Evaluation de différentes mesures de l inégalité

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Evaluation de différentes mesures de l inégalité"

Transcription

1 Département fédéral de l'intérieur DFI Office fédéral de la statistique OFS 20 Situation économique et sociale 2005 Observatoire Universitaire de l Emploi Laboratoire d économie appliquée Evaluation de différentes mesures de l inégalité Mandat réalisé pour l OFS par Yves Flückiger (Laboratoire d économie appliquée de l Université de Genève) et Ramses Abul Naga (Université de Lausanne) Renseignements: Paul Röthlisberger, OFS, Section Analyses sociales, Tél.: Encyclopédie statistique de la suisse, numéro: be-f

2 Table de matières Introduction 3. L'indicateur de bien-être 3.2 L'unité d'analyse 5 2 Un exemple illustratif 7 3 Trois classes d'indices d'inégalité 8 4 Trois propriétés souhaitables 4. Le principe des transferts de Pigou et Dalton 4.2 L'invariance à l'échelle de mesure Décomposition par sous-groupes 2 5 Quelques considérations supplémentaires 4 5. Pondération des observations La sensibilité de l indice à l aversion sociale à l'inégalité Les limites de la vulgarisation Données individuelles et données agrégées L influence de la base de données Sensibilité aux valeurs extrêmes Les échelles d'équivalence 8 6 Applications empiriques aux données de l Enquête sur les revenus et la consommation 26 7 Conclusions: quel indice choisir? 27 8 Bibliographie 29 9 ANNEXE: FIGURES ET TABLEAUX 3 Mandat Flückiger/Abul Naga 2

3 Introduction Nombreux sont les chercheurs qui considèrent tout accroissement des inégalités comme un mal social. Cependant, Welch (997) est loin d'être le seul commentateur qui souligne des éléments potentiellement positifs dans l'accroissement des disparités salariales. Par ailleurs, plusieurs études portant sur le marché suisse du travail ont abouti au résultat surprenant que la récession des années 90 se serait soldée par une diminution des inégalités salariales (Deutsch, Flückiger et Silber, 999; Küng, Gugler et Blank, 2000; Bolzani et Abul Naga 2002). A fin de pouvoir prendre position par rapport au débat passionné que suscitent les statistiques sur les inégalités, pour savoir également comment la distribution des revenus s'ajuste à la progression du chômage, il est indispensable au préalable de comprendre comment les chercheurs mesurent les inégalités. La littérature en question est malheureusement trop vaste et difficile d'accès pour un large public et même pour des personnes plus spécialisées. Rares sont les ouvrages simples et concis en la matière (par exemple Atkinson, 983 et Champernowne et Cowell, 998). Le but de ce travail sera donc de présenter d'une manière accessible certains éléments liés à la mesure des inégalités. Nous commençons tout d'abord, à la section 2, par présenter la notation que nous adopterons tout au long de ce travail. La section 3 s'attarde sur différentes familles d'indices d'inégalité. Dans la section 4, nous revenons sur trois axiomes souhaitables que toute mesure d inégalités devrait idéalement satisfaire. La section 5 regroupe quelques considérations liées à l'utilisation des indices, à l'interprétation ainsi qu à la vulgarisation des résultats obtenus. La section 6 contient des commentaires de conclusions. Il existe une littérature voisine à la notre, qui traite des problèmes liés à la mesure de la discrimination sur le marché du travail (Cain, 986), ainsi que la mesure de la pauvreté (Atkinson, 989). Ce travail traitera de la mesure des inégalités au sens le plus strict, et n'abordera donc pas ces autres thèmes. La section 6 contient des applications sur des données provenant de l Enquête sur les revenus et la consommation des ménages suisses en 998 et Finalement, la section 7 présente les principales conclusions de notre travail. Mais avant de passer à la section 2, il nous a semblé utile de rappeler un certain nombre de principes relatifs à la fois à l analyse de la pauvreté et des inégalités. En particulier, les chercheurs qui souhaitent étudier les inégalités (comme la pauvreté par ailleurs), sont immédiatement confrontés à deux types de problèmes fondamentaux : celui du critère de bien-être utilisé pour mesurer les inégalités et celui de l agrégation. En effet, il est nécessaire de définir en premier lieu quelle est la variable choisie comme indicateur de bien-être pour évaluer l intensité de l inégalité. Un autre problème que l'on doit affronter concerne l'unité d'analyse choisie. En d'autres termes, il faut décider sur quel type de données on veut travailler, des données individuelles, familiales ou agrégées au niveau d'un ménage, par exemple. Avant de passer à la présentation des différents indices d inégalité, dans la section 2, nous allons brièvement passer en revue ces deux questions.. L'indicateur de bien-être Les inégalités constituent un phénomène multidimensionnel. Elles devraient en principe rendre compte des différents aspects de la vie économique et sociale, tels que l'alimentation, le logement, l'habillement ou la possibilité d'exercer une profession, l'état de santé et l'éducation, par exemple. Lorsqu'on admet que les inégalités intègrent des composantes sociales ou démographiques, comme l'espérance de vie ou le degré d'alphabétisation, cela a sans aucun doute des répercussions sur la mesure des inégalités, notamment dans l'optique de comparaisons internationales, où la couverture sociale en matière de santé ou d'éducation, par exemple, peut différer d'un pays à l'autre. Etant donnée la difficulté d'intégrer les multiples facettes des inégalités, on suppose en général qu elles sont définies en termes d'un seul indicateur général des ressources économiques, censé représenter de façon adéquate le bien-être. On réduit alors le problème des inégalités à une seule dimension. Dans l'évaluation de la fonction de bien-être social, le bien-être des individus ou des ménages est donc résumé par une seule variable, l'indicateur des ressources. De plus, le bien-être social n'est pas fonction de l'évaluation que le foyer fait de son propre bien-être, mais du niveau objectif des ressources. En ce sens, la fonction de bien-être social n'est pas de type utilitariste, étant donné qu'elle ne dépend pas de l'utilité générée par un certain niveau de ressources, mais directement du niveau de ces ressources. Ainsi, plus il est élevé, plus le bien-être ressenti est important. Les indicateurs objectifs de bien-être tels que le revenu ou les dépenses sont les indicateurs de ressources les plus diffusés pour mesurer les inégalités, en grande partie parce qu'ils sont facilement Mandat Flückiger/Abul Naga 3

4 disponibles. A priori, on pourrait penser qu'il est indifférent d'utiliser le revenu ou les dépenses. Ceci est le cas si les deux distributions classent les individus ou les ménages de façon identique, c'est-à-dire si les dépenses sont exactement proportionnelles au revenu. Or dans la réalité, cette relation systématique n'est guère vérifiée et surtout pas à court terme. En effet, l'épargne et la richesse jouent un rôle primordial dans l'adaptation des dépenses face aux fluctuations accidentelles du revenu. Ainsi, même si le revenu est susceptible de varier considérablement, les dépenses ont tendance à être beaucoup plus régulières dans le temps. Il faut alors être conscient du fait que l'on n'aura pas exactement la même image des inégalités selon que l'on choisisse les dépenses ou le revenu comme indicateur du bien-être. Plusieurs auteurs se sont penchés sur le choix d'un indicateur de bien-être approprié. Parmi ceux-ci, nous pouvons citer les différents travaux d'atkinson (cf. Atkinson, 970, 983). Cet auteur distingue deux approches différentes pour aborder le problème des inégalités. La première est reliée au concept de niveau de vie et débouche sur l'utilisation des dépenses totales ou de la consommation de biens spécifiques comme indicateur de bien-être... Utilisation des dépenses Dans les pays en voie de développement, on a plus souvent recours à des mesures basées sur les dépenses et, en particulier, les dépenses de consommation, plutôt qu'à des mesures basées sur le revenu. L'un des arguments utilisés en faveur de l'adoption des dépenses comme indicateur de bien-être est basé sur la théorie économique, selon laquelle le revenu est constitué d'une partie consacrée à la consommation et d'une autre consacrée à l'épargne. Or, lorsqu'on s'intéresse aux inégalités de manière statique, on considère en général les variables approximant le revenu permanent comme les meilleures mesures du bien-être. En effet, étant donné la possibilité d'épargner, les ménages peuvent adapter leur consommation et maximiser ainsi leur bien-être. Par opposition, l'utilisation du revenu peut conduire à des interprétations erronées et ceci en particulier dans les sociétés fortement axées sur l'agriculture. Le revenu d'un agriculteur n'est pas forcément un très bon indicateur de son niveau de vie, car il est soumis aux variations saisonnières, et c'est pourquoi on donne la préférence à l'utilisation de la consommation ou des dépenses. On peut cependant apporter une légère nuance à cet argument, car les différences dans les comportements de consommation des ménages sont influencées aussi en partie par des éléments de cycle de vie. Le niveau des dépenses peut en effet être affecté par l'âge du chef de ménage. Mais les distorsions qui peuvent naître de l'utilisation des dépenses ont moins de conséquences quant à l'évaluation du bien-être que le recours au revenu. En effet, selon la théorie du cycle de vie, les individus ont tendance à épargner pendant les années où ils travaillent et à désépargner après la retraite. Par conséquent, si on utilise le revenu courant comme indicateur du bien-être, on surestime le bien-être des individus avant leur retraite, car même s'ils ont les moyens pour effectuer des dépenses, le revenu n'est pas automatiquement transformé en consommation, et à le sous-estimer après. Un autre argument que l'on pourrait mettre en avant tient simplement à la disponibilité et à la fiabilité des données. En effet, dans plusieurs pays en voie de développement, les données relatives au revenu ne sont pas toujours très fiables, alors que les dépenses sont souvent enregistrées de façon plus précise que le revenu. Toujours en considérant les sociétés à prédominance agricole, le revenu est en outre plus difficile à établir que la consommation, car il vient en grande partie de l'autoconsommation. Dans les pays développés, ces arguments en faveur de l'utilisation des dépenses ne sont plus aussi pertinents, car il existe aussi de très bonnes enquêtes sur les revenus. De plus, la part des personnes employées dans l'agriculture y est beaucoup moins importante. Une autre limitation, mineure toutefois, de l'utilisation des dépenses comme indicateur du bien-être vient du fait qu'il existe parfois des perturbations dans le temps liées à l'achat de biens durables, qui haussent le montant des dépenses courantes, alors que l'usage des biens en question se fait sur plusieurs périodes. On pourrait évidemment déduire l'achat de ces biens durables de l'ensemble des dépenses...2 Utilisation du revenu Dans la plupart des pays développés où l'on effectue des études sur les inégalités, on a tendance à les évaluer en ayant recours au revenu comme indicateur du bien-être. Selon Atkinson, le revenu n'est pas une variable adéquate pour mesurer les inégalités en termes de niveau de vie, car comme nous l'avons Mandat Flückiger/Abul Naga 4

