Sur la Sémantique des Bases Partiellement Ordonnées

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1 Actes IAF 2012 Sur la Sémantique des Bases Partiellement Ordonnées Claudette Cayrol Didier Dubois IRIT, Université Paul Sabatier Résumé Nous proposons quelques réflexions préliminaires sur l extension de la logique possibiliste quand on remplace la stratification d une base propositionnelle par un préordre partiel. Plusieurs travaux passés ont abordé cette question avec des approches différentes, notamment Halpern, Benferhat et collègues. On s intéresse ici aux aspects sémantiques, à savoir le passage d un ordre partiel sur les formules à un ordre partiel sur les interprétations et inversement, en s appuyant sur les résultats d Halpern, et d autres plus anciens. L idée est de pouvoir définir une fermeture déductive fondée sur la sémantique, pour ensuite envisager des techniques d inférences au niveau syntaxique, et notamment unifier les travaux existants en étudiant s ils capturent ou non cette notion de fermeture déductive. L article pose quelques bases pour ce travail. Abstract Some preliminary considerations are proposed concerning the extension of possibilistic logic when the stratification of a propositional logic base is replaced by a partial preorder. Several works dealt with this matter in the past, using various approaches, by Halpern, Benferhat et al., etc. Here we focus on semantic aspects, namely the construction of a partial order on interpretations from a partial order on formulas and conversely, relying on previous results by Halpern, and other older results. The idea is to define a sound notion of deductive closure from a semantic standpoint, in order to construct suitable inference techniques at the syntaxic level, and unify existing proposals, laying bare whether or not they capture this notion of deductive closure. This paper lays some basic blocks to this end. 1 Introduction La notion de base de connaissances ordonnée a été étudiée depuis une vingtaine d années en Intelligence artificielle. A notre connaissance cette notion remonte aux travaux de Rescher sur le raisonnement plausible [16]. Le raisonnement à partir d une telle base repose sur une idée encore plus vieille, puis qu elle remonte à l antiquité avec les textes de Théophraste, disciple d Aristote, qui évaluait la validité d une chaîne de raisonnements par la validité du maillon le plus faible. La logique possibiliste [9] est un exemple typique de logique utilisant une base ordonnée, obtenue en affectant un degré de certitude (nécessité) à chaque formule, sur une échelle ordinale, et mettant en œuvre le principe du maillon le plus faible. C est une extension de la logique propositionnelle qui est saine et complète par rapport à une sémantique en termes de théorie des possibilités, où la notion d ensemble de modèles est remplacée par une distribution de possibilité sur les interprétations (qui sont alors plus ou moins plausibles). Elle permet notamment de traiter de façon naturelle des problèmes de gestion de l incohérence [1], de révision [10] et de fusion d informations [2]. Néanmoins on peut vouloir aller au delà de cette approche très simple. On peut s intéresser notamment à étendre la syntaxe pour donner un sens à des négations et des disjonctions de formules pondérées, rejoignant ainsi le cadre syntaxique de la logique modale [11] ; améliorer le traitement des degrés attachés aux formules en évitant les effets de noyade par le raffinement de la distribution de possibilité induite et une gestion plus efficace de l incohérence [1] ; rendre l approche plus qualitative, remplaçant les poids de certitude par des éléments d un treillis, ou par un ordre partiel [4]. Cet article présente quelques pistes qui concernent les deux derniers points, en s appuyant sur les travaux existants. La logique possibiliste exploite l équivalence entre la fermeture déductive pondérée au niveau des formules, et une distribution de possibilité sur les interprétations. Dans le cas d incohérence logique, elle choisit de raison-

