Comportement Mécanique des

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1 Comportement Mécanique des Matériaux Roland FORTUNIER École Nationale Supérieure des Mines 158 cours Fauriel Saint-Etienne cedex 2

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3 Table des matières Introduction 7 1 Essais mécaniques - Lois simples Paramètres importants Élément de volume représentatif Vitesse de déformation et température Direction de sollicitation Types de sollicitation Essais monotones Essais cycliques Dureté et résilience Quelques lois simples Thermodynamique des milieux continus Équations de base Définition des variables Équations de conservation, premier principe Inégalité de Clausius-Duhem, second principe lois de comportement Variables d état, potentiel thermodynamique

4 2.2.2 Lois complémentaires, potentiel de dissipation Cas de la dissipation instantanée Élasticité - Viscoélasticité Élasticité linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Relations de symétrie Différents comportements élastiques Thermoélasticité linéaire Viscoélasticité linéaire Modèle de Kelvin-Voigt Modèle de Maxwell Plasticité - Viscoplasticité Résultats expérimentaux Limite d élasticité Anisotropie Modélisation mécanique Contrainte équivalente Variables d écrouissage Comportement élastoplastique Loi de normalité Condition de consistance Comportement élastoviscoplastique Loi de normalité Potentiel d écoulement

5 4.5 Quelques exemples Ecrouissage isotrope Ecrouissage cinématique linéaire Ecrouissage combiné Endommagement - Rupture Endommagement Description Mesure Rupture Description Mécanique de la rupture

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7 Introduction L étude du comportement mécanique des matériaux a pour but de connaître leur réponse à une sollicitation donnée. Les variables mises en jeu dans ce domaine sont : le tenseur des contraintes σ le tenseur des déformations ɛ L objectif de ce document est de donner un aperçu assez général du comportement mécanique des matériaux, et de sa modélisation. En effet, si l élasticité linéaire représente actuellement le cadre de la majorité des calculs de mécanique des milieux continus réalisés dans l industrie, d autres types de comportement sont de plus en plus utilisés car ils s approchent plus de la réalité, et permettent donc un dimensionnement plus strict des structures ou de certains procédés. Un premier exemple concerne le dimensionnement d une structure, en vue de l adapter aux sollicitations qu elle subira (choix du matériau, optimisation de la forme, respect des points de fonctionnement,... ). Dans des zones accidentées telles que les congés de raccordement, ou au voisinage de porosités ou d inclusions, la sollicitation mécanique en service est amplifiée par un certain facteur. On parle de concentration de contraintes. Lorsque ces zones sont relativement petites, le matériau peut avoir un comportement globalement élastique, alors que la structure plastifie localement. La prise en compte de cette plastification locale permet d améliorer par exemple les prévisions de durée de vie des structures dans l automobile ou dans l aéronautique. Un autre exemple est la mise en forme d une pièce (forgeage, emboutissage,... ), où la déformation plastique du matériau est à la base du procédé. La connaissance de son comportement plastique permet de mieux appréhender les efforts qui seront mis en jeu (gamme de fabrication, choix de la presse, cadence,... ), ainsi que les défauts susceptibles d être générés par cette mise 7

8 en forme. Dans le chapitre un de ce document, nous décrivons les essais mécaniques couramment utilisés pour caractériser le comportement mécanique des matériaux, puis nous donnons quelques lois phénoménologiques utilisées dans les calculs simples. Dans le chapitre deux, nous donnons le cadre thermodynamique dans lequel les lois de comportement des matériaux doivent s inscrire. Ensuite, nous nous intéressons aux comportement élastiques, thermoélastiques et viscoélastiques linéaires, puis à la modélisation de l écrouissage plastique ou viscoplastique. Le dernier chapitre est consacré aux principaux modèles d endommagement et de rupture des matériaux. Les concepts introduits dans ce document pourront être approfondis dans [4]. Le lecteur pourra également utiliser [2] pour mieux comprendre les liens entre les aspects microscopiques et macroscopiques du comportement des métaux, et [5] pour une analyse détaillée des mécanismes physiques et de la mécanique de l endommagement. 8

9 Chapitre 1 Essais mécaniques - Lois simples 1.1 Paramètres importants Élément de volume représentatif Pour réaliser un essai mécanique, un élément de volume représentatif du matériau doit être utilisé, afin que les hypothèses des milieux continus soient satisfaites. Le tableau 1.1 donne, en fonction du type de matériau, la taille caractéristique minimale de l éprouvette qu il conviendra d utiliser. Type de type et taille élément de volume matériau des hétérogénéités caractéristique métaux et alliages grain : 0,001 à 0,1mm 0,5 0,5 0,5mm polymères molécule : 0,01 à 0,05mm 1 1 1mm bois fibres : 0,1 à 1mm mm béton granulats : 10mm mm Tab. 1.1 éléments de volumes macroscopiques Le dépouillement des essais consiste ensuite souvent à transformer les courbes force-déplacement obtenues en courbes contrainte-déformation, appelées courbes rationnelles. La figure 1.1 donne une courbe rationnelle typique obtenue pour différents types de matériaux. Il faut noter ici que la courbe rationnelle relie deux scalaires entre eux (une contrainte σ et une déformation 9

10 ɛ), et non deux tenseurs. Le choix de ces scalaires dépend du type d essai et du type de matériau. Fig. 1.1 Courbes rationnelles typiques de différents matériaux Vitesse de déformation et température La vitesse de déformation peut avoir une influence déterminante sur le comportement des matériaux. Lors de la réalisation d un essai, on doit donc utiliser une vitesse aussi proche que possible de celle qui sera utilisée par la suite (e.g. lorsque l on utilisera la loi de comportement obtenue dans un calcul de dimensionnement). Par exemple, si l objectif est de valider la tenue en fluage d une structure, sous l effet de son propre poids, la vitesse de déformation à considérer sera très faible. Par contre, si l objectif est de valider la tenue aux séismes de cette structure, alors cette même vitesse de déformation pourra prendre des valeurs beaucoup plus élevées, et la loi de comportement à utiliser ne sera sans doute pas la même. Ceci conduit à différents types d essais, qui peuvent être classés en fonction de la vitesse de déformation mise en jeu (tableau 1.2). Par exemple, un essai quasi-statique de compression uniaxiale sera réalisé à l aide d une machine hydraulique ou mécanique. l éprouvette est fixée d un côté sur une traverse fixe, et de l autre sur une traverse qui se déplacera à une vitesse donnée, relativement lente. Le dépouillement de l essai se fera dans le régime quasi-statique, c est-à-dire sans prendre en compte les effets d inertie dans les équations d équilibre. Par contre, dans le régime dynamique, la machine classique ne suffira plus car la traverse ne pourra plus atteindre la vitesse requise. L essai sera alors réalisé sur un système de barres 10

