurer le bien-être. On peut éventuellement aussi utiliser une règle de division des dépenses totales ou Mandat Flückiger/Abul Naga 6

7 du revenu du ménage parmi ses membres, en général en parts égales ou proportionnellement à une mesure des besoins et traiter ensuite chaque individu comme l'unité d'analyse dans l'évaluation des inégalités et du bien-être. Le problème avec ce type de division arbitraire est qu'on a tendance à sousestimer la véritable dispersion dans la distribution des ressources à l'intérieur du ménage et à biaiser par conséquent la mesure des inégalités. Après avoir examiné ces différentes questions préliminaires mais importantes relatives au choix d un indicateur de bien-être et à l unité appropriée pour mesurer les inégalités, nous allons nous intéresser maintenant aux diverses approches pour les évaluer. 2 Un exemple illustratif Il est naturel de commencer notre discussion en présentant quelques indices usuels d'inégalité. Pour ce faire, nous nous appuyons sur un exemple empirique purement illustratif. Le tableau présente trois échelles salariales différentes attachées à différentes fonctions dans un département d'une université romande. Supposons maintenant que chaque fonction est occupée par deux individus. Nous pouvons ainsi présenter cette information de deux manières différentes. Tout d'abord, nous pouvons présenter les trois distributions de salaires (Tableau 2). Nous pouvons également obtenir d'une manière plus complète la répartition du revenu total (établi à CHF 00'000 dans les trois distributions.) Puisque deux des huit employés occupent chaque fonction, nous pouvons parler de classes de revenu, où g serait la part du revenu total détenue par la classe occupée par des professeurs ordinaires, et g 4 celle des assistants. Nous obtenons ainsi le Tableau 3. Afin de faciliter la lecture des sections qui suivent, il nous faut brièvement introduire quelques notations de base qui seront particulièrement utiles. Ainsi, dans ce qui suit, nous utiliserons la notation X = ( x,..., x n ) pour désigner le vecteur des revenus alors que n symbolisera le nombre d observations. Ainsi, dans le Tableau 2, n = 8. D autre part, pour la distribution A, on constate que x = x2 = 7' 500, et que X = (7'500, 7'500, 5'000, 5'000, 2'500, 2'500, 5'000, 5'000). Par ailleurs, un vecteur ligne de dimension n, prenant des valeurs unitaires, s'écrira (,,...,) L =. Les statistiques d'ordre (ou de rang) également sont employées pour mesurer les inégalités. Soit X = ( x, x2,..., x n ) un vecteur. Nous écrivons x () x ( 2 )... x ( n) pour le vecteur des observations ordonnées du plus petit au plus grand revenu. De même, dans l'ordre opposé, nous écrivons x[] x[ 2]... x[ n ]. Prenons par exemple la distribution C du Tableau 2. Nous avons x () = x( 2) = 0'000, x ( 3 ) = x( 4) = x( 5) = x( 6) = 2' 500 ; x ( 7 ) = x( 8) = 5' 000. Dans l'autre sens, x [] = x[] = 5' 000, x [ 3 ] = x[ 4] = x[ 5] = x[ 6] = 2' 500 et finalement x [ 7 ] = x[ 8] = 0' 000. n Pour mesurer les inégalités, de nombreux indices se fondent sur l approche suivante : γ γ γ [( x + x x )/ n] 2 n I( X ) =, / n ( x + x x ) 2 n γ γ (.) Où I ( X ) est un indice d'inégalité. Observons que le quotient du membre de droite n est rien d autre qu un rapport de moyennes arithmétiques. Le numérateur est une fonction de la moyenne des i x qui ont été élevés à la puissance γ. Le dénominateur est la moyenne usuelle. Ainsi, on peut écrire l équation (.), sous une forme plus compacte, de la manière suivante : Mandat Flückiger/Abul Naga 7

8 I( X ) = γ [ m( x) ] m( x) γ (.2) Prenons à titre d'exemple γ = 0.5, et reprenons la distribution A du tableau 2. Nous avons dans ce cas : m x = ( 7 '500) + ( 7 '500) ( 5'000 ) / 8 = et m(x) = ( 7' ' '000) / 8 = 2'500 Si nous substituons ces valeurs dans l équation (.2), nous obtenons ( ) ( 09.32) 2 I X = = '500 Si nous répétons ces mêmes calculs pour la distribution B, nous obtenons un indice d inégalité qui s élève à : I ( X ) = = Finalement, pour la distribution C, nous obtenons un indice qui se monte à : I = = m γ ( x) = m( x ) γ γ. Nous observons à l'aide de ces exemples que lorsque γ < m( x ) m ( x) Posons [ ] γ γ γ Le rapport [ m( x )] / m( x) γ γ [ m( x )] / m( x) γ γ [ m( x )] / m( x) <. mesure le niveau d'égalité dans une distribution, et son complément - mesure l'inégalité. Pour une valeur particulière de γ, l'égalité augmente plus se rapproche de. Si E mesure l'égalité : E γ γ [ m( x )] / m( x) =, (.3) L'inégalité s'écrit alors plus simplement I = - E Lorsque l'égalité est faible, E est proche de zéro, et donc I est proche de. Dans les sections suivantes nous essayerons de comprendre pourquoi la distribution de la colonne C est plus égalitaire que celles des colonnes A et B. Nous présenterons également d autres indices que celui décrit dans l équation (.2), mais nous essayerons de définir (lorsque cela est possible), la mesure d'égalité E associée à l'indice de dispersion I. 3 Trois classes d'indices d'inégalité Nous présentons ici trois familles d'indices d'inégalité. Ensuite, nous examinons leurs avantages ainsi que leurs points faibles. [C] La famille des indices d'entropie généralisée Celle-ci contient trois formes. Nous commençons par la formule suivante : Mandat Flückiger/Abul Naga 8

