Le Modèle de Black-Scholes. DeriveXperts. 27 octobre 2010

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1 27 octobre 2010

2 Outline 1 Définitions Le modèle de diffusion de Black-Scholes Portefeuille auto-finançant Objectif de BS 2 Portefeuille auto-finançant et formule de Black-Scholes Formulation mathématique du problème de BS Valorisation d une option - Formule de Black-Scholes 3 Utilisations pratiques du modèle de Black-Scholes Calcul de volatilité implicite Couverture d options Autres utilisations 4 Conclusion

3 Définitions Outline 1 Définitions Le modèle de diffusion de Black-Scholes Portefeuille auto-finançant Objectif de BS 2 Portefeuille auto-finançant et formule de Black-Scholes Formulation mathématique du problème de BS Valorisation d une option - Formule de Black-Scholes 3 Utilisations pratiques du modèle de Black-Scholes Calcul de volatilité implicite Couverture d options Autres utilisations 4 Conclusion

4 Définitions Hypothèses Hypothèses Vente à découvert possible. Liquidité infinie : possibilité d acheter/vendre autant que souhaité. Pas de frais de transactions.

5 Définitions Le modèle de diffusion de Black-Scholes Définition - Diffusion de Black-Scholes Définition Soit {S t, t [0, T ]} un processus de prix. Il s agit d un processus de Black-Scholes de drift µ et de volatilité σ si : Les rendements log(s t ) log(s s ) suivent une loi gaussienne de moyenne (µ σ 2 /2)(t s) et de variance σ 2 (t s), Les rendements log(s t ) log(s s ) sont indépendants et de même loi.

6 Définitions Le modèle de diffusion de Black-Scholes Propriétés - Diffusion de Black-Scholes Propriétés Soit {S t, t [0, T ]} un processus de Black-Scholes. On a alors les propriétés suivantes : S t = S s e (µ σ2 /2)(t s)+σ(w t W s), E[S t ] = S 0 e µt, ds t S t = µdt + σdw t, où W t est un mouvement brownien, i.e. un processus suivant une loi gaussienne de moyenne 0 et de variance t.

7 Définitions Portefeuille auto-finançant Définition - Stratégie de portefeuille autofinançante Définition δ t, t [0, T ] est une stratégie de portefeuille autofinançante si, à chaque instant : la quantité d actifs risqués est égale à δ t, la quantité de cash est égale à V t δ t S t, avec V t la valeur du portefeuille à l instant t. En clair, le rebalancement de la position en actif risqué compense exactement celui de la position en cash.

8 Définitions Portefeuille auto-finançant Valeur du portefeuille autofinançant D après la définition suivante, aux instants t et t + dt, le portefeuille V est égal à : V t = δ t S t + (V t δ t S t ) } {{ } cash V t+dt = δ t S t+dt + (V t δ t S t )(1 + r t dt) } {{ } cash = dv t = δ t ds t + (V t δ t S t )r t dt

9 Définitions Objectif de BS Objectifs de BS Soit h(s T ) un flux final dépendant de la valeur de l actif risqué. L objectif de la modélisation Black-Scholes est de trouver une stratégie de portefeuille autofinançante δ t et une valeur de portefeuille initiale V 0 telles que V T = h(s T ). Dans ce cas, la valeur V 0 correspond exactement au prix du produit dérivé payant h(s T ) en T. En d autres termes, le prix d un produit est égal au coût de sa couverture.

10 Portefeuille auto-finançant et formule de Black-Scholes Outline 1 Définitions Le modèle de diffusion de Black-Scholes Portefeuille auto-finançant Objectif de BS 2 Portefeuille auto-finançant et formule de Black-Scholes Formulation mathématique du problème de BS Valorisation d une option - Formule de Black-Scholes 3 Utilisations pratiques du modèle de Black-Scholes Calcul de volatilité implicite Couverture d options Autres utilisations 4 Conclusion

11 Portefeuille auto-finançant et formule de Black-Scholes Formulation mathématique du problème de BS Formulation mathématique du problème de BS Le problème se réduit mathématiquement à trouver deux fonctions v(t, x) et δ(t, x) telles que : { dv(t, S t ) = δ(t, S t )ds t + (v(t, S t ) δ(t, S t )S t )r t dt v(t, S T ) = h(s T ) Il s agit d une équation à deux inconnues, avec une particularité : les inconnues sont des fonctions de deux paramètres.