5 déjà remarqué, il peut le sous-estimer. Des variations accidentelles de revenu peuvent être aplanies par le recours à l'emprunt ou à la désépargne, ce qui permet de maintenir le même niveau de vie. Cette variable est en revanche tout à fait adaptée si l'on envisage les inégalités en termes de droit à un revenu minimum. Un argument en faveur de l'utilisation du revenu comme indicateur de bien-être est que le faible niveau de dépenses d'un ménage peut tout à fait être le fruit d'un choix, alors que le revenu est beaucoup plus proche d'une mesure des opportunités réelles dont dispose un ménage et n'est pas influencé par les décisions de consommation. L'un des problèmes liés à l'utilisation du revenu comme indicateur du bien-être provient de la qualité des données. Très souvent, lorsqu'on utilise des données d'enquête, le revenu est sous-estimé. C est le cas en particulier pour les ménages dont le chef exerce une activité indépendante. De manière générale, on observe une réticence plus grande lorsqu'il s'agit de déclarer le revenu que lorsqu'on doit indiquer les montants dépensés. Dans les études qui retiennent le revenu comme indicateur de bien-être, on adopte en général le concept de revenu disponible car il représente les ressources dont dispose effectivement un ménage ou un individu pour acquérir des biens et services ou pour les mettre de côté sous forme d'épargne. Lorsque les données ne le permettent pas, on a recours à d'autres définitions du revenu comme le revenu avant impôt, par exemple...3 Choix de l'indicateur de bien-être Nous avons constaté qu'il existe des arguments en faveur de l'adoption des dépenses comme indicateur de bien-être, de même qu'en faveur du revenu. Ces arguments font parfois référence à une théorie économique sous-jacente et à une façon particulière d'envisager le concept des inégalités. Mais nous avons également remarqué que bien souvent, le choix de l'indicateur de bien-être est conditionné par la disponibilité et la fiabilité des données. Néanmoins, dans les cas où l'on dispose de données précises à la fois sur les dépenses et sur le revenu, nous avons le choix entre l'un ou l'autre indicateur, mais il peut également être utile de les utiliser alternativement, afin d'obtenir deux points de vue différents. Nous avons en effet déjà mentionné le fait qu'une analyse basée sur la distribution des revenus peut conduire à des conclusions différentes de celles obtenues à partir d'une analyse basée sur la distribution des dépenses. La principale raison en est qu'un ménage peut avoir un revenu faible, inférieur au minimum souhaitable, mais atteindre un niveau de dépenses supérieur en empruntant ou en désépargnant. De plus, il peut arriver à la satisfaction de ses besoins en partageant sa consommation avec d'autres. A l'inverse, le fait d'avoir un revenu suffisamment élevé ne garantit pas que l'on arrive au minimum de consommation requis. Nous pouvons citer une autre raison qui tend à donner une image différente, selon le choix de l'indicateur de bien-être. En effet, les niveaux de dépenses observés ne reflètent pas uniquement les possibilités de consommation des ménages, mais également leurs goûts. Le choix de l'indicateur de bien-être dépend du point de vue où l'on désire se placer pour observer le phénomène; celui du niveau de vie ou celui du droit à un revenu minimum. Même si les dépenses de consommation et le revenu sont des mesures du bien-être largement acceptées, elles donnent, malgré tout, une image réductrice des inégalités. Il faudrait idéalement compléter ces mesures du bien-être avec d'autres, comme l'état de santé, l'espérance de vie et le niveau d'éducation, par exemple ou envisager une méthode permettant de tenir compte de l'aspect multidimensionnel des inégalités..2 L'unité d'analyse La détermination de l'unité d'analyse revêt une certaine importance, car elle est susceptible de modifier les résultats obtenus aussi bien lors de la phase d'identification que pour celle d'agrégation, ainsi que leur interprétation. La plupart des auteurs qui se sont intéressés à la définition de l'unité d'analyse distinguent deux cas extrêmes. On trouve d'un côté l'individu comme unité d'analyse et de l'autre le ménage. Certains pourtant font une distinction plus fine et font dépendre la définition de l'unité d'analyse d'un certain nombre de Mandat Flückiger/Abul Naga 5

6 facteurs (cf. Atkinson). On peut établir, de la plus générale à la plus particulière, les quatre définitions suivantes. La première définition que l'on peut envisager retient comme unité d'analyse toute personne ou groupe de personnes ayant une résidence commune. Il s'agit en d'autres termes de la notion de ménage qui constitue aussi l'unité d'analyse la plus vaste que l'on puisse imaginer. Le deuxième critère permettant de définir une unité d'analyse est celui des dépenses communes. Selon cette définition, font partie de la même unité d'analyse toutes les personnes qui prennent part de manière non négligeable aux décisions de dépenses. On peut évidemment trouver dans la même unité de dépenses des personnes qui ne sont pas forcément de la même famille. Une autre manière de définir une unité d'analyse est de la faire dépendre des liens du sang, ainsi que des liens créés par le mariage ou la cohabitation. Cette définition de l'unité d'analyse correspond à la notion traditionnelle de famille. La dernière définition proposée par Atkinson est un cas particulier de la précédente et utilise le critère de dépendance pour établir l'unité d'analyse. Selon cette définition, l'unité peut inclure une personne seule ou un couple plus un ou plusieurs enfants dépendants, c'est-à-dire ne gagnant pas encore leur vie. Le choix de l'unité d'analyse dépend en partie de la conception des inégalités que l'on veut privilégier. Comme nous l'avons déjà mentionné à propos du choix de l'indicateur de bien-être, il existe deux approches différentes pour aborder le problème des inégalités. La première met l'accent sur le concept de niveau de vie. Dans cette optique, on suppose que les ressources mises en commun sont partagées pour atteindre un niveau de vie identique pour tous les membres d'un foyer. Cette approche conduit en général à l'adoption d'une unité d'analyse relativement large comme le ménage, par exemple. Cependant, il faut également tenir compte du fait qu'il existe des postes de consommation typiquement individuels, comme l'alimentation et qui ne contribuent pas forcément à procurer le même niveau de vie à tous les membres d'un ménage, alors que d'autres ont tous les attributs de biens publics, c'est-à-dire que la jouissance d'un tel bien par un membre du ménage n'empêche pas les autres d'en profiter. Dans ce dernier cas uniquement, les différents membres du ménage peuvent atteindre le même niveau de vie. En ce qui concerne le premier type de biens, il peut y avoir des inégalités considérables à l'intérieur du ménage. Malgré cela, on suppose d'habitude que tous les membres constituant l'unité d'analyse bénéficient du même niveau de vie, étant donné les difficultés que l'on éprouve à observer la distribution des ressources à l'intérieur de l'unité. La deuxième approche pour concevoir les inégalités est basée sur le droit à un niveau minimum de ressources. Or, par essence, ce type d'approche dirige toute l'attention sur l'individu et sur la nature de ses relations avec d'autres membres du ménage. Par conséquent, l'unité d'analyse retenue dans ce deuxième cas est plutôt l'individu. Dans la pratique, lorsqu'on considère une unité plus vaste que l'individu, on le justifie par les transferts de bien-être ayant lieu à l'intérieur de cette unité plus grande, la famille par exemple, et qui ne sont pas observables. On n'admet donc pas que les membres d'un ménage ne bénéficiant pas d'un revenu monétaire soient complètement sans ressources. Le choix de l'unité d'analyse dépend en fin de compte de l'hypothèse, plus ou moins arbitraire, que l'on fait quant à la distribution intra-familiale des ressources. Dans l'étude des inégalités, cette distribution revêt une grande importance. En effet, il peut y avoir une différence entre les inégalités familiales et personnelles. Il n'est pas exclu que dans un même ménage, un ou plusieurs individus aient un niveau de vie inférieur aux autres. Cette présence d'inégalités intra-familiales devrait nous conduire à préférer l'individu comme unité d'analyse. Cependant, lorsqu'on étudie le problème des inégalités dans une population, on est le plus souvent amené à choisir le ménage comme unité d'analyse. Cela provient essentiellement de la façon dont les données sont récoltées, qui n'a lieu qu'occasionnellement au niveau des individus. Cela se traduit inévitablement par un manque d'informations sur la distribution exacte des ressources à l'intérieur du ménage. Par conséquent, comme pour le choix de l'indicateur de bien-être, ce sont souvent les données qui dictent également le choix de l'unité d'analyse. On considère alors que le ménage est l'unité dont on veut mesurer le bien-être. On peut éventuellement aussi utiliser une règle de division des dépenses totales ou Mandat Flückiger/Abul Naga 6

7 du revenu du ménage parmi ses membres, en général en parts égales ou proportionnellement à une mesure des besoins et traiter ensuite chaque individu comme l'unité d'analyse dans l'évaluation des inégalités et du bien-être. Le problème avec ce type de division arbitraire est qu'on a tendance à sousestimer la véritable dispersion dans la distribution des ressources à l'intérieur du ménage et à biaiser par conséquent la mesure des inégalités. Après avoir examiné ces différentes questions préliminaires mais importantes relatives au choix d un indicateur de bien-être et à l unité appropriée pour mesurer les inégalités, nous allons nous intéresser maintenant aux diverses approches pour les évaluer. 2 Un exemple illustratif Il est naturel de commencer notre discussion en présentant quelques indices usuels d'inégalité. Pour ce faire, nous nous appuyons sur un exemple empirique purement illustratif. Le tableau présente trois échelles salariales différentes attachées à différentes fonctions dans un département d'une université romande. Supposons maintenant que chaque fonction est occupée par deux individus. Nous pouvons ainsi présenter cette information de deux manières différentes. Tout d'abord, nous pouvons présenter les trois distributions de salaires (Tableau 2). Nous pouvons également obtenir d'une manière plus complète la répartition du revenu total (établi à CHF 00'000 dans les trois distributions.) Puisque deux des huit employés occupent chaque fonction, nous pouvons parler de classes de revenu, où g serait la part du revenu total détenue par la classe occupée par des professeurs ordinaires, et g 4 celle des assistants. Nous obtenons ainsi le Tableau 3. Afin de faciliter la lecture des sections qui suivent, il nous faut brièvement introduire quelques notations de base qui seront particulièrement utiles. Ainsi, dans ce qui suit, nous utiliserons la notation X = ( x,..., x n ) pour désigner le vecteur des revenus alors que n symbolisera le nombre d observations. Ainsi, dans le Tableau 2, n = 8. D autre part, pour la distribution A, on constate que x = x2 = 7' 500, et que X = (7'500, 7'500, 5'000, 5'000, 2'500, 2'500, 5'000, 5'000). Par ailleurs, un vecteur ligne de dimension n, prenant des valeurs unitaires, s'écrira (,,...,) L =. Les statistiques d'ordre (ou de rang) également sont employées pour mesurer les inégalités. Soit X = ( x, x2,..., x n ) un vecteur. Nous écrivons x () x ( 2 )... x ( n) pour le vecteur des observations ordonnées du plus petit au plus grand revenu. De même, dans l'ordre opposé, nous écrivons x[] x[ 2]... x[ n ]. Prenons par exemple la distribution C du Tableau 2. Nous avons x () = x( 2) = 0'000, x ( 3 ) = x( 4) = x( 5) = x( 6) = 2' 500 ; x ( 7 ) = x( 8) = 5' 000. Dans l'autre sens, x [] = x[] = 5' 000, x [ 3 ] = x[ 4] = x[ 5] = x[ 6] = 2' 500 et finalement x [ 7 ] = x[ 8] = 0' 000. n Pour mesurer les inégalités, de nombreux indices se fondent sur l approche suivante : γ γ γ [( x + x x )/ n] 2 n I( X ) =, / n ( x + x x ) 2 n γ γ (.) Où I ( X ) est un indice d'inégalité. Observons que le quotient du membre de droite n est rien d autre qu un rapport de moyennes arithmétiques. Le numérateur est une fonction de la moyenne des i x qui ont été élevés à la puissance γ. Le dénominateur est la moyenne usuelle. Ainsi, on peut écrire l équation (.), sous une forme plus compacte, de la manière suivante : Mandat Flückiger/Abul Naga 7