2 ner avec l ensemble des formules de certitude supérieure au degré d incohérence global, ce qui peut laisser de côté des formules peu certaines non-impliquées dans l incohérence (effet de noyade). L idée étudiée ici est de préserver cette relation entre sémantique et syntaxe en affaiblissant le cadre algébrique (les préordres partiels), tout en étudiant des notions de fermeture plus puissantes que celle de la logique possibiliste. Les questions suivantes semblent pertinentes : Peut-on représenter un ensemble partiellement ordonné de formules par un ensemble partiellement ordonné de modèles? Peut-on représenter un ensemble partiellement ordonné de modèles par un ensemble partiellement ordonné de formules? L itération entre ces deux transformations atteint-elle un point fixe? Peut-on définir des règles d inférence qui rendent compte d une telle sémantique? Notons dans le cas d une base totalement ordonnée, comme c est le cas en logique possibiliste, le raffinement de la distribution de possibilité sur les modèles [1] peut engendrer un ordre partiel sur les formules. C est même le cas pour une base propositionnelle classique comme on le verra ci-dessous. 2 Représentations d un état épistémique On commence par formaliser la notion d état épistémique basé sur la notion d ordre partiel sous les angles syntaxique et sémantique. 2.1 Notations Un préordre partiel sur un ensemble fini S est une relation réflexive et transitive sur S, notée. La paire (S, ) est appelée ensemble partiellement ordonné. Plutôt que (s, s), on écrira s s. Comme souvent, est l ordre partiel strict déterminé par. s s est une abréviation de (s s) et non (s s )". C est une relation irréflexive et transitive sur S. s s est une abréviation de (s s) et (s s )". La relation est la relation d équivalence déterminée par. s s est une abréviation de ni (s s) ni (s s )". C est la relation d incomparabilité déterminée par. Si cette relation est vide on obtient un préordre complet. Soit (S, ) un ensemble partiellement ordonné, et X S. On dit que s X est maximal pour dans X si et seulement si nous n avons s s pour aucun s X. Max(X, ) représente l ensemble des éléments maximaux de dans X. Dans la suite on note V un ensemble de variables propositionnelles, L un langage propositionnel sur V, Ω l ensemble des interprétations de L, et K une base de formules finie construite sur L. 2.2 Représentation et Inférence Syntaxiques Du point de vue syntaxique, un état épistémique est représentable par un ensemble fini de formules propositionnelles muni d un préordre partiel. Soit donc (K, ) une base de formules partiellement ordonnée. Si φ et φ sont deux formules de K, φ φ s interprète comme " φ est au moins autant préférée que φ " (typiquement la première est plus certaine que la seconde si on modélise l incertitude ; on peut aussi vouloir dire plus prioritaire"). On peut interpréter (K, ) de deux façons : soit comme un ensemble d assertions de la forme φ ψ (ou φ ψ) considérées comme des contraintes, soit comme une préférence modifiable si contraire à la déduction classique. En effet, on peut juger irrationnel d affirmer φ ψ alors que φ = ψ, ce qu on peut considérer comme une contradiction sémantique. On ajoute alors à la notion d incohérence logique une autre cause d incohérence, ce qui peut sembler très restrictif. Si on considère que le respect de la déduction logique doit prendre le pas sur une déclaration de préference entre formules, il faut supprimer l assertion φ ψ comme incohérente avec φ = ψ. Cette dernière vision est d autant plus naturelle si la relation de préférence s interprète en termes de certitude (ce qu on supposera dans cet article) : en effet, si φ = ψ, ψ est forcément au moins aussi certain que φ. Dans le cas particulier où le préordre est total, il y a une représentation équivalente par une base stratifiée (K 1,, K n ) où tous les élements de K i sont de même niveau de préférence, et ceux de K i sont strictement préférés à ceux de K j si i > j. Dans ce cas, la logique possibiliste interprète φ K i comme le niveau minimal absolu de φ, et non comme une contrainte, c est à dire que φ peut finalement se retrouver au niveau j > i dans la fermeture déductive. Donc, la stratification de la base n est jamais une source d incohérence supplémentaire. Dans le cas d un ordre partiel sur K, la notion de "niveau absolu" n existe pas. Pour définir une méthode d inférence, on peut procéder de plusieurs façons : 1. Soit introduire des niveaux absolus. On peut alors se ramener à une généralisation de la logique possibiliste avec un ensemble de degrés de certitude formant un ensemble partiellement ordonné. 2. Soit considérer un ordre partiel comme la famille d ordres totaux qui le prolongent. Une base partiellement ordonnée est alors vue comme un ensemble de bases stratifiées possibles. 3. Soit raisonner directement avec des formules de type φ ψ dans un langage approprié.

