Chapitre 2 : DYNAMIQUE EN REFERENTIEL NON-GALILEEN

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1 Chapitre 2 : DYNAMIQUE EN REFERENTIEL NON-GALILEEN Notions et contenus 1.2 Dynamique dans un référentiel non galiléen Cas d un référentiel en translation par rapport à un référentiel galiléen : force d inertie d entrainement Cas d un référentiel en rotation uniforme autour d un axe fixe dans un référentiel galiléen : force d inertie d entraînement, force d inertie de Coriolis. Exemples : - champ de pesanteur : définition, évolution qualitative avec la latitude, ordres de grandeur ; - équilibre d un fluide dans un référentiel non galiléen en translation ou en rotation uniforme autour d un axe fixe dans un référentiel galiléen. Capacités exigibles Déterminer la force d inertie d entraînement. Appliquer la loi de la quantité de mouvement, la loi du moment cinétique et la loi de l énergie cinétique dans un référentiel non galiléen. Exprimer la force d inertie axifuge et la force d inertie de Coriolis. Associer la force d inertie axifuge à l expression familière «force centrifuge». Appliquer la loi de la quantité de mouvement, la loi du moment cinétique et la loi de l énergie cinétique dans un référentiel non galiléen. Distinguer le champ de pesanteur et le champ gravitationnel. Établir et utiliser l expression de la force d inertie d entraînement volumique. Approche documentaire : associer les marées à un terme gravitationnel différentiel et comparer l influence de la et du Soleil pour analyser des documents scientifiques. Approche documentaire : utiliser l expression de la force de Coriolis pour analyser des documents scientifiques portant sur les effets de la force de Coriolis sur les vents géostrophiques ou les courants marins. Problématique : le programme de première année se restreint aux mouvements dans des référentiels galiléens, or il arrive souvent que l on se trouve dans d autres cas : Voiture ou ascenseur en phase d accélération ; Manège ; Mouvement de la Terre! On peut toujours se rapporter à un référentiel galiléen, cependant il est plus pratique d adapter les lois de la mécanique pour comprendre les expériences vécues en référentiel non galiléen. 1. Rappels : Les référentiels galiléens sont définis par le principe d inertie : dans un référentiel galiléen tout point matériel isolé est animé d un mouvement rectiligne uniforme (PCSI). Les référentiels galiléens sont en translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres (PCSI). Soit R un référentiel galiléen, auquel est attaché un système d axes Oxyz, de vecteurs unitaires e!, e! et e! et R un référentiel non galilen, donc animé par rapport à R d un mouvement à priori quelconque, auquel est attaché un système d axes O x y z d origine O et de vecteurs unitaires e!!, e!! et e!!. Comme dans le chapitre précédent, R est le référentiel absolu et R le référentiel relatif.

2 2. Cas d un référentiel en translation par rapport à un référentiel galiléen : 2.1. Principe fondamental de la dynamique : Dans R, le principe fondamental s exprime par : ma r = F ext + F!e F!e = ma e est la force d inertie d entrainement Théorème du moment cinétique : Soit O un point fixe par rapport au référentiel R : dσ O! dt R! = M O! (F ext + F!e ) 2.3. Théorème de l énergie cinétique et de la puissance cinétique : ΔE c = W F ext + W(F!e ) de c dt = F ext. v r + F!e. v r 3. Cas d un référentiel en rotation uniforme autour d un axe fixe par rapport à un référentiel galiléen : 3.1. Principe fondamental de la dynamique : Dans R, le principe fondamental s exprime par : avec ma r = F ext + F!e + F!c F!e = ma e = mω 2. HM Force d inertie d entrainement, appelée «force axifuge» ou «force centrifuge» H M F!!!!!!e O e!!!!!

3 F!c = ma c = 2mω v r Force d inertie de Coriolis H ω!!! O F!!!!!!c M e!!!!! v!!!! r 3.2. Théorème du moment cinétique : Soit O un point fixe par rapport au référentiel R ; dσ O! = M dt O! (F ext + F!e + F!c ) R! 3.3. Théorème de l énergie cinétique et de la puissance cinétique : La puissance de la force de Coriolis est nulle, ainsi : ΔE c = W F ext + W(F!e ) Exemple : pendule conique. de c dt = F ext. v r + F!e. v r 4. Dynamique en référentiel terrestre : 4.1. Le référentiel terrestre : La meilleure approximation de référentiel galiléen à l échelle du système solaire est le référentiel de Copernic, dont l origine est au centre de masse du système solaire et dont les axes pointent vers trois étoiles fixes. Le référentiel géocentrique a son origine au centre de masse de la Terre, ses axes pointent vers trois étoiles fixes. Référentiel de Copernic Référentiel terrestre Référentiel géocentrique

4 En conséquence, son mouvement est celui du centre de masse de la Terre : il est en translation elliptique par rapport au référentiel de Copernic. Le référentiel géocentrique n est pas galiléen ( cf analyse documentaire sur les effets de marée ). On peut le considérer comme tel sur des échelles de temps de l ordre de la journée. Le référentiel terrestre est en rotation par rapport au référentiel géocentrique : il n est donc pas galiléen Le poids : Définition : le poids P d'un point matériel est la résultante de la force de gravitation et de la force d'inertie d'entraînement due à la rotation de la terre. Rappel : au voisinage de la surface terrestre et dans l approximation sphérique, le champ de gravitation du à la Terre s écrit :!" A (RT ) = GM!"! T u 2 r R T où : G =6, kg -1.m 3.s -2 est la constante de gravitation ; RT = 6, m est le rayon terrestre ; MT = 5, kg est la masse de la Terre. On a donc : P = m A M + ω 2 HM où H est le projeté de M sur l axe de rotation. La direction du poids définit la verticale du lieu. L accélération de la pesanteur est donc : g = A M + ω! HM Elle varie entre le Pole et l Equateur : A M = 9,8 m.s -2 ; RT.Ω 2 = 3, m.s Le terme de marées : a)modèle très simple : Terre-Soleil. Le principe fondamental appliqué à la Terre de centre O dans le référentiel de Copernic s écrit, en nommant A! (O) le champ gravitationnel en O créé par le Soleil : M! a O = M! A! (O) (1) Or le référentiel géocentrique est non galiléen, en translation elliptique par rapport au référentiel de Copernic ; son accélération d entrainement dans le référentiel de Copernic est a O. On considère un point M de masse m à la surface de la Terre, dans le référentiel géocentrique, soumis à l interaction gravitationnelle due à la Terre et à l interaction gravitationnelle due au Soleil.

5 Le principe fondamental appliqué à ce point s écrit dans ce référentiel : ma M = F + ma! (M) + ma! (M) ma! où : AT (M ) est le champ de gravitation du à la terre en M, A! (M) est le champ de gravitation du au Soleil en M ; F représente les forces autres que les forces de gravitation exercées sur M. En remplaçant a! par son expression déduite de (1), on obtient : ma M = F + ma! (M) + m A! (M) A! (O) On appelle force de marée ou terme de marée le terme différentiel m A! (M) A! (O). ma!!!! (M)! ma!!!! (O)! b) Modèle plus précis : Terre-Soleil- : Le terme de marée du à la : m A! (M) A! (O) est environ 2 fois plus important que celui du au Soleil! Les termes de marées des deux astres s ajoutent vectoriellement ; on observe en conséquence des marées de mortes eaux et de vives-eaux. Terre Soleil premier quartier (morte eaux) pleine (vive eaux) dernier quartier (morte eaux) nouvelle (vive eaux) Figure 3 : le cycle de vives-eaux / mortes-eaux vient de la superposition des effets de la lune et