8 I( X ) = γ [ m( x) ] m( x) γ (.2) Prenons à titre d'exemple γ = 0.5, et reprenons la distribution A du tableau 2. Nous avons dans ce cas : m x = ( 7 '500) + ( 7 '500) ( 5'000 ) / 8 = et m(x) = ( 7' ' '000) / 8 = 2'500 Si nous substituons ces valeurs dans l équation (.2), nous obtenons ( ) ( 09.32) 2 I X = = '500 Si nous répétons ces mêmes calculs pour la distribution B, nous obtenons un indice d inégalité qui s élève à : I ( X ) = = Finalement, pour la distribution C, nous obtenons un indice qui se monte à : I = = m γ ( x) = m( x ) γ γ. Nous observons à l'aide de ces exemples que lorsque γ < m( x ) m ( x) Posons [ ] γ γ γ Le rapport [ m( x )] / m( x) γ γ [ m( x )] / m( x) γ γ [ m( x )] / m( x) <. mesure le niveau d'égalité dans une distribution, et son complément - mesure l'inégalité. Pour une valeur particulière de γ, l'égalité augmente plus se rapproche de. Si E mesure l'égalité : E γ γ [ m( x )] / m( x) =, (.3) L'inégalité s'écrit alors plus simplement I = - E Lorsque l'égalité est faible, E est proche de zéro, et donc I est proche de. Dans les sections suivantes nous essayerons de comprendre pourquoi la distribution de la colonne C est plus égalitaire que celles des colonnes A et B. Nous présenterons également d autres indices que celui décrit dans l équation (.2), mais nous essayerons de définir (lorsque cela est possible), la mesure d'égalité E associée à l'indice de dispersion I. 3 Trois classes d'indices d'inégalité Nous présentons ici trois familles d'indices d'inégalité. Ensuite, nous examinons leurs avantages ainsi que leurs points faibles. [C] La famille des indices d'entropie généralisée Celle-ci contient trois formes. Nous commençons par la formule suivante : Mandat Flückiger/Abul Naga 8

9 α ( ) m x I( X) = α( α ) α m ( x ) α α α où nous rappelons que m( x ) ( x... xn ) α = + + et m ( x), α 0, est la moyenne arithmétique élevée à la n puissanceα. La deuxième forme de la famille [C] est l'entropie de Shannon. Elle s'obtient comme la limite de (3.a) lorsque α s'approche de l'unité. Elle s'écrit ( ) I x et dans une notation compacte: x x log x 2 x log 2 x... n x = log n n m x m x m x m x m x m x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3.a) ( ) I X n = xi x log i n m i ( x) m( x = ), α = (3.b) Cette formule à été proposée par Theil (967) pour mesurer l'inégalité. Ainsi certains chercheurs dénomment (3.b) l'indice de Theil. La dernière formule que nous considérons dans la classe [C] a également été proposée par Theil. Elle s'obtient comme la limite de (3.a) lorsque α s'approche de 0: ( ) I x ( ) ( ) ( ) m x m x m x = log + log log n x x2 xn, α = 0 Nous écrivons celle-ci à l'aide de la notation de sommes, ( ) I X ( ) n = m x log n x, (3.c) i= i Observons que log()=0. Ainsi dans (3.b) et (3.c) lorsque le revenu est distribué de manière égalitaire, xi = m( x) pour tout i et I ( X ) = 0. A titre d'exemple, prenons la formule (3..a), lorsqueα = 2. Si nous mesurons l'inégalité à l'aide de cet indice, nous obtenons: ou encore ( ) I X 2 ( ) m x = 2 2 m ( x ), ( ) I X 2 σ =, 2 2 μ (3.d) où m( x ) m ( x) σ = est la variance et = m( x) du carré du coefficient de variation σ / μ. μ est le revenu moyen. Ainsi (3.d) est (un demi) Mandat Flückiger/Abul Naga 9

10 [C2] La famille des indices Atkinson-Kolm-Sen Les calculs de notre exemple illustratif de la section 2 ont été effectués à l'aide d'indices d'inégalité de type Atkinson-Kolm-Sen [AKS]. La famille d'indices AKS prend donc la forme : I γ m( x γ ) =, γ, γ 0 m x ( ) (3.2a) Lorsque nous évaluons (3.2a) quand γ s'approche de zéro, nous obtenons une forme logarithmique : I x + x + + x n = n log log 2... log exp / ( ) m x, γ = 0 (3.2b) qui s'écrit également d'une manière plus compacte : I exp = m x n log n i= ( ) x i, γ = 0 (3.2c) L'indice (3.2c) apparaît également sous le nom de Mac-Rae. Dans l équation (3.2c), nous pouvons n également observer que exp log xi m( x), ainsi le rapport du membre de droite de (3.2c) n i = mesure l'égalité: n E = exp n log x / m x i = i ( ), γ = 0 (3.2d) Par conséquent, la famille AKS prend la forme I = E Où E est donné (selon le choix de la valeur γ ) par -I dans (3.2a) ou (3.2d). A titre d'exemple, nous observons que pour la distribution B, m x 2 = 2'030 alors que m ( x) = 2' 500 ; Ainsi, E = 2'030 /2' 500 et I = 2'030 /2'500 = Lorsque E prend la valeur ξ, nous observons qu'une fraction ξ du revenu moyen est en sorte perdue à cause de l'inégalité. Dès lors, certains chercheurs définissent la «demande» de revenu comme étant égale à ξ. Cette interprétation est associée à (3.2c - la mesure de Mac-Rae.) Néanmoins, elle est également applicable pour tout membre de la famille AKS à partir du moment que l'on décide d'interpréter E comme étant «la demande» de revenu. Nous terminons cette section en présentant un Tableau 4 récapitulatif qui résume les domaines de définition des paramètres α et γ se rapportant aux indices [C] et [C2]. Le Tableau 4 contient également un rappel de différents indices appartenant aux deux familles en question. 2 Mandat Flückiger/Abul Naga 0

11 [C3] Quelques mesures statistiques de dispersion Sous ce titre, nous regroupons quelques indices statistiques usuels tels que l'indice de Gini et la variance. Contrairement à [C] et [C2], il ne s'agit pas de familles à un paramètreα, mais d'indices dissociés les uns des autres. Nous débutons par l'indice de Gini. Celui-ci considère tous les écarts possibles en valeur absolue x x et calcule leur moyenne: i j I ( X) = x 2 i xj nmx ( ) i j i, (3.3a) La variance des revenus, ( X ) m( x ) m ( x) σ =, une mesure statistique de dispersion, est également fréquemment employée pour mesurer les inégalités des salaires. Cependant, pour des raisons que nous détaillons plus tard, il est préférable de normaliser la variance par le revenu moyen (tel est le cas dans 3.d), ou encore d'utiliser le coefficient de variation: I( X) σ =, μ (3.3b) Si F() t dénote la probabilité que x i soit inférieur ou égal à une valeur t, nous pouvons définir des quantiles Q p de sorte que F( Q00 p ) = p. Par exemple, pour la distribution C, F ( 0 '000) = x = Q est le premier quartile, et F( Q ) =. Ainsi, nombreux sont les Autrement dit, ( ) 2 25 chercheurs qui utilisent des rapports de quantiles: I (X) = Ql Q, 0 < k, l 00, k (3.3c) par exemple 90 / 0 Q Q ou encore Q80 / Q 20 pour mesurer les inégalités. Nous terminons cette section en présentant un tableau 4 qui résume les domaines de définition des paramètres α et γ se rapportant aux indices [C] et [C2]. Le tableau 4 contient également un rappel de différents indices appartenant aux deux familles en question. 4 Trois propriétés souhaitables La liste des propriétés mathématiques (dits axiomes en langage technique) qu'un indice d'inégalité devrait ou pourrait satisfaire est longue et difficile d'accès. Ici, nous nous attardons sur trois propriétés qui s'avèrent utiles du point de vue de l'utilisateur. Il s'agit du principe des transferts de Pigou et Dalton, de l'invariance à l'échelle et de la décomposabilité par sous-groupes. 4. Le principe des transferts de Pigou et Dalton Il est souhaitable, et même essentiel, que toute redistribution des riches envers les pauvres diminue l'inégalité. Le principe des transferts de Pigou et Dalton postule que toute redistribution d'une personne riche à une autre moins riche, telle que l'ordre des deux personnes n'est pas inversé après la redistribution, devrait diminuer l'inégalité. =,..., n. Supposons pour simplifier les choses, qu'il n'existe que deux individus. Un transfert du type Pigou et Dalton du riche au second résulterait en un vecteur Y tel Prenons une distribution quelconque X ( x x ) Mandat Flückiger/Abul Naga

12 que y[] = x[] τ et y [ 2 ] = x [ 2 ] + τ. Nous observons que le total des revenus avant et après le transfert est identique: ( y[ ] + y[ 2] = x[ ] + x[ 2] ). Par ailleurs, pour que le transfert n'inverse pas l'ordre des individus, il faut que x[] τ x[ 2] + τ c'est à dire que τ ( x[] x[ 2] )/2. En somme, si Robin des Bois vole une somme τ aux riches, qu'il restitue aux pauvres, tout indice de dispersion qui respecte le principe de Pigou-Dalton devrait enregistrer une baisse des inégalités. Tous les indices appartenant aux classes [C] et [C2], ainsi que l'indice de Gini, la variance, et le coefficient de variation vérifient ce premier principe des transferts. Cependant, les rapports de quantiles (3.3d) ne garantissent pas une baisse des inégalités suite à un transfert de Pigou et Dalton. Ainsi, si nous utilisons, par exemple, le rapport Q90 / Q 0 pour évaluer les inégalités, et qu'un transfert rapproche Q 80 de Q 70 ou encore Q 30 de Q 20, l'indice I ( X) = Q90 / Q0 restera stable. Par contre, toute mesure de dispersion respectant le principe des transferts enregistrera une baisse des inégalités. 4.2 L'invariance à l'échelle de mesure Si nous évaluons l'inégalité des revenus lorsque ceux-ci sont mesurés en francs suisses, ou en milliers de francs, nous aimerions que le résultat obtenu soit indépendant de l'échelle de mesure. Si k > 0 est une constante (par exemple k = /000 ), un indice d'inégalité I ( X ) sera considéré comme invariant à l'échelle de mesure si: I( kx ) = I( kx, kx,..., kx ) = I ( x, x,..., x ). 2 n 2 Tous les indices appartenant aux familles [C] et [C2], l'indice de Gini, le coefficient de variation ainsi que 2 les rapports de quantiles sont invariants à l'échelle. Pour la variance, I( X) = σ ( X), nous 2 2 avons I( kx ) = k σ ( X ), ce qui explique pourquoi le coefficient de variation (3.3c), ou son carré (3.d), est une mesure de dispersion préférable dans la perspective de la propriété d'invariance. Notons finalement que de tous les axiomes, l'invariance à l'échelle a peut-être provoqué le plus de discussion. En effet, pour certains chercheurs le fait que I( kx) = I( x) peut poser un problème; l'argument avancé est qu'une augmentation de 0% (c'est-à-dire k =. ) de tous les revenus (du plus bas au plus haut) ne devrait pas avoir d'effet sur les inégalités. Une proposition alternative est de rendre l'indice invariant à une translation de l'origine. Dans ce cas, on postule que I( x+ c, x2 + c,..., xn + c) = I( x, x2,..., xn) pour c un scalaire quelconque. L'indice de Gini (3.3a) satisfait cette propriété d'invariance à une translation de l'origine (ainsi que la propriété de l'invariance à l'échelle.) Cependant, nous pensons qu'il est encore plus difficile de justifier l'axiome d'invariance à une translation de l'origine que celui de l'invariance à l'échelle. Si nous raisonnons en termes de diminution des revenus ( c < 0), il nous semble en effet peu convaincant de défendre l idée selon laquelle une réduction de CHF 000 de tous les salaires du Tableau 2 aurait un effet nul sur l'inégalité. n 4.3 Décomposition par sous-groupes Il est fort utile de pouvoir exprimer l'inégalité en fonction d'indices d'inégalités pour des sous-groupes de la population. Une composante importante de l'inégalité des salaires en Suisse est due aux différences de rémunérations entre hommes et femmes. On pourrait encore s'intéresser aux différences de traitement entre latins et alémaniques ou entre hommes latins et femme latines, hommes alémaniques et femmes alémaniques. Dans ce qui suit, on suppose qu'il existe s =,..., S catégories mutuellement exclusives Mandat Flückiger/Abul Naga 2