3 4. Soit raisonner de façon classique avec des sousensembles consistants de formules choisies à l aide de l ordre partiel. La première approche a été étudiée en détail par Benferhat et Prade [4]. Soit (L K, ) un ensemble fini muni d une relation d ordre (donc antisymétrique) associé à K par un homomorphisme ι : K L K tel que φ ψ K ssi ι(φ) ι(ψ). L idée est de coder l ordre partiel sur L K ainsi que la base pondérée par un ensemble de clauses en logique classique et de raisonner classiquement. Le codage se fonde sur les principes suivants. Notons λ = {µ λ}. On peut alors coder toute inégalité λ 1 λ 2 dans (L K, ) comme A 2 A 1 avec A i = λ i, et toute paire symbolique (φ, λ) par A φ, avec A = λ. La deuxième approche est décrite par Yahi et al. [17]. On peut alors voir (K, ) comme un ensemble de stratifications possibles de K, et dire qu une conséquence ψ φ de (K, ) est telle que ψ est plus certain que φ (au sens de la logique possibliste) pour toutes les stratifications compatibles avec (K, ). Notons que dans la première approche, on peut voir la contrainte λ 1 λ 2 sur les poids symboliques des paires (φ 1, λ 1 ) et (φ 2, λ 2 ) comme une contrainte que doivent respecter des poids mal connus mais appartenant à une échelle totalement ordonnée. Dans la troisième approche, une question est de choisir les entités syntaxiques de base du langage qui code les préférences : Halpern [14] utilise des formules de type φ ψ, ce qui nécessite un surlangage qui encapsule les paires de propositions classiques, et des axiomes spécifiques qui décrivent des propriétés de la relation. Si on ajoute l axiome : si ψ = φ alors φ ψ, l inférence va trouver les contradictions sémantiques, ce qui permettra de réparer la base partiellement ordonnée, selon le caractère contraint au non des spécifications initiales. Avec la quatrième approche [3], on utilise l ordre partiel sur K pour sélectionner des sous-ensembles maximaux consistants préférés de formules, grâce aux relations d ordre généralisant les relations de possibilité induites par entre les sous-ensembles de formules [14]. On définit alors (K, ) φ si φ est conséquence de tous les sousensembles de formules préférées ainsi construits. Mais cette approche ne déduit pas de préférences entre formules. On pourrait dans ce but définir par exemple K φ ψ comme K ψ φ avec K ψ = {α : α ψ}. On obtient une contradiction avec l ordre partiel si K ψ φ, mais (K, ) est telle que ψ φ. On voit que l extension de la logique propositionnelle au cas de bases partiellement ordonnées ne va pas de soi et reste un problème ouvert. Dans la suite on rappelle quelques résultats qui permettent d étudier la question sous l angle sémantique. 2.3 Représentation Sémantique Sur le plan sémantique, un état épistémique est modélisé par un préordre partiel sur les interprétations d un langage propositionnel, soit (Ω, ). Si w et w représentent deux éléments de Ω, l assertion w w est interprétée comme " w est au moins aussi plausible que w ". Soit K l ensemble de croyances acceptées associé à (Ω, ). On le définit souvent comme l ensemble déductivement clos de formules dont les modèles forment l ensemble Max(Ω, ). Mais on peut vouloir aller plus loin et définir une fermeture déductive qui soit un ordre partiel induit par (Ω, ) sur le langage, (Ω, ) étant luimême induit par une base partiellement ordonnée (K, ). La question est maintenant : comment passer de (K, ) à (Ω, ) et réciproquement. De (K, ) à (Ω, ) : A partir d une base partiellement ordonnée, le problème est de construire un préordre partiel sur l ensemble des interprétations de K. Une approche naturelle est de comparer deux interprétations w et w en comparant des sous-ensembles de formules de K construits à partir de ces interprétations. Cette approche a été étudiée dans le cadre possibiliste pour les bases totalement ordonnées [9], mais aussi dans le cas partiellement ordonné [3]. De (Ω, ) à (K, ) : Partant d un préordre partiel de plausibilité sur Ω, le problème est de construire un préordre partiel sur l ensemble des formules du langage L. Pour cela il est naturel de comparer deux formules φ et φ en comparant les ensembles de modèles de φ et de φ. On note [φ] l ensemble des modèles de φ, un sous-ensemble de Ω. Les deux transformations se ramènent au problème d étendre un préordre partiel sur un ensemble S à un ordre partiel sur l ensemble des sous-ensembles de S. Ce problème a été notamment étudié dans[6, 14, 3]. 3 D un préordre sur un ensemble à un préordre sur ses parties Soit (S, ) un ensemble partiellement ordonné. Soient A et B des sous-ensembles de S. Une idée naturelle est de préférer A à B si les éléments maximaux de A sont préférés aux éléments maximaux de B. Cela étend la notion de mesure de possibilité. Des travaux précédents [14] ont mis en évidence deux façons de comparer les sous-ensembles de S : la forte et la faible. On dit que A est préféré à B : selon l approche forte, si au moins un élément de A est préféré à tous les éléments de B. selon l approche faible, si chaque élément de B est dominé par au moins un élément de A.