11 temps vitesse de régime régime caractéristique (s) déformation (s 1 ) mécanique thermique fluage isotherme 10 4 à à 10 2 quasi-statique isotherme 1 1 intermédiaire intermédiaire 10 2 à à 10 4 dynamique intermédiaire impact adiabatique Tab. 1.2 temps caractéristiques et types d essais de Hopkinson (figure 1.2), où l éprouvette est sollicitée par l onde élastique de compression arrivant de la barre incidente. Pour dépouiller l essai, il faudra prendre en compte l inertie mécanique du matériau, qui produit un pic de force au début de la sollicitation. Enfin, dans le régime d impact, on utilisera par exemple un essai d impact de plaques (figure 1.3). Une plaque incidente vient impacter à 500m/s environ la plaque étudiée, qui est sollicitée directement en traction lors du croisement des ondes élastiques de traction issues de la réflexion des ondes de compression sur les faces libres avant et arrière. Le dépouillement de ce type d essais est relativement complexe, d une part à cause de l électronique nécessaire pour capter des phénomènes se produisant en quelques nanosecondes, et d autre part à cause du comportement mécanique du matériau, qui s approche ici plus d une courbe pressionvolume (diagramme de Clapeyron) que d une courbe classique contraintedéformation. Fig. 1.2 Barres de Hopkinson Dans la suite de ce document, nous nous limiterons aux régimes mécaniques de fluage et quasi-statiques, c est-à-dire à une vitesse de déformation comprise en 10 6 et 10 2 s 1. Cette plage de variation couvre la majorité des procédés de mise en forme actuels, bien que la tendance soit à l augmentation des cadences, et donc de la vitesse de déformation. Par exemple, lors du laminage à froid d une tôle d acier, la vitesse de déformation peut parfois atteindre 100s 1. Dans ce type de régime, les effets d inertie sont négligés dans le dépouillement de l essai, et également lors de la simulation du procédé. Par contre, même à l intérieur de ces régimes, la vitesse de déformation peut avoir 11

12 Fig. 1.3 Impact de plaques une forte influence sur le comportement mécanique du matériau. La figure 1.4 illustre cette influence (résultat typique d un essai de traction réalisé en changeant la vitesse de déformation). On dit alors que le matériau est sensible à la vitesse de déformation. Cette sensibilité sera d autant plus forte que les deux courbes en pointillés de la figure 1.4 seront éloignées. Fig. 1.4 Courbe de traction typique avec sauts de vitesse Dans le cadre thermodynamique général des milieux continus, les aspects mécaniques et thermiques sont naturellement couplés. Ceci met clairement en évidence l importance de la température de l éprouvette lors de la réalisation d un essai, et le couplage de cette influence avec la vitesse de déformation. 12

13 Dans le tableau 1.2, le régime thermique d un essai est indiqué, en fonction de la vitesse de déformation mise en jeu. La puissance de déformation plastique σ : ɛ p est essentiellement dissipée en chaleur dans l élément de volume considéré. Par exemple, il est aujourd hui communément admis que, dans les métaux, environ 90% de la puissance de déformation plastique est dissipée en chaleur, le reste étant stocké dans le matériau. Cette chaleur doit donc être évacuée par conduction thermique. Lors d essais lents (régimes mécaniques de fluage ou quasi-statiques), la chaleur a le temps de se dissiper, se sorte que l on peut considérer que l essai est isotherme. Dans un régime intermédiaire ou d impact, l éprouvette s échauffe vite, et la chaleur produite n a pas le temps de se dissiper. Ceci a une conséquence sur le comportement du matériau, et sur l évolution de sa structure. Pour simuler un procédé de mise en forme, la loi de comportement du matériau est donc souvent donnée à différentes températures. Des essais à différentes températures sont donc réalisés. Ceci peut changer non seulement le niveau de contrainte (pour une déformation donnée), mais aussi la forme de la loi elle-même (présence ou non de recristallisation dynamique,... ) Direction de sollicitation Lors de la réalisation d essais mécaniques, le choix de la direction de sollicitation peut s avérer primordial. En effet, il conditionne souvent le domaine de validité de la loi de comportement obtenue. On peut classer les directions de sollicitation en deux grandes catégories : les sollicitations uniaxiales et les sollicitations multiaxiales. On parle alors d essai uniaxial ou d essai multiaxial. Les principaux essais uniaxiaux utilisés sont : la traction-compression la torsion la flexion L éprouvette est alors sollicitée dans une direction de l espace des contraintes. La variation d un paramètre de l essai ne change pas cette direction. Les essais multiaxiaux sont nombreux et variés. Ils sont plus difficiles à interpréter. Ils consistent le plus souvent à combiner plusieurs sollicitations uniaxiales entre elles au cours du temps, de façon à tester l influence de la direction 13

14 de sollicitation sur le comportement du matériau. L essai multiaxial le plus courant est celui de traction-torsion. Traction-Compression La traction-compression est l essai le plus couramment utilisé sur les métaux (figure 1.5). Toutefois, les déformations atteintes par ce type d essai sont limitées par la rupture du matériau (en traction), et par le flambage de l éprouvette (en compression). Ce type d essai est donc principalement utilisé pour obtenir une loi de comportement simple et rapide en traction, ou pour solliciter cycliquement le matériau en traction-compression, à faibles déformations, et obtenir une loi de comportement en fatigue (voir paragraphe suivant). Fig. 1.5 Schématisation de l essai de traction-compression Pour avoir accès à une loi de comportement valable pour de plus grandes déformations qu en traction, on réalise donc des essais spécifiques de compression (figure 1.6). Le dépouillement de l essai est cependant rendu délicat par la présence de frottement à l interface éprouvette-outil. Torsion L essai de torsion (figure 1.7) permet d avoir accès à une loi de comportement pour de grandes déformations, sans problèmes de frottement entre l éprouvette et l outil. Cependant, la déformation et la contrainte ne sont pas homogènes le long du rayon de léprouvette. On utilise donc parfois un cylindre à paroi mince comme éprouvette. 14