13 dans la population de sorte que l'on puisse partitionner la distribution X en sous vecteurs lignes S X, X2,..., X S où X s est de dimension ns et ns = n. s= Un indice d'inégalité est additivement décomposable au sens de Shorrocks (980) s'il peut être exprimé en tant qu'une somme pondérée d'indices d'inégalité intra-groupes et un indice d'inégalité entre groupes. Notons d'abord que si L s est un vecteur ligne de valeurs unitaires de dimension n s, on a μsls = ( μs, μs,.. μs). Formellement, I (X ) est additivement décomposable s'il s'exprime sous la forme : S I( X) = I( X,..., X ) = w I( X ) + B s s s s= (4.) Le premier membre de droite est la composante intra-groupes. Le second membre, la composante entre groupes, est interprétable comme un indice d'inégalité calculé sous l'hypothèse que chaque individu du groupe s a un revenu égal au revenu moyen de son groupe (ici écrit sous la forme μs = xi n ): s i s μ μ μ B = I ( L, 2 L 2,..., ) S L S (4.2) Etant donné le niveau de complexité lié à la décomposition des indices, nous préférons donner une méthode simple et pratique pour arriver au résultat requis. Supposons qu'il existe une partition de X en deux groupes, X et X 2 et intéressons nous à la décomposition de (deux fois) (3.d), le carré du coefficient de variation. Ecrivonsκ 2 ( X ) = σ 2 ( X)/ μ 2 ( X). Une décomposition astucieuse du coefficient de variation aboutira au résultat suivant : n μ 2 n2 μ2 2 2 ( X, X2) = ( X) + 2( X2) + L, 2L2 n μ n μ ( ) κ κ κ κ μ μ (4.3) où [ L, L ] μ, et les 2 μ μ 2 2 est une distribution dont les n premiers éléments prennent la valeur n n + n = n. Cette formule s'obtient en énonçant un résultat éléments suivants prennent la valeur μ 2, et 2 en relation à la famille [C] des indices d'entropie généralisée. Lorsque I (X ) appartient à cette famille, le poids ws dans l'équation (4.) s'obtient en élevant à la puissance α, le rapport du revenu moyen du groupe s au revenu moyen de la population, et en multipliant ceci par la taille relative du groupe s : w s α ns μs = n μ (4.4) Si nous prenons la distribution A du tableau 2, et que le groupe contient les professeurs et le groupe 2 les maîtres assistants et les assistants, nous pouvons observer que la dispersion salariale est plus grande parmi ce deuxième groupe. Nous avons pour la décomposition du coefficient de variation μ = 6'250, μ 2 = 8'750, n n = 2 = 0.5, σ = '250 et σ 2 = 3'750. Ainsi, à l aide de la formule (4.4) nous n n obtenons w = ( 6'250 / 2'500 ) 2 / 2 = 0.845, et w 2 = ( / 2'500 ) 2 / 2 = Le carré du coefficient de variation prend la valeur pour le premier groupe, et prend la valeur 0.84 parmi les enseignants du deuxième groupe. Mandat Flückiger/Abul Naga 3

14 La composante entre groupe est le coefficient de variation calculé sur le vecteur (6'250, 6'250, 6'250, 6'250, 8'750, 8'750, 8'750, 8'750), qui est égale à Nous obtenons alors B (X, X 2 ) = Ainsi, nous arrivons au résultat suivant : c'est-à-dire ( X ) = ( X) ( X) + B κ κ κ 0.4 = 0.845(0.006) (0.84) Prenons encore à titre d'exemple, la décomposition de l'entropie de Shannon. Remarquons à l'aide de (3.b) que celle-ci est un membre de [C] lorsque α =. Ainsi, si nous définissons ( ) T X xi x = log i, nous obtenons n m x m x i ( ) ( ) n n T( X 2 2, X2) = μ μ T( x) T( X2) T( μl, μ2l2) n μ + n μ + (4.5) Nous terminons cette section en recommandant d'utiliser la famille [C] pour effectuer des décompositions de l'inégalité en sous-groupes. Cependant, nous observons que la famille [C2] des indices AKS est également décomposable. L'indice de Gini néanmoins n'est pas décomposable dans le sens de (4.). Le tableau 5 présente une synthèse des trois propriétés des divers indices que nous avons abordés dans la section 3. 5 Quelques considérations supplémentaires Jusqu'ici, nous avons supposé que toutes les observations étaient équiprobables. En pratique, la structure même de l'enquête détermine la probabilité d'échantillonner une observation. La section 5. aborde le problème de la mesure de l'inégalité en présence de données pondérées. Tout indice d'inégalité sera sensible à un intervalle spécifique (le haut, le milieu ou le bas) de la distribution des revenus. Il est donc utile de comprendre, ou de cerner, le rôle du paramètre α dans la famille [C] ainsi que celui du paramètre γ dans la famille [C2]. Nous abordons ce point dans la section 5.2. Il existe des répartitions du revenu qui ne nécessitent pas une telle analyse de sensibilité. Nous examinons dans la section 5.3 les conditions qui permettent une vulgarisation immédiate: les conditions qui permettent au chercheur de dire au grand public que l'inégalité des revenus a augmenté (ou diminué) sans préciser la manière dont elle est mesurée. Dans la section 5.4 nous discutons du problème de l'utilisation de données agrégées (plutôt qu'individuelles) pour mesurer l'inégalité. Les sections 5.5 et 5.6 abordent des considérations liées au choix de l'enquête ainsi qu'à la qualité des données. Lorsque l'enquête se rapporte à des ménages de structure démographique hétérogène, il est souhaitable de mesurer leurs ressources en rapport à leurs besoins. Notre dernier point 5.7 traite donc du problème des échelles d'équivalences. 5. Pondération des observations Une enquête qui s'intéresserait aux conditions de vie des ménages pauvres, sera fort probablement structurée de sorte à sur-représenter les bas revenus. Une telle procédure permettrait au statisticien d'estimer avec plus de précision des quantités ou paramètres se rapportant à un groupe faiblement représenté dans la population. Mandat Flückiger/Abul Naga 4

15 Soit ω i le poids de l'observation i dans l'enquête, La moyenne pondérée des observations se note m( x) = ~ ω ixi i ~ ω i = ω i /( ω + ω ω n ). ~, (5. ) De même, le α-ième moment pondéré des observations s'écrit ~ α α m ( x ) = ωix i, ( 5.2) i ~ ~ ( x m α ( x) = m ). Si I(X) = I[m(x α ), m α (x) ] est un indice d'entropie généralisée, en et de même, [ ] α présence de données équiprobables, l'indice correspondant calculé sur des données pondérées s'écrira I ~ ( X ) [ ~ ( α ), ~ α m x m ( x) ] = I, (5.3) De même, si I(X) = I[m(x γ ), m(x) ] est un indice AKS calculé sur des données non-pondérées, l'indice correspondant calculé sur des données pondérées sera une fonction I[ m ~ (x γ ), m ~ (x) ] Par exemple, nous pouvons évaluer l'entropie généralisée (3.a) en présence de données pondérées à l'aide de la formule ~ ( α ~ m x ) I ( X ) = ( ) ~ α α α m ( x) (5.4) 5.2 La sensibilité de l indice à l aversion sociale à l'inégalité En examinant le tableau 3, nous observons que la distribution A est plus égalitaire que la distribution B dans le haut, mais B est plus égalitaire que A vers le bas de l'échelle salariale. C'est pour cela que certains indices d'inégalité enregistreront plus de dispersion dans B que dans A et vice-versa. L'utilisateur doit donc donner une version objective et complète des faits, en comparant les deux distributions selon plusieurs indices. Pour se faire, nous suggérons qu il utilise la famille [C] et effectue ses calculs pour plusieurs valeurs possible de α. Autrement, il peut également choisir d effectuer ses analyses sur la base de la famille [C2] pour des valeurs de γ comprises entre et. (Il n'est pas nécessaire d'effectuer les calculs sur [C] et [C2] simultanément car les deux familles sont étroitement liées). Ainsi, dans la famille [C] l'indice d'inégalité est fortement sensible aux revenus élevés lorsque α augmente, et de même l indice est sensible aux bas revenus lorsque α < 0. Lorsque nous examinons les distributions A et B, nous observons que pour α = 5, l inégalité est plus forte en B (I = 0.0) qu en A (I = 0.06). Cependant, pour des valeurs de α < 5, l inégalité est plus forte en A qu en B (voir le tableau 6 ainsi que la figure 7). Nous remarquons que pour α = -5, l indice d entropie généralisée pénalise considérablement la distribution A où l inégalité devient quatre fois plus importante qu en B. Ainsi, l exemple illustre le fait qu il existe des valeurs de α pour lesquelles la distribution B est plus égalitaire que A, et l ordre est inversé pour d autres valeurs de α. Cependant, la distribution C est toujours plus égalitaire que A et B, et l indice y est peu sensible à des variations du paramètre α. La même logique apparaît dans la famille AKS, où nous observons que lorsque nous diminuons γ l'indice devient plus sensible au bas de la distribution. Mandat Flückiger/Abul Naga 5

16 5.3 Les limites de la vulgarisation Nous pouvons communiquer simplement au grand public que la distribution C est plus égalitaire que A et que B. Autrement dit, il existe quelques rares cas où pour toutes valeurs de α dans [C], et tout γ dans [C2], l'ordre de deux distributions en termes d'inégalité ne change pas. Le résultat que nous allons énoncer couvre en fait tout indice d'inégalité qui satisfait le principe des transferts de Pigou et Dalton ; il s'applique donc à tous les indices du tableau 5, exception faite des rapports de quantiles. Un résultat particulièrement simple emprunté à la théorie de la majoration (Marshall et Olkin, 979), nous informe que pour deux vecteurs X et Y tels que x[] y[] (5.5a) x[] + x[ 2] y[] + y[ 2] (5.5b)... x[] x[ n] = y[] y[ n] (5.5c) alors tout indice d'inégalité I (.) qui satisfait le principe des transferts aboutira au résultat I( X ) I( Y ). Il convient d'observer que z [] est la plus grande valeur et z [ n] la plus petite valeur du vecteur z. n n Egalement, nous remarquons que (5.5c) nécessite que le total des X, x[] i = xi soit identique i= i= au total desy. En règle générale, deux distributions ne possèdent pas une moyenne identique. Par ailleurs, en pratique, lorsque n est voisin de 0'000 observations, nous ne souhaitons pas effectuer 0'000 sommes pour vérifier si les inégalités de (5.5) sont toutes satisfaites. Ainsi, en général, nous effectuons une tabulation de la distribution des revenus en déciles, et nous supposons que X et Y sont des vecteurs à dix éléments, dont les sommes sont égales à un. Le Tableau 3 est directement utilisable pour illustrer les conditions émises dans les équations (5.5). Si X est le vecteur de la distribution C, et Y celui de la distribution B, nous avons : 0.30 = x[] < y[] = = x[ ] + x[ 2] < y[ ] + y[ 2] = = x[ ] + x[ 2] + x[ 3] < y[ ] + y[ 2] + y[ 3] = x[] i = y[] i = i= i= Il ressort donc du tableau 8 que C a moins d'inégalité que A, et également moins d'inégalité que B, puisque les conditions de majoration (5.5) sont satisfaites dans ces deux comparaisons de paires de distributions. Cependant, nous observons que lorsque nous comparons A et B les conditions (5.5) ne sont pas satisfaites. Il convient alors de transmettre au grand public le résultat de la comparaison de A et B avec énormément de prudence: il est nécessaire de rendre l'utilisateur des résultats attentif au fait que B est plus égalitaire que A parmi les bas revenus, alors que A est plus égalitaire vers le haut de la distribution. Mandat Flückiger/Abul Naga 6