4 Différentes définitions peuvent alors être proposées selon qu on utilise un ordre strict ou non sur S. Néanmoins, ces deux approches coincident si l ordre est total, d où l intérêt de chercher la généralisation la plus naturelle. Par ailleurs, si on dispose d une relation de préordre partiel sur 2 S on peut considérer la relation duale d définie sur les ensembles complémentaires A et B par A d B ssi B A. Si exprime l idée de plausibilité relative (ce que nous supposerons dans la suite) d exprimera l idée de certitude relative (par exemple, si veut dire moins impossible que, alors d veut dire plus certain que en admettant que plus A est certain, moins son complément est possible). Néanmoins nous n étudierons pas ici ces relations duales. 3.1 Plausibilité relative forte On a deux options selon qu on définit la préférence stricte directement ou non. (i) A est fortement plus plausible que B si au moins un élément de A est strictement plus plausible que tous les éléments de B : Définition 1 Relation stricte de plausibilité forte A F Π( ) B ssi a A, b B, a b. Notons qu avec cette définition, si A, A F Π( ) et jamais F Π( ) B. La relation F Π( ) est un ordre partiel strict sur 2 S. (ii) A est au moins aussi plausible que B si au moins un élément de A est au moins aussi plausible que tous les éléments de B : Définition 2 Relation non-stricte de plausibilité forte A F Π( ) B ssi a A, b B, a b. dont la partie stricte est : Définition 3 A F Π( ) B ssi (A F Π( ) B) et non (B F Π( ) A). Notons qu avec cette définition, si A, A F Π( ). Proposition 1 On peut vérifier que La relation F Π( ) est transitive mais pas réflexive. Si A F Π( ) B alors A F Π( ) B. L inverse n est pas valide, sauf si est un ordre complet sur S. Si A F Π( ) B et B F Π( ) A, alors a b, a Max(A, ), b Max(B, ). Comme indiqué par Benferhat, Lagrue, Papini [3], la relation F Π( ) contient beaucoup d incomparabilités et ne respecte pas l inclusion : on peut avoir B A sans avoir A F Π( ) B. 3.2 Plausibilité relative faible Comme auparavant, on a deux options : (iii) A est faiblement plus plausible que B si pour chaque élément b de B, il existe un élément de A qui est strictement plus plausible que b : Définition 4 Relation stricte de plausibilité faible A f Π( ) B ssi b B, a A, a b. La relation f Π( ) est un ordre partiel strict sur 2S \. On a toujours A f Π( ), même si A est vide. Cette relation est étudiée par Halpern [14] qui la note s. (iv) A est au moins aussi plausible que B si pour chaque élément b de B, il existe un élément de A qui est au moins aussi plausible que b : Définition 5 Relation non-stricte de plausibilité faible A f Π( ) B ssi b B, a A, a b. Cette relation est étudiée par Halpern [14] qui la note s. Sa partie stricte est Définition 6 A f Π( ) B ssi (A f Π( ) B) et non (B f Π( ) A). On a toujours A f Π( ), mais pas f Π( ) B sauf si B est vide. Cette relation est étudiée par Halpern [14] qui la note. Proposition 2 On peut prouver que La relation f Π( ) est un préordre partiel sur 2S. Si A f Π( ) B alors A f Π( ) B. L inverse n est pas valide, sauf si est un ordre complet sur S. La proposition suivante montre que la relation de plausibilité faible est en conformité avec ce que l on souhaite pour représenter l incertitude en termes de plausibilité. Proposition 3 Les propriétés suivantes sont valides pour la relation de plausibilité faible f Π( ) : 1. Elle respecte l inclusion ensembliste : Si B A alors A f Π( ) B. 2. Elle est bien ordonnée : Si A f Π( ) B, A A, et B B, alors A f Π( ) B (également valable pour la contrepartie stricte f Π( ) ). 3. Elle est stable pour l union : Si A f Π( ) B alors A C f Π( ) B C. 4. Elle satisfait une propriété de négligeabilité : Si A f Π( ) B et A f Π( ) C, alors A f Π( ) B C.

