MATHEMATIQUES - Equation de la parabole -

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1 ENSEIGNEMENT DE PROMOTION SOCIALE Cours de MATHEMATIQUES - Equation de la parabole - VERSION PROVISOIRE H. Schyns Juin 011

2 Sommaire Sommaire 1. INTRODUCTION. LA PARABOLE.1. Forme simple.. Ouverture de la parabole.3. Altitude de la parabole.4. Décalage latéral la parabole.5. Equation canonique 3. EXERCICES 3.1. Exercice Exercice 4. SOURCES H. Schyns S.1

3 1 - Introduction 1. Introduction Nous rencontrons des paraboles tous les jours de notre vie H. Schyns 1.1

4 1 - Introduction (à développer ) H. Schyns 1.

5 - La parabole. La parabole.1. Forme simple La parabole la plus simple est définie par la fonction y = x C'est une fonction quadratique car la variable [ x ] est au carré. On dit aussi que c'est une fonction du deuxième degré car l'exposant de [ x ] est. Pour tracer son graphe, on procède exactement comme dans le cas de la droite : on crée un tableau dans lequel on choisit les valeurs de [ x ] (variable indépendante) et on calcule les valeurs de [ y ] (variable dépendante) x y=x 0 0 1/ 1/ / 9/ / 1/ / 9/ Ce graphe appelle quelques commentaires : fig..1 La parabole la plus simple : y=x - les valeurs sont toujours positives. Elles occupent le premier et le deuxième quadrant. - Le graphe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. On dit que cette fonction est paire. - la concavité est orientée vers le haut (parabole ouverte en haut) - le graphe passe par un minimum en (0,0). Il n'est pas "pointu" en ce point, la tangente est horizontale - les segments entre les points ne sont pas des droites... Ouverture de la parabole Nous pouvons jouer sur l'ouverture ou la fermeture de la parabole en multipliant le terme en [ x ] par un facteur [ a ] : H. Schyns.1

6 - La parabole y = a x x 1 y = x 0 0 y = x 1/ 1/8 1/ 1 1/ 3/ 9/8 9/ 8 3 9/ / 1/8 1/ -1 1/ -3/ 9/8 9/ / fig.. Le coefficient [ a ] contrôle l'ouverture de la parabole: y=ax Lorsque le coefficient [ a ] diminue tout en restant positif, la parabole s'ouvre et se rapproche de l'axe horizontal mais ses valeurs restent positives (I er et II ème quadrant) (fig..). Par contre, lorsque le coefficient [ a ] augmente, la parabole se resserre et se rapproche de l'axe vertical. Toutefois, autour du minimum, la tangente reste horizontale. Si nous changeons le signe du coefficient [ a ], les coordonnées [ y ] de tous les points changent de signe. Cela signifie que chaque point de la parabole passe de l'autre côté de l'axe des abscisses (fig..3). x y = x y = x / 1/4-1/ / 9/4-9/ / 1/4-1/ / 9/4-9/ H. Schyns.

7 - La parabole fig..3 Le signe de [ a ] Les paraboles d'équation y = ax et contrôle l'orientation de la parabole y = ax sont l'image symétrique l'une de l'autre par rapport à l'axe des abscisses. Nous en déduisons que Si a > 0 la concavité est orientée vers le haut (positive) Si a < 0 la concavité est orientée vers le bas (négative).3. Altitude de la parabole Nous pouvons jouer sur l'altitude de la parabole en ajoutant un terme indépendant [ c ] à l'équation : y = a x + c x y = x +5 y = x / 1/4-19/ / 9/4-11/ / 1/4-19/ / 9/4-11/ fig..4 La valeur de [ c ] contrôle l'altitude de la parabole Ceci signifie qu'à chaque valeur de [ y ] de la parabole de base, on ajoute une certaine quantité [ c ]. Si [ c ] est positif, la parabole est décalée vers le haut ; si [ c ] est négatif, la parabole est décalée vers le bas (fig..4). Notons que - si [ a ] est positif et [ c ] négatif, la parabole est orientée vers le haut (concavité positive) mais son sommet est situé en dessous de l'axe des abscisses. Le graphe de la parabole coupe l'axe des abscisses en deux points appelés racines (fig..5). - si [ c ] augmente, la parabole s'élève peu à peu et les deux racines se rapprochent l'une de l'autre. Pour une certaine valeur de [ c ] la parabole est tangente à l'axe des abscisses et elle ne présente plus qu'une seule racine (on H. Schyns.3

8 - La parabole dit alors que les deux racines sont confondues, ou qu'il s'agit d'une racine double). - si [ c ] augmente encore, la parabole "décolle" de l'axe des abscisses et ne le coupe plus. La parabole n'a pas de racines. fig..5 Le nombre de racine varie avec l'"altitude" de la parabole..4. Décalage latéral la parabole Pour décaler latéralement la parabole ( 1 ) il suffit de remplacer dans l'équation x x + m x x m (vers la gauche) (vers la droite) Si nous partons de l'équation la plus simple y = x dans laquelle nous remplaçons [ x ] par [ x + m ], nous obtenons y = ( x + m) y = x + m x + m ce qui fait apparaître un terme du premier degré. Dès que l'équation d'une parabole contient un terme du premier degré, son axe de symétrie ne coïncide plus avec l'axe des ordonnées. Vérifions cela en ajoutant un terme du premier degré [ b x ] à l'équation : y = a x + b x 1 Ceci vaut aussi pourle graphe de n'importe quelle fonction. H. Schyns.4

9 - La parabole x y = x +4x y = x -4x / 9/4-7/ / 33/4-15/ / 9/4-7/ / -15/4 33/ fig..6 La valeur de [ b ] contrôle le décalage la parabole à g. ou à dr. Nous voyons que la parabole se décale effectivement vers la gauche ou vers la droite (fig..6) mais aussi vers le bas (c'est normal)..5. Equation canonique Ceci nous conduit à l'équation canonique ou équation complète de la parabole : y = a x + b x + c Cette expression est appelée trinôme complet du second degré : - trinôme car il y a trois termes - second degré car le terme de plus haut degré est [ x ] - complet car il y a tous les termes intermédiaires : en [ x ], en [ x 1 ] et en [ x 0 ] (le terme indépendant) Les trois coefficients ou paramètres [ a ], [ b ], [ c ] nous permettent de placer la parabole où nous le désirons dans le plan (fig..7) H. Schyns.5

10 - La parabole fig..7 Trois paraboles dans le plan H. Schyns.6

11 3 - Exercices 3. Exercices 3.1. Exercice Exercice H. Schyns 3.1

12 4 - Sources 4. Sources - Elementary and Intermediate Algebra for College Students Allen R. Angel Prentice Hall ISBN : H. Schyns 4.1