17 Notons finalement que si nous reportons sur l'axe horizontal d'un graphique les parts cumulées des différents groupes, et sur l'axe vertical les parts du revenu total en allant du groupe le moins payé vers les groupes les mieux rémunérés, nous obtenons les courbes de Lorenz des trois distributions. La courbe de Lorenz de la distribution C est toujours en dessus de celles de A et B (tableau 9 et figure 0). C'est pour cela qu'elle est plus égalitaire. 5.4 Données individuelles et données agrégées Lorsque l'on s'intéresse à la distribution des salaires, la mesure des inégalités s'effectue typiquement sur des données individuelles. Lorsqu'il s'agit d'analyser les comportements de dépenses, on s'intéresse alors aux ménages. Cependant, certaines études peuvent également se faire sur des données agrégées (dites grouped data), lorsque des sources statistiques fournissent des informations sur des moments empiriques du type mx ( φ ) pour des sous-groupes de la population et diverses valeurs de φ. A l'aide des formules (4.) et (4.2) il est alors possible de remonter, à partir d'indices d'inégalité par sousgroupes de la population, à un indice d'inégalité pour une population recouvrant les différents sousgroupes. Une autre situation où les données groupées sont également utilisées est en rapport avec la construction des courbes de Lorenz. Souvent, celle-ci est construite à partir de déciles de la distribution des revenus. Ainsi, une connaissance des parts du revenu total détenues par les 0% les moins riches, les 0% suivants, etc., nous permet d'évaluer la répartition des revenus par déciles de la population, et par conséquent de construire la courbe de Lorenz. 5.5 L influence de la base de données Certaines considérations pour la mesure de l inégalité sont intrinsèques à la nature même de la base de données en question. Ainsi, le chercheur est avisé que le choix de la base à utiliser doit être abordé préalablement à toute analyse statistique, de par le fait que les diverses enquêtes socio-économiques sont conçues pour répondre à des questions de natures très différentes les unes des autres. Nous abordons cette question à l aide de trois exemples de thématiques de recherche. Commençons tout d abord avec le cas d un chercheur qui s intéresserait à mesurer l inégalité en rapport à la distribution des salaires horaires. Celui-ci s orientera vers des enquêtes sur le marché du travail (labor force surveys en anglais) pour procéder dans son étude. A cet effet, l ESPA lui sera directement utile dans le contexte suisse. Le chercheur intéressé aux conditions de vie des familles choisira les enquêtes de dépenses des ménages (par exemple les Family Expenditure Surveys du Royaume Uni). Ces enquêtes prennent le ménage comme unité de mesure. Celles-ci fournissent des observations agrégées au niveau de la famille (dépense totale par groupes de biens, revenu et épargne et structure démographique du ménage) Il va de soit donc dans le contexte suisse que l Enquête sur le Revenu et la Consommation sera utile à mesurer les inégalités de niveaux de vie des ménages, mais en principe ne permettra pas une analyse pertinente de la dispersion des salaires horaires. Finalement, considérons la problématique de la mobilité sociale dans un contexte intergénerationel. Pour quantifier l importance du contexte familial sur l aboutissement socioéconomique, l enquête devra produire une information détaillée sur la formation et la situation sur le marché du travail des parents ainsi que celle de leurs enfants à l âge adulte. Il est clair que dans ce contexte particulier, le chercheur devra travailler sur des enquêtes longitudinales (par exemple le Panel Study of Income Dynamics des Etats Unis, la National Child Development Study du Royaume Uni ou le Panel Suisse des Ménages). 5.6 Sensibilité aux valeurs extrêmes Un indice d'inégalité pourrait être sensible à une erreur de codage des revenus. De même une valeur extrême peut se produire dans une enquête, sans que celle-ci soit mal mesurée. Cependant, l'indice I(X) sera également influencé par une telle observation. Mandat Flückiger/Abul Naga 7

18 Nous pouvons classer les observations influentes en deux catégories selon que () un revenu avoisine la valeur zéro, et (2) que le revenu soit très élevé. Cowell et Victoria-Feser (996) ainsi que Cowell et Flachaire (2002) examinent la sensibilité des indices d'inégalité aux valeurs extrêmes. Il ressort clairement de ces travaux qu'une observation à elle seule peut influencer considérablement la valeur prise par un indice. Il va de soi que le choix de l'indice à cet égard sera important (voir plus bas). Cependant, la configuration de la distribution X elle-même, ainsi que le nombre d'observations n agira également sur la sensibilité de l'indice aux valeurs extrêmes. A titre d'exemple, Cowell et Flachaire (2002) montrent que dans un échantillon aléatoire de 5'000 observations tiré d'une loi de Singh-Maddala la suppression du revenu le plus élevé à lui seul réduirait le coefficient de variation de.8%! Quoiqu'on ne puisse donner des conclusions définitives sur l'effet des valeurs extrêmes, il est possible d'énoncer certains résultats utiles au praticien: Les indices d'entropie généralisée sont sensibles aux revenus élevés lorsque α >. De même ces indices sont sensibles aux bas revenus lorsque α < 0. Les indices membres de la famille [C] sont relativement peu sensibles aux valeurs extrêmes lorsque 0 < α <. Les indices AKS sont sensibles aux bas revenus lorsque γ < 0. Les indices membres de la famille [C2] sont relativement peu sensibles aux valeurs extrêmes lorsque 0 < γ <. Notons finalement que pour γ =, tout indice I(X) membre de la famille [C2] prend la valeur zéro. De tous les indices usuels, il ressort que l'indice de Gini (3.3a) est le moins sensible aux deux types de valeurs extrêmes. Ainsi, l'utilisateur soucieux des problèmes de valeurs extrêmes peut préalablement évaluer la sensibilité de son indice en présence d'une distribution particulière. Soit X + la distribution des revenus X obtenue en supprimant un certain nombre de bas revenus. De même définissons X - comme étant la distribution des revenus obtenue à partir de X en supprimant un certain nombre de revenus élevés. Finalement, construisons les indices d'influence ainsi que IF + = I (X + ) I(X) / I(X), IF - = I (X - ) I(X) / I(X), Lorsque IF + est jugé trop important, l'indice est sensible aux bas revenus dans le contexte de la distribution en question. De même lorsque IF - est important l'utilisateur se rendra attentif à la sensibilité de I(X) aux revenus élevés. 5.7 Les échelles d'équivalence En partie, les changements dans la distribution des revenus que nous observons en Europe ces 20 dernières années reflètent des taux de vieillissement différents dans ces divers pays. Cependant pour tâcher de dissocier les changements dans la structure démographique de ceux liés à des changements structurels tels que le recul de l'etat social et la mondialisation, les études portant sur les revenus et les dépenses de ménages examinent les ressources des familles en rapport à leurs besoins de subsistance. Dans ce cas, il n'apparaît pas tout à fait légitime de procéder à des comparaisons de bien-être d'unités d'analyse ayant des caractéristiques différentes. En effet, on peut imaginer que les besoins des ménages dépendent d'un certain nombre d'attributs. On considère en général que la taille et la composition du ménage (nombre d'adultes, nombre d'enfants, âge et sexe) sont susceptibles d'en modifier les besoins. Lorsqu'on désire évaluer le bien-être d'un ménage, on doit recourir à un indicateur des ressources pertinent, comme le revenu ou les dépenses, par exemple. Cependant, étant donné que les différences dans la taille et la composition du ménage affectent leur niveau de vie, les ressources mesurées On ajoute parfois d'autres caractéristiques également, comme le niveau de santé, la situation sur le marché du travail, la localisation, le niveau d'éducation, etc. Mandat Flückiger/Abul Naga 8

19 devraient être ajustées à l'aide d'un facteur dépendant des besoins afin d'obtenir des ressources comparables pour tous les ménages. On peut le faire en ayant précisément recours aux échelles d'équivalence, qui sont censées capter les différences dans les besoins des ménages. L'échelle d'équivalence est souvent établie en prenant comme référence un adulte vivant seul. On peut alors l'interpréter comme le nombre d'équivalents adultes représentant les besoins d'un ménage par rapport aux besoins d'un adulte seul 2. L'idée intuitive des échelles d'équivalence est donc très simple, puisqu'il s'agit de nombres, obtenus comme fonction des caractéristiques d'un ménage, par lesquels on «déflate» le revenu ou la consommation d'un ménage en vue d'obtenir une mesure de ces quantités par équivalent adulte. Soient x l'indicateur des ressources utilisées et a une liste d'attributs du ménage susceptibles d'en modifier les besoins. De manière générale, on peut définir l'échelle d'équivalence comme une fonction de a, E = E(a), exprimant le nombre d'unités équivalentes du ménage ayant les caractéristiques a. Les ressources de différents types de ménages peuvent ensuite être comparées en utilisant la quantité de ressources par unités équivalentes : x x =. E(a) En définissant l'échelle d'équivalence de la sorte, on admet que la façon dont les besoins dépendent des caractéristiques du ménage est commune à tous les ménages. L'hypothèse de base que l'on émet lors de la construction des échelles d'équivalence est que tous les membres d'un ménage ont le même niveau de vie. De plus, lorsqu'on procède à l'évaluation du bien-être social, on suppose implicitement que le bienêtre des différents ménages est parfaitement comparable après correction par les échelles d'équivalence. Ainsi, on considère que les ménages disposant des mêmes ressources et avec les mêmes caractéristiques ressentent le même niveau de bien-être. La manière la plus simple, mais aussi la plus grossière, de prendre en considération les caractéristiques liées à la taille et à la composition du ménage consiste à «déflater» l'indicateur de bien-être par la taille du ménage; on obtient alors des données par tête. Toutefois, cet ajustement n'est pas satisfaisant, car il suppose que les ressources sont distribuées de manière équiproportionnelle à l'intérieur du ménage. De plus, il ne tient pas compte de deux éléments susceptibles d'influencer le bien-être du ménage. Premièrement, les besoins de consommation varient suivant la taille du ménage, mais de façon non proportionnelle. En utilisant des données par tête, on ignore complètement les possibilités d'économie d'échelle liées à la consommation (il existe un certain nombre de coûts fixes indépendants jusqu'à un certain point de la taille du ménage, comme les frais de logement ou l utilisation d'un véhicule, par exemple). Deuxièmement, ce type d'ajustement par la taille du ménage écarte les éventuelles (et probables) différences de besoins entre les différents membres du ménage. Compte tenu de ces réflexions, l'échelle d'équivalence d'un ménage donné par rapport à un ménage de référence doit dépendre de ses caractéristiques et croître moins vite que la taille du ménage. L'échelle d'équivalence est souvent conçue comme un indice du coût des caractéristiques du ménage. Cela signifie en d autres termes que sa construction repose sur la comparaison des coûts nécessaires à deux ménages de caractéristiques différentes pour atteindre le même niveau de bien-être. Formellement, on peut l'écrire de la manière suivante: C( U, p, a E h = C( U, p, a où E h représente l'échelle d'équivalence du ménage h, a h les caractéristiques du ménage h, a r les caractéristiques du ménage de référence, p les prix auxquels sont confrontés les différents ménages, supposés identiques quel que soit le type de ménages, U le niveau de bien-être atteint et C une fonction de coût. L'échelle d'équivalence est donc définie comme le rapport de la dépense minimum nécessaire au ménage h, doté de caractéristiques a h, pour atteindre le niveau de bien-être U, relativement à celle d'un ménage de référence r, avec les caractéristiques a r pour atteindre le même niveau de bien-être. h r ) ) 2 On utilise parfois un autre type de ménage de référence que l'adulte vivant seul (le couple, par exemple). Dans ce cas, l'échelle d'équivalence correspond au montant nécessaire au ménage considéré pour atteindre un niveau de satisfaction donné par rapport au montant que requiert le type de ménage de référence pour accéder au même niveau de bien-être. Mandat Flückiger/Abul Naga 9

