1M002 - Deuxième partie : Calcul Matriciel Chapitre 5 : Résolution des systèmes linéaires. Le pivot de Gauss

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1 M002 - Deuxième partie : Calcul Matriciel Chapitre 5 : Résolution des systèmes linéaires. Le pivot de Gauss Antonin Guilloux 6 février 207 Antonin Guilloux Calcul Matriciel 6 février 207 / 4

2 Opérations élémentaires Opérations élémentaires Soit (S) : AX = b un système linéaire. On définit trois opérations élémentaires pour manipuler le système en ne changeant pas l ensemble des solutions : Les dilatations. Les transvections. Les permutations. Antonin Guilloux Calcul Matriciel 6 février / 4

3 Opérations élémentaires Opérations élémentaires : la dilatation On remplace la ligne i (notée L i ) de la matrice augmentée par L i = αl i pour α un réel non nul. On note cette opération L i αl i. Ça revient à multiplier la matrice augmentée à gauche par la matrice diagonale :... D i (α) = α,... où le α est en i-ème ligne. Antonin Guilloux Calcul Matriciel 6 février / 4

4 Opérations élémentaires Opérations élémentaires : la transvection On remplace la ligne i (notée L i ) de la matrice augmentée par L i = L i + tl j pour t un réel et j i un numéro de ligne. On note cette opération L i L i + tl j. Ça revient à multiplier la matrice augmentée à gauche par la matrice :... t T ij (t) =.,..... où le t est en i-ème ligne, j-ième colonne. Antonin Guilloux Calcul Matriciel 6 février / 4

5 Opérations élémentaires Opérations élémentaires : la permutation On échange les lignes i et j (notée L i et L j ) de la matrice augmentée. On note cette opération L i L j. Ça revient à multiplier la matrice augmentée à gauche par la matrice :... 0 P ij =..., 0... où les deux en dehors de la diagonale ont pour indices (i, j) et (j, i). Antonin Guilloux Calcul Matriciel 6 février / 4

6 Opérations élémentaires Réversibilité des opérations élémentaires Proposition Si un système (S ) est obtenu à partir de (S) par une des trois opérations, alors le contraire est aussi vrai : (S) est obtenu à partir de (S ) par une de ces trois opérations. En particulier les matrices D i (α) (pour α 0), T ij (λ) et P ij sont inversibles. On a même : D i (α) = D i ( α ) T ij(t) = T ij ( t) P i j = P ij Antonin Guilloux Calcul Matriciel 6 février / 4

7 Opérations élémentaires Les opérations ne changent pas les solutions Proposition Si un système (S ) est obtenu à partir de (S) par une des trois opérations élémentaires, alors ils ont les mêmes solutions. On dit qu ils sont équivalents. De plus, ils ont même rang. Antonin Guilloux Calcul Matriciel 6 février / 4

8 L algorithme L algorithme, exemple On isole le pivot : 0 0 b b b b b b 3 On fait L 2 L 2 2L et L 3 L 3 5L, pour obtenir : 0 0 b b 2 2b b 3 5b Antonin Guilloux Calcul Matriciel 6 février / 4

9 L algorithme L algorithme, exemple On avait obtenu : 0 0 b b 2 2b b 3 5b On applique L 3 L 3 2L 2, et on obtient :. 0 0 b b 2 2b b 3 2b 2 b 0 0 b b 2 2b b 3 2b 2 b. Étape optionnelle : on fait L L L 3 et L 2 L 2 L 3. On obtient : b + 2b 2 b b + 3b 2 b 3. Antonin Guilloux Calcul Matriciel 6 février / 4

10 Résolution des systèmes Matrices échelonnées On dit qu une matrice est échelonnée si elle est de la forme : Il y a r lignes non nulles qui commencent par des appelés pivots, ces étant de plus en plus à droite. On dit qu elle est échelonnée réduite si en plus les coefficients au-dessus des pivots sont nuls. Un système linéaire AX = b, où A est échelonnée avec r lignes non nulles, est très facilement résolu. De plus, son rang est r. Antonin Guilloux Calcul Matriciel 6 février / 4

11 Résolution des systèmes Résolution des systèmes On part d un système (S) de matrice augmentée (A b) à p équations et n inconnues. On applique l algorithme de Gauss, on arrive à (S ), de matrice augmentée (A b ), où A est échelonnée, à r lignes non nulles. Proposition sur le rang Le rang de (S) est r. Question de cours : résolution des systèmes (S) a des solutions si et seulement si b r+ =... = b p = 0. Si (S) a des solutions, alors il y a n r degré de liberté. Si n = r = p, il y a une unique solution pour tout second membre : c est le cas où A est inversible. Antonin Guilloux Calcul Matriciel 6 février 207 / 4

12 Conséquences matricielles Échelonnement et inversion Lemme Un produit de matrices inversibles est inversible. Proposition Pour toute matrice A M p,n (R), il existe une matrice P M p (R) inversible telle que PA est échelonnée. Proposition Soit A M p (R) et P inversible telle que PA est échelonnée réduite. Si PA = I p, alors P = A. Si PA a au moins une ligne nulle, A n est pas inversible. Antonin Guilloux Calcul Matriciel 6 février / 4

13 Exemple Conséquences matricielles Soit pour x réel, A x = 2 4 x (A x I 3 ) L 2 L 2 L L 3 L 3 L Si x =, la matrice n est pas inversible x 0 = (A x P ) Antonin Guilloux Calcul Matriciel 6 février / 4

14 Conséquences matricielles Si x : (A x P) L 3 x L 3 L L L 2 L L +2L 3 L 2 L 2 3L x 0 x x x 4 x 2 x 0 0 x+4 x 3 x 0 0 x 0 x 2x 4 2 A x x x+4 3 x = x x x 0 x x Antonin Guilloux Calcul Matriciel 6 février / 4