5 La dernière propriété dit qu on ne peut compenser la plausibilité faible d un ensemble en lui ajoutant des éléments de plausibilité faible. La propriété de stabilité pour l union est, dans le cas totalement ordonné, typique des mesures de possibilité comparatives [15], c est à dire qu elles peuvent alors être représentables par des mesures de possibilité [7]. Dans le cas partiel elles sont équivalentes à des familles de mesures de possibilité [8]. Proposition 4 Les propriétés suivantes sont valides pour la relation stricte de plausibilité faible f Π( ) : Elle satisfait la propriété de négligeabilité. Elle est bien ordonnée. Elle est qualitative : Si A B f Π( ) C et A C f Π( ) B, alors A f Π( ) B C. Notons que la relation f Π( ) n est pas qualitative, comme le montre l exemple ci-dessous : Exemple 1 Soit A = {x, y}, B = {x} et supposons x et y incomparables. On a A f Π( ) B (et aussi A f Π( ) B). Mais si cette relation était qualitative, on conclurait {y} f Π( ) {x}, ou de manière équivalente y x, ce qui est faux. Cet exemple montre aussi que la relation stricte de plausibilité faible f Π( ) ne respecte pas l inclusion stricte. On peut avoir B A sans avoir A f Π( ) B, ce qui n est pas vraiment contre-intuitif, puisqu on n a pas B f Π( ) A. Bien sûr, les relations fortes sont plus fortes que les relations faibles, à savoir : Si A F Π( ) B alors A f Π( ) B. Si A F Π( ) B alors A f Π( ) B. L inverse n est vrai que si est un ordre complet sur S. De même, on a vu (Propositions 1 et 2) que les parties strictes des relations non-strictes sont en général plus discriminantes que les relations strictes. Dans le cas totalement ordonné on vérifie que La relation f Π( ) est un préordre complet sur 2S. Les relations f Π( ) et f Π( ) sont identiques. La proposition suivante concerne l adéquation des relations ci-dessus pour servir de sémantique à des systèmes d inférence contextuels en modélisant la connaissance dans le contexte B, A est vrai en général" par A B f Π( ) A B : Proposition 5 Clôture par déduction : Si A B f Π( ) A B et A C alors C B f Π( ) C B. Cependant, (A B f Π( ) A B et C B f Π( ) C B) n implique pas A C B f Π( ) A C B, ce qui infirme la clôture par conjonction. Remarque : Vers une caractérisation des préordres partiels de plausibilité faibles : Halpern [14] a étudié le problème de savoir si un préordre sur 2 S peut être engendré par un préordre sur S. Le seul résultat connu concerne les préordres complets : Si est un préordre complet sur 2 S qui est bien ordonné et qualitatif, alors il existe un préordre complet sur S tel que et f Π( ) coïncident sur 2S (un résultat similaire où on remplace ces propriétés par la stabilité pour l union est déjà dans [7], car dans ce cas il s agit bien d une mesure de possibilité comparative [15] caractérisée par un préordre complet de possibilité sur S). Dans le cas d un préordre partiel sur 2 S, si est engendré par, on doit avoir : a, b S, a b ssi {a} {b}. Supposons bien ordonné et satisfaisant la propriété de négligeabilité et définissons la relation a b par {a} {b}. Alors : Si A f Π( ) B alors A B. En effet, A f Π( ) B veut dire b B, a A, {a} {b}. Inversement, si A B, il est facile de prouver que b B, A {b}. Mais rien ne prouve que a A tel que {a} {b}. 4 Application aux bases partiellement ordonnées Soit (K, ) un ensemble fini partiellement ordonné de formules du langage propositionnel L construit sur V. On rappelle que K(w) désigne le sous-ensemble de formules de K satisfaites par l interprétation w Ω de L. On peut attacher une sémantique à φ ψ en termes d ordre partiel sur les interprétations, et à partir de là, reconstruire un ordre partiel sur L qui soit, autant que possible, en accord avec (K, ). On peut donc : D abord construire un préordre sur Ω à partir du préordre sur K. L idée est de comparer w et w en comparant des ensembles de formules induits par w et w, grâce aux définitions de la section précédente, ce qui donne plusieurs préordres possibles sur Ω, par exemple avec la relation = f Π( ). Puis, étant donné le préordre partiel (Ω, ), comparer deux formules φ et ψ en comparant leurs ensembles de modèles de la même façon. Quelques questions se posent naturellement : Le préordre partiel = Π( ) avec = f Π( ) est-il compatible avec? Dans quel sens? une définition stricte demanderait que préserve et le raffine. Mais ce n est pas le cas en logique possibiliste si les poids ne sont pas conformes à la déduction classique. Dans quelle mesure le préordre sur Ω compatible avec (K, ) est-il unique? Peut-on encore utiliser un principe d engagement minimal pour sélectionner un préordre sur Ω de façon non arbitraire?