20 Les échelles d'équivalence font partie d'un processus d'évaluation sociale et on est inévitablement confronté à des jugements de valeur lors de leur définition. Leur élaboration représente une tâche difficile et les divergences d'opinion à ce sujet abondent, ce qui explique l'émergence de méthodes diverses pour leur construction 3. Parmi les nombreux auteurs qui se sont penchés sur le problème des échelles d'équivalence, Coulter et al. en répertorient cinq différents types; les échelles économétriques, basées sur les dépenses des ménages, les échelles subjectives, basées sur l'opinion des ménages, les échelles du budget standard, basées sur l'avis d'experts, les échelles de l'assistance sociale, basées sur ce que la société paie et finalement les échelles pragmatiques qui tirent leur valeur de leur côté pratique (cf. Coulter et al., 992). Nous allons tout d'abord présenter les échelles d'équivalence économétriques, puis nous traiterons brièvement les quatre autres types d'approches pour établir des échelles d'équivalence. Nous finirons par exposer une méthode relativement simple pour définir les échelles d'équivalence en les faisant dépendre d'un ou de plusieurs paramètres Echelles d'équivalence économétriques Le groupe le plus important d'échelles d'équivalence est celui dérivé de la théorie microéconomique du consommateur en effectuant des estimations à partir de données d'enquête sur les budgets des ménages (cf. par exemple Deaton et Muellbauer, 980). Ce type d'échelles d'équivalence est fondé sur des modèles de comportement du ménage caractérisant les relations entre le bien-être d'une part, et les caractéristiques du ménage et leurs dépenses, de l'autre. Soit U(q h, a h ) une fonction d'utilité 4 représentant les préférences du ménage h sur un vecteur de biens q h conditionnellement aux caractéristiques du ménage a h. Soient d'autre part p le vecteur de prix des différents biens, auquel tous les ménages sont confrontés, et x h les ressources totales du ménage. La maximisation du bien-être par les ménages, étant donné les prix, les ressources totales et les caractéristiques du ménage nous fournit les demandes des ménages pour les différents biens. Le niveau d'utilité U h qui résulte de ce programme de maximisation peut être résumé par la fonction d'utilité indirecte suivante : U h = V ( xh, p, ah ). Cette fonction est non croissante par rapport aux prix p, croissante par rapport aux ressources x h et homogène de degré zéro dans les prix et les ressources. D'autre part, en utilisant les résultats de dualité connus, les demandes peuvent être interprétées comme les choix qui minimisent la dépense nécessaire pour aboutir à un certain niveau de satisfaction. Le niveau de dépenses minimales associé à ce problème représente une fonction de coût pour le ménage que l'on peut noter C(U h,p,a h ) ; elle est croissante par rapport à U h et à p, homogène de degré un par rapport à p et concave en p. L'échelle d'équivalence E h pour un ménage avec les caractéristiques a h par rapport à un ménage de référence avec les caractéristiques a, peut alors être dérivé de deux manières; la première en utilisant la fonction d'utilité indirecte issue de la résolution du problème de maximisation du bien-être. La deuxième manière d'obtenir l'échelle d'équivalence est de recourir à la fonction de coût issue du problème de minimisation des dépenses des ménages. En définitive, l'estimation des échelles d'équivalence selon la méthode économétrique comprend deux étapes principales. Il s agit premièrement de spécifier la forme fonctionnelle pour les préférences ou pour la fonction de coût. Il faut deuxièmement estimer, par une méthode économétrique appropriée, la fonction choisie en utilisant les données relatives aux budgets des ménages avant de pouvoir finalement calculer les échelles d'équivalence en utilisant les paramètres estimés. Il est clair que suivant le choix de la fonction 5 et de la manière dont les caractéristiques des ménages affecte leur demande, on obtiendra des résultats parfois très différents. Nous passons maintenant rapidement en revue les principaux types d'échelle d'équivalence économétriques proposées dans la littérature. 3 La difficulté provient en particulier du fait qu'il n'existe pas une opinion unique quant aux biens et services dont il faut tenir compte pour établir le niveau de vie de référence, aux caractéristiques du ménage à inclure dans le vecteur a et au choix de la fonction de coût C. 4 On suppose qu'une fonction unique permet de représenter les opinions de tous les membres du ménage. En outre, on suppose que cette fonction d'utilité est continue, croissante et quasi-concave par rapport à la consommation des différents biens. 5 On utilise plus volontiers une fonction de coût pour estimer les échelles d'équivalence en utilisant une approche économétrique. Mandat Flückiger/Abul Naga 20

Mesure, impact des politiques et estimation. Programme de formation MIMAP. Remerciements

Mesure, impact des politiques et estimation. Programme de formation MIMAP. Remerciements Pauvreté, bienêtre social et équité : Mesure, impact des politiques et estimation par JeanYves Duclos Département d économique et CRÉFACIRPÉE, Université Laval, Canada Programme de formation MIMAP Remerciements

Plus en détail

APPLICATION DU SCN A L'EVALUATION DES REVENUS NON DECLARES DES MENAGES

APPLICATION DU SCN A L'EVALUATION DES REVENUS NON DECLARES DES MENAGES 4 mars 1996 FRANCAIS Original : RUSSE COMMISSION DE STATISTIQUE et COMMISSION ECONOMIQUE POUR L'EUROPE CONFERENCE DES STATISTICIENS EUROPEENS OFFICE STATISTIQUE DES COMMUNAUTES EUROPEENNES (EUROSTAT) ORGANISATION

Plus en détail

Consommation et investissement : une étude économétrique

Consommation et investissement : une étude économétrique Royaume du Maroc Direction des Etudes et des Prévisions financières Consommation et investissement : une étude économétrique Décembre 1996 Document de travail n 14 Consommation et Investissement : Une

Plus en détail

Observation des modalités et performances d'accès à Internet

Observation des modalités et performances d'accès à Internet Observation des modalités et performances d'accès à Internet Avant-propos La base de cette étude est constituée par les informations collectées par l'outil Cloud Observer d'iplabel (chargement des différents

Plus en détail

EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE

EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE OLIVIER COLLIER Exercice 1 (2012) Une entreprise veut faire un prêt de S euros auprès d une banque au taux annuel composé r. Le remboursement sera effectué en n années par

Plus en détail

LE ROLE DES INCITATIONS MONETAIRES DANS LA DEMANDE DE SOINS : UNE EVALUATION EMPIRIQUE.

LE ROLE DES INCITATIONS MONETAIRES DANS LA DEMANDE DE SOINS : UNE EVALUATION EMPIRIQUE. LE ROLE DES INCITATIONS MONETAIRES DANS LA DEMANDE DE SOINS : UNE EVALUATION EMPIRIQUE. Synthèse des travaux réalisés 1. Problématique La question D7 du plan d exécution du Programme National de Recherches

Plus en détail

L'appel public à l'épargne, pour quel besoin de financement? (2/3)

L'appel public à l'épargne, pour quel besoin de financement? (2/3) L'appel public à l'épargne, pour quel besoin de financement? (2/3) Lors d'une précédente analyse, nous avions présenté deux outils d'appel public à l'épargne qui bénéficient d'un régime légal favorable

Plus en détail

La théorie des mouvements dans les formules Jean-François Nicaud Version initiale de Février 2013 jeanfrancois.nicaud@laposte.net

La théorie des mouvements dans les formules Jean-François Nicaud Version initiale de Février 2013 jeanfrancois.nicaud@laposte.net La théorie des mouvements dans les formules Jean-François Nicaud Version initiale de Février 2013 jeanfrancois.nicaud@laposte.net Article rédigé avec epsilonwriter puis copié dans Word La théorie des mouvements

Plus en détail

Document d information n o 1 sur les pensions

Document d information n o 1 sur les pensions Document d information n o 1 sur les pensions Importance des pensions Partie 1 de la série La série complète des documents d information sur les pensions se trouve dans Pensions Manual, 4 e édition, que

Plus en détail

CODAGE D UN NOMBRE SYSTEME DE NUMERATION

CODAGE D UN NOMBRE SYSTEME DE NUMERATION 1. Base d un système de numération 1.1 Système décimal. C est le système de base 10 que nous utilisons tous les jours. Il comprend dix symboles différents :... Exemple du nombre 2356 de ce système : nous

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES

RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES Sommaire 1 Méthodes de résolution... 3 1.1. Méthode de Substitution... 3 1.2. Méthode des combinaisons linéaires... 6 La rubrique d'aide qui suit s'attardera aux

Plus en détail

Les indices à surplus constant

Les indices à surplus constant Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté

Plus en détail

Date : 18.11.2013 Tangram en carré page

Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Titre : Tangram en carré Numéro de la dernière page : 14 Degrés : 1 e 4 e du Collège Durée : 90 minutes Résumé : Le jeu de Tangram (appelé en chinois les sept planches

Plus en détail

D'UN THÉORÈME NOUVEAU

D'UN THÉORÈME NOUVEAU DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME NOUVEAU CONCERNANT LES NOMBRES PREMIERS 1. (Nouveaux Mémoires de l'académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1771.) 1. Je viens de trouver, dans un excellent

Plus en détail

Chapitre 1 : Introduction aux bases de données

Chapitre 1 : Introduction aux bases de données Chapitre 1 : Introduction aux bases de données Les Bases de Données occupent aujourd'hui une place de plus en plus importante dans les systèmes informatiques. Les Systèmes de Gestion de Bases de Données

Plus en détail

Cahiers métho dologiques

Cahiers métho dologiques le gouvernement du grand-duché de luxembourg Inspection générale de la Sécurité sociale Cahiers métho dologiques Août 2013 Numéro 2 Christine Weisgerber MICROSIMULATION DES BÉNÉFICIAIRES ET PRESTATIONS

Plus en détail

Arithmétique binaire. Chapitre. 5.1 Notions. 5.1.1 Bit. 5.1.2 Mot

Arithmétique binaire. Chapitre. 5.1 Notions. 5.1.1 Bit. 5.1.2 Mot Chapitre 5 Arithmétique binaire L es codes sont manipulés au quotidien sans qu on s en rende compte, et leur compréhension est quasi instinctive. Le seul fait de lire fait appel au codage alphabétique,

Plus en détail

Comment va la vie en France?

Comment va la vie en France? Comment va la vie en France? L Initiative du vivre mieux, lancée en 2011, se concentre sur les aspects de la vie qui importent aux gens et qui ont un impact sur leur qualité de vie. L Initiative comprend

Plus en détail

Les débats sur l évolution des

Les débats sur l évolution des D o c u m e n t d e t r a v a i l d e l a B r a n c h e R e t r a i t e s d e l a C a i s s e d e s d é p ô t s e t c o n s i g n a t i o n s n 9 8-0 7 C o n t a c t : La u re nt V e r n i è r e 0 1 4

Plus en détail

CONSOMMATION INTERTEMPORELLE & MARCHE FINANCIER. Epargne et emprunt Calcul actuariel

CONSOMMATION INTERTEMPORELLE & MARCHE FINANCIER. Epargne et emprunt Calcul actuariel CONSOMMATION INTERTEMPORELLE & MARCHE FINANCIER Epargne et emprunt Calcul actuariel Plan du cours Préambule : la contrainte budgétaire intertemporelle et le calcul actuariel I II III Demandes d épargne

Plus en détail

Chapitre 2/ La fonction de consommation et la fonction d épargne

Chapitre 2/ La fonction de consommation et la fonction d épargne hapitre 2/ La fonction de consommation et la fonction d épargne I : La fonction de consommation keynésienne II : Validations et limites de la fonction de consommation keynésienne III : Le choix de consommation

Plus en détail

Systèmes de transport public guidés urbains de personnes

Systèmes de transport public guidés urbains de personnes service technique des Remontées mécaniques et des Transports guidés Systèmes de transport public guidés urbains de personnes Principe «GAME» (Globalement Au Moins Équivalent) Méthodologie de démonstration