15 Fig. 1.6 Schématisation de l essai de compression Fig. 1.7 Schématisation de l essai de torsion Flexion La flexion (figure 1.8) est l essai le plus couramment employé sur les céramiques. La flexion quatre points permet de solliciter le matériau avec un moment constant entre les deux points d application de la charge. Comme en torsion, la déformation et la contrainte ne sont pas constantes dans l épaisseur de l éprouvette. 1.2 Types de sollicitation Essais monotones Les essais monotones les plus classiques sont ceux de traction, de compression, de torsion et de flexion. La sollicitation est alors appliquée au matériau jusqu à sa rupture (traction, torsion, flexion) ou jusqu à une déformation suf- 15

16 Fig. 1.8 Schématisation de l essai de flexion quatre points fisamment grande (compression). En fonction du mode d application de la sollicitation, on peut réaliser principalement des essais d écrouissage, de fluage, ou de relaxation, et les combiner entre eux (essais d écrouissage-relaxation,... ). La figure 1.9 montre une courbe force-allongement (et la courbe contraintedéformation associée) typique obtenue sur un métal lors d un essai d écrouissage en traction monotone. Ce type d essai est généralement réalisé à des vitesses comprises entre 10 3 et 1s 1. On distingue successivement : un domaine de comportement élastique réversible, où l arrêt de la sollicitation permet à l éprouvette de retourner dans son état initial, et où les contraintes et les déformations sont reliées linéairement par la loi de Hooke un domaine de comportement plastique homogène, caractérisé par une déformation irréversible du matériau. un domaine de comportement plastique hétérogène, initié par l apparition d une striction. La déformation se localise dans l éprouvette jusqu à rupture de celle-ci. Les essais de fluage sont réalisés en appliquant une contrainte constante au matériau, en général en traction. Le type de courbe obtenu est donné sur la figure Elle représente la déformation de l éprouvette en fonction du temps, pour une contrainte constante donnée. Une première déformation apparaît instantanément à la mise en charge. C est la déformation correspondant à la contrainte appliquée dans un essai d écrouissage. Ensuite, une déformation lente apparaît au cours du temps. La vitesse de déformation est de l ordre de 10 6 à 10 4 s 1. Dans un premier temps (domaine de fluage primaire), elle décroît, pour atteindre une valeur constante dans le domaine de 16

17 Fig. 1.9 Essai d écrouissage en traction fluage secondaire (ou fluage stationnaire). Enfin, cette vitesse de déformation augmente (domaine de fluage tertiaire) jusqu à la rupture. Les essais de relaxation servent à caractériser l évolution au cours du temps des contraintes internes d un matériau. Pour cela, On applique une déformation constante à l éprouvette, puis on observe l évolution de la contrainte (figure 1.11). Ce type d essai est très utilisé pour obtenir les propriétés viscoplastiques du matériau. 17

18 Fig Représentation schématique d une courbe de fluage Fig Représentation schématique d un essai de relaxation Essais cycliques Les essais cycliques sont caractérisés par une suite de sollicitations alternées. Les plus courants sont ceux de traction-compression, mais on utilise également 18

19 des essais de flexion ou de torsion alternée. L objectif de ces essais est d obtenir la loi de comportement cyclique du matériau, qui caractérise son évolution au fur et à mesure des cycles de sollicitation. Les essais de tractioncompression peuvent être réalisés à déformation ou à contrainte imposée. La figure 1.12 montre le type de résultats obtenus en déformation imposée (traction-compression par exemple), dans le cas d un matériau à durcissement cyclique. Lorsque l amplitude de contrainte n évolue plus sur plusieurs cycles, on dit que l on a atteint le cycle stabilisé. Pour obtenir la loi de comportement cyclique du matériau, on effectue plusieurs essais à déformation imposée plus ou moins grande. Pour chaque essai, on note l amplitude de contrainte aux cycles stabilisés, que l on trace en fonction de l amplitude de déformation. La figure 1.13 montre le type de courbe obtenu, appelé courbe de consolidation cyclique. Cette courbe ressemble à celle obtenue lors d un essai d écrouissage, mais ne traduit pas du tout le même type de comportement. Fig Essai cyclique à déformation imposée Lors d essais cycliques, le matériau rompt au bout d un certain nombre de cycles. L endommagement du matériau au cours de l essai est appelé fatigue. On parle donc couramment d essais de fatigue lorsque la sollicitation est cyclique. La fréquence de sollicitation est ici donnée par le nombre de cycles par seconde. Notons également que les cycles de déformation (ou de contraintes) peuvent être plus ou moins compliqués. Ils peuvent par exemple présenter un plateau (déformation constante), de sorte qu à chaque cycle, il 19

20 Fig courbe de consolidation cyclique typique se produit un phénomène de relaxation des contraintes. Fig courbe de Woehler typique Le nombre de cycles à rupture lors d un essai de fatigue est un renseignement intéressant. Il pourra en effet être utilisé ultérieurement pour prévoir la durée de vie d une pièce en service, en fonction de ses sollicitations. La courbe la plus largement utilisée pour représenter la durée de vie des matériaux est la courbe de Woehler. L amplitude de contrainte est donnée en fonction du nombre de cycle à rupture (figure 1.14). On distingue sur cette courbe 20