6 4.1 Sémantiques de type possibiliste De (K, ) à (Ω, ) : Une première proposition est de comparer deux interprétations w et w en comparant les sous-ensembles de formules de K satisfaites par ces interprétations. Soit : " w est au moins aussi plausible que w " si pour chaque formule φ satisfaite par w, il existe une formule satisfaite par w préférée à φ. Une proposition duale consiste à comparer w et w au travers des sous-ensembles de formules de K falsifiées par ces interprétations. Soit : " w est au moins aussi plausible que w " si pour chaque formule φ falsifiée par w, il existe une formule falsifiée par w préférée à φ. De (Ω, ) à (K, ) : De la même façon, une première proposition est de définir "φ est au moins autant préféré que ψ" par [φ] f Π( ) [ψ]. On peut alternativement définir "φ est préféré à ψ" au sens large par [ ψ] f Π( ) [ φ]. Dans ce cas, on obtient une relation de nécessité comparative duale de f Π( ), que l on note N. Elle exprime l idée de certitude relative. En fait le choix doit être guidé par le sens des relations sur les familles d ensembles. Si (K, ) s interprète en termes de certitude relative, comparer les sous-ensembles de formules de K satisfaites par ces interprétations n a pas trop de sens si on veut une relation de plausibilité sur Ω. De même, partant de (Ω, ), on obtient une relation de plausibilité ou de certitude sur le langage. En particulier, il se peut que ne préserve pas, mais que ce soit le cas pour la relation duale. Comme en logique possibiliste on suppose que la relation exprime la certitude relative (nécessité), donc on utilise les définitions basées sur les formules falsifiées : Définition 7 Les relations induites par (K, ) sont respectivement : w w ssi K(w) f Π( ) K(w ). φ N ψ ssi [ψ] f Π( ) [φ]. Proposition 6 On vérifie que : La relation respecte l inclusion : Si K(w) K(w ) alors w w. Si la relation est un préordre complet, la sémantique est identique à celle de la logique possibiliste (ordre best out" dans [1]). Si φ est une conséquence logique de ψ, on a toujours φ N ψ. Une conséquence est que si l ordre partiel sur K viole l ordre partiel induit par l inférence classique, N ne va pas le raffiner, mais va le corriger. Exemple 2 Soit K = {x, y, x y} une base classique qu on interprète comme munie d une relation d équivalence entre les formules. En notant les quatre interprétations w 1 = {x, y}, w 2 = {x, y}, w 3 = { x, y}, w 4 = { x, y}, on trouve en vertu des inclusions que w 1 w i, i 1, les autres interprétations étant équivalentes. On retrouve alors que les formules de la base sont équivalentes par rapport à N. Si on interprète K comme munie d une relation d incomparabilité on trouve en vertu des inclusions, des inégalités strictes w 1 w 2, w 1 w 3, w 2 w 4, w 3 w 4, les interprétations w 2, w 3 étant incomparables. On trouve maintenant x N x y et y N x y. On a donc raffiné la base classique et obtenu une base partiellement ordonnée. Si enfin on suppose (de façon contre-intuitive) x y x, et l équivalence entre x et y, on retrouve (Ω, ) comme dans le cas de la base classique avec équivalence. On a donc N = N et on retrouve la base classique plate. On a corrigé la contradiction sémantique du départ. 4.2 Sémantique discrimax partiellement ordonnée Pour comparer deux sous-ensembles A et B de S, l ordre discrimax consiste à éliminer leur partie commune et se ramener à comparer A \ B et B \ A. Définition 8 A B ssi A \ B f Π( ) B \ A A B ssi A B et A \ B f Π( ) B \ A Ce type de raffinement des relations de possibilité n est pas nouveau : il permet d éviter l effet de noyade et de raffiner la relation d inclusion ensembliste stricte. Ces relations sont étudiées notamment par [6] et [13]. Elles coïncident avec f Π( ) et f Π( ) sur des ensembles disjoints. Ni la relation, ni sa partie stricte ne sont transitives, comme indiqué par le contrexemple suivant. Exemple 3 Soit S = {a 1, a 2, a 3, b 1, b 2, c} avec a 1 a 2 b 1 et a 1 c. Soit A = {a 1, a 2, a 3 }, B = {b 1, b 2 }, C = {a 1, a 2, c}. On a A B mais pas B A, B C mais pas C B mais on n a pas A C. La relation semble mieux fondée au vu des quelques propriétés suivantes : Proposition 7 La relation est un ordre partiel strict sur 2 S ; raffine l inclusion stricte : Si B A alors A B. De plus, 1. A B ssi B A (autodualité). 2. Si A (B C) = alors B C ssi A B A C (preadditivité). 3. Si A B = A C alors ( A B et A C) alors A (B C). 4. Si A B = A C = B C, (A C) B et (A B) C, alors A (B C).