Plus en détail

DU BINAIRE AU MICROPROCESSEUR - D ANGELIS LOGIQUE COMBINATOIRE. SIMPLIFICATION DES EQUATIONS BOOLEENNES Leçon 07

DU BINAIRE AU MICROPROCESSEUR - D ANGELIS LOGIQUE COMBINATOIRE. SIMPLIFICATION DES EQUATIONS BOOLEENNES Leçon 07 DU BINAIRE AU MICROPROCESSEUR - D ANGELIS 43 SIMPLIFICATION DES EQUATIONS BOOLEENNES Leçon 7 Le rôle de la logique combinatoire est de faciliter la simplification des circuits électriques. La simplification

Plus en détail

Chapitre 4 : les stocks

Chapitre 4 : les stocks Chapitre 4 : les stocks Stocks et actifs Une entreprise achète généralement des biens pour les utiliser dans son processus de production, ce sont les matières premières et les fournitures, elle peut également

Plus en détail

Annexe A de la norme 110

Annexe A de la norme 110 Annexe A de la norme 110 RAPPORTS D ÉVALUATION PRÉPARÉS AUX FINS DES TEXTES LÉGAUX OU RÉGLEMENTAIRES OU DES INSTRUCTIONS GÉNÉRALES CONCERNANT LES VALEURS MOBILIÈRES Introduction 1. L'annexe A a pour objet

Plus en détail

a) La technique de l analyse discriminante linéaire : une brève présentation. 3 étapes de la méthode doivent être distinguées :

a) La technique de l analyse discriminante linéaire : une brève présentation. 3 étapes de la méthode doivent être distinguées : a) La technique de l analyse discriminante linéaire : une brève présentation. Nous nous limiterons ici à l'analyse discriminante linéaire et à deux groupes : - linéaire, la variante utilisée par ALTMAN

Plus en détail

Evaluation de la variabilité d'un système de mesure

Evaluation de la variabilité d'un système de mesure Evaluation de la variabilité d'un système de mesure Exemple 1: Diamètres des injecteurs de carburant Problème Un fabricant d'injecteurs de carburant installe un nouveau système de mesure numérique. Les

Plus en détail

La demande Du consommateur. Contrainte budgétaire Préférences Choix optimal

La demande Du consommateur. Contrainte budgétaire Préférences Choix optimal La demande Du consommateur Contrainte budgétaire Préférences Choix optimal Plan du cours Préambule : Rationalité du consommateur I II III IV V La contrainte budgétaire Les préférences Le choix optimal

Plus en détail

Représentation de l information en binaire

Représentation de l information en binaire Représentation de l information en binaire Les ordinateurs sont capables d effectuer de nombreuses opérations sur de nombreux types de contenus (images, vidéos, textes, sons,...). Cependant, quel que soit

Plus en détail

CHAPITRE VIII : Les circuits avec résistances ohmiques

CHAPITRE VIII : Les circuits avec résistances ohmiques CHAPITRE VIII : Les circuits avec résistances ohmiques VIII. 1 Ce chapitre porte sur les courants et les différences de potentiel dans les circuits. VIII.1 : Les résistances en série et en parallèle On

Plus en détail

Le chiffre est le signe, le nombre est la valeur.

Le chiffre est le signe, le nombre est la valeur. Extrait de cours de maths de 6e Chapitre 1 : Les nombres et les opérations I) Chiffre et nombre 1.1 La numération décimale En mathématique, un chiffre est un signe utilisé pour l'écriture des nombres.

Plus en détail

Norme comptable internationale 33 Résultat par action

Norme comptable internationale 33 Résultat par action Norme comptable internationale 33 Résultat par action Objectif 1 L objectif de la présente norme est de prescrire les principes de détermination et de présentation du résultat par action de manière à améliorer

Plus en détail

1. Vocabulaire : Introduction au tableau élémentaire

1. Vocabulaire : Introduction au tableau élémentaire L1-S1 Lire et caractériser l'information géographique - Le traitement statistique univarié Statistique : le terme statistique désigne à la fois : 1) l'ensemble des données numériques concernant une catégorie

Plus en détail

L'INTÉRÊT COMPOSÉ. 2.1 Généralités. 2.2 Taux

L'INTÉRÊT COMPOSÉ. 2.1 Généralités. 2.2 Taux L'INTÉRÊT COMPOSÉ 2.1 Généralités Un capital est placé à intérêts composés lorsque les produits pendant la période sont ajoutés au capital pour constituer un nouveau capital qui, à son tour, portera intérêt.

Plus en détail

L addition et la multiplication en binaire

L addition et la multiplication en binaire Objectifs : Leçon A1-1 : L addition et la multiplication en binaire OS 1 - Exécuter en binaire une opération arithmétique de base. OS 2 - Représenter un nombre entier relatif. OS 3 - Mettre en œuvre un

Plus en détail

Chapitre 1. L intérêt. 2. Concept d intérêt. 1. Mise en situation. Au terme de ce chapitre, vous serez en mesure de :

Chapitre 1. L intérêt. 2. Concept d intérêt. 1. Mise en situation. Au terme de ce chapitre, vous serez en mesure de : Chapitre 1 L intérêt Au terme de ce chapitre, vous serez en mesure de : 1. Comprendre la notion générale d intérêt. 2. Distinguer la capitalisation à intérêt simple et à intérêt composé. 3. Calculer la

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Cours (7) de statistiques à distance, élaboré par Zarrouk Fayçal, ISSEP Ksar-Said, 2011-2012 LES STATISTIQUES INFERENTIELLES

Cours (7) de statistiques à distance, élaboré par Zarrouk Fayçal, ISSEP Ksar-Said, 2011-2012 LES STATISTIQUES INFERENTIELLES LES STATISTIQUES INFERENTIELLES (test de Student) L inférence statistique est la partie des statistiques qui, contrairement à la statistique descriptive, ne se contente pas de décrire des observations,

Plus en détail

Revenus, patrimoines et fiscalité, quelle répartition en France?

Revenus, patrimoines et fiscalité, quelle répartition en France? Julien Levesque Macroéconomie Fabrice Bittner 20 mai 2009 séance 12 Revenus, patrimoines et fiscalité, quelle répartition en France? La question de la répartition des ressources est en permanence au cœur

Plus en détail

13. L inflation, ses causes et ses coûts

13. L inflation, ses causes et ses coûts 13. L inflation, ses causes et ses coûts Qu est-ce que l inflation? - L inflation est une augmentation soutenue du niveau «général» des prix. - L inflation concerne une augmentation durable du niveau moyen

Plus en détail

Inégalités de salaires et de revenus, la stabilité dans l hétérogénéité

Inégalités de salaires et de revenus, la stabilité dans l hétérogénéité Inégalités de salaires et de revenus, la stabilité dans l hétérogénéité Gérard Cornilleau Des inégalités contenues, des classes moyennes fragiles Le débat sur les salaires n est plus aujourd hui dominé

Plus en détail

THÉORIE DE L'INFORMATION : RAPPELS

THÉORIE DE L'INFORMATION : RAPPELS THÉORIE DE L'INFORMATION : RAPPELS 1920 : premières tentatives de définition de mesure de l'information à partir de 1948 : travaux de Shannon Théorie de l'information discipline fondamentale qui s'applique

Plus en détail

CHOIX OPTIMAL DU CONSOMMATEUR. A - Propriétés et détermination du choix optimal

CHOIX OPTIMAL DU CONSOMMATEUR. A - Propriétés et détermination du choix optimal III CHOIX OPTIMAL DU CONSOMMATEUR A - Propriétés et détermination du choix optimal La demande du consommateur sur la droite de budget Résolution graphique Règle (d or) pour déterminer la demande quand

Plus en détail

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre : Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant

Plus en détail

Retentissement de la réforme de l'ircantec 2008 sur la retraite des Praticiens Hospitaliers.

Retentissement de la réforme de l'ircantec 2008 sur la retraite des Praticiens Hospitaliers. Retentissement de la réforme de l'ircantec 2008 sur la retraite des Praticiens Hospitaliers. Dr Raphaël BRIOT ; Dr Jean GARRIC Syndicat National des Praticiens Hospitaliers d'anesthésie-réanimation RÉSUMÉ

Plus en détail

RÉVISION DE CALCUL NUMÉRIQUE

RÉVISION DE CALCUL NUMÉRIQUE RÉVISION DE CALCUL NUMÉRIQUE. Les ensembles numériques. Propriétés des nombres réels. Ordre des opérations. Nombres premiers. Opérations sur les fractions 7. Puissances entières 0.7 Notation scientifique.8

Plus en détail

Raisonnement par récurrence Suites numériques

Raisonnement par récurrence Suites numériques Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.

Plus en détail

Complément d information concernant la fiche de concordance

Complément d information concernant la fiche de concordance Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours

Plus en détail

Précision d un résultat et calculs d incertitudes

Précision d un résultat et calculs d incertitudes Précision d un résultat et calculs d incertitudes PSI* 2012-2013 Lycée Chaptal 3 Table des matières Table des matières 1. Présentation d un résultat numérique................................ 4 1.1 Notations.........................................................

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

Fonctions logiques élémentaires

Fonctions logiques élémentaires Fonctions logiques élémentaires II. Systèmes binaires et algèbre de oole ctuellement, alors que les ordinateurs analogiques sont encore du domaine de la recherche, les informations traitées par les systèmes

Plus en détail

ANALYSE CRITIQUE ET MODIFICATIONS PROPOSÉES AU RÉGIME ENREGISTRÉ D'ÉPARGNE RETRAITE (REÉR) ET AU RÉGIME DE PENSION AGRÉÉ (RPA)

ANALYSE CRITIQUE ET MODIFICATIONS PROPOSÉES AU RÉGIME ENREGISTRÉ D'ÉPARGNE RETRAITE (REÉR) ET AU RÉGIME DE PENSION AGRÉÉ (RPA) ANALYSE CRITIQUE ET MODIFICATIONS PROPOSÉES AU RÉGIME ENREGISTRÉ D'ÉPARGNE RETRAITE (REÉR) ET AU RÉGIME DE PENSION AGRÉÉ (RPA) Gino Lambert, M.Sc, Sciences comptables (Chercheur à la Chaire d'études socio-économiques)

Plus en détail

Les inégalités de patrimoine des ménages entre 1992 et 2004

Les inégalités de patrimoine des ménages entre 1992 et 2004 Les inégalités de patrimoine des ménages entre 1992 et 2004 Marie Cordier, Cédric Houdré, Catherine Rougerie* Le revenu, la catégorie sociale, la localisation géographique, l âge ainsi que les héritages

Plus en détail

5. Information et accès aux moyens de paiement

5. Information et accès aux moyens de paiement 5. Information et accès aux moyens de paiement Cette dernière partie mobilise des méthodes d analyse des données, permettant de mieux comprendre comment s articulent d une part l accès aux différents services

Plus en détail

Le calcul du barème d impôt à Genève

Le calcul du barème d impôt à Genève Le calcul du barème d impôt à Genève Plan : 1. Historique Passage d un système en escalier à une formule mathématique 2. Principe de l imposition Progressivité, impôt marginal / moyen ; barème couple/marié

Plus en détail

PAR Jean PIAGET (Genève).

PAR Jean PIAGET (Genève). EXTRAIT DE L' Enseignement mathématique, N os 1-2, 36e ANNÉE 1937. Version électronique réalisée par les soins de la Fondation Jean Piaget pour recherches psychologiques et épistémologiques. La pagination

Plus en détail

2012/2013 Le codage en informatique

2012/2013 Le codage en informatique 2012/2013 Le codage en informatique Stéphane Fossé/ Marc Gyr Lycée Felix Faure Beauvais 2012/2013 INTRODUCTION Les appareils numériques que nous utilisons tous les jours ont tous un point commun : 2 chiffres

Plus en détail

Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES

Dérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Capitre 4 Dérivation Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Dérivation Nombre dérivé d une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable

Plus en détail

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Année 2008/2009 1 Décomposition QR On rappelle que la multiplication avec une matrice unitaire Q C n n (c est-à-dire Q 1 = Q = Q T ) ne change

Plus en détail

Jeux sous forme normale

Jeux sous forme normale CHAPITRE 4 Jeux sous forme normale Dans les problèmes de décision, nous avons relié les choix qui pouvaient être faits par un agent avec les utilités qu il pouvait en dériver. L idée qu un agent rationnel

Plus en détail

Utilisation des médicaments au niveau des soins primaires dans les pays en développement et en transition

Utilisation des médicaments au niveau des soins primaires dans les pays en développement et en transition 09-0749 1 WHO/EMP/MAR/2009.3 Utilisation des médicaments au niveau des soins primaires dans les pays en développement et en transition Synthèse des résultats des études publiées entre 1990 et 2006 Organisation

Plus en détail

La douzième Conférence internationale des statisticiens du travail, ...