21 un domaine dit oligocyclique, où le nombre de cycles à rupture est relativement faible. Ce domaine est caractérisé par une plastification globale de l éprouvette à chaque cycle. Dans le domaine dit d endurance limitée, la consolidation cyclique diminue la plastification de l éprouvette au cours des cycles. Le nombre de cycles à rupture est plus élevé. Enfin, dans le domaine d endurance, le comportement de l éprouvette est purement élastique. Pour certains matériaux, on peut même considérer que, en-dessous d une certaine amplitude de contrainte (la limite d endurance), le nombre de cycles à rupture est infini Dureté et résilience D autres essais mécaniques peuvent être utilisés pour caractériser le comportement d un matériau. Les plus fréquents sont l essai de dureté, destiné le plus souvent à estimer rapidement et simplement la limite d élasticité du matériau, et l essai de résilience visant à caractériser le risque de rupture fragile du matériau. Essai de dureté L essai de dureté est largement utilisé sur les métaux. Il caractérise la résistance qu oppose le matériau à la pénétration d un autre corps plus dur que lui. Ainsi, pour des conditions expérimentales données, la dureté du métal sera d autant pus grande que la pénétration du corps sera faible. Il existe trois principaux type d essais de dureté, qui différent essentiellement par la forme du pénétrateur : l essai Brinell, l essai Vickers et l essai Rockwell : Dans l essai Brinell, le pénétrateur est une bille en acier extra-dur de diamètre D. On la pose sur l échantillon à étudier et on exerce sur elle une force F pendant un temps donné t. La dureté est ensuite calculée comme le rapport entre F (exprimée en Kgf) et la surface S (exprimée en mm 2 ) de la calotte sphérique ainsi formée : H B = F/S. La surface S peut être aisément calculée à partir du diamètre d de l empreinte. Il est évident que la valeur H B obtenue doit être accompagnée des caractéristiques de l essai : la force appliquée F, le temps d application t, et le diamètre de la bille D. La valeur de la charge peut atteindre 3000Kg, et le diamètre D de la bille est en général de 5 ou 10mm. Dans l essai Vickers (figure 1.15), le pénétrateur est une pyramide en diamant à base carrée dont l angle au sommet est de 136. L empreinte 21

22 formée est donc pyramidale. Si S est la surface latérale de cette empreinte (exprimée en mm 2 ), d sa diagonale (en mm) et F la force appliquée (en Kgf), alors la dureté est : H v = F/S 1,8544F/d 2. La charge utilisée est en général comprise entre 5 et 120Kg. Toutefois, il est possible de faire des essais dits de microdureté avec des charges n excédant pas 100g si l on veut étudier une zone très locale du matériau. Ces essais sont alors réalisés et analysés sous microscope. Dans l essai Rockwell, le pénétrateur est soit une bille, soit un cône de diamant d angle au sommet 120, avec une extrémité sphérique de 0,2mm de diamètre. On ne mesure plus la surface de l empreinte, mais sa profondeur. On applique en général une précharge d environ 10Kg avant l essai, et on mesure l évolution de la profondeur de l empreinte lors du passage à la charge totale. La valeur de la dureté est notée H R, avec un indice supplémentaire donnant le type de bille ou cône utilisé et la charge F utilisée. Par exemple, H RA correspond à un cône et une charge de 60Kg, et H RB à une bille de diamètre 1,59mm (1/16 de pouce) et une charge de 100Kg. Fig Essai de dureté Vickers Pour déterminer la dureté d un matériau, il est indispensable de faire plusieurs mesures et d adopter une valeur moyenne. Parfois, les mesures successives sont réalisées le long d une droite, par exemple dans l épaisseur d une pièce préalablement coupée. On parle alors de profil de dureté. Entre deux empreintes, il convient de laisser suffisamment de distance, pour éviter que la déformation du métal lors de l essai précédent ait une influence sur le résultat de l essai courant. 22

23 L essai Brinell est peu sensible à l état de surface car il conduit à des empreintes relativement larges. Par contre, il n est pas possible de l utiliser correctement sur des métaux très durs. Les essais Vickers et Rockwell peuvent être utilisés sur tout type de métal, mais sont sensibles à l état de surface. L essai de dureté le plus utilisé aujourd hui est l essai Vickers. On en déduit une dureté H v. Parfois, on parle de dureté vraie, et on la note H. En fait, cette dureté vraie est la rapport entre la force appliquée, F (en Kgf), et la surface de l empreinte projetée sur la face étudiée, S p (en mm 2 ). Il existe des abaques pour relier H à H v, et également pour relier les différents types de dureté entre eux. La dureté vraie H est utilisée car elle permet d avoir une première estimation, par un essai simple, de la limite d élasticité du matériau σ 0. On peut en effet considérer en première approximation que H = 3σ 0. Un facteur correctif est cependant souvent utilisé pour rendre compte de l écrouissage du matériau. L essai de résilience L essai de résilience sur éprouvette entaillée a pour but de caractériser le risque de rupture fragile du matériau. On appelle résilience l énergie de rupture ramenée ou non à la section sous entaille de l éprouvette. Elle s exprime donc en J/cm 2 ou en J. C est une mesure de la ténacité du matériau, c està-dire de sa capacité globale à absorber de l énergie. L appareil couramment utilisé pour les essais de résilience est le mouton de Charpy (figure 1.16). Un couteau de masse M situé à l extrémité d un bras de longueur l vient rompre par impact une éprouvette. L énergie absorbée par la rupture est Mgl(cos(β) cos(α)), où g est l accélération de la pesanteur, α l angle de départ du bras, et β l angle de remontée du bras après impact. Il convient cependant de soustraire à cette valeur le travail de frottement du bras sur son axe et celui des fragments de matériau projetés. Les valeurs courantes de résilience ainsi mesurées sont de l ordre de 100 à 300J sur des aciers. Les éprouvettes sont des parallélépipèdes entaillés à l opposé du point d impact. Si l entaille est en forme de V, la résilience est notée k V. Si l entaille est en forme de U, la résilience est notée k U. Les dimensions des éprouvettes et des entailles sont normalisées. L essai de résilience est très facile à mettre en oeuvre. Il est largement utilisé dans l industrie pour évaluer l incidence d une opération de mise en forme ou de traitement thermique sur les caractéristiques du matériau. Par exemple, la résilience d un acier normalisé est donnée, et devra être respectée par le fa- 23