7 Cette relation est donc auto-duale, et préadditive, comme les relations de probabilité comparative [12]. Elle généralise la construction déjà connue qui raffine les relations de possibilité complètes, sauf que c est ici un ordre partiel qui raffine un ordre partiel. Mais la troisième propriété montre sa proximité avec les relations de possibilité et n est vérifiée que pour les probabilités dites à grandes marches [8]. Même dans le cas totalement ordonné, la relation est partielle. Exemple 4 Soit S = {a, b, c} avec a c, b c et a b. Soit A = {a, c} et B = {b, c}. A et B are incomparable wrt la relation. De plus dans ce cas, la partie stricte de et la relation sont identiques. La propriété suivante compare les approches possibilistes et discrimax. Proposition 8 raffine f Π( ), à savoir : Si B f Π( ) A alors A B. Si A B alors B f Π( ) A. Mais en général, partant d un préordre partiel sur S, la relation f Π( ) n est pas raffinée par la relation, comme indiqué par le contrexemple suivant : Exemple 5 Soit S = {a 1, a 2, b, c 1, c 2 }avec a 1 b, a 2 b et c 1 c 2. Soit A = {a 1, a 2 } et B = {b}. On a B f Π( ) A mais pas A B. Nous pouvons appliquer les relations discrimax aux bases partiellement ordonnées pour interpréter φ ψ. Définition 9 De (K, ) à (Ω, ) : w d w ssi K(w ) K(w). w d w ssi K(w ) = K(w) or w d w De (Ω, ) à (K, ) : φ d ψ ssi [φ] [ψ]. φ d ψ ssi [ψ] = [φ] or φ d ψ. Proposition 9 On peut vérifier que : La relation d respecte l inclusion stricte : Si K(w) K(w ) alors w d w. Si φ est une conséquence logique de ψ mais pas l inverse, on a toujours φ d ψ. Dans le cas des bases classiques, on peut interpréter la base comme contenant des formules toutes équivalentes ou bien toutes incomparables. On a vu que ces deux lectures n étaient pas équivalentes dans la sémantique possibiliste. Néanmoins on trouve, avec : De K à (Ω, ) : w d w ssi K(w ) K(w) De (Ω, ) à (K, ) : φ d ψ ssi w [ψ] \ [φ], w [φ] \ [ψ] tel que K(w) K(w ). Donc il est facile de voir que φ d ψ ssi φ une conséquence logique stricte de ψ. Exemple 2 (suite) Soit encore K = {x, y, x y} avec =. En vertu des relations d inclusion stricte, on trouve w 1 d w 2, w 1 d w 3, w 2 d w 4, w 3 d w 4, comme dans la section précédente en supposant =. On obtient en retour x d x y, y d x y, x et y incomparables. Exemple 6 Soit K = {x, y, x y} sur le même langage. Si les formules de K sont indifférentes ou incomparables, les interprétations s ordonnent comme suit : w 2 d w 1 d w 3 et w 2 d w 4. On obtient x y d x. Si le préordre sur K est complet avec x y x et x y y, on obtient x y d x d y. Si le préordre sur K est complet avec x y x y, on obtient aussi x y d x d y. Exemple 7 K = {x, y, y}. Pour tout préordre sur K, on obtient w 1 d w 3 et w 2 d w 4. Donc, avec la reconstruction de l ordre sur les formules : Si y y, on obtient x d y et y d y. Si y et y sont incomparables et x n est pas strictement plus certain que y, ni que y, alors x, y et y sont incomparables pour d. 5 Conclusion Ce travail est très préliminaire. Une investigation systématique reste à faire. Néanmoins, ces premiers résultats semblent indiquer la richesse potentielle du sujet, qui peut se résumer ainsi : que devient la logique possibiliste quand on remplace les poids attachés aux formules par une relation d ordre partiel? On a vu que certains travaux existent sur ce thème, mais ils adoptent des points de vue différents les uns des autres et mettent souvent l accent sur la définition d une méthode d inférence et sa complexité. Notre article donne quelques pistes sur le passage des formules aux modèles et retour. On peut constater que les bases classiques peuvent s interpréter différemment dans le contexte des préordres partiels (formules indifférentes ou formules incomparables, pour une base plate), ce qui indique bien un enrichissement de la sémantique, même dans ce cas. Nos premiers résultats indiquent que beaucoup de notions importantes dans le cas d un ordre complet ont plusieurs définitions non équivalentes dans le cas partiel. Il s agit alors de trouver la définition la plus naturelle. Pour le passage d un ordre partiel sur un ensemble à l ordre partiel sur ses parties, il semble que ce soit la relation de plausibilité faible f Π( ), qui ait les meilleures propriétés. De plus,

8 nous considérons qu avant de définir une méthode d inférence, il faut passer par la sémantique pour définir une notion sémantique de fermeture déductive partiellement ordonnée d une base partiellement ordonnée. Cette question semble n avoir été que peu abordée, si ce n est par Halpern [14] et plus récemment Benferhat et Prade [4], avec des approches très différentes, et dont la compatibilité mutuelle reste à étudier. Très souvent, comme le montre l article de synthèse de Benferhat et Yahi [5], la fermeture déductive d une base partiellement ordonnée (K, ) est un ensemble déductivement clos au sens classique, obtenu à partir de sous-bases préférées qui sont définies de diverses manières grâce à l ordre partiel. Mais l ordre entre les formules est en quelque sorte perdu par le processus d inférence, qui souvent se réduit à l inférence classique si K est classiquement consistant. En revanche, notre projet est de définir une inférence qui préserve (en le corrigeant pour le rendre conforme à la déduction classique) et prolonge l ordre partiel sur K à tout le langage. Une fois la notion sémantique de fermeture partiellement ordonnée clarifiée, il conviendra de choisir la syntaxe, l axiomatisation et la technique d inférence adaptée. Cette étude aura des applications potentielles pour la révision et la fusion des croyances. Références [1] S. Benferhat, C. Cayrol, D. Dubois, J. Lang, and Henri Prade. Inconsistency management and prioritized syntax-based entailment. In Ruzena Bajcsy, editor, Proc. of the 13 th IJCAI, pages , Chambéry, France, Morgan-Kaufmann. [2] S. Benferhat, D. Dubois, S. Kaci, and H. Prade. Logique possibiliste et fusion d informations. Technique et Science Informatique, 22 : , [3] S. Benferhat, S. Lagrue, and O. Papini. Reasoning with partially ordered information in a possibilistic logic framework. Fuzzy Sets and Systems, 144(1) :25 41, [4] S. Benferhat and H. Prade. Encoding formulas with partially constrained weights in a possibilistic-like many-sorted propositional logic. In L. P. Kaelbling and A. Saffiotti, editors, IJCAI, pages Professional Book Center, [5] S. Benferhat and S. Yahi. Etude comparative des relations d inférence à partir de bases de croyance partiellement ordonnées. Revue d Intelligence Artificielle, 26 :39 61, [6] C. Cayrol, V. Royer, and C. Saurel. Management of preferences in assumption-based reasoning. In R. Yager and B. Bouchon, editors, Advanced methods in AI. Lecture notes in computer science 682, pages Springer Verlag, [7] D. Dubois. Belief structures, possibility theory and decomposable confidence measures on finite sets. Computers and Artificial Intelligence (Bratislava), 5 : , [8] D. Dubois, H. Fargier, and H. Prade. Ordinal and probabilistic representations of acceptance. J. Artificial Intelligence Res. (JAIR), 22 :23 56, [9] D. Dubois, J. Lang, and H. Prade. Possibilistic logic. In D.M. Gabbay, C.J. Hogger, J.A Robinson, and D. Nute, editors, Handbook of Logic in Artificial Intelligence and Logic Programming, Vol. 3, pages Oxford University Press, [10] D. Dubois and H. Prade. Epistemic entrenchment and possibilistic logic. Artificial Intelligence, 50(2) : , [11] D. Dubois, H. Prade, and S. Schockaert. Régles et métarègles en théorie des possibilités. Revue d Intelligence Artificielle, 26 : , [12] P. C. Fishburn. The axioms of subjective probability. Statistical Science, 1(3) : , [13] H. Geffner. Default reasoning : Causal and Conditional Theories. MIT Press, [14] J. Y. Halpern. Defining relative likelihood in partially-ordered preferential structures. Journal of Artificial intelligence Research, 7 :1 24, [15] D. Lewis. Counterfactuals and comparative possibility. Journal of Philosophical Logic, 2(4) : , [16] N. Rescher. Plausible Reasoning. Van Gorcum, Amsterdam, [17] S. Yahi, S. Benferhat, S. Lagrue, M. Sérayet, and O. Papini. A lexicographic inference for partially preordered belief bases. In G. Brewka and J. Lang, editors, KR, pages AAAI Press, 2008.