La douzième Conférence internationale des statisticiens du travail, ... Résolution concernant les enquêtes sur les revenus et les dépenses des ménages, adoptée par la douzième Conférence internationale des statisticiens du travail (octobre 1973) La douzième Conférence internationale

Plus en détail

Une réponse (très) partielle à la deuxième question : Calcul des exposants critiques en champ moyen

Une réponse (très) partielle à la deuxième question : Calcul des exposants critiques en champ moyen Une réponse (très) partielle à la deuxième question : Calcul des exposants critiques en champ moyen Manière heuristique d'introduire l'approximation de champ moyen : on néglige les termes de fluctuations

Plus en détail

CONSEIL SUPERIEUR DES INDEPENDANTS ET DES PME

CONSEIL SUPERIEUR DES INDEPENDANTS ET DES PME CONSEIL SUPERIEUR DES INDEPENDANTS ET DES PME F REGL PROF - Qualifications prof. A2 Bruxelles, 26 mai 2011 MH/JC/JP A V I S sur LA REFORME DE LA DIRECTIVE RELATIVE A LA RECONNAISSANCE DES QUALIFICATIONS

Plus en détail

DES PAROLES ET DES ACTES : LES 4 MENSONGES DE MONSIEUR LENGLET

DES PAROLES ET DES ACTES : LES 4 MENSONGES DE MONSIEUR LENGLET Cette fiche élaborée par la commission économie du Parti de Gauche révèle les 4 "erreurs" fondamentales issues de l'argumentaire que Monsieur Lenglet a opposé à Jean-Luc Mélenchon lors de l'émission des

Plus en détail

2. Fractions et pourcentages

2. Fractions et pourcentages FRACTIONS ET POURCENTAGES. Fractions et pourcentages.. Définitions Certaines divisions tombent justes. C'est par exemple le cas de la division 4 8 qui donne.. D'autres ne s'arrêtent jamais. C'est ce qui

Plus en détail

2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R

2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R 2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R Dans la mesure où les résultats de ce chapitre devraient normalement être bien connus, il n'est rappelé que les formules les plus intéressantes; les justications

Plus en détail

Inclusion bancaire et financière, quelles nouvelles?

Inclusion bancaire et financière, quelles nouvelles? Inclusion bancaire et financière, quelles nouvelles? Ce que nous apprennent les dernières données issues de l'enquête Special Eurobarometer 373 1 «retail financial services» en matière d'inclusion financière.

Plus en détail

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q 1 Codes linéaires Un code de longueur n est une partie de F n q. Un code linéaire C de longueur n sur le corps ni F q est un sous-espace vectoriel de F n q. Par défaut, un code sera supposé linéaire. La

Plus en détail

avec des nombres entiers

avec des nombres entiers Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

FONCTION DE DEMANDE : REVENU ET PRIX

FONCTION DE DEMANDE : REVENU ET PRIX FONCTION DE DEMANDE : REVENU ET PRIX 1. L effet d une variation du revenu. Les lois d Engel a. Conditions du raisonnement : prix et goûts inchangés, variation du revenu (statique comparative) b. Partie

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

LE PROBLEME DU PLUS COURT CHEMIN

LE PROBLEME DU PLUS COURT CHEMIN LE PROBLEME DU PLUS COURT CHEMIN Dans cette leçon nous définissons le modèle de plus court chemin, présentons des exemples d'application et proposons un algorithme de résolution dans le cas où les longueurs

Plus en détail

LES CONTRÔLES DES COMPTES

LES CONTRÔLES DES COMPTES FINADOC www.finadoc.com et www.conseils-financiers.com Prendre de la hauteur de vue sur la finance et le patrimoine. De meilleures décisions en toute indépendance. LES CONTRÔLES DES COMPTES Bureaux : 270

Plus en détail

NOTIONS DE PROBABILITÉS

NOTIONS DE PROBABILITÉS NOTIONS DE PROBABILITÉS Sommaire 1. Expérience aléatoire... 1 2. Espace échantillonnal... 2 3. Événement... 2 4. Calcul des probabilités... 3 4.1. Ensemble fondamental... 3 4.2. Calcul de la probabilité...

Plus en détail

Comment se servir de cet ouvrage? Chaque chapitre présente une étape de la méthodologie

Comment se servir de cet ouvrage? Chaque chapitre présente une étape de la méthodologie Partie I : Séries statistiques descriptives univariées (SSDU) A Introduction Comment se servir de cet ouvrage? Chaque chapitre présente une étape de la méthodologie et tous sont organisés selon le même

Plus en détail

CAPTEURS - CHAINES DE MESURES

CAPTEURS - CHAINES DE MESURES CAPTEURS - CHAINES DE MESURES Pierre BONNET Pierre Bonnet Master GSI - Capteurs Chaînes de Mesures 1 Plan du Cours Propriétés générales des capteurs Notion de mesure Notion de capteur: principes, classes,

Plus en détail

23. Interprétation clinique des mesures de l effet traitement

23. Interprétation clinique des mesures de l effet traitement 23. Interprétation clinique des mesures de l effet traitement 23.1. Critères de jugement binaires Plusieurs mesures (indices) sont utilisables pour quantifier l effet traitement lors de l utilisation d

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme?

Exercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? Exercices Alternatifs Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? c 2004 Frédéric Le Roux, François Béguin (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: polynome-lagrange/. Version

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme?

Exercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? Exercices Alternatifs Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? c 2004 Frédéric Le Roux, François Béguin (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: polynome-lagrange/. Version

Plus en détail

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Cinquième cours Taux instantané constant Taux instantané constant Date de comparaison Taux instantané constant Date de comparaison Diagramme d entrées et sorties Taux instantané

Plus en détail

Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle

Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle Chapter 2 Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle Sommaire 2.1 Tribu et événements........................................... 15 2.2 Probabilité................................................

Plus en détail

Le taux d'actualisation en assurance

Le taux d'actualisation en assurance The Geneva Papers on Risk and Insurance, 13 (No 48, July 88), 265-272 Le taux d'actualisation en assurance par Pierre Devolder* Introduction Le taux d'actualisation joue un role determinant dans Ia vie

Plus en détail

Patrimoines. La pierre angulaire d'une planification financière solide une gestion des dettes judicieuse

Patrimoines. La pierre angulaire d'une planification financière solide une gestion des dettes judicieuse Patrimoines La pierre angulaire d'une planification financière solide une gestion des dettes judicieuse Il y a deux ans, David emménage dans une autre ville. Il meuble sa nouvelle maison et règle plusieurs

Plus en détail

Représentation des Nombres

Représentation des Nombres Chapitre 5 Représentation des Nombres 5. Representation des entiers 5.. Principe des représentations en base b Base L entier écrit 344 correspond a 3 mille + 4 cent + dix + 4. Plus généralement a n a n...

Plus en détail

CHAPITRE 2 LA REPRÉSENTATION DES DONNÉES

CHAPITRE 2 LA REPRÉSENTATION DES DONNÉES CHAPITRE 2 LA REPRÉSENTATION DES DONNÉES. LES SYSTEMES DE NUMÉRATION Dans la vie de tous jours, nous avons pris l'habitude de représenter les nombres en utilisant dix symboles différents, à savoir les

Plus en détail

Introduction à la Statistique Inférentielle

Introduction à la Statistique Inférentielle UNIVERSITE MOHAMMED V-AGDAL SCIENCES FACULTE DES DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES SMI semestre 4 : Probabilités - Statistique Introduction à la Statistique Inférentielle Prinemps 2013 0 INTRODUCTION La statistique

Plus en détail

Corefris RAPPORT ANNUEL 2011. Annexe 3 : La hausse des prix de l immobilier est-elle associée à une «bulle» de crédit en France?

Corefris RAPPORT ANNUEL 2011. Annexe 3 : La hausse des prix de l immobilier est-elle associée à une «bulle» de crédit en France? Annexe 3 : La hausse des prix de l immobilier est-elle associée à une «bulle» de crédit en France? (DGTrésor) 1. Indépendamment de facteurs d offre et de demande, qui jouent indéniablement sur les prix,

Plus en détail

MODULE V: POLITIQUE DE REMUNÉRATION

MODULE V: POLITIQUE DE REMUNÉRATION MODULE V: POLITIQUE DE REMUNÉRATION INTRODUCTION Plusieurs entreprises tentent de compenser les coupures au niveau de la rémunération par l'introduction d'avantages moins coûteux, comme une plus grande

Plus en détail

CHAPITRE IX : Les appareils de mesures électriques

CHAPITRE IX : Les appareils de mesures électriques CHAPITRE IX : Les appareils de mesures électriques IX. 1 L'appareil de mesure qui permet de mesurer la différence de potentiel entre deux points d'un circuit est un voltmètre, celui qui mesure le courant

Plus en détail

Le Data Mining au service du Scoring ou notation statistique des emprunteurs!

Le Data Mining au service du Scoring ou notation statistique des emprunteurs! France Le Data Mining au service du Scoring ou notation statistique des emprunteurs! Comme le rappelle la CNIL dans sa délibération n 88-083 du 5 Juillet 1988 portant adoption d une recommandation relative

Plus en détail

LISTE DES INDICATEURS DE LAEKEN

LISTE DES INDICATEURS DE LAEKEN ANNEXE LISTE DES INDICATEURS DE LAEKEN Dans le cadre de son mandat pour 2001, le Comité de protection social (CPS) a présenté un rapport recommandant une série initiale de dix indicateurs primaires et

Plus en détail

Cet article s attache tout d abord

Cet article s attache tout d abord Méthodes internationales pour comparer l éducation et l équité Comparaison entre pays des coûts de l éducation : des sources de financement aux dépenses Luc Brière Marguerite Rudolf Bureau du compte de

Plus en détail

LA QUALITE DU LOGICIEL

LA QUALITE DU LOGICIEL LA QUALITE DU LOGICIEL I INTRODUCTION L'information est aujourd'hui une ressource stratégique pour la plupart des entreprises, dans lesquelles de très nombreuses activités reposent sur l'exploitation d'applications

Plus en détail

Quels sont les grands déséquilibres macroéconomiques? Durée : maximum 4h30

Quels sont les grands déséquilibres macroéconomiques? Durée : maximum 4h30 Quels sont les grands déséquilibres macroéconomiques? Durée : maximum 4h30 Raphaël Pradeau (Académie de Nice) et Julien Scolaro (Académie de Poitiers) Programme : NOTIONS : Demande globale, inflation,

Plus en détail

Normes de rédaction : Comment faire référence aux documents?

Normes de rédaction : Comment faire référence aux documents? Normes de rédaction : Comment faire référence aux documents? Renato Scariati et Cristina Del Biaggio Département de géographie Université de Genève Version : 02 février 2010 Normes de rédaction 1 Table

Plus en détail

Mathématiques appliquées à l informatique

Mathématiques appliquées à l informatique Mathématiques appliquées à l informatique Jean-Etienne Poirrier 15 décembre 2005 Table des matières 1 Matrices 3 1.1 Définition......................................... 3 1.2 Les différents types de matrices.............................

Plus en détail