12 Portefeuille auto-finançant et formule de Black-Scholes Formulation mathématique du problème de BS Résolution du problème de BS - Première étape A l aide d arguments techniques de calcul stochastique, le problème précédent peut se ramener aux équations suivantes : 1 2 σ2 x 2 2 v (t, x) + r x 2 t x v v(t, x) = h(x) δ(t, x) = v x x + v t r tv(t, x) = 0 La première équation est une EDP (Equation aux Dérivées Partielles), La seconde est une condition terminale.

13 Portefeuille auto-finançant et formule de Black-Scholes Formulation mathématique du problème de BS Résolution du problème de BS - Remarques L EDP ne dépend pas du drift µ de l actif risqué S t, La solution en t = T est connue car v(t, x) = h(x), grâce à l EDP on peut calculer v(t, x) pour toutes les valeurs (t, x).

14 Portefeuille auto-finançant et formule de Black-Scholes Valorisation d une option - Formule de Black-Scholes Valorisation d une option Le prix d une option call (rsp. put) de strike K de maturité T dans ce cadre correspond au cas particulier v(t, x) = max(s T K, 0) (rsp. max(k S T, 0)). Dans ce cas, l EDP + condition finale a une solution appelée formule de Black-Scholes.

15 Portefeuille auto-finançant et formule de Black-Scholes Valorisation d une option - Formule de Black-Scholes Formule de Black-Scholes Théorème Le prix d un call (rsp. put) de maturité T et de strike K est donné par C(t, S t, K, T ) = S t N (d 1 ) KB(t, T )N (d 0 ) (P(t, S t, K, T ) = KB(t, T )N ( d 1 ) S 0 N ( d 0 )) avec B(t, T ) = e R T t r sds, d 0 = ln(s 0/K)+(r σ 2 /2)(T t) σ, T t d 1 = d 0 + σ T t, N est la fonction cumulative gaussienne.

16 Portefeuille auto-finançant et formule de Black-Scholes Valorisation d une option - Formule de Black-Scholes Formule de Black-Scholes : les sensibilités (grecques) Définition On définit les grandeurs suivantes (appelées grecques) : delta δ(σ, t, S t, K, T ) = C(σ, t, S t, K, T ) S t gamma γ(σ, t, S t, K, T ) = 2 C(σ, t, S t, K, T ) S 2 t vega ϑ(σ, t, S t, K, T ) = C(σ, t, S t, K, T ) σ

17 Portefeuille auto-finançant et formule de Black-Scholes Valorisation d une option - Formule de Black-Scholes Formule de Black-Scholes - Remarques Les formules sont assez simples, il est possible de calculer δ(t, x) = C S t (t, S t, K, T ) = quantité d actif risqué à détenir pour répliquer un call, Résultat très utilisé, souvent sans connaître les hypothèses de départ et le cadre de modélisation, Beaucoup d implications en finance de marché.

18 Utilisations pratiques du modèle de Black-Scholes Outline 1 Définitions Le modèle de diffusion de Black-Scholes Portefeuille auto-finançant Objectif de BS 2 Portefeuille auto-finançant et formule de Black-Scholes Formulation mathématique du problème de BS Valorisation d une option - Formule de Black-Scholes 3 Utilisations pratiques du modèle de Black-Scholes Calcul de volatilité implicite Couverture d options Autres utilisations 4 Conclusion

19 Utilisations pratiques du modèle de Black-Scholes Calcul de volatilité implicite Calcul de volatilité implicite Prix théorique d un call C(σ, K, t, T ) : dépend de la volatilité σ du modèle. C market : prix de marché d un call de strike K market et de maturité T market. Définition On appelle volatilité implicite du call C(K market, t, T market ) la valeur σ telle que : C(σ, K market, t, T market ) = C market On a aussi la volatilité implicite des puts de la même manière.