9 α ( ) m x I( X) = α( α ) α m ( x ) α α α où nous rappelons que m( x ) ( x... xn ) α = + + et m ( x), α 0, est la moyenne arithmétique élevée à la n puissanceα. La deuxième forme de la famille [C] est l'entropie de Shannon. Elle s'obtient comme la limite de (3.a) lorsque α s'approche de l'unité. Elle s'écrit ( ) I x et dans une notation compacte: x x log x 2 x log 2 x... n x = log n n m x m x m x m x m x m x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3.a) ( ) I X n = xi x log i n m i ( x) m( x = ), α = (3.b) Cette formule à été proposée par Theil (967) pour mesurer l'inégalité. Ainsi certains chercheurs dénomment (3.b) l'indice de Theil. La dernière formule que nous considérons dans la classe [C] a également été proposée par Theil. Elle s'obtient comme la limite de (3.a) lorsque α s'approche de 0: ( ) I x ( ) ( ) ( ) m x m x m x = log + log log n x x2 xn, α = 0 Nous écrivons celle-ci à l'aide de la notation de sommes, ( ) I X ( ) n = m x log n x, (3.c) i= i Observons que log()=0. Ainsi dans (3.b) et (3.c) lorsque le revenu est distribué de manière égalitaire, xi = m( x) pour tout i et I ( X ) = 0. A titre d'exemple, prenons la formule (3..a), lorsqueα = 2. Si nous mesurons l'inégalité à l'aide de cet indice, nous obtenons: ou encore ( ) I X 2 ( ) m x = 2 2 m ( x ), ( ) I X 2 σ =, 2 2 μ (3.d) où m( x ) m ( x) σ = est la variance et = m( x) du carré du coefficient de variation σ / μ. μ est le revenu moyen. Ainsi (3.d) est (un demi) Mandat Flückiger/Abul Naga 9

10 [C2] La famille des indices Atkinson-Kolm-Sen Les calculs de notre exemple illustratif de la section 2 ont été effectués à l'aide d'indices d'inégalité de type Atkinson-Kolm-Sen [AKS]. La famille d'indices AKS prend donc la forme : I γ m( x γ ) =, γ, γ 0 m x ( ) (3.2a) Lorsque nous évaluons (3.2a) quand γ s'approche de zéro, nous obtenons une forme logarithmique : I x + x + + x n = n log log 2... log exp / ( ) m x, γ = 0 (3.2b) qui s'écrit également d'une manière plus compacte : I exp = m x n log n i= ( ) x i, γ = 0 (3.2c) L'indice (3.2c) apparaît également sous le nom de Mac-Rae. Dans l équation (3.2c), nous pouvons n également observer que exp log xi m( x), ainsi le rapport du membre de droite de (3.2c) n i = mesure l'égalité: n E = exp n log x / m x i = i ( ), γ = 0 (3.2d) Par conséquent, la famille AKS prend la forme I = E Où E est donné (selon le choix de la valeur γ ) par -I dans (3.2a) ou (3.2d). A titre d'exemple, nous observons que pour la distribution B, m x 2 = 2'030 alors que m ( x) = 2' 500 ; Ainsi, E = 2'030 /2' 500 et I = 2'030 /2'500 = Lorsque E prend la valeur ξ, nous observons qu'une fraction ξ du revenu moyen est en sorte perdue à cause de l'inégalité. Dès lors, certains chercheurs définissent la «demande» de revenu comme étant égale à ξ. Cette interprétation est associée à (3.2c - la mesure de Mac-Rae.) Néanmoins, elle est également applicable pour tout membre de la famille AKS à partir du moment que l'on décide d'interpréter E comme étant «la demande» de revenu. Nous terminons cette section en présentant un Tableau 4 récapitulatif qui résume les domaines de définition des paramètres α et γ se rapportant aux indices [C] et [C2]. Le Tableau 4 contient également un rappel de différents indices appartenant aux deux familles en question. 2 Mandat Flückiger/Abul Naga 0

11 [C3] Quelques mesures statistiques de dispersion Sous ce titre, nous regroupons quelques indices statistiques usuels tels que l'indice de Gini et la variance. Contrairement à [C] et [C2], il ne s'agit pas de familles à un paramètreα, mais d'indices dissociés les uns des autres. Nous débutons par l'indice de Gini. Celui-ci considère tous les écarts possibles en valeur absolue x x et calcule leur moyenne: i j I ( X) = x 2 i xj nmx ( ) i j i, (3.3a) La variance des revenus, ( X ) m( x ) m ( x) σ =, une mesure statistique de dispersion, est également fréquemment employée pour mesurer les inégalités des salaires. Cependant, pour des raisons que nous détaillons plus tard, il est préférable de normaliser la variance par le revenu moyen (tel est le cas dans 3.d), ou encore d'utiliser le coefficient de variation: I( X) σ =, μ (3.3b) Si F() t dénote la probabilité que x i soit inférieur ou égal à une valeur t, nous pouvons définir des quantiles Q p de sorte que F( Q00 p ) = p. Par exemple, pour la distribution C, F ( 0 '000) = x = Q est le premier quartile, et F( Q ) =. Ainsi, nombreux sont les Autrement dit, ( ) 2 25 chercheurs qui utilisent des rapports de quantiles: I (X) = Ql Q, 0 < k, l 00, k (3.3c) par exemple 90 / 0 Q Q ou encore Q80 / Q 20 pour mesurer les inégalités. Nous terminons cette section en présentant un tableau 4 qui résume les domaines de définition des paramètres α et γ se rapportant aux indices [C] et [C2]. Le tableau 4 contient également un rappel de différents indices appartenant aux deux familles en question. 4 Trois propriétés souhaitables La liste des propriétés mathématiques (dits axiomes en langage technique) qu'un indice d'inégalité devrait ou pourrait satisfaire est longue et difficile d'accès. Ici, nous nous attardons sur trois propriétés qui s'avèrent utiles du point de vue de l'utilisateur. Il s'agit du principe des transferts de Pigou et Dalton, de l'invariance à l'échelle et de la décomposabilité par sous-groupes. 4. Le principe des transferts de Pigou et Dalton Il est souhaitable, et même essentiel, que toute redistribution des riches envers les pauvres diminue l'inégalité. Le principe des transferts de Pigou et Dalton postule que toute redistribution d'une personne riche à une autre moins riche, telle que l'ordre des deux personnes n'est pas inversé après la redistribution, devrait diminuer l'inégalité. =,..., n. Supposons pour simplifier les choses, qu'il n'existe que deux individus. Un transfert du type Pigou et Dalton du riche au second résulterait en un vecteur Y tel Prenons une distribution quelconque X ( x x ) Mandat Flückiger/Abul Naga