24 Fig Essai de résilience bricant de cet acier. Par contre, des essais de résilience ne pourront être comparés que s ils sont réalisés dans les mêmes conditions (forme d éprouvette, température,... ). La résilience mesurée par un essai Charpy n est qu une valeur d énergie globale caractérisant le matériau dans les conditions de l essai. Elle n est pas en relation directe avec une propriété intrinsèque du matériau. Pour remonter à des propriété plus locale, on peut par exemple utiliser un essai de Charpy instrumenté, où on mesure l évolution de la charge au cours du temps. En fait, la résistance à la rupture brutale d un matériau est maintenant étudiée à l aide de la mécanique de la rupture. Un facteur d intensité de contraintes critique k Ic caractérise par exemple la résistance d un matériau à la propagation brutale d une fissure en déformation plane. C est un paramètre intrinsèque du matériau. Des corrélations empiriques ont été établies pour certains matériaux entre les valeurs de k Ic et la résilience k V. Le facteur d intensité de contraintes est décrit plus en détails dans le dernier chapitre de ce document. 24

25 1.3 Quelques lois simples Le principal objectif des essais mécaniques est la mise en place d une loi destinée à être utilisée pour la prévision du comportement du matériau. Cette loi de comportement pourra par exemple être appliquée lors de la mise en forme d une pièce, pour calculer les efforts nécessaires (choix des outillages et de la presse), pour évaluer l aptitude du matériau à cette mise en forme (remplissage des formes),.... Pour ce type d application, il n est parfois pas nécessaire de faire appel à des lois compliquées. On se contente alors de relations simples, qui servent simplement à décrire le comportement du matériau dans un cas particulier. Nous allons voir ici quelques relations d ecrouissage issues d essais de traction. Une courbe contrainte-déformation (σ ɛ) lors d un essai d écrouissage est caractérisée par une partie élastique et une partie plastique. Nous nous intéressons ici principalement à la partie plastique. Cette courbe sera donc parfois transformée comme décrit sur la figure La déformation plastique sera notée ɛ p et la contrainte σ. Dans le cas d un essai de traction par exemple, on aura σ = F, où F est la force appliquée, et S la section courante S de l éprouvette, et ɛ p = ɛ ɛ e = ln( l l 0 ) σ, où l est la longueur de la partie utile de l éprouvette (l 0 la longueur initiale) et E le module d Young du E matériau. Fig courbe de traction En pratique, pour beaucoup de matériaux (dont la plupart des métaux), la partie élastique de la déformation est très faible devant la partie plastique lors d une opération de mise en forme. Il est donc fréquent, dans une approche phénoménologique, de négliger ɛ e, et donc de confondre ɛ et ɛ p. Les principales lois de comportement phénoménologiques utilisées sont les 25

26 suivantes : la loi de Hollomon ou loi puissance, décrite sur la figure 1.18, où la contrainte est donnée sous la forme (K et n sont deux paramètres) : σ = Kɛ n (1.1) Fig loi de Hollomon Pour identifier les paramètres K et n, on transforme la courbe en ln(σ) ln(ɛ), qui devient linéaire. La pente de cette courbe donne le coefficient n = dln(σ), appelé coefficient d écrouissage. dln(ɛ) la loi de Ludwik, décrite sur la figure 1.19, qui a la forme (σ e, K et n sont des paramètres) : σ = σ e + Kɛ n (1.2) Fig loi de Ludwik 26

27 Pour obtenir les paramètres σ e, K et n, il faut dans ce cas tout d abord identifier σ e, qui est en fait la limite d élasticité du matériau, puis transformer la courbe en ln(σ σ e ) ln(ɛ) pour obtenir les deux autres paramètres. Il faut signaler ici que le paramètre n n est pas ici le coefficient d écrouissage du matériau. la loi de Swift ou loi de Krupkowski, représentée sur la figure 1.20, qui s écrit (K, ɛ 0 et n sont des paramètres) : σ = K(ɛ 0 + ɛ) n (1.3) Fig loi de Swift On remarque qu avec cette loi, la limite d élasticité du matériau vaut σ e = Kɛ n 0, et que le paramètre n n est pas le coefficient d écrouissage du matériau. 27

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29 Chapitre 2 Thermodynamique des milieux continus 2.1 Équations de base Définition des variables Le comportement mécanique des matériaux doit être schématisé en respectant les énoncés fondamentaux de la thermodynamique. Pour cela, on isole une partie quelconque Ω A d un solide Ω. Dans cette partie Ω A, le solide est soumis à des forces volumiques f v (par exemple son poids propre), et reçoit une densité volumique de chaleur r (par exemple lors d un chauffage par induction). La frontière Ω A, de normale unitaire n, entre cette partie et le solide complet Ω, est soumise à un vecteur contrainte t = σ. n (qui schématise les actions mécanique de Ω sur Ω A ). Elle échange également un flux de chaleur q (par conduction thermique entre Ω et Ω A ). Ceci est schématisé sur la figure Équations de conservation, premier principe En notant ρ la masse volumique du matériau, et v la vitesse des points matériels qui le constituent, on peut maintenant écrire les lois de conservation 29

30 Fig. 2.1 Sollicitation thermodynamique appliquée à un solide suivantes : conservation de la quantité de mouvement d ρ v dv = t ds + f v dv (2.1) dt Ω A Ω A Ω A conservation de la masse d ρdv = 0 (2.2) dt Ω A conservation de l énergie (ou premier principe de la thermodynamique) de dt + dk dt = P e + Q (2.3) Les quantités mise en jeu dans la dernière équation peuvent être obtenues de la façon suivante : la variation d énergie interne E, en définissant l énergie interne spécifique e du matériau : de dt = d ρedv (2.4) dt Ω A la variation d énergie cinétique K, en utilisant la conservation de la masse et en définissant l accélération γ = d v des points du matériau : dt dk dt = d 1 dt Ω A 2 ρ v. v dv = (ρ γ ). v dv (2.5) Ω A 30