20 Utilisations pratiques du modèle de Black-Scholes Calcul de volatilité implicite Calcul numérique de volatilité implicite Recherche par dichotomie. C market est le prix de marché, ɛ la précision souhaitée. On pose σ d = 0% et σ u = 100% et on suppose que la solution σ 100%. 1 Posons σ m = σu+σ d 2. 2 Deux possibilités : Si C(σ m ) C market < ɛ σ = σ m et on arrête. Sinon on continue. 3 Deux possibilités : Si C(σ m ) > C market σ u = σ m, Si C(σ m ) < C market σ d = σ m, 4 Retour en 1)

21 Utilisations pratiques du modèle de Black-Scholes Calcul de volatilité implicite Smile de volatilité Les volatilités implicites pour une maturité donnée dépendent du strike : c est le smile de volatilité! Skew : pente de la fonction K σ (K). Smile : convexité de la fonction K σ (K). Smile et skew plus marqués pour courtes maturités.

22 Utilisations pratiques du modèle de Black-Scholes Calcul de volatilité implicite Surface de volatilité implicite (1) A une date t, on dispose de plusieurs prix de marché calls et puts pour certaines maturités (T 1,...T N ) et certains strikes par maturité. On a donc pour chaque couple maturité/strike, une volatilité implicite (call ou put, peu importe). Définition A une date donnée t, on appelle surface de volatilité la fonction V t (K, T ) qui renvoie la volatilité implicite de strike K et de maturité T.

23 Utilisations pratiques du modèle de Black-Scholes Calcul de volatilité implicite Surface de volatilité implicite (2) Problèmes : nombre limité de prix de marché pour les options VS surface de volatilité pour tous les strikes/maturités. La surface de volatilité doit être calibrée sur ces prix d options. Exemple 1 : interpolation linéaire. Exemple 2 : Approximation paramètrique.

24 Utilisations pratiques du modèle de Black-Scholes Couverture d options Couverture delta-neutre Réplication d une option avec un portefeuille autofinançant V t : 1 Vente d un call au prix C market, calcul de la volatilité implicite σ. 2 En t 0 = t : achat de δ(σ, t 0, S t0 ) actifs risqués, placement de C market δ(σ, t 0, S t0 )S t0 en cash. 3 Rebalancement en t i+1 : achat de δ(σ, t i+1, S ti+1 ) δ(σ, t i, S ti ) actifs risqués, placement de (δ(σ, t i+1, S ti+1 ) δ(σ, t i, S ti ))S ti+1 en cash. 4 A maturité, V T max(s T K, 0).

25 Utilisations pratiques du modèle de Black-Scholes Couverture d options Couverture delta-neutre : Remarques Couverture à dates discrètes imparfaite (ex : -10% dans une journée). Volatilité réelle volatilité implicite mauvaise couverture. Traders : marge de liberté...

26 Utilisations pratiques du modèle de Black-Scholes Autres utilisations Autres utilisations Couverture d un portefeuille d options. Valorisation de produits plus complexes (par différences finies, Monte-Carlo). Calculs de sensibilités sur portefeuilles d options...

27 Conclusion Outline 1 Définitions Le modèle de diffusion de Black-Scholes Portefeuille auto-finançant Objectif de BS 2 Portefeuille auto-finançant et formule de Black-Scholes Formulation mathématique du problème de BS Valorisation d une option - Formule de Black-Scholes 3 Utilisations pratiques du modèle de Black-Scholes Calcul de volatilité implicite Couverture d options Autres utilisations 4 Conclusion

28 Conclusion Conclusion Modèle le plus connu utilisé comme benchmark (volatilité implicite,...). Monde idéal ne respectant pas les limites de la réalité (couverture instantanée,...). Théorie compliquée mais utilisation simple erreurs courantes. Très peu utilisé pour valoriser les produits complexes, mais plutôt comme socle de vocabulaire commun.

29 Cocktail! Cocktail Champagne!