12 que y[] = x[] τ et y [ 2 ] = x [ 2 ] + τ. Nous observons que le total des revenus avant et après le transfert est identique: ( y[ ] + y[ 2] = x[ ] + x[ 2] ). Par ailleurs, pour que le transfert n'inverse pas l'ordre des individus, il faut que x[] τ x[ 2] + τ c'est à dire que τ ( x[] x[ 2] )/2. En somme, si Robin des Bois vole une somme τ aux riches, qu'il restitue aux pauvres, tout indice de dispersion qui respecte le principe de Pigou-Dalton devrait enregistrer une baisse des inégalités. Tous les indices appartenant aux classes [C] et [C2], ainsi que l'indice de Gini, la variance, et le coefficient de variation vérifient ce premier principe des transferts. Cependant, les rapports de quantiles (3.3d) ne garantissent pas une baisse des inégalités suite à un transfert de Pigou et Dalton. Ainsi, si nous utilisons, par exemple, le rapport Q90 / Q 0 pour évaluer les inégalités, et qu'un transfert rapproche Q 80 de Q 70 ou encore Q 30 de Q 20, l'indice I ( X) = Q90 / Q0 restera stable. Par contre, toute mesure de dispersion respectant le principe des transferts enregistrera une baisse des inégalités. 4.2 L'invariance à l'échelle de mesure Si nous évaluons l'inégalité des revenus lorsque ceux-ci sont mesurés en francs suisses, ou en milliers de francs, nous aimerions que le résultat obtenu soit indépendant de l'échelle de mesure. Si k > 0 est une constante (par exemple k = /000 ), un indice d'inégalité I ( X ) sera considéré comme invariant à l'échelle de mesure si: I( kx ) = I( kx, kx,..., kx ) = I ( x, x,..., x ). 2 n 2 Tous les indices appartenant aux familles [C] et [C2], l'indice de Gini, le coefficient de variation ainsi que 2 les rapports de quantiles sont invariants à l'échelle. Pour la variance, I( X) = σ ( X), nous 2 2 avons I( kx ) = k σ ( X ), ce qui explique pourquoi le coefficient de variation (3.3c), ou son carré (3.d), est une mesure de dispersion préférable dans la perspective de la propriété d'invariance. Notons finalement que de tous les axiomes, l'invariance à l'échelle a peut-être provoqué le plus de discussion. En effet, pour certains chercheurs le fait que I( kx) = I( x) peut poser un problème; l'argument avancé est qu'une augmentation de 0% (c'est-à-dire k =. ) de tous les revenus (du plus bas au plus haut) ne devrait pas avoir d'effet sur les inégalités. Une proposition alternative est de rendre l'indice invariant à une translation de l'origine. Dans ce cas, on postule que I( x+ c, x2 + c,..., xn + c) = I( x, x2,..., xn) pour c un scalaire quelconque. L'indice de Gini (3.3a) satisfait cette propriété d'invariance à une translation de l'origine (ainsi que la propriété de l'invariance à l'échelle.) Cependant, nous pensons qu'il est encore plus difficile de justifier l'axiome d'invariance à une translation de l'origine que celui de l'invariance à l'échelle. Si nous raisonnons en termes de diminution des revenus ( c < 0), il nous semble en effet peu convaincant de défendre l idée selon laquelle une réduction de CHF 000 de tous les salaires du Tableau 2 aurait un effet nul sur l'inégalité. n 4.3 Décomposition par sous-groupes Il est fort utile de pouvoir exprimer l'inégalité en fonction d'indices d'inégalités pour des sous-groupes de la population. Une composante importante de l'inégalité des salaires en Suisse est due aux différences de rémunérations entre hommes et femmes. On pourrait encore s'intéresser aux différences de traitement entre latins et alémaniques ou entre hommes latins et femme latines, hommes alémaniques et femmes alémaniques. Dans ce qui suit, on suppose qu'il existe s =,..., S catégories mutuellement exclusives Mandat Flückiger/Abul Naga 2