31 la puissance des efforts mécaniques, en utilisant la conservation de la quantité de mouvement, la conservation de la masse, et le théorème de la divergence : P e = t. v ds+ f v. v dv = (ρ γ ). v dv+ σ : ɛdv (2.6) Ω A Ω A Ω A Ω A le taux de chaleur reçu par le matériau, en utilisant le théorème de la divergence : Q = q. n ds + Ω A rdv = Ω A div( q )dv + Ω A rdv Ω A (2.7) On voit maintenant apparaître les tenseurs des contraintes σ et des vitesses de déformation ɛ. En utilisant toutes ces équations, et le fait qu elles doivent être vérifiées dans tout domaine Ω A, on aboutit à la relation suivante : ρė = σ : ɛ + r div( q ) (2.8) Cette relation donne la variation d énergie interne du matériau, par unité de volume, en fonction de sa vitesse de déformation (et des contraintes associées) et de son flux de chaleur reçu (en surface et en volume) Inégalité de Clausius-Duhem, second principe La température T et l entropie S sont les deux variables introduites par le second principe de la thermodynamique, qui stipule que la vitesse de variation de l entropie est toujours supérieure ou égale au taux de chaleur reçu divisé par la température : ds dt Ω A r q. n T dv ds (2.9) Ω A T Cette inégalité peut aussi s écrire, en utilisant l entropie spécifique du matériau s telle que S = Ω A ρsdv, de la façon suivante : Ω A (ρ ds dt + div( q T ) r T 31 )dv 0 (2.10)

32 En exprimant r à l aide de la relation issue du premier principe, en remarquant que div( q ) = div( q ) q. grad(t ), et en multipliant par T (variable T T T 2 positive), on en déduit l inégalité locale suivante : σ : ɛ + ρ(t ṡ ė) q T. grad(t ) 0 (2.11) En introduisant finalement l énergie libre spécifique du matériau ψ = e T s, on obtient l inégalité de Clausius-Duhem : σ : ɛ ρ( ψ + st q ) T. grad(t ) 0 (2.12) 2.2 lois de comportement Variables d état, potentiel thermodynamique Nous allons postuler que l état thermomécanique du matériau est complètement défini, en un point et pour un instant donné, par la connaissance de la valeur de certaines variables en ce point. Ces variables sont appelées variables d état. Leur variation au cours du temps n intervient pas dans la définition de l état du matériau à l instant considéré. Le choix des variables d état a un caractère subjectif. Il dépend en effet du phénomène étudié. Dans notre cas, nous choisirons les variables suivantes : le tenseur des déformations élastiques ɛ e la température T une série de variables V k, qui représentent l état interne du matériau (en particulier sont état de plastification) L état thermodynamique du matériau sera alors représenté localement par un potentiel dépendant de ces variables d état. Nous choisissons ici naturellement le potentiel énergie libre spécifique ψ(ɛ e,t,v k ), ce qui permet d écrire : ψ = ψ ɛ : ɛ e + ψ T e T + ψ Vk (2.13) V k 32

33 L inégalité de Clausius-Duhem devient alors, en utilisant la partition en vitesses de déformations ɛ = ɛ e + ɛ p, où ɛ e est le tenseur des vitesses de déformation élastique, et ɛ p celui des vitesses de déformation plastique : (σ ρ ψ ɛ ) : ɛ e + σ : ɛ p ρ(s + ψ e T ) T ρ ψ q Vk V k T. grad(t ) 0 (2.14) Cette inégalité doit être vraie pour tout type de transformation. En imaginant une transformation élastique réversible isotherme, sans modification des variables internes, on aboutit à l égalité suivante : σ = ρ ψ ɛ e (2.15) En imaginant maintenant une transformation thermoélastique réversible, à température homogène et sans modification des variables internes, on aboutit à : s = ψ T (2.16) Le tenseur des contraintes est donc la force thermodynamique associée au tenseur des déformations élastiques. Par analogie, on définit les forces thermodynamiques associées aux variables internes sous la forme : A k = ρ ψ V k (2.17) La donnée du potentiel thermodynamique ψ(ɛ,t,v k ) permet donc d écrire des relations entre les variables d état (ɛ,t,v k ) et leurs variables associées (σ,s,a k ), à un instant donné. Par contre, cette donnée ne permet pas de décrire l évolution de ces variables au cours d une transformation. Cette évolution sera donnée par une loi complémentaire : la loi de comportement du matériau. 33

34 2.2.2 Lois complémentaires, potentiel de dissipation Compte-tenu des relations précédentes, l inégalité de Clausius-Duhem s écrit sous la forme d un terme de dissipation Φ positif ou nul : Φ = σ : ɛ p A k Vk grad(t ). q T 0 (2.18) Pour décrire l évolution des variables d état au cours de la transformation, tout en respectant le second principe de la thermodynamique, on postule l existence d un potentiel de dissipation φ, s exprimant comme une fonction scalaire continue des variables flux, soit φ( ɛ p, V k, q ). Ce potentiel doit être T positif, convexe et nulle à l origine. Le terme de dissipation Φ sera alors donné par ce potentiel sous la forme : Φ = φ ɛ : ɛ p + φ p V Vk + φ k q T q. T (2.19) Les variables duales seront alors obtenu à partir des lois complémentaires suivantes, exprimant que les variables duales sont les normales à la surface d iso-potentiel de dissipation (φ = cste), dans l espace des variables flux (figure 2.2) : σ = φ ɛ p A k = φ V k grad(t ) = φ q T (2.20) En pratique, on utilisera plutôt le potentiel de dissipation dual de φ, φ (σ,a k, grad(t )), s exprimant comme une fonction scalaire continue, positive, convexe et nulle à l origine des variables duales. Le terme de dissipation Φ s exprimera alors sous la forme : Φ = σ : φ σ + A φ k + φ grad(t ). A k grad(t ) (2.21) L évolution des variables flux sera alors obtenu à partir des lois complémentaires 34

35 Fig. 2.2 propriété de normalité des variables duales suivantes, exprimant que les variables flux sont les normales à la surface d isopotentiel φ = cste, dans l espace des variables duales (figure 2.3) : ɛ p = φ σ V k = φ A q k T = φ grad(t ) (2.22) Pour passer du potentiel φ au potentiel dual φ, on peut utiliser la transformation suivante (de Legendre-Frenckel), illustrée sur la figure 2.4 dans le cadre d une variable scalaire flux ɛ p associée à une variable scalaire duale σ : φ (σ,a k, grad(t )) = sup ( ɛ p, V k, q T ) { Φ φ( ɛ p, V } q k, T ) (2.23) Tout le problème de la modélisation du comportement des matériaux réside dans la détermination de l expression analytique d un potentiel thermodynamique ψ, pour l obtention des variables d état à un instant donné, et d un potentiel de dissipation φ ou φ, qui donne l évolution des variables au cours du temps. Toutefois, leur identification à partir d expériences caractéristiques est difficile, car leur valeur est quasiment inaccessible à la mesure (il s agit 35

36 Fig. 2.3 propriété de normalité des variables flux Fig. 2.4 passage de φ à φ dans le cadre d une variable scalaire d énergies le plus souvent dissipée sous forme de chaleur). La modélisation porte donc le plus souvent sur les variables flux et sur les variables duales, qui se prêtent mieux à la mesure. Les relations de normalité sont suffisantes pour respecter le second principe, mais elles ne sont pas nécessaires. Les matériaux pour lesquels ces règles 36

37 s appliquent sont appelés matériaux standards généralisés. La première règle conduit aux lois de la plasticité et de la Viscoplasticité. La seconde exprime les lois d évolution des variables internes, tandis que la dernière loi conduit à la loi de Fourier en thermique Cas de la dissipation instantanée Lorsque la dissipation thermique est instantanée, la contrainte mécanique à un instant donné σ est indépendante de la vitesse de déformation plastique à cet instant ɛ p. De même, les forces associées aux variables internes sont indépendantes de leur vitesse de variation. Elles ne dépendent que de leur valeur à l instant considéré. Pour modéliser ce type de comportement (matériau insensible à la vitesse de déformation), on utilise un potentiel φ homogène et de degré 1 en ɛ p et en V k. En effectuant la transformation décrite sur la figure 2.4 pour un potentiel homogène de degré 1, on trouve que le potentiel dual φ est nul tant que la contrainte n atteint pas une certaine valeur, puis infini ensuite. Il n est donc pas différenciable. La contrainte limite obtenue dans le cas d une variable se généralise par le convexe d une fonction f( σ,a k ), f = 0, tel que : { f < 0 φ = 0 ɛ p = V k = 0 f = 0 φ ɛ p, V k indéterminés (2.24) Nous verrons que la condition f < 0 fournit le domaine d élasticité du matériau. De plus, en nous limitant à la plasticité dite associée, les vitesses de déformation plastique et les vitesses de variation des variables internes sont obtenues, lorsque f = 0, sous la forme : ɛ p f = λ σ f (2.25) V k = λ A k C est la théorie de la plasticité indépendante du temps. Le terme λ intervenant dans l équation précédente est obtenu par une condition de consistance f = 0, stipulant que les variables duales ne peuvent sortir du convexe f = 0. 37

38 38

39 Chapitre 3 Élasticité - Viscoélasticité 3.1 Élasticité linéaire Loi de Hooke généralisée La loi de Hooke a été généralisée par Cauchy ( ), qui a proposé d exprimer chaque composante du tenseur des contraintes comme une fonction linéaire des composantes du tenseur des déformations. La loi de Hooke est donc aujourd hui souvent écrite sous la forme : σ = C : ɛ (3.1) où C est un tenseur du quatrième ordre appelé tenseur des rigidités ou tenseur d élasticité (les composantes covariantes de ce tenseur sont C ijkl ). Le tenseur des rigidités fait intervenir l ensemble des caractéristiques élastiques du matériau. De même, les déformations sont reliées linéairement aux contraintes par la relation inverse : ɛ = S : σ (3.2) où S est les tenseur des compliances ou tenseur des complaisances élastiques du matériaux (ses composantes covariantes sont S ijkl ). Les tenseurs C et S ont a priori 81 composantes (chaque indice varie de 1 à 3). Toutefois, nous avons vu que les tenseurs des contraintes de Cauchy et 39

40 des déformations sont symétriques. Ils n ont donc chacun que 6 composantes indépendantes, et leur liaison linéaire peut alors être réalisée à l aide de 36 termes seulement. La forme suivante est souvent utilisée, dans un repère orthonormé, pour relier les composantes des contraintes et des déformations : σ 11 σ 22 σ 33 σ 23 σ 31 σ 12 = C 1111 C 1122 C 1133 C 1123 C 1131 C 1112 C 2211 C 2222 C 2233 C 2223 C 2231 C 2212 C 3311 C 3322 C 3333 C 3323 C 3331 C 3312 C 2311 C 2322 C 2333 C 2323 C 2331 C 2312 C 3111 C 3122 C 3133 C 3123 C 3131 C 3112 C 1211 C 1222 C 1233 C 1223 C 1231 C ɛ 11 ɛ 22 ɛ 33 2ɛ 23 2ɛ 31 2ɛ 12 (3.3) avec la condition C ijkl = C ijlk = C jikl = C jilk. Les composantes de la matrice présente dans la relation précédente sont souvent notées C IJ, avec I et J variant de 1 à Énergie de déformation élastique Nous avons jusqu à présent utilisé la symétrie des tenseurs de contraintes et de déformations, ainsi que leur relation linéaire via la loi de Hooke. Nous pouvons maintenant utiliser l autre caractéristique de la déformation élastique, qui est sa réversibilité. Considérons donc un solide Ω, et isolons un sousdomaine Ω A soumis à des forces volumiques f v, et à un vecteur contrainte t sur sa frontière (pas de forces d accélération, figure 3.1). Fig. 3.1 Solide en cours de transformation 40

41 Nous nous intéressons à une transformation élémentaire associée aux efforts appliqués sur le sous-domaine Ω A. Cette transformation élémentaire réversible sera caractérisée par un vecteur déplacement δ u, et une énergie interne de sous la forme : de = δw + δq avec { δw = Ω A t.δ u ds + Ω A f v.δ u ds δq = T ds (3.4) où T est la température absolue et S l entropie. Toutefois le terme δw peut être modifié comme suit, en utilisant le théorème de la divergence, le fait que le système est en équilibre, et la symétrie du tenseur des contraintes : δw = σ : δɛdv Ω A (3.5) Il est donc possible d écrire l énergie interne par unité de volume dans le solide de sous la forme de = σ : δɛ + T ds. La température est dans notre cas constante (pas d échange de chaleur entre Ω A et l extérieur). De plus, e et s sont des fonctions d état, de sorte que de et ds sont des différentielles totales. Le travail δw s écrit donc sous la forme : On peut en déduire que : δw = de T ds = d(e T s) = dw = σ : dɛ (3.6) w ɛ = σ = C : ɛ, d où 2 w ɛ ɛ = C (3.7) L énergie de déformation par unité de volume est finalement la forme quadratique définie positive suivante : w = 1 2 C : ɛ : ɛ (3.8) Les relations précédentes se traduisent par le fait que la matrice 6x6 de l équation 3.3 est symétrique et définie positive. Cette matrice ne possède donc que 6x7/2=21 composantes indépendantes. Le tenseur des rigidités élastiques C ne possède donc que 21 composantes indépendantes dans le 41