13 dans la population de sorte que l'on puisse partitionner la distribution X en sous vecteurs lignes S X, X2,..., X S où X s est de dimension ns et ns = n. s= Un indice d'inégalité est additivement décomposable au sens de Shorrocks (980) s'il peut être exprimé en tant qu'une somme pondérée d'indices d'inégalité intra-groupes et un indice d'inégalité entre groupes. Notons d'abord que si L s est un vecteur ligne de valeurs unitaires de dimension n s, on a μsls = ( μs, μs,.. μs). Formellement, I (X ) est additivement décomposable s'il s'exprime sous la forme : S I( X) = I( X,..., X ) = w I( X ) + B s s s s= (4.) Le premier membre de droite est la composante intra-groupes. Le second membre, la composante entre groupes, est interprétable comme un indice d'inégalité calculé sous l'hypothèse que chaque individu du groupe s a un revenu égal au revenu moyen de son groupe (ici écrit sous la forme μs = xi n ): s i s μ μ μ B = I ( L, 2 L 2,..., ) S L S (4.2) Etant donné le niveau de complexité lié à la décomposition des indices, nous préférons donner une méthode simple et pratique pour arriver au résultat requis. Supposons qu'il existe une partition de X en deux groupes, X et X 2 et intéressons nous à la décomposition de (deux fois) (3.d), le carré du coefficient de variation. Ecrivonsκ 2 ( X ) = σ 2 ( X)/ μ 2 ( X). Une décomposition astucieuse du coefficient de variation aboutira au résultat suivant : n μ 2 n2 μ2 2 2 ( X, X2) = ( X) + 2( X2) + L, 2L2 n μ n μ ( ) κ κ κ κ μ μ (4.3) où [ L, L ] μ, et les 2 μ μ 2 2 est une distribution dont les n premiers éléments prennent la valeur n n + n = n. Cette formule s'obtient en énonçant un résultat éléments suivants prennent la valeur μ 2, et 2 en relation à la famille [C] des indices d'entropie généralisée. Lorsque I (X ) appartient à cette famille, le poids ws dans l'équation (4.) s'obtient en élevant à la puissance α, le rapport du revenu moyen du groupe s au revenu moyen de la population, et en multipliant ceci par la taille relative du groupe s : w s α ns μs = n μ (4.4) Si nous prenons la distribution A du tableau 2, et que le groupe contient les professeurs et le groupe 2 les maîtres assistants et les assistants, nous pouvons observer que la dispersion salariale est plus grande parmi ce deuxième groupe. Nous avons pour la décomposition du coefficient de variation μ = 6'250, μ 2 = 8'750, n n = 2 = 0.5, σ = '250 et σ 2 = 3'750. Ainsi, à l aide de la formule (4.4) nous n n obtenons w = ( 6'250 / 2'500 ) 2 / 2 = 0.845, et w 2 = ( / 2'500 ) 2 / 2 = Le carré du coefficient de variation prend la valeur pour le premier groupe, et prend la valeur 0.84 parmi les enseignants du deuxième groupe. Mandat Flückiger/Abul Naga 3

14 La composante entre groupe est le coefficient de variation calculé sur le vecteur (6'250, 6'250, 6'250, 6'250, 8'750, 8'750, 8'750, 8'750), qui est égale à Nous obtenons alors B (X, X 2 ) = Ainsi, nous arrivons au résultat suivant : c'est-à-dire ( X ) = ( X) ( X) + B κ κ κ 0.4 = 0.845(0.006) (0.84) Prenons encore à titre d'exemple, la décomposition de l'entropie de Shannon. Remarquons à l'aide de (3.b) que celle-ci est un membre de [C] lorsque α =. Ainsi, si nous définissons ( ) T X xi x = log i, nous obtenons n m x m x i ( ) ( ) n n T( X 2 2, X2) = μ μ T( x) T( X2) T( μl, μ2l2) n μ + n μ + (4.5) Nous terminons cette section en recommandant d'utiliser la famille [C] pour effectuer des décompositions de l'inégalité en sous-groupes. Cependant, nous observons que la famille [C2] des indices AKS est également décomposable. L'indice de Gini néanmoins n'est pas décomposable dans le sens de (4.). Le tableau 5 présente une synthèse des trois propriétés des divers indices que nous avons abordés dans la section 3. 5 Quelques considérations supplémentaires Jusqu'ici, nous avons supposé que toutes les observations étaient équiprobables. En pratique, la structure même de l'enquête détermine la probabilité d'échantillonner une observation. La section 5. aborde le problème de la mesure de l'inégalité en présence de données pondérées. Tout indice d'inégalité sera sensible à un intervalle spécifique (le haut, le milieu ou le bas) de la distribution des revenus. Il est donc utile de comprendre, ou de cerner, le rôle du paramètre α dans la famille [C] ainsi que celui du paramètre γ dans la famille [C2]. Nous abordons ce point dans la section 5.2. Il existe des répartitions du revenu qui ne nécessitent pas une telle analyse de sensibilité. Nous examinons dans la section 5.3 les conditions qui permettent une vulgarisation immédiate: les conditions qui permettent au chercheur de dire au grand public que l'inégalité des revenus a augmenté (ou diminué) sans préciser la manière dont elle est mesurée. Dans la section 5.4 nous discutons du problème de l'utilisation de données agrégées (plutôt qu'individuelles) pour mesurer l'inégalité. Les sections 5.5 et 5.6 abordent des considérations liées au choix de l'enquête ainsi qu'à la qualité des données. Lorsque l'enquête se rapporte à des ménages de structure démographique hétérogène, il est souhaitable de mesurer leurs ressources en rapport à leurs besoins. Notre dernier point 5.7 traite donc du problème des échelles d'équivalences. 5. Pondération des observations Une enquête qui s'intéresserait aux conditions de vie des ménages pauvres, sera fort probablement structurée de sorte à sur-représenter les bas revenus. Une telle procédure permettrait au statisticien d'estimer avec plus de précision des quantités ou paramètres se rapportant à un groupe faiblement représenté dans la population. Mandat Flückiger/Abul Naga 4

15 Soit ω i le poids de l'observation i dans l'enquête, La moyenne pondérée des observations se note m( x) = ~ ω ixi i ~ ω i = ω i /( ω + ω ω n ). ~, (5. ) De même, le α-ième moment pondéré des observations s'écrit ~ α α m ( x ) = ωix i, ( 5.2) i ~ ~ ( x m α ( x) = m ). Si I(X) = I[m(x α ), m α (x) ] est un indice d'entropie généralisée, en et de même, [ ] α présence de données équiprobables, l'indice correspondant calculé sur des données pondérées s'écrira I ~ ( X ) [ ~ ( α ), ~ α m x m ( x) ] = I, (5.3) De même, si I(X) = I[m(x γ ), m(x) ] est un indice AKS calculé sur des données non-pondérées, l'indice correspondant calculé sur des données pondérées sera une fonction I[ m ~ (x γ ), m ~ (x) ] Par exemple, nous pouvons évaluer l'entropie généralisée (3.a) en présence de données pondérées à l'aide de la formule ~ ( α ~ m x ) I ( X ) = ( ) ~ α α α m ( x) (5.4) 5.2 La sensibilité de l indice à l aversion sociale à l'inégalité En examinant le tableau 3, nous observons que la distribution A est plus égalitaire que la distribution B dans le haut, mais B est plus égalitaire que A vers le bas de l'échelle salariale. C'est pour cela que certains indices d'inégalité enregistreront plus de dispersion dans B que dans A et vice-versa. L'utilisateur doit donc donner une version objective et complète des faits, en comparant les deux distributions selon plusieurs indices. Pour se faire, nous suggérons qu il utilise la famille [C] et effectue ses calculs pour plusieurs valeurs possible de α. Autrement, il peut également choisir d effectuer ses analyses sur la base de la famille [C2] pour des valeurs de γ comprises entre et. (Il n'est pas nécessaire d'effectuer les calculs sur [C] et [C2] simultanément car les deux familles sont étroitement liées). Ainsi, dans la famille [C] l'indice d'inégalité est fortement sensible aux revenus élevés lorsque α augmente, et de même l indice est sensible aux bas revenus lorsque α < 0. Lorsque nous examinons les distributions A et B, nous observons que pour α = 5, l inégalité est plus forte en B (I = 0.0) qu en A (I = 0.06). Cependant, pour des valeurs de α < 5, l inégalité est plus forte en A qu en B (voir le tableau 6 ainsi que la figure 7). Nous remarquons que pour α = -5, l indice d entropie généralisée pénalise considérablement la distribution A où l inégalité devient quatre fois plus importante qu en B. Ainsi, l exemple illustre le fait qu il existe des valeurs de α pour lesquelles la distribution B est plus égalitaire que A, et l ordre est inversé pour d autres valeurs de α. Cependant, la distribution C est toujours plus égalitaire que A et B, et l indice y est peu sensible à des variations du paramètre α. La même logique apparaît dans la famille AKS, où nous observons que lorsque nous diminuons γ l'indice devient plus sensible au bas de la distribution. Mandat Flückiger/Abul Naga 5

16 5.3 Les limites de la vulgarisation Nous pouvons communiquer simplement au grand public que la distribution C est plus égalitaire que A et que B. Autrement dit, il existe quelques rares cas où pour toutes valeurs de α dans [C], et tout γ dans [C2], l'ordre de deux distributions en termes d'inégalité ne change pas. Le résultat que nous allons énoncer couvre en fait tout indice d'inégalité qui satisfait le principe des transferts de Pigou et Dalton ; il s'applique donc à tous les indices du tableau 5, exception faite des rapports de quantiles. Un résultat particulièrement simple emprunté à la théorie de la majoration (Marshall et Olkin, 979), nous informe que pour deux vecteurs X et Y tels que x[] y[] (5.5a) x[] + x[ 2] y[] + y[ 2] (5.5b)... x[] x[ n] = y[] y[ n] (5.5c) alors tout indice d'inégalité I (.) qui satisfait le principe des transferts aboutira au résultat I( X ) I( Y ). Il convient d'observer que z [] est la plus grande valeur et z [ n] la plus petite valeur du vecteur z. n n Egalement, nous remarquons que (5.5c) nécessite que le total des X, x[] i = xi soit identique i= i= au total desy. En règle générale, deux distributions ne possèdent pas une moyenne identique. Par ailleurs, en pratique, lorsque n est voisin de 0'000 observations, nous ne souhaitons pas effectuer 0'000 sommes pour vérifier si les inégalités de (5.5) sont toutes satisfaites. Ainsi, en général, nous effectuons une tabulation de la distribution des revenus en déciles, et nous supposons que X et Y sont des vecteurs à dix éléments, dont les sommes sont égales à un. Le Tableau 3 est directement utilisable pour illustrer les conditions émises dans les équations (5.5). Si X est le vecteur de la distribution C, et Y celui de la distribution B, nous avons : 0.30 = x[] < y[] = = x[ ] + x[ 2] < y[ ] + y[ 2] = = x[ ] + x[ 2] + x[ 3] < y[ ] + y[ 2] + y[ 3] = x[] i = y[] i = i= i= Il ressort donc du tableau 8 que C a moins d'inégalité que A, et également moins d'inégalité que B, puisque les conditions de majoration (5.5) sont satisfaites dans ces deux comparaisons de paires de distributions. Cependant, nous observons que lorsque nous comparons A et B les conditions (5.5) ne sont pas satisfaites. Il convient alors de transmettre au grand public le résultat de la comparaison de A et B avec énormément de prudence: il est nécessaire de rendre l'utilisateur des résultats attentif au fait que B est plus égalitaire que A parmi les bas revenus, alors que A est plus égalitaire vers le haut de la distribution. Mandat Flückiger/Abul Naga 6

17 Notons finalement que si nous reportons sur l'axe horizontal d'un graphique les parts cumulées des différents groupes, et sur l'axe vertical les parts du revenu total en allant du groupe le moins payé vers les groupes les mieux rémunérés, nous obtenons les courbes de Lorenz des trois distributions. La courbe de Lorenz de la distribution C est toujours en dessus de celles de A et B (tableau 9 et figure 0). C'est pour cela qu'elle est plus égalitaire. 5.4 Données individuelles et données agrégées Lorsque l'on s'intéresse à la distribution des salaires, la mesure des inégalités s'effectue typiquement sur des données individuelles. Lorsqu'il s'agit d'analyser les comportements de dépenses, on s'intéresse alors aux ménages. Cependant, certaines études peuvent également se faire sur des données agrégées (dites grouped data), lorsque des sources statistiques fournissent des informations sur des moments empiriques du type mx ( φ ) pour des sous-groupes de la population et diverses valeurs de φ. A l'aide des formules (4.) et (4.2) il est alors possible de remonter, à partir d'indices d'inégalité par sousgroupes de la population, à un indice d'inégalité pour une population recouvrant les différents sousgroupes. Une autre situation où les données groupées sont également utilisées est en rapport avec la construction des courbes de Lorenz. Souvent, celle-ci est construite à partir de déciles de la distribution des revenus. Ainsi, une connaissance des parts du revenu total détenues par les 0% les moins riches, les 0% suivants, etc., nous permet d'évaluer la répartition des revenus par déciles de la population, et par conséquent de construire la courbe de Lorenz. 5.5 L influence de la base de données Certaines considérations pour la mesure de l inégalité sont intrinsèques à la nature même de la base de données en question. Ainsi, le chercheur est avisé que le choix de la base à utiliser doit être abordé préalablement à toute analyse statistique, de par le fait que les diverses enquêtes socio-économiques sont conçues pour répondre à des questions de natures très différentes les unes des autres. Nous abordons cette question à l aide de trois exemples de thématiques de recherche. Commençons tout d abord avec le cas d un chercheur qui s intéresserait à mesurer l inégalité en rapport à la distribution des salaires horaires. Celui-ci s orientera vers des enquêtes sur le marché du travail (labor force surveys en anglais) pour procéder dans son étude. A cet effet, l ESPA lui sera directement utile dans le contexte suisse. Le chercheur intéressé aux conditions de vie des familles choisira les enquêtes de dépenses des ménages (par exemple les Family Expenditure Surveys du Royaume Uni). Ces enquêtes prennent le ménage comme unité de mesure. Celles-ci fournissent des observations agrégées au niveau de la famille (dépense totale par groupes de biens, revenu et épargne et structure démographique du ménage) Il va de soit donc dans le contexte suisse que l Enquête sur le Revenu et la Consommation sera utile à mesurer les inégalités de niveaux de vie des ménages, mais en principe ne permettra pas une analyse pertinente de la dispersion des salaires horaires. Finalement, considérons la problématique de la mobilité sociale dans un contexte intergénerationel. Pour quantifier l importance du contexte familial sur l aboutissement socioéconomique, l enquête devra produire une information détaillée sur la formation et la situation sur le marché du travail des parents ainsi que celle de leurs enfants à l âge adulte. Il est clair que dans ce contexte particulier, le chercheur devra travailler sur des enquêtes longitudinales (par exemple le Panel Study of Income Dynamics des Etats Unis, la National Child Development Study du Royaume Uni ou le Panel Suisse des Ménages). 5.6 Sensibilité aux valeurs extrêmes Un indice d'inégalité pourrait être sensible à une erreur de codage des revenus. De même une valeur extrême peut se produire dans une enquête, sans que celle-ci soit mal mesurée. Cependant, l'indice I(X) sera également influencé par une telle observation. Mandat Flückiger/Abul Naga 7

18 Nous pouvons classer les observations influentes en deux catégories selon que () un revenu avoisine la valeur zéro, et (2) que le revenu soit très élevé. Cowell et Victoria-Feser (996) ainsi que Cowell et Flachaire (2002) examinent la sensibilité des indices d'inégalité aux valeurs extrêmes. Il ressort clairement de ces travaux qu'une observation à elle seule peut influencer considérablement la valeur prise par un indice. Il va de soi que le choix de l'indice à cet égard sera important (voir plus bas). Cependant, la configuration de la distribution X elle-même, ainsi que le nombre d'observations n agira également sur la sensibilité de l'indice aux valeurs extrêmes. A titre d'exemple, Cowell et Flachaire (2002) montrent que dans un échantillon aléatoire de 5'000 observations tiré d'une loi de Singh-Maddala la suppression du revenu le plus élevé à lui seul réduirait le coefficient de variation de.8%! Quoiqu'on ne puisse donner des conclusions définitives sur l'effet des valeurs extrêmes, il est possible d'énoncer certains résultats utiles au praticien: Les indices d'entropie généralisée sont sensibles aux revenus élevés lorsque α >. De même ces indices sont sensibles aux bas revenus lorsque α < 0. Les indices membres de la famille [C] sont relativement peu sensibles aux valeurs extrêmes lorsque 0 < α <. Les indices AKS sont sensibles aux bas revenus lorsque γ < 0. Les indices membres de la famille [C2] sont relativement peu sensibles aux valeurs extrêmes lorsque 0 < γ <. Notons finalement que pour γ =, tout indice I(X) membre de la famille [C2] prend la valeur zéro. De tous les indices usuels, il ressort que l'indice de Gini (3.3a) est le moins sensible aux deux types de valeurs extrêmes. Ainsi, l'utilisateur soucieux des problèmes de valeurs extrêmes peut préalablement évaluer la sensibilité de son indice en présence d'une distribution particulière. Soit X + la distribution des revenus X obtenue en supprimant un certain nombre de bas revenus. De même définissons X - comme étant la distribution des revenus obtenue à partir de X en supprimant un certain nombre de revenus élevés. Finalement, construisons les indices d'influence ainsi que IF + = I (X + ) I(X) / I(X), IF - = I (X - ) I(X) / I(X), Lorsque IF + est jugé trop important, l'indice est sensible aux bas revenus dans le contexte de la distribution en question. De même lorsque IF - est important l'utilisateur se rendra attentif à la sensibilité de I(X) aux revenus élevés. 5.7 Les échelles d'équivalence En partie, les changements dans la distribution des revenus que nous observons en Europe ces 20 dernières années reflètent des taux de vieillissement différents dans ces divers pays. Cependant pour tâcher de dissocier les changements dans la structure démographique de ceux liés à des changements structurels tels que le recul de l'etat social et la mondialisation, les études portant sur les revenus et les dépenses de ménages examinent les ressources des familles en rapport à leurs besoins de subsistance. Dans ce cas, il n'apparaît pas tout à fait légitime de procéder à des comparaisons de bien-être d'unités d'analyse ayant des caractéristiques différentes. En effet, on peut imaginer que les besoins des ménages dépendent d'un certain nombre d'attributs. On considère en général que la taille et la composition du ménage (nombre d'adultes, nombre d'enfants, âge et sexe) sont susceptibles d'en modifier les besoins. Lorsqu'on désire évaluer le bien-être d'un ménage, on doit recourir à un indicateur des ressources pertinent, comme le revenu ou les dépenses, par exemple. Cependant, étant donné que les différences dans la taille et la composition du ménage affectent leur niveau de vie, les ressources mesurées On ajoute parfois d'autres caractéristiques également, comme le niveau de santé, la situation sur le marché du travail, la localisation, le niveau d'éducation, etc. Mandat Flückiger/Abul Naga 8

19 devraient être ajustées à l'aide d'un facteur dépendant des besoins afin d'obtenir des ressources comparables pour tous les ménages. On peut le faire en ayant précisément recours aux échelles d'équivalence, qui sont censées capter les différences dans les besoins des ménages. L'échelle d'équivalence est souvent établie en prenant comme référence un adulte vivant seul. On peut alors l'interpréter comme le nombre d'équivalents adultes représentant les besoins d'un ménage par rapport aux besoins d'un adulte seul 2. L'idée intuitive des échelles d'équivalence est donc très simple, puisqu'il s'agit de nombres, obtenus comme fonction des caractéristiques d'un ménage, par lesquels on «déflate» le revenu ou la consommation d'un ménage en vue d'obtenir une mesure de ces quantités par équivalent adulte. Soient x l'indicateur des ressources utilisées et a une liste d'attributs du ménage susceptibles d'en modifier les besoins. De manière générale, on peut définir l'échelle d'équivalence comme une fonction de a, E = E(a), exprimant le nombre d'unités équivalentes du ménage ayant les caractéristiques a. Les ressources de différents types de ménages peuvent ensuite être comparées en utilisant la quantité de ressources par unités équivalentes : x x =. E(a) En définissant l'échelle d'équivalence de la sorte, on admet que la façon dont les besoins dépendent des caractéristiques du ménage est commune à tous les ménages. L'hypothèse de base que l'on émet lors de la construction des échelles d'équivalence est que tous les membres d'un ménage ont le même niveau de vie. De plus, lorsqu'on procède à l'évaluation du bien-être social, on suppose implicitement que le bienêtre des différents ménages est parfaitement comparable après correction par les échelles d'équivalence. Ainsi, on considère que les ménages disposant des mêmes ressources et avec les mêmes caractéristiques ressentent le même niveau de bien-être. La manière la plus simple, mais aussi la plus grossière, de prendre en considération les caractéristiques liées à la taille et à la composition du ménage consiste à «déflater» l'indicateur de bien-être par la taille du ménage; on obtient alors des données par tête. Toutefois, cet ajustement n'est pas satisfaisant, car il suppose que les ressources sont distribuées de manière équiproportionnelle à l'intérieur du ménage. De plus, il ne tient pas compte de deux éléments susceptibles d'influencer le bien-être du ménage. Premièrement, les besoins de consommation varient suivant la taille du ménage, mais de façon non proportionnelle. En utilisant des données par tête, on ignore complètement les possibilités d'économie d'échelle liées à la consommation (il existe un certain nombre de coûts fixes indépendants jusqu'à un certain point de la taille du ménage, comme les frais de logement ou l utilisation d'un véhicule, par exemple). Deuxièmement, ce type d'ajustement par la taille du ménage écarte les éventuelles (et probables) différences de besoins entre les différents membres du ménage. Compte tenu de ces réflexions, l'échelle d'équivalence d'un ménage donné par rapport à un ménage de référence doit dépendre de ses caractéristiques et croître moins vite que la taille du ménage. L'échelle d'équivalence est souvent conçue comme un indice du coût des caractéristiques du ménage. Cela signifie en d autres termes que sa construction repose sur la comparaison des coûts nécessaires à deux ménages de caractéristiques différentes pour atteindre le même niveau de bien-être. Formellement, on peut l'écrire de la manière suivante: C( U, p, a E h = C( U, p, a où E h représente l'échelle d'équivalence du ménage h, a h les caractéristiques du ménage h, a r les caractéristiques du ménage de référence, p les prix auxquels sont confrontés les différents ménages, supposés identiques quel que soit le type de ménages, U le niveau de bien-être atteint et C une fonction de coût. L'échelle d'équivalence est donc définie comme le rapport de la dépense minimum nécessaire au ménage h, doté de caractéristiques a h, pour atteindre le niveau de bien-être U, relativement à celle d'un ménage de référence r, avec les caractéristiques a r pour atteindre le même niveau de bien-être. h r ) ) 2 On utilise parfois un autre type de ménage de référence que l'adulte vivant seul (le couple, par exemple). Dans ce cas, l'échelle d'équivalence correspond au montant nécessaire au ménage considéré pour atteindre un niveau de satisfaction donné par rapport au montant que requiert le type de ménage de référence pour accéder au même niveau de bien-être. Mandat Flückiger/Abul Naga 9

20 Les échelles d'équivalence font partie d'un processus d'évaluation sociale et on est inévitablement confronté à des jugements de valeur lors de leur définition. Leur élaboration représente une tâche difficile et les divergences d'opinion à ce sujet abondent, ce qui explique l'émergence de méthodes diverses pour leur construction 3. Parmi les nombreux auteurs qui se sont penchés sur le problème des échelles d'équivalence, Coulter et al. en répertorient cinq différents types; les échelles économétriques, basées sur les dépenses des ménages, les échelles subjectives, basées sur l'opinion des ménages, les échelles du budget standard, basées sur l'avis d'experts, les échelles de l'assistance sociale, basées sur ce que la société paie et finalement les échelles pragmatiques qui tirent leur valeur de leur côté pratique (cf. Coulter et al., 992). Nous allons tout d'abord présenter les échelles d'équivalence économétriques, puis nous traiterons brièvement les quatre autres types d'approches pour établir des échelles d'équivalence. Nous finirons par exposer une méthode relativement simple pour définir les échelles d'équivalence en les faisant dépendre d'un ou de plusieurs paramètres Echelles d'équivalence économétriques Le groupe le plus important d'échelles d'équivalence est celui dérivé de la théorie microéconomique du consommateur en effectuant des estimations à partir de données d'enquête sur les budgets des ménages (cf. par exemple Deaton et Muellbauer, 980). Ce type d'échelles d'équivalence est fondé sur des modèles de comportement du ménage caractérisant les relations entre le bien-être d'une part, et les caractéristiques du ménage et leurs dépenses, de l'autre. Soit U(q h, a h ) une fonction d'utilité 4 représentant les préférences du ménage h sur un vecteur de biens q h conditionnellement aux caractéristiques du ménage a h. Soient d'autre part p le vecteur de prix des différents biens, auquel tous les ménages sont confrontés, et x h les ressources totales du ménage. La maximisation du bien-être par les ménages, étant donné les prix, les ressources totales et les caractéristiques du ménage nous fournit les demandes des ménages pour les différents biens. Le niveau d'utilité U h qui résulte de ce programme de maximisation peut être résumé par la fonction d'utilité indirecte suivante : U h = V ( xh, p, ah ). Cette fonction est non croissante par rapport aux prix p, croissante par rapport aux ressources x h et homogène de degré zéro dans les prix et les ressources. D'autre part, en utilisant les résultats de dualité connus, les demandes peuvent être interprétées comme les choix qui minimisent la dépense nécessaire pour aboutir à un certain niveau de satisfaction. Le niveau de dépenses minimales associé à ce problème représente une fonction de coût pour le ménage que l'on peut noter C(U h,p,a h ) ; elle est croissante par rapport à U h et à p, homogène de degré un par rapport à p et concave en p. L'échelle d'équivalence E h pour un ménage avec les caractéristiques a h par rapport à un ménage de référence avec les caractéristiques a, peut alors être dérivé de deux manières; la première en utilisant la fonction d'utilité indirecte issue de la résolution du problème de maximisation du bien-être. La deuxième manière d'obtenir l'échelle d'équivalence est de recourir à la fonction de coût issue du problème de minimisation des dépenses des ménages. En définitive, l'estimation des échelles d'équivalence selon la méthode économétrique comprend deux étapes principales. Il s agit premièrement de spécifier la forme fonctionnelle pour les préférences ou pour la fonction de coût. Il faut deuxièmement estimer, par une méthode économétrique appropriée, la fonction choisie en utilisant les données relatives aux budgets des ménages avant de pouvoir finalement calculer les échelles d'équivalence en utilisant les paramètres estimés. Il est clair que suivant le choix de la fonction 5 et de la manière dont les caractéristiques des ménages affecte leur demande, on obtiendra des résultats parfois très différents. Nous passons maintenant rapidement en revue les principaux types d'échelle d'équivalence économétriques proposées dans la littérature. 3 La difficulté provient en particulier du fait qu'il n'existe pas une opinion unique quant aux biens et services dont il faut tenir compte pour établir le niveau de vie de référence, aux caractéristiques du ménage à inclure dans le vecteur a et au choix de la fonction de coût C. 4 On suppose qu'une fonction unique permet de représenter les opinions de tous les membres du ménage. En outre, on suppose que cette fonction d'utilité est continue, croissante et quasi-concave par rapport à la consommation des différents biens. 5 On utilise plus volontiers une fonction de coût pour estimer les échelles d'équivalence en utilisant une approche économétrique. Mandat Flückiger/Abul Naga 20

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