42 cas le plus général. Un raisonnement analogue nous aurait conduit au même résultat pour le tenseur des compliances S, qui ne possède aussi que 21 composantes indépendantes Relations de symétrie En pratique, les matériaux possèdent des symétries supplémentaires qui permettent de restreindre encore le nombre de composantes indépendantes du tenseur des rigidités. Les principaux cas rencontrés sont l orthotropie (symétrie par rapport à trois plans orthogonaux), qui réduit le nombre de composantes à 9 (c est le cas par exemple du bois et des cristaux orthorhombiques), la symétrie cubique (orthotropie avec des propriétés identiques dans les trois directions orthogonales aux plans de symétrie), qui réduit le nombre de composantes à 3 (c est la cas de la structure de nombreux métaux), et l isotropie (mêmes propriétés dans toutes les directions), qui réduit le nombre de composantes à 2 (cette hypothèse est largement utilisée en mécanique des milieux continus, pour les matériaux courants). Symétrie cubique Dans le cas de la symétrie cubique, les trois composantes indépendantes de C sont souvent notées C 11 (= C 1111 ), C 12 (= C 1122 ) et C 44 (= C 2323 ). Des notations identiques pour S conduisent aux relations suivantes : σ 11 σ 22 σ 33 σ 23 σ 31 σ 12 ɛ 11 ɛ 22 ɛ 33 2ɛ 23 2ɛ 31 2ɛ 12 = = C 11 C 12 C C 12 C 11 C C 12 C 12 C C C C 44 S 11 S 12 S S 12 S 11 S S 12 S 12 S S S S 44.. ɛ 11 ɛ 22 ɛ 33 2ɛ 23 2ɛ 31 2ɛ 12 σ 11 σ 22 σ 33 σ 23 σ 31 σ 12 (3.9) (3.10) 42

43 Isotropie Dans le cas isotrope, le nombre de coefficients est réduit à deux par la relation C 44 = 1(C 2 11 C 12 ). Il existe plusieurs façon d exprimer ces coefficients. On peut par exemple choisir ceux de Lamé λ = 1(C C 12 ) et µ = 1(C 2 11 C 12 ), ou le module d Young E = µ 3λ+2µ λ et le coefficient de Poisson ν = vus λ+µ 2(λ+µ) dans le cas de l essai de traction. La loi de comportement élastique linéaire s écrit dans le cas isotrope de la façon suivante : et dans le sens inverse : σ = 2µɛ + λtr(ɛ)i = E 1 + ν (ɛ + ν tr(ɛ)i) (3.11) 1 2ν ɛ = 1 2µ σ λ 2µ(3λ + 2µ) tr(σ)i = 1 + ν E σ ν tr(σ)i (3.12) E où I est le tenseur identité. Notons enfin que le module de compression hydrostatique K est également utilisé. Il relie la partie hydrostatique de la déformation (ɛ H = tr(ɛ)) à la contrainte hydrostatique (σ H = tr(σ)). Il peut être exprimé en fonction des coefficients de Lamé ou en fonction de E et ν sous la forme : K = 3λ + 2µ = E 1 2ν (3.13) La figure 3.2 donne le module d Young (en GP a) et le coefficient de Poisson (sans unité) de différents matériaux à différentes températures. On constate que le coefficient de Poisson est souvent voisin de 0,3. Si on calcule l augmentation relative de volume du matériau en cours de traction (par la trace du tenseur des déformations), on remarque qu elle vaut (1 2ν)ɛ 33. Dans un essai de traction, le matériau s allonge et augmente généralement son volume dans le domaine d élasticité Différents comportements élastiques Le domaine d élasticité est donc souvent représenté par une relation de proportionnalité entre la contrainte et la déformation (loi de Hooke). Il est cependant important de savoir que ceci n est qu une schématisation plus ou 43

44 matériau température module d Young coefficient (degré C) (GP a) de Poisson Alliage ,32 d aluminium AU4G , ,35 Alliage de titane ,34 Ti 4Al 4Mn ,34 Acier XC , , ,315 Fonte grise ,29 Acier inoxydable ,3 austénitique Aluminium (A5) ,33 Bronze , Plexiglass 20 2,9 0,4 Araldite ,4 Caoutchouc 20 0,002 0,5 verre-epoxy (sens long) ,3 carbone-epoxy (sens long) 20 87,6 0,32 Béton ,2 Granit ,27 Pin sylvestre (sens long) ,45 Pin sylvestre (sens trans.) 20 1 Fig. 3.2 exemples de caractéristiques élastiques 44

45 moins réaliste du comportement réel du matériau. En effet, le comportement élastique d un matériau n est jamais strictement linéaire. Anélasticité Tous les solides sont plus ou moins anélastiques, c est-à-dire que leur courbe de traction ne suit pas exactement une droite dans le domaine d élasticité, et de l énergie est dissipée au cours d un essai de traction. La figure 3.3 donne la courbe obtenue lors d un cycle de traction-compression effectué sur de la fibre de verre. De l énergie est dissipée au cours d un cycle (surface hachurée sur la figure 3.3), ce qui confère au matériau un pouvoir amortissant, permettant de réduire les vibrations ou le bruit. Les polymères et les métaux mous (plomb) ont un fort pouvoir amortissant. Les polymères sont par exemple utilisés dans les tôles sandwich. Les métaux plus durs et le verre ont une très faible anélasticité. Ils servent à fabriquer les ressorts (aciers), les cloches (bronzes),... Fig. 3.3 cycle de traction-compression d une fibre de verre (d après [1]) Élasticité non-linéaire Le cas particulier du caoutchouc est donné sur la figure 3.4 (courbe de traction). Son comportement est quasi-élastique, mais fortement non-